CC BY
36
УДК 539.23;539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, В. В. Евстифеев, Л. Н. Туманова, С. В. Яшин.
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИСКООБРАЗНЫХ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК С Б -ЦЕНТРАМИ
В модели потенциала нулевого радиуса теоретически исследовано примесное поглощение света в квазинульмерной структуре с дискообразными квантовыми точками. Показано, что особенность геометрического и потенциального конфайнмента квантового диска проявляется в пространственной анизотропии энергии связи -состояния и в существенной зависимости края полосы примесного поглощения от характерных размеров дискообразных квантовых точек.
В настоящее время тенденции развития полупроводниковой наноэлектроники таковы, что возникает необходимость учитывать влияние особенностей геометрической формы наноструктур на электронный энергетический спектр, включая примесные состояния. Экспериментальные наблюдения массивов квантовых точек (КТ) ТпДк на подложке ваЛ8 показывают [1], что ТпДк КТ представляют собой сильно сплюснутые доскообразные кластеры. Кардинальная модификация электронного спектра при переходе «сферическая КТ ^ квантовый диск (КД)» приводит к существенным изменениям магнитных и оптических свойств КТ [2]. Высокая чувствительность энергии связи носителя на примеси к энергетическому спектру КТ позволяет, в принципе, проследить за эволюцией энергии связи с изменением геометрической формы КТ. Это актуально, поскольку, как показывают эксперименты [3], наличие примесей существенно сказывается на транспортных и оптических свойствах наноструктур. С другой стороны, в реальных системах размеры и форма отдельных КТ отклоняются от равновесных, что сказывается как на оптических свойствах систем с КТ [1], так и на возможности реализации на их основе оптоэлектронных приборов [1, 4]. В этой связи возникает необходимость исследования влияния фактора геометрической формы КТ на спектры примесного поглощения света в квазинульмерных структурах.
Цель данной работы состоит в вычислении энергии связи -центра в
КД в рамках метода потенциала нулевого радиуса [5, 6] и исследовании примесного поглощения света системой дискообразных КТ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице.
Для моделирования потенциала конфайнмента КД в радиальном направлении используется потенциал жесткой стенки:
где Я0 - радиус КД.
В г-направлении используется потенциал одномерного гармонического
Введение
(1)
осциллятора и (г):
* 2
и (г ) = ^ г 2,
(2)
где т* - эффективная масса электрона; юо - характерная частота осциллятора.
Нетрудно показать, что уравнение Шредингера для рассматриваемой модели КД допускает разделение переменных, и одноэлектронные волновые функции *¥птк (р, Ф, г) и энергетический спектр Ептк можно записать в виде
^п,т,к (р,ф,г )
1
2пп\к32 аЯ02/т+1 (і кт )
і Л
кт
егтф, (3)
о У
Епкт Й®0
(ікт I2
*о 2 ’
2; 2т%2
(4)
где п = 0, 1, 2, ... - квантовые числа, соответствующие уровням энергии одномерной осцилляторной потенциальной ямы; т = 0, ±1, ±2, ... - магнитное квантовое число; ікт - корни функции Бесселя первого рода порядка т (3т(ікт) = 0); к = 1, 2, 3, ... - порядковый номер корней функции Бесселя;
а = №0] - характерная длина осциллятора; р,ф, г - цилиндрические координаты; Н п (і) - полиномы Эрмита.
Потенциал примеси имитируется потенциалом нулевого радиуса мощностью у = 2яй/ (ат*), который с учетом логарифмической особенности одноэлектронной функции Грина запишется как (в цилиндрической системе координат)
Ф, г; Ра, Фа, га ) = у5(р Ра ) 8(ф-фа )8(г - га )Х
X
р
1 — (р — Р а )!п(р*-ра )р + (г - га )|г
(5)
где а определяется энергией связи Е{ Б -состояния в объемном полупроводнике; р* =р/аа ;ра =9а/аа ;аа - эффективный боровский радиус; ра,фа,га -координаты Б -центра в КД.
1. Энергия связи Б -состояния в квантовом диске
Уравнение Липмана-Швингера для Б -состояния в КД запишется как
^0 2л гс
^А.(р,ф,г;Ра,Фа,£а) = | | |р^р^&^р,ф,г;р1,фЬЕх)х
00 (6) ^ ^§(р1, ф1, г1; ра, фа, га )'®*А,(р1, ф1, г1; ра, фа, га )’
2
г
а
где ¥^(р,ф, ^; ра,фа, га) - волновая функция электрона, локализованного на Б°-ценре в КД, 0(р,ф,х; р1,ф1,1\;Е^) - одноэлектронная функция Грина, соответствующая источнику в точке (ра,фа, га) и энергии Е^ :
G(p,Ф,z;p1,Ф1,Z1;Ej- ^
^n,m,k (p1, ф1, Z1 '))n,m,k ф, Z) EA - En,m,k
(7)
n, m, k
Подставляя (5) в (6), получим
(p,ф,Z; pa, фa, za ) - YG(p,ф,Z; pa, фa, za; EA )(pa, фa, za; pa, фa, za ) ,(В)
где оператор T определен как
(^0(pa, фa, za; pa, фa, za ) lim 1 (p pa )ln(p pa )?1_ + (z za ) ^
P^Pa
9^9a
Za
'0p
dz
. (9)
Действуя оператором Т на обе части соотношения (8), получим урав
нение, определяющее зависимость энергии связи Б -состояния от характер
ных размеров КД, координат Б -центра и параметров удерживающего потен циала:
2яЙ2
a-
m
(tG ) (pa, pa, za; pa, фa, za; EA ).
(10)
Используя явный вид одноэлектронных волновых функций (3), а также (4), для функции Грина в (10) будем иметь
^ 1
G(( ф, z; Pa, Фа, Za; Ex)=---2 1 3/2 J— exp(- )(l - e~4p )"2 X
2adaEdп 0 1
x exp
44 гУ4- Jo2 + z02 ) + е-4р 2(1- е"4Р')
Р
x
(11)
x
к о (w) —
У
f 0\ p
41
\_____У
K
Г»*Л R(
У
Im
f 0\ pa
rO '
Jh
■2 Z-
m-1
Im
с 0\ p
St
\________У
Km
Ґр*Л R(
f r*\
R(
где л2 - Ы/Ed ; Ed - эффективная боровская энергия; Р-д/U0/ L; U0- Uo/Ed ;Uо - амплитуда удерживающего потенциала в z-направлении;
Uо m /2; L Ll ad ; Ro Ro/ad , za zalad ; Im(x) и Km(x)
мо-
*
p
I
I
0
0
I
I
0
m
дифицированные функции Бесселя целого порядка первого и второго рода
*2 *2 * * , ,
соответственно; w = \Ра + р - 2рар со8(ср - фа).
Выделяя в (11) расходящуюся часть, получим:
С(р, ф, г; рі, Фі, гі; Е-к) = -і2- ехр(-—2 + р)г
ехр
7л2+Р
л
1
4а2пЕАг - га
2 2
1г + га!
ехр
2а 2
V /
4а2 аЕ2 V32 - 4Р?)
X
2 аЕ2 1
- е~4р' Г2X
X ехр
2іа<£~2|3г -(га + г2)4Р'
а 2 — е-4|3г)
X
X
К0 (>у)--
( * Л
К
ґ„*\ Кп
,
+ ^ ■21-
т=1
Ґ * Л
Кт
Ґкс\
Кп
,
л
ехр
— - га )
2
ч 4а 2г у
(12)
Подставляя (12) в (10), получим дисперсионное уравнение электрона, локализованного на Б -центре в КД:
л/л2 +Р = Лі -лр
|— ехр - —2 + р)г - - е 4^г )2 ехр— г^РгйРг)x
X
С
К
ҐКС\
Кп
,
С
21-
т=1
К
Ґкс\
Кп
«г'
- 1п
2уГг
_1_
41
(13)
где у - постоянная Эйлера.
На рисунке 1 показана рассчитанная с помощью уравнения (13) зависимость энергии связи Б -состояния |Е^Сд|р = Ея| + Й2—11)I-2т*К()) от координат Б -центра в радиальной плоскости и в г-направлении |Е^Сб|2 =
= |ЕЯ| + ^Н2и(/—т*!2) в КД на основе ІпБЬ.
Как видно из сравнении кривых 1а и 3а на рисунке 1, в КД имеет место пространственная анизотропия энергии связи Б -состояния, обусловленная
р
р
р
р
I
I
I
I
0
0
т
т
I
I
о
т
1
р
р
I
I
У
I
I
о
т
особенностью геометрического и потенциального конфайнмента КД. Причем меняется не только характер координатной зависимости энергии связи, но и ее величина. Можно видеть также, что с уменьшением характерных размеров КД энергия связи Б -состояния существенно возрастает (ср. кривые 2а и 1а, 4а и 3а) вследствие квантового размерного эффекта.
Рис. 1 Зависимость энергии связи Е^ О -состояния (Е|_0) < 0) в КД на основе ІиБЬ
* I
от радиальной ра = ра/а^ (кривые 1а и 2а для диска радиусом 51 нм и 68 нм, соответственно, 1а = 0, Ь = 13,6 нм) и осевой = za|аа (кривые 3а и 4а для диска
толщиной 17 нм и 34 нм, соответственно, ра = 0, Я0 = 68 нм) координат примеси при и о = 0,25 эВ (пунктирными прямыми 1Ь, 2Ь и 3Ь показаны соответствующие энергии основного состояния КД)
2. Коэффициент примесного поглощения света в структурах с дискообразными квантовыми точками
Рассмотрим примесное поглощение света в структуре, представляющей собой прозрачную диэлектрическую матрицу с синтезированными в ней дискообразными КТ. Предполагается, что О -центр располагается в точке К =(0,0,0), а примесный уровень расположен ниже дна КД (( < 0). То-
гда, согласно (8) и (11), волновая функция ¥^(р, ф, г) электрона, локализованного на короткодействующем потенциале, запишется в виде
ф, z)=Іуєхр(_ (2 + р)гX1 “є 4Р'
( * Л Ра
X
К
К*Л
К0
1
2 ехр
к* у
z*2p(l + є-4|і'
2(1 - є-4|В')
X
(14)
где С
N
нормировочный множитель:
СN =
а1) ЁГ^Ц [Ъ(ф‘ )-ъ(л )
я(4р)3 г(фк)
(15)
Здесь
Ґ с ~ \ 2 Л / Ґ С ~ \ 2 Л
/к = ^2 +Р + ^к 0 А4?); фк = ^2 + Р + ^к 0
1 К* 1 К* J )
/(4Р)+12; Ъ(х)
логарифмическая производная гамма-функция г(х).
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны Яіп1 в случае поперечной по отношению к оси КД поляризации света, в цилиндрической системе координат запишется в виде
Н Іп1 = -ІНХ 0
2пН2а*
*2 т ю
/0 вЩ^ Г003(0 - ф))0- + 8ІП(0 - ф))0-I ар аф
(16)
где q = (0, 0, qz) - волновой вектор фотона; X0 - коэффициент локального
поля; а* = |є|2/(є0л/єйс) - постоянная тонкой структуры с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости є ; с - скорость света в вакууме; / 0 - интенсивность света; ю - его частота; 0 - полярный угол единичного вектора поляризации є^ в цилиндрической системе координат. Матричный элемент Міх , определяющий величину силы осциллятора дипольного оптического перехода из О -состояния Ъ^(р,ф, z) в размерноквантованные состояния Ъп т к (р, ф, z) КД, можно записать в виде
МіХ = І^К0ай
2яЛ2а°
*2 1
о Сн К-(22п (2П1 ) Лт+^кт ) X (17)
*2
тю
0
/
0
х т±І0§т,+1 |^ р1'(г1,г)
(п1)!
- + а*2 р2 ((V )! - 1
п1
2а
X <
1
- + г
К
+ ^к1З 2 (£к1 )К1
к0к
0 (к*/) ^к1З0 (£к! )/1 Й)/^ (К0/ ^) (^к1)2 - К*/ ^
При вычислении МX появляются интегралы вида
х
(17)
ехр
С г *2
z
V V
2а
1 V
-*2 + р2 (р1г )
I ))
\\ ( * Л
z
Нп
0
Vа )
0, если п Ф 2п1,
л/л(2п1)! г ( *2 а V
п1!
(18)
1
2а
2л
+ р2 (р г )
*2 2
лл -1 " п1
-1
))
1
ґ і л-^
*2 + ¥2 (Р, г) , если п = 2п1,
2а
|йфє гтф ооз(0 - ф) = 8т,±1лехр(± І0),
(19)
0
где знак «-» в показателе степени ехр(± гб) соответствует значению т = +1, а знак «+» - т = -1.
Функции ^(л, г) и F2 ((3, г) в (17) определены как
^(л, г ) =1 е-(+р)г (-є_4рг )2,
F2 (р, г ) = -|іЬ2рг.
(20)
(21)
Из (18) и (19) видно, что оптические переходы с примесного уровня могут происходить только в состояния КД с четными значениями осцилля-торного квантового числа п = 2щ (п1 = 0, 1, 2, ...) и со значениями магнитного квантового числа т = ±1.
Коэффициент примесного поглощения света К(ю) структурой с КД с учетом дисперсии их характерных размеров определяется выражением вида
3/2 2
К(ю) = ХХ5т,±1 \ аиР(иіх| §(Еп,т,к + Ы-йю). (22)
т,±1 т п 0
1
2
1
+
+
/
0
—оо
В (22) предполагается, что дисперсия и = /К = Ь/Ь характерных
размеров КД возникает в процессе фазового распада пересыщенного твердого раствора и удовлетворительно описывается формулой Лифшица-Слезова
Р(и ) =
42 3 еи ехр
-1
1 - 2и/ 3
2#3 (и + 3)/3(2 - и]
113,и<2,
(23)
3
0, и > —, 2
где ^0 - среднее значение радиуса КД; е - основание натурального логарифма; 2L - среднее значение высоты КД. В (22) N о - концентрация КД в диэлектрической матрице.
После интегрирования по и в (22) для коэффициента примесного поглощения К (ю) получим
N К
к (ю)=К0 (Й7/2 х-2 XI
(2п1)!
р (л, Ь ,ик д)
((кд)
X |dLF-(-,(,ик,1;г)
Р(к д)
n1=оt=-22nl (п1!) Р(2п +1/2)
ик ,1 -
X
X
X
2 + ()2 (к ,1 )2 (-, Ь ,ик ,1; г )/)0
-12
-1
п1
X
()2 (к ,1 )2/ л/и0 ) + р2 (-, Ь ,ик ,1; г)
-1
^ л2
1
- + г
V
^к1
№ ,1
X (24)
К0*и
■+ ^к1З 2 (->k-)K-
0 к,1
ик К 41
002 К0 (к ,1«00/УГ ) 0 Йн )/1(ик ,1«°/ /0 ( Л«°/^) (4к1 )-(ик ХМ )
X
X
11
■ + ■
целая часть числа
С1 = 3Х/(2Р)-1/2-
где К0 = 2 0а^А^а*; N = [С1 ] -
-(и ) / (бР К* 2) Р = д/ и 01Ь*; К является целой частью решения трансцендентного уравнения вида
3
+
+
(25)
Здесь X = Йю/Е^ - энергия фотона в единицах эффективной боровской энергии; функции F (л, Ь, ык 1), ^1(г|, Ь, 1; г) и F2 (л, Ь, ык 1; г) определены как
Г
Е
к =1Г
л2 +
^ (л Ь, мк ,1 ) =
Ц1К,1)+ (,о/(,1)) Ь)д/Г4^
, (26)
2
л2 +
Цо/(Ь мк,1 )+(к,0/(0Мк,1 ))21 Ь мк,1/Г^л/^ОГ1 + V2
F1(л, Ь, мк д;г ) =1 е“(л2+^Мк д)г (\ - е_4р ^Мк д ) 12, (27)
р2 ( Ь, мк ,1; г '
2мк,1
-гН
г 2рг ^
V Мк ,1 у
(28)
где
м Р(2« +1/2)
мк ,1 =------ -----+
X
Р 2 (2га +1/2)2 , (2,1)2
X
2
^02 X
(29)
На рисунке 2 приведена спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света квазинульмерной структурой с дискообразными КТ на основе 1и8Ъ. Как видно из рисунка 2, коэффициент поглощения имеет немонотонную спектральную зависимость, обусловленную размерным квантованием. Поскольку состояния, соответствующие энергии с магнитным квантовым числом т = ±1, являются вырожденными, сила осциллятора дипольного оптического перехода электрона с примесного уровня в размерноквантованные состояния с т = ±1 оказывается довольно большой (ср. пики на рис. 2). При этом дисперсия характерных размеров КД ограничивает сверху возможные значения осцилляторного квантового числа п, т.к. м < 3/2 . Так, например, для значений параметров, при которых строилась кривая на рисунке 2, N = 0 и осцилляции коэффициента поглощения связаны в основном с оптическими переходами электрона между уровнями размерного квантования двумерной потенциальной ямы, в которой моделировался потенциал конфайнмента КД в радиальном направлении.
Таким образом, в данной работе показана существенная роль фактора геометрической формы КТ в координатной зависимости энергии связи Б- -состояния, а также в спектре примесного поглощения света при переходе «сферическая КТ ^ дискообразная КТ». В отличие от случая сферической КТ [7], энергия связи Б- -состояния в КД, как функция координат Б- -центра, является анизотропной, причем величина анизотропии существенно зависит от характерных размеров КД. Необходимо отметить, что особенность геометрического и потенциального конфайнмента КД проявляется в существенной зависи-
мости края полосы примесного поглощения (йю)Л от характерных размеров КД: (Пю) = 2у1 П2ио/(ш*!2) + 4П(д.
К (ю), см-1
0,03 0,06 0,09 0,12 Йю, эВ
Рис. 2 Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света в квазинульмерной структуре с дискообразными КТ на основе ІиБЬ при и = 0,15 эВ, Ь = 15 нм, для различных значений радиуса КД ^0: 1 - ^0 = 32 нм; 2 - ^0 = 65 нм
Список литературы
1. Леденцов Н. НУстинов В. МЩукин В. А. [и др.] // ФТП. - 1998. -№ 4. - 32 т. - С. 385.
2. Кокурин И. А., Маргулис В. А., Шорохов А. В. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 20003. - № 6 (9). - С. 96. -(Естественные науки).
3. Huaut S., Najda S. P. // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 65. - № 12. - Р. 1486.
4. Жуков А. Е., Ковис А. Р., Устинов В. М. // ФТП. - 1999. - № 5. - 33 т. -С. 1395.
5. Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Марко А. А. // ФТП. - 2006. - № 4. - 40 т. -
С. 433.
6. Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Евстифеев В. В. // ФТП. - 2006. - № 6. -40 т. - С. 136.
7. Кревчик В. Д., Зайцев Р. В. // ФТТ. - 2001. - № 3. - 43 т. - С. 504.
