CC BY
12
УДК 539.23;539.216.1
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА D -ЦЕНТРОВ В СТРУКТУРАХ С КВАНТОВЫМИ ДИСКАМИ
Б.Ч. Жуковский, В. Д. Кревчик*', М.Б. Семенов*', В. А. Прошкин*'
(.кафедра теоретической физики) E-mail: [email protected]
В модели потенциала нулевого радиуса теоретически исследовано примесное поглощение света в квазинульмерной структуре с дискообразными квантовыми точками. Показано, что особенность геометрического и потенциального конфайнмента (т.е. удержания) квантового диска проявляется в пространственной анизотропии энергии связи D -состояния и в существенной зависимости края полосы примесного поглощения от характерных размеров дискообразных квантовых точек.
Введение
В настоящее время тенденции развития полупроводниковой наноэлектроники таковы, что возникает необходимость учитывать влияние особенностей геометрической формы наноструктур на электронный энергетический спектр, включая примесные состояния. Экспериментальные наблюдения массивов квантовых точек (КТ) 1пАб на подложке ОаАэ показывают [1], что 1пАб КТ представляют собой сильно сплюснутые доекообразные кластеры. Кардинальная модификация электронного спектра при переходе «сферическая КТ -л квантовый диск (КД)» приводит к существенным изменениям магнитных и оптических свойств КТ [2]. Высокая чувствительность энергии связи носителя на примеси к энергетическому спектру КТ позволяет в принципе проследить за эволюцией энергии связи с изменением геометрической формы КТ. Это актуально, поскольку, как показывают эксперименты [3], наличие примесей существенно сказывается на транспортных и оптических свойствах наноструктур. С другой стороны, в реальных системах размеры и форма отдельных КТ отклоняются от равновесных, что сказывается как на оптических свойствах систем с КТ [1], так и на возможности реализации на их основе опто-электронных приборов [1, 4]. В этой связи возникает необходимость исследования влияния фактора геометрической формы КТ на спектры примесного поглощения света в квазинульмерных структурах. Цель данной работы состоит в вычислении энергии связи -центра в КД в рамках метода потенциала нулевого радиуса [5, 6] и исследовании примесного поглощения света системой дискообразных КТ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице. Для моделирования потенциала конфайнмента КД в радиальном направлении используется потен-
циал жесткой стенки
U(p)
О, р < Ro, оо, p>Rq,
(1)
где Д0 радиус КД. В г-направлении используется потенциал одномерного гармонического осциллятора и (г):
U(z) =
(2)
где т* — эффективная масса электрона, о; о — характерная частота осциллятора.
Нетрудно показать, что уравнение Шрёдингера для рассматриваемой модели КД допускает разделение переменных, и одноэлектронные волновые функции 4>пт^(р,(р,г) и энергетический спектр Еп,тЛ можно записать в виде
^п,т,к(Р> <Р> г) = 1 X
у/2"«!тг3/2а/?024+1(6й
х е
-zW«
©
Skm£0 1 e'mLP
En,m,k = flU)0[n
tfifikn
2 m*R¡
(3)
(4)
где «=0,1,2,... — квантовые числа, соответствующие уровням энергии одномерной оецилля-торной потенциальной ямы; т = 0, ±1, ±2,... — магнитное квантовое число; — корни функции Бесселя первого рода порядка т (1т(£ьт) = 0); к = 1,2,3,... — порядковый номер корней функции Бесселя; а = у/Н/т*соо — характерная длина осциллятора; р, <р, г — цилиндрические координаты; Нп(х) — полиномы Эрмита.
Потенциал примеси имитируется потенциалом нулевого радиуса мощностью 7 = 2ттН2/(ат*), который с учетом логарифмической особенности од-
Кафедра физики Пензенского государственного университета. E-mail: [email protected].
ноэлектронной функции Грина запишется (в цилиндрической системе координат) в виде
с/ \
У5(р, (р, г; ра, (ра, га) = у-—- (раЩг - га) х
Р
х
д
д
1 - (Р - Pa) ln(p* - Pa) ^ + (z- 2а) —
(5)
где а определяется энергией связи £г- -состояния в объемном полупроводнике; р* = р/а Р*а = Ра/&й\ ай — эффективный боровский радиус; Ра, <Ра, %а — КООрДИНЭТЫ -Центра В КД.
1. Энергия связи -состояния в квантовом диске
Уравнение Липпмана-Швингера для -состояния в КД запишется как
Rq 2ж
q>x(p,(p,z-,pa,tpa,za
pi dpi dtpi dz\ x
0 0 -00
х в(р, (р, г\ Р1 , (Р1 , 21\ ЕХ)Уд(р1, (Р1 , 21\ Ра, (Ра, га) X
X ФА(Р1 ,(рь 21; Ра, <Ра,га), (6)
где ФА(р, <р, г; ра, <ра, — волновая функция электрона, локализованного на О0 -центре в КД, С(р, <р, г; р1, <р\, 2] ;Е\) — одноэлектронная функция Грина, соответствующая источнику в точке (Ра,<Ра,га) И энергии Е\:
0(р,<р,г; р\,<р\,г\;Е\) =
~ Е\ —Е г '
п,тЛ
Подставляя (5) в (6), получим
Я>х(р, (р, г-, Ра, (ра, га) = ^(р, (р, г\ Ра, (ра, га-, Ех) х
X (Т4>х){ра,<р>а,га\ра,<р>а,га), (8)
где оператор Т определен как
lim
р Ра <Р —► <fia
—У Z-a
д д
1 - (р - Ра) Ыр* - р*а) ф + (z- 2а) —
О)
Действуя оператором Т на обе части соотношения (8), получим уравнение, определяющее зависимость энергии связи -состояния от характерных размеров КД, координат -центра и параметров удерживающего потенциала:
«= -^^{ТС){ра,<Ра,га\Ра,<Ра,га\Ех). (10)
Используя явный вид одноэлектронных волновых функций (3), а также (4), для функции Грина в (10) будем иметь
G(p,tp,Z-,Pa,(Pa,Za-,Ex)
1
2a2HaEdir'/2
X
Г dt
х
eXp(-(rf + f3)t)(l - е^у1/2 х
x exp
x
[\г*аг*е~2& - (zf + г*2)(1 + 2(1
k(p*a/Vt)k(p*/Vt)K0(R*0/Vt)
Kq{w) , (d*, n\
k (Щ/vt)
2 g Im (P*a/V~t) Im (P'/Vt) Km (i?Q*M)
Im {Щ/Vt)
, (11)
„2 _
где rf = \Ex\/Ed; Ed — эффективная боровская энергия; ¡3= ^/Щ/L*; Щ = Uo/Ed; Uo — амплитуда удерживающего потенциала в г-направлении; Uq = = m*colL2/2; L* = L/ad; -Щ = R0/ad; z* = za/ad; Im(x) и Km(x) — модифицированные функции Бесселя целого порядка первого и второго рода соот-
ветственно; W = у Ра + р* — 2р*ар* COS(<р — <ра) . Выделяя в (11) расходящуюся часть, получим
G(p,(p,z; p\,(p\,z\;E\) =
exp
(-Vrf+P-
\Z-Zg\
a
1
Г dt
4ir3/2adaEd
Aim2Ed\z-za\ exp(-(i?2 + ft) t)x
x
exp
(22
2a2
(l-e-^-^x
x exp K0(w)
X
2zgze^3t - (z2a + z2)e^3t a2( \-e~W)
¡o(p*a/Vt)Io(p*/Vt)K0(R*/Vt)
¡o(R*0/Vt) 2 g Im(p*a/Vt )Im(P*/V~t )Km(R*0/V~t ) "
Im(R*JVt)
7texp
(Z
4 a2t
(12)
Подставляя (12) в (10), получим дисперсионное уравнение электрона, локализованного на £)°-центре в КД:
I— ( 00
^1]2 + 13 = гц- у -1 уехр[-(г/2 + (ЗЩх ^ о
X
(1 -е^Г1/2 ехр (-2*2/3 th/3i)x
I2{p*a/Vt)K0{R*/Vt) ,
X
/о (R*0/Vt)
+оо 2£
1т {Ч/^)
7
7/
(13)
где 7 — постоянная Эйлера.
На рис. 1 показана рассчитанная с помощью уравнения (13) зависимость энергии связи £)~ -состояния \Excd\p = \ЕХ\ + И2(^л)2/(2т*^) от координат £)~-центра в радиальной плоскости и в
г-направлении \E\qd\z = |£дI + \/(2т* Ь2) в КД на основе [пБЬ. Как видно из сравнения кривых 1а и За на рис. 1, в КД имеет место пространственная анизотропия энергии связи £)~ -состояния, обусловленная особенностью геометрического и потенциального конфайнмента КД. Причем меняется не только характер координатной зависимости энергии связи, но и ее величина. Можно видеть также, что с уменьшением характерных размеров КД энергия связи £)~ -состояния существенно возрастает (сравн. кривые 2а и /а, 4а и За) вследствие квантового размерного эффекта.
0.2 0.4 0.6 0.8
Е\, мэВ
120
*
Ра
100
80
60
1а \
! -"ч
2Ъ
За
ЗЪ .
0.1 0.2 0.3 0.4 г*
Рис. 1. Зависимость энергии связи -состояния Е\ (£д01 < 0) в КД на основе 1пБЬ от радиальной Ра = Ра!о.й (кривые 1а и 2а для дисков радиуса 51 и 68 нм соответственно, га=0, Ь= 13.6 нм) и осевой 2* = га/а1! (кривые За и 4а для дисков толщины 17 и 34 нм соответственно, ра = 0, Я0 = 6В нм) координат примеси при ¿/о = 0.25 эВ (пунктирными прямыми 1Ь-4Ь показаны соответствующие энергии основного состояния КД)
2. Коэффициент примесного поглощения
света в структурах с дискообразными квантовыми точками
Рассмотрим примесное поглощение света в структуре, представляющей собой прозрачную диэлектрическую матрицу с синтезированными в ней диско-
образными КТ. Предполагается, что £)~-центр находится в точке На = (0,0,0), а примесный уровень расположен ниже дна КД (£д <0). Тогда согласно (8) и (11) волновая функция Фд(р,<р,г) электрона, локализованного на короткодействующем потенциале, запишется в виде
/?*2
х (1
27Г3/2
ехр(—(г/2+ /?)/) х
о
1/2
ехр
Ш 2/3/
X
/0(/?п*М)
(14)
где ¿Уд/ — нормировочный множитель
% = Здесь
<
тг(4/?)3 ^
-1/2
(15)
Д<
<Рк,'
Ф(лс) — логарифмическая производная гамма-функция Г(л).
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны Н-тХ в случае поперечной по отношению к оси КД поляризации света, в цилиндрической системе координат запишется в виде
Н\ пт = —г'ЛЛп
12ттП2а*
т*2ш
10е'ч'г х
X ^СО5(0 Ч = (0,0,«7г)
^Тр
- ъ'т(0 -Р
\ д
(16)
где ч = (и, и, (7г) — волновой вектор фотона; Ло — коэффициент локального поля; а* = \е\2/ (Чтеох/ёАс) — постоянная тонкой структуры с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости е; с — скорость света в вакууме; /о — интенсивность света; ш — его частота; в — полярный угол единичного вектора поляризации ед в цилиндрической системе координат. Матричный элемент М,д, определяющий величину силы осциллятора дипольного оптического перехода из £)~ -состояния Фд(р, <р,г) в размерно-квантованные состояния г) КД, можно записать в виде
М/А = ШХ0а21\ Ш1 ° /0 С„х V т*£из 2тт
х(22"(2«1)!7г3/22а/?024+1(6т))^1/^±%,±1^х
с»
сИ Р\ (г/, О
X
2а*2
- + а*^2(/3,0
-1/2
■ад, о) х
(2»0! (га,)!
щ
X
X ■
6]
61/2(61 Ж1
/й
При вычислении Мд появляются интегралы вида
+оо
(17)
йг* ехр ( —г
,*2
О, пф2п\, «И
у*2
2а*2
■ад, О
, 2а*
Л12
X
га = 2га],
2тг
скре Ш1р соб(0 — 93) = 8т,±1жехр(=рШ),
(18) (19)
где знак « —» в показателе степени ехр(^ргб) соответствует значению т = +1, а знак « + » — т = — 1. Функции и Р2(/3, О в (17) определены как
^М) = 1е-(ч2+^(1 -е-^)"1/2, (20)
ад, 0 = 1
(21)
Из (18) и (19) видно, что оптические переходы с примесного уровня могут происходить только в состояния КД с четными значениями осцилляторного квантового числа п = 2п\ (п\ =0,1,2,...) и со значениями магнитного квантового числа т = ±1. Коэффициент примесного поглощения света К(из) структурой с КД с учетом дисперсии их характерных размеров определяется выражением вида
щ
3/2
X
йиР{и)\М1Х\28(ЕпмЛ + |£А| - М- (22)
В (22) предполагается, что дисперсия и = 7?о//?о = = ¿/I характерных размеров КД возникает в процессе фазового распада пересыщенного твердого
раствора и удовлетворительно описывается формулой Лифшица-Слезова:
34ега2
ехр
-2и/3
р(")=<| 2Щи + 3)7/3 0,
11/3'
и < §,
и >
(23)
где Ло — среднее значение радиуса КД; е — основание натурального логарифма; 2£ — среднее значение высоты КД. В (22) А/|о — концентрация КД в диэлектрической матрице. После интегрирования по га в (22) для коэффициента примесного поглощения К (и) получим
N К
(2 щ
ш=к0ф^2х2 х; Е 22^)2 {
ХРШ. 1
п\ =0 к= 1
т га+ 1/2)
Г Ш
7
Р\(г),1,14,1; Ох
X
{1*)2{икЛ)2Р2{г,Л,икЛи)/хи
х
(т2(икЛ)2/^и*у
х 7
6,
о
р2('п,1,ик,ь О
Г*
«1
-1/2
X
61/2(61 Ж1
Щ2К0(икЛЙ*/У1) 6.1/0(6.1)/! (¿4.1*0М) /о(^Л*М) (6,1)2-Й,1Ло/^)2
1 1
X
/02(61) /|(61
, (24)
где Ло = 287гМоа^Х^а*-, N = [С]] — целая часть числа Сх = ЪХ/{2р) - 1/2 - (6,02/(6^о2): /3 = у^Щ/Ь*; К является целой частью решения трансцендентного уравнения вида
Ш2 = 1щ2х-зр (2п+1-)к2
(25)
Здесь X = Тгш/Е^ — энергия фотона в единицах эффективной боровской энергии; функции Р(ц,Ь,икЛ), Р\(^,Ь,икЛ; 0 и Р2(п,1,ику,Г) определены как
П'П, I, щл) = £ Г [(У + у/й*/(1*щл) к= 1
+ (6,о/{Щщл))2)1*щл/
X
/ + 1/2
F\ (г/, L,uky,t) = ig-f'T+^.i >' (1 - e~4~ßt/u"
F2(ri,L,uky,t)
\"ft,i/
где "ft,
ß(2n + 1/2) , ß2(2n + 1/2)2 (6л)2
(26)
1/2
(27)
(28)
(29)
На рис. 2 приведена спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света квазинульмерной структурой с дискообразными КТ на основе [пБЬ. Как видно из рис. 2, коэффициент поглощения имеет немонотонную спектральную зависимость, обусловленную размерным квантованием. Поскольку состояния, соответствующие энергии с магнитным квантовым числом т = ± 1, являются
0.03
0.06
0.08 0.1 ш, эВ
Рис. 2. Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света в квазинульмерной структуре с дискообразными КТ на основе 1пБЬ при и = 0.15 эВ, Ь = 15 нм, для различных значений радиуса КД /?о: кривая 1 — /?о = 32 нм, кривая 2 — /?о = 65 нм
вырожденными, сила осциллятора дипольного оптического перехода электрона с примесного уровня в размерно-квантованные состояния с т = ±] оказывается довольно большой (ср. пики на рис. 2). При этом дисперсия характерных размеров КД ограничивает сверху возможные значения осциллятор-ного квантового числа п, так как и< 3/2. Так, например, для значений параметров, при которых строилась кривая на рис. 2, N = 0, и осцилляции коэффициента поглощения связаны в основном с оптическими переходами электрона между уровнями размерного квантования двумерной потенциальной ямы, которой моделировался потенциал конфайн-мента КД в радиальном направлении.
Таким образом, в настоящей работе показана существенная роль фактора геометрической формы КТ в координатной зависимости энергии связи D~ -состояния, а также в спектре примесного поглощения света при переходе «сферическая КТ —> дискообразная КТ». В отличие от случая сферической КТ [7] энергия связи D~ -состояния в КД как функция координат D~-центра является анизотропной, причем величина анизотропии существенно зависит от характерных размеров КД. Необходимо отметить, что особенность геометрического и потенциального конфайнмента КД проявляется в существенной зависимости края полосы примесного поглощения {hui)xь от характерных размеров КД:
(Mth = 2у/fi2U0/{2m*D)/3 + 4ft(£,,,)2/(18т*R*2). Литература
1. Леденцов H.H., Устинов В.М., Щукин В.А. и др. // ФТП. 1998. 32, № 4. С. 385.
2. Кокурин H.A., Маргулис В.А., Шорохов A.B. 11 Изв. вузов. Поволжский регион (секция «Естественные науки»), Физика. 2003. 6, № 9. С. 96.
3. HuautS., Najdci S.P. 11 Phys. Rev. Lett. 1990. 65, N 12. P. 1486.
4. Жцков A.E., Ковис A.P., Устинов B.M. 11 ФТП. 1999. 33, № 5. C. 1395.
5. Кревчик В.Д., Гранин A.B., Марко A.A. jI ФТП. 2006. 40, № 4. С. 433."
6. Кревчик В.Д., Грунин A.B., Евстифеев В.В. 11 ФТП. 2006. 40, № 6. С. 136.
7. Кревчик В.Д., Зайцев Р.В. 11 Физика твердого тела. 2001. 43, № 3. С. 504.
Поступила в редакцию 31.10.2007
