CC BY
36
УДК 621.315.592
В. Д. Кревчик, С. В. Яшин, Е. И. Кудряшов
ОСОБЕННОСТИ СПЕКТРОВ ДВУХФОТОННОГО ПРИМЕСНОГО ПОЛОЩЕНИЯ В СТРУКТУРАХ С ДИСКООБРАЗНЫМИ КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ
Методом потенциала нулевого радиуса исследованы особенности спектров двухфотонного поглощения при фотоионизации В~ -центров в квази-нульмерной структуре с дискообразными квантовыми точками. Рассмотрен
случай квазистационарных В~ -состояний в квантовом диске. Показано, что дихроизм двухфотонного примесного поглощения связан с изменением правил отбора для магнитного квантового числа в радиальном направлении, а учет дисперсии характерных размеров квантового диска приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента двухфотонного поглощения.
В настоящее время тенденции развития полупроводниковой наноэлектроники таковы, что возникает необходимость учитывать влияние особенной геометрической формы наноструктур на электронный энергетический спектр, включая примесные состояния. Так, например, в случае квантовых точек (КТ) такие особенности проявляются, прежде всего, в кардинальной модификации электронного спектра при переходе «сферическая КТ ^ квантовый диск» и, как следствие, в существенной трансформации оптических свойств КТ. Высокая чувствительность энергии связи носителя на примеси к энергетическому спектру КТ позволяет проследить за эволюцией энергии связи с изменением геометрической формы КТ. Это актуально, поскольку, как показывают эксперименты, наличие примесей оказывает радикальное влияние на транспортные и оптические свойства наноструктур. Цель настоящей работы состоит в теоретическом изучении особенностей спектров двухфотонного (ДФ)
примесного поглощения с участием квазистационарных В -состояний в дискообразных КТ.
В данной работе в рамках модели потенциала нулевого радиуса рассмот-
квантовом диске (КД). Для моделирования потенциала конфайнмента КД в радиальном направлении используется потенциал жесткой стенки:
где Д0 - радиус КД.
В ^-направлении КД-потенциал конфайнмента моделируется потенциалом одномерного гармонического осциллятора:
Введение
1 Квазистационарные ^состояния в квантовом диске
и Г\0
рена задача связанных состоянии электрона, локализованного на и -центре в
(1)
где т - эффективная масса электрона; ю0 - характерная частота одномерного гармонического осциллятора.
Уравнение Шредингера в рассматриваемой модели КД допускает разделение переменных, при этом одноэлектронные волновые функции и энергетический спектр можно записать в виде
2
1 ( Л
Ут (Р.Ф,г) = -,------—1---------- М„ (і 1 І Чт Iеітф, (3)
Ь-шЛфты () (а) 1 Ко)
( 1 ї й2 ()
Епкт й®0 І п ^ п I ^ * 2 , (4)
V 2) 2т Ко
где п = 1, 2,... - квантовые числа, соответствующие уровням энергии одномерной осцилляторной потенциальной ямы; т = 0, ±1, ±2,. - магнитное
квантовое число; Чт - корни функции Бесселя первого рода порядка т; к = 1,
2, 3,. - порядковый номер корней функции Бесселя; а = т*Юо - характерная длина осциллятора; р,ф, г - цилиндрические координаты; Нп (Ч) -полиномы Эрмита.
Потенциал примеси моделируется потенциалом нулевого радиуса 2 / *
мощностью у = 2тсЙ / ат , который в цилиндрической системе координат с учетом логарифмической особенности одноэлектронной функции Грина имеет вид
^ ^
ф,г;Ра,Фа,га ) = У“---------— §(ф-фа )§( - га )х
X
1 -(-Ра )1п (р*-ра )ч- + (г - га ))-
(5)
'Эр ' и/Эг
где а определяется энергией связи Е В(-)-состояния в объемном полупроводнике; р*=р/а^ =9alad ; ad - эффективный боровский радиус; ра, фа, га -
координаты В(-)-центра в КД.
Уравнение Липпмана-Швингера для В(-)-состояния в КД запишется как
До 2л гс
ф,г;Ра,Фа,¿а ) = !!! р^ р1d ф^О (р, ф, г; рь фь Ех)х
0 0 —гс
^^5 ( р1, ф1, г1; ра, фа, га ) ( р1, ф1, г1; ра, фа, га ) , (6)
где одноэлектронная функция Грина О (р, ф, г; р1, ф1, ^; Е^), соответствующая источнику в точке (ра, фа, га) и энергии Е^, имеет вид
^ птк (р1,ф1,г1')) птк (р,ф,г)
~ ™ і? \ V'1 птк \ х птк\У^^ ґп,
О(р,ф,г;Рl,фl,г1;Ех)= ^ ---------------------------------------і-Е - Е ,-'- • (7)
Подставляя (5) в (6), получим ^А (р,ф,г; ра, фа, га ) = )О (р,ф,г; ра, фа, га; ЕА ) (Т^А ) (ра, фа, га; ра, фа, га ) ,(8)
где Еа - энергия связи В(-)-состояния, отсчитываемая от дна КД (Еа > 0); оператор Т определен как
(Т^А )(ра, фа, га; ра, фа, га ) =
lim
p^pa Ф ^Фa ■
1 -(p-pa )ln ((-pa )—+ (z - za )-
д
dp
_d
’ dz
(9)
Действуя оператором Т на обе части соотношения (8), получим дисперсионное уравнение, определяющее зависимость энергии связи и()-состояния от характерных размеров КД, координат и()-центра и параметров удерживающего потенциала:
2
a = -
2пЙ
m
(TG)(pa, (a, za ; pa, фa, za ; EX ) .
(lO)
Используя явный вид одноэлектронных волновых функций (3), а также (4), для функции Грина в (10) будем иметь
G (p,Ф,Z; pa, фa, za ; EX )
l
2 aR2
n' 2 aRO
-exp
xI-
m,k
im pa j im p
lk D m lk D
. R0 J I R0
I 2 +2 1
za + z 2a 2
V J
1 .
I
n=1
œ Hnj^^I Hn I-a J V a
2nn!
x
(Ф-Фa
J
{El- Enmk )J2m (C )
(11)
Далее, используя интегральное представление знаменателя в (11), по-
œ
! dt exp (-|-Л2 +ß)t )x
лучим
G (p,Ф,Z; pa, фa, za ; El ) = -
^2 aR^ Ed
-exp
I z 2 + _ 2 1
za + z
2a
x I
n=0
Za 1 Hn I Z| Jmjim
m pa
/
I I
I
m,k
Ro
m
J
\
Ш p
1ir
\
’г(ф-фa
(12)
(El- Enmk )J2m ( )
где Ed - эффективная боровская энергия; Л2 = Ex/Ed ; ß = \U0/E* ; UoO = u0/Ed ; Uo - амплитуда потенциала конфайнмента КД в z-направлении; Uo = m*œ0L*2/2; L = Lad ; E - характерный размер КД в z-направлении; R = Ro /ad .
*
Суммирование по п в (12) можно выполнить, воспользовавшись формулой Меллера [1]:
e-2Pt ' п н п Va) Hn [ f J 1 2xyz -(2 + У2 )z2
2 V ) n! VH7 ' 1 - z2
£
к=0
тогда (12) принимает вид
G (р,ф,z; ра, фа, za;EX ) _ — 3
\, (13)
1
ц/2aR0 Ed
-exp
f z 2 + z 2 J
za + z 2a2
J dt exp (-|-^2 + P
t |x
x( -e-4pt) 2
exp
2 zaze
-2pt -
(X +z2 J
,-4Pt
a2 (l - e-4Pt)
I im
x £ e I
m,k
t Jm
Ro
P
Ro
,m(cp-9a )
J
■()
(14)
При выполнении суммирования по k в (14) учтено, что основной вклад в интеграл вносит нижний предел интегрирования, где подынтегральная функция имеет особенность. Это дает возможность использовать приближение exp [ (/я;;)2,1.1 -((/r*)2 ), тогда сумму по k в (14) можно пред-
V /
ставить в виде
S = £ e к=1
1 pm p J
рк R
v *-o) v R0)
Ro
*2
I P J I P ^
pm Ha j pm M
рк n J m рк
J2 I pm
J m\^k
r£
' к=1
Ro
V *-o) v Ro
J2 I pm J my-эк
л
.. (15)
Используя известное разложение Фурье-Бесселя
^ Г “|-2 (
£jv ()Jv (xim |Jv+1 (m)] (z2 - (m)
к=1
\2 J
= Jv(z )>V(XZ )-Jv(Xz )Yv (z )],
(16)
где ) - функция Бесселя второго рода порядка у;0< х < X < 1, для Б в (15) получим
Б = -
*2
(. * ^ /Ра_
Л
*^т
т
тр_
Ф_
(17)
Для вычисления суммы по магнитному квантовому числу т в (14) воспользуемся известными соотношениями для функций Бесселя с мнимым аргументом [1]:
( {т + 1)п/ ^
Ут {тх) = ехр
¡т {х)-“еХР(-т~ |Кт {х)
'1т (/х) = ехРI ^ I!т {х)
(18)
(19)
где 1т {х) и Кт {х) - модифицированные функции Бесселя целого порядка
первого и второго рода соответственно.
Тогда сумму по т можно представить в виде
Р = £ 1т
( * ^ т— тп/ п/ ( * ^
Р е 2 е 2 е 2 Р
л/7, т V?
V / V /
---е
п
2 Кт
( * ^
Р ет/(Ф-Фа)
л/7, V I
( *
- £ ¡т
*
Г т г ^¡t V t
{-1)тет/(Ф-Фа
г.
+- £
*
Я0
Г ±т г 21т г
^Jt V t у1 t
Кп
/(ф-фа
п
т=-^
(20)
Воспользовавшись известными формулами сложения для модифицированных функций Бесселя [1]
£ (-1)т 1т ^)1т (Ктф= ¡0 (") = т=-^
£ Кт ^)1т {?Ктф= Ко (^),
т=-^
где М ^ д/я-+Й--"—ЙЙс08ф , для Р будем иметь
(21)
(22)
( *\ Р.
р = Но (м)-^2к0 (м)-Но (М) + - £ -п п
т=-~
**
Р
^ 1т\ЛГт [уП,
V I У I V I
( я* ^ ко
л
т=-^
т=-^
т
или
( * ^ ( *Л
P = •
(
R0
f Ги [ft ги f
Кп
л
f
4 £
+-Z
( *\
к„
л
m=1
rL' V?
-cos
[m(ф-фв )]-------кп (w) (24)
71
здесь W ^р*2 + р*2 - 2р^р* cos(ф-фа )/Vt .
С учетом полученных соотношений для S и P функция Грина в (14) примет вид
^ 1
G(р,Ф,г;ра,фа,^;Ех) =------^-{уexP(-(2 + Р)Т)( -e~4t) 2х
2adaEd 0
х exp
л * * —2Bt
4zaz e р
I *2 . *2\/
(a +z )(
1 - e
—4pt
2 (l — e—4pt)
K0 (w)—-
Kn
Vffп I ft Гп \f
V у V у V .
( R* л ft
( * Л ( * Л ( г»* Л
— 2 Z
m=1
Rl
f rm [ft Гm IVt
Km
r % ^ ft
. (25)
Для выделения в (25) расходящейся части воспользуемся интегралом Вебера [1]:
x 2 exp
2 x
-^x
dx =
л/2л
1Р|
exp
(— (Г|р|) (р2 )> L,Re (ц)> П. (26)
Тогда выражение (25) для функции Грина примет вид
exp
G (р,ф,z; ра, фа, za; EX )
~\1—Ц2 + Р
z —
4ad ^d|z — za
4ad aEd л32
x
п
m
х <: J у exp (-(2 + p)t )
.0 t
f (z2 z2 ) 1
exp y2 za J (1-e-4pt ) 2 х
a \ /
l J
х exp
2 zaze
-2Pf -
,-4Pi
a2 (l- e-4pt )
х
х
( * ^ f *
K0 (w)--
«0
0 IVtr01 л/t
k0
■Jï
- 2 Z-
m=l
f * ^ f „*A
«0
Г ±m r ^m r
Vt V t v t
Km
f R* ' Vt
"VFexp
f / x2 ^
(-Za )
4a 2t
(27)
Подставляя (27) в (10), получим дисперсионное уравнение электрона,
локализованного на D -центре в КД:
л/-л2 + Р
= Л -Л -
V к
(l-e-4pt) 2 exp|-z*2pt^ptj
х
х
12 20
( * Л f г-j* ^
Pa K «0
TtK) H
+ 2 Z'
m=1
f * \ f r»*
Pa K R*
/“ -^m /“
f «0* ^
- ln
2ft
f
J_
vr
(28)
где y - постоянная Эйлера.
На рис. 1-3 показана рассчитанная с помощью уравнения (28) зависимость энергии связи квазистационарного D^''-состояния (—^CD )р =
= Й2 (il ) j2m R2 - Ex от координат D()-центра в радиальной плоскости и
в z-направлении (E^cd ). ,=\1 Й2и0/2m I2 - E^Vb2" - 4ac в КД на основе InSb.
Как видно из рис. 1, характер пространственной анизотропии энергии связи квазистационарных D()-состояний в КД отличается от случая КТ в форме эллипсоида вращения [2]. Это связано с наличием геометрического конфайнмента в радиальном направлении КД, что приводит к слабой зависимости энергии связи в данном направлении от характерного размера КД в z-направлении (см. кривые на рис. 3)
(в радиальном направлении) при и0 = 0,7 эВ, Я0 = 70 нм, для различных значений Ь: 1 - Ь = 35 нм, 2 - Ь = 70 нм
1,5 Ра
Рис. 2 Координатная зависимость энергии связи _0(-)-состояния в КД (в радиальном направлении) при и0 = 0,7 эВ, Ь = 70 нм, для различных значений Я0: 1 - Я0 = 140 нм, 2 - Я0 = 70 нм
Рис. 3 Координатная зависимость энергии связи _0(-)-состояния в КД (в г-направлении) при и0 = 0,7 эВ, Я0 = 70 нм, для различных значений Ь: 1 - Ь0 = 70 нм, 2 - Ь0 = 35 нм
2 Коэффициент двухфотонного примесного поглощения в квазинульмерной структуре с дискообразными квантовыми точками (продольная по отношению к оси квантового диска поляризация света)
Рассмотрим двухфотонное (ДФ) примесное поглощение в квазинульмерной структуре с КД в случае продольной по отношению к оси КД поляризации света. Пусть ^(-)-центр локализован в точке Яа =(0, 0, 0). Уровень
энергии связанного ^(-)-состояния Ех> 0 расположен между дном КД и уровнем энергии ее основного состояния. В этом случае волновая функция
Т(С°^(р,ф,z;0) электрона, локализованного на короткодействующем потенциале В( ) -центра (волновая функция начального состояния), имеет вид
^(, Ф, * ) =
^2 ^
Сн—Ь-1 у ехр (-( + р) )( е-4^ 2л/2 0
ехр
г*2р|і + е
■4рг
2 (і- е-^)
х
х
(
К0
£' 0 4І
К
КО
Я 0 Л
Сн -
"к2 )-*/ )]
л(4р)3 к-і г((рк г
(29)
где
/к - -Л2 + Р + (к()/Я0*) /4Р; фк - -Л2 + Р + (ко/^о) /4Р+ V2;
¥(х) - логарифмическая производная гамма-функции.
Волновая функция конечного состояния берется в виде (3). Эффектив-
„ „ Н (я) „
ный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны в случае
продольной по отношению к направлению вертикальной оси КД поляризации еХз света имеет вид
Н ($ - -іКк
о
2 * 2лй а
*2 т ю
(30)
Матричный элемент М^, определяющий величину силы осциллятора дипольных оптических переходов электрона из основного ^-состояния Т(СО)(р, ф, г;0) в состояния V птк (р, Ф, г) дискретного спектра КД, имеет вид 130
о
i
H
int
Vn',m',k/\Vn',m',k'
H
int
)
/ / j /
n ,m ,k
EX + En',m' ,k2
(31)
где ^и| т п'2 и Еп1 т п - волновая функция и энергия промежуточного (виртуального) состояния соответственно.
Выражение для матричных элементов, соответствующих однофотонным переходам из основного состояния ^-центра в виртуальные состояния КД, можно представить в виде
Ж n',m' ,k2
H
int
>'=
=eA
Ю
P(2n1 + 3/2) +
(b v bk' 0 *
V R J
CHC2n1+1,0,k’ x
R*2 (2n1 +1)!+f dt
+^>
x
a П1!
"-( +p)t ^ (1 - e-4pt)-2
[ \ / _ \ /
p( + e-4^)
2a1 2 (1 - e
-4Pt\
Pa*2 (1 + e-4pt) 2 2 (1 - e-4pt)
4-1
1
— +
-1
fb2 ,V bk'0 1
(32)
vt
R02 t
где произведение нормировочных множителеи имеет вид
снс 1
HC2n1+1,0,k
A/22n1+1 (2ní + 1)!*3/2aR2J (tk'0)
x
,-1/2
(33)
где fí - -Л2 + P + ('0/R ) /(4P); Ф/' - -Л2 + P + ('0/R ) /(4P) + 1/2 •
V / V
В ходе вычислении были получены следующие правила отбора для квантовых чисел соответствующих виртуальным состояниям:
m - 0;n - 2n[ + 1, где n[ - 0,1,2... (34)
Тогда волновая функция и энергетический спектр виртуальных состоянии примут вид
1
(2щ + 1)!rc3/2aR2 J^'0)
2a H2n1| -I J0
b P bk' 0 —
\
R)
z
2т*Д0
(35)
С учетом (35) матричный элемент, определяющий величину силы осциллятора дипольных оптических переходов электрона из виртуальных состояний V п о £' (р, Ф,г) в конечные состояния V птк (р, Ф, г) дискретного спектра КД, запишется в виде
Ы п,т,к
Н
ы
¥ п ,о,к)- г'^о-
(
- Еп о к ) X
^п,т,к пп1,0,к
х(у*п,т,£ (Ф,г)|(<^,Г Ъп[,0,к' (P,Ф,г) . (36)
Учитывая выражения для волновых функций виртуального и конечного состояний, выражение (36) можно записать как
Ы' - /10,
12яа*/0
ю
р1 п + ~2 I+
(г V
Ь кт * *0
-Р12п1 + -
(Ь і Ьк '0 * *0
X
^я3^2^(Ьт)^2п1+1 (2п' + 1, )!я3/2аД02^і(Ьк'0)
+гс 2 л ^0
X
(
\
| | | рd рd ^гге а Нп ( -I Jт ^кт-^-
-гс 0 0 (а 1 ( ^0
Расчет матричных элементов (уптк
ет н2пі+і іаі ^
Ьк' 0 £-^0
. (37)
Н
Vп' 0 к' / приводит к инте-
гралу вида
2л
0, если т Ф 0,
2л, если т - 0,
(38)
вычисление которого позволяет получить правила отбора для магнитного квантового числа т. В соответствии с этим ДФ оптические переходы с примесного уровня возможны только в квазидискретные состояния КД со значением магнитного квантового числа т = 0. Тогда
г ехр
Н"і! IН2-1+1 (а
0, прип Ф 2п,, п, Ф п, -1, п, -1,2,3...
/ і \п, + п +1 ^ 2п, +2п, +1 2 і р ( 3 . ^ | ^ і
(-1) 1 1 2 1 1 ап^ГI — + п1 і, прип - 2п1, п1 - п1 -1.
2
г
При вычислении интеграла в (39) использовались выражения, связывающие полиномы Эрмита с полиномами Лагерра [1]:
Н 2п (х )-(-1)п 22пп! Ь~п2 (х2), Н2п+1 (х )-(-1)п 22п+1 п! Ц (х2), (40)
и интеграл вида
| е-хха 1% (х)цт (х)dx -
0
0,т Ф п,Яеа > -1,
Г(а + п +1)
т - п, Яе а > 0.
(41)
п!
В результате получим следующие правила отбора для квантового числа п:
ДФ переходы из основного состояния 0( ) -центра происходят только в состояния КД с четными значениями квантового числа п .
Интеграл по р позволяет получить правила отбора для квантового числа к :
*0
( 1 ( [ Pd PJ0 Ьк 0"^ •0 ’’ *0
\
Я0
0, если к Ф к' ,
і 1 Я02 а2л ^ (Ьк' 0), если к - к'. (42)
Принимая во внимание (37)-(42), приходим к окончательному выраже-
нию для матричных элементов ( упт к
Н
¥п',0,к' / :
¥п,т,к
Н
ІЙ
1ПІ
¥ п' ,0,к' -
- .. 2яа*?0 Е
-1^0\-----------Еа
V ю
р1 п + - I +
2
Ь кт * *0
-Р |2и1 + 3 і -
(Ь 1 Ьк' 0 * *0
2 1
X
72пп!я3/2аДо2^+1^ ^22п1+1 ( + 11 )!я3/2ар2^о) х2я(-1)п +п1 +122п1 +2п1+1 а2п !Г^| + п^2Р*2а2,^ (^'о )8т,о§п1,п1 -А',* , (43)
где 8тп - символ Кронекера.
После подстановки (33) и (43) в (32) и последующего суммирования по виртуальным состояниям, получим
27/2л1/4л 2 *т Ъа2 2п^л/п1Г[ п1 + —
ЫО - 2 л ^0а т0йа^ р7/2 I 2
Р(2п1 -1) +
(Ьк0 У ^0,
+ л
1
1
-1/2
х
,3/2
exp
-(-л2 +ß) (
1 - e-4ßt (-2
1
х
х
ß
1 + e
-4ßt
(
Ro
-4ßt \
*2 t
(l + e-4ßt) 2ß(l
0 -1
1
2 2ß( 1 - e-4ßt
V \ / У
-1
(44)
Коэффициент ДФ примесного поглощения Кср (2ю) света продольной по отношению к оси КД поляризации ех 5 с учетом дисперсии размеров КТ можно определить как
4^(2ю( = 2N1 ZZ JduP(u(MCD ~ (o,k - E -2(, (45)
0 «1 k o
где No - концентрация КД в диэлектрической матрице; P(и( - функция
Лифшица-Слезова [3], описывающая дисперсию характерных размеров КД.
В боровских единицах 8 -функция в (45) запишется как
S(,0,k -EX - 2йю) = (8 и2 (-Л2 -2X(ß| 2« + 1 |и +
(46)
* —И« —* —
где Р = д/ ио / Ь ; Ро = Р0 / аа .
Для выполнения интегрирования в (45) необходимо найти корни и^ о п аргумента 8 -функции, удовлетворяющие закону сохранения энергии:
uk ,o,n1 -■
ß21 2«1 + 2 | - 4
2
Ro
(-Л2 -2X
2 (2 X + л2
Далее, используя известное свойство 8 -функции [1]
8(x - xi (
8((x ((-Z
d ф
dx
(47)
(48)
получим выражение для коэффициента ДФ примесного поглощения
Hs) 1 "CD'
134
KcD (2ю( в случае продольной по отношению к оси КД поляризации света:
И-к>^2 22
-У2 "і-іі-і (2"' 1)! “¡¡.о,,,-7'2 (5ко)
-X
“к ,0,П'
(2"' -') +
X-
—*
ч “к,0,И' К у
У 2 ^
^к о —* - 2 -
^ “к,о,щ Ко у
-X
“к ,о
"1
X-
Р21 2"1 + 2 | - 4
' 1ко_У —*
К*
1/2
( - 2 X
X
+^>
,3/2
ехр
^ 2 Р ^
-Л2 +—-—
“к .о,«,
(
-4—^—г
1 - е “кА"!
-
X
X
( -4г ^ V 2
1 + е “к ,о,"1
2“
к ,о,и.
2“
к .о.",
( л Р ^
-4—-—г 1 - е “к,о,"1
X
/у
X-
& 1
“2 о " ^о*2 г
“к .о,"
1
2+ ^
( -4—^—г
1 + е “к •о-”і
2Р
-4^- г ^
1 _ е “кЯ"
/ У
-1 " "і —1 2
-1 V 4 ю
где
Ко - 28я3/2^а*2^/о/^
1
1
3
( 2 ^
7/ = _Л2 + Р/ик,0,п1 + (/ик,0,п1Я ) /(4(ик,0,п1 ) ;
Ф/ =
2 ^
-Л2 + Р/ик,0,п +(/ик,0,п1 Я ) /(4Р/ик,0,п ) + 1/2;
( 2 ^ /
^1 = [С ] - целая часть числа Сі = 3 2Х + л2 -(2^10/3^0 ) /4Р_ 1/4; К -
V У/
целая часть решения трансцендентного уравнения
(^0 )2 = 9Я02 (2X + Л2 ) - 3РД02 (2п
71 + 2 У2'
Зависимость края полосы ДФ примесного поглощения Х{ от параметров КД и примесного центра имеет следующий вид (в боровских единицах):
9^0^
(50)
На рис. 4, 5 представлены спектральные зависимости коэффициента ДФ примесного поглощения в случае продольной по отношению к оси КД поляризации света, рассчитанные по формуле (49). Можно видеть, что учет дисперсии характерных размеров КД приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента ДФ примесного поглощения. Наличие квантового размерного эффекта проявляется в сдвиге края полосы поглощения с изменением характерных размеров КД.
К<ЇІ (2т), см-1
Ьш, эВ
Рис. 4 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения в квазинульмерной структуре с КД для случая продольной по отношению к оси КД поляризации света при и 0 = 0,7 эВ, Ь = 20 нм, для различных значений радиуса КД Я : 1 - Я = 70 нм; 2 - Я = 140 нм
К(СІ (2ю), см'1
Ью, эВ
Рис. 5 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения в квазинульмерной структуре с КД для случая продольной по отношению к оси КД поляризации света при и0 = 0,7 эВ, Я = 70 нм для различных значений высоты КД Ь : 1 - Ь = 70 нм; 2 - Ь = 20 нм
3 Коэффициент двухфотонного примесного поглощения (поперечная по отношению к оси квантового диска поляризация света)
Рассмотрим поглощение света при ДФ ионизации 0( ) -центров в дискообразных КТ для случая поперечной по отношению к оси КД поляризации
света. Поглощение света при ДФ ионизации Б(_)-центров рассматривается
для случая, когда примесный атом расположен в центре КД Яа (0,0,0).
Волновая функция ¥^^(р,ф,г;0) электрона, локализованного на короткодействующем потенциале 0( ^-центра (волновая функция начального состояния) для случая, когда уровень энергии связанного состояния расположен ниже дна квантовой ямы (< 0), определяется как
ТА(р, ф, г;0) =
где
Сн =
X ГФ4 [ ^(фк )-*(л)]
І.к -
-Л2 + Р +
я(4Р)3 к-1 Г(фк)
2 \ / (
І4Р; Фк - -Л2 + Р +
(^к0 ^ *0*
V
(^к0 4 *0*
2 \
Ар+ 1/2.
Волновая функция и энергетический спектр конечного состояния при ДФ оптических переходах с примесного уровня в размерно-квантованные состояния КД определяются выражениями (3) и (4)
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой
волны, характеризуемой волновым вектором и единичным вектором поперечной по отношению к оси КД поляризации , имеет вид
)-.
/0Єхр (ід/)(еХі).
(52)
Матричный элемент ДФ оптических переходов определяется выражением вида
Н
¥ п' ,т',к' / п' ,т',к'
Н
ж(°)
/ / ; /
п ,т ,к
Выражение для матричного элемента | (уп т к' представить как
Е\ + Еп ,т' к2 Пю
Н
(І)
т1
™(°)
(53)
можно
¥п ',т' ,к'
Н
2 2яй2а*
- гпк0а^л *2 ^01
V т ю
Сн^202(22п1 (2п1 )!^3/2^(к)2 х
+е5 (2п1)! г ЛіЩ1 К І)
5т,,±1 (пі)! I Л
(2а*2 )-1 + Щ (Р,І)
і + а*2 Щ (Р, І )| -1
п1
х
-1/2
х
х
(г \2 ^-1
^к '1
^к' 1^ * *0
+ ^к'1^2 (£к'1 )К1
( * \
(
+ Кп
*0
-1
*0
х
х^к'1 З0 (к'1 )71
Ґ * Л (
л/7
Ґ * Л2 (\ Л
-(^ 1 )2
(54)
При вычислении (54) получены следующие правила отбора для виртуальных квантовых чисел:
| т -±1; п -2п1, п1 -0,1,2,...
(55)
С учетом (54) волновая функция и энергетический спектр промежуточного (виртуального) состояния примут вид
^п1+1,к' (р,ф,г) =
^22п1 (2п1 )1я3/2аД02Зт+1(^к '1)
Є 2а2 Н2п1 1£ I Зт
(
\
,±іФ •
п' + 1 \ + п2 (к 1 )2
Еп,т,к Пю01 2п1 + 0 | +" * 2 '
2 I 2т Щ
(56)
(57)
(7)
т!
V п',т' ,к'
В дипольном приближении матричные элементы ^уп т к
определяющие оптические переходы электрона из виртуальных уп' т' к' (р, ф, г) в конечные состояния уптк (р, ф, г) квазидискретного спектра КД можно представить в виде
М п,т,к Ніп; ¥2п1,±1,к'^ іХ0у (Еп,т,к Е2п1,±1,к')
^¥*п,т,к (P,Ф, 2) (, г )| V2п1 ,±1,к' (P,Ф,2) .
X
(58)
С учетом волновых функций промежуточного и конечного состояний выражение (58) примет вид
М' - іЯ0,
(2яа* 10
ю
2
*кт
*
*0
-р| 2п1 + -
(* \ *к' 1 * *0
2 \
X
X
Т2^^7^Зт+1(1кт )^22п1 (2п1 )!л3/2а*02Зт'+1(1к'1)
X
+г 2л *0 ( \ (
рЛр^ф^ а2 Нп ( £ I Зт ркт-р-
-г 0 0 1 а 1 1 *0 -
2
,±г-ф
(59)
где Ф - полярный угол единичного вектора поперечной поляризации ёх { в
цилиндрической системе координат.
При вычислении в (59) следующего интеграла:
2л
| Лф008(ф-#)ехр(-ітф)ехр(іт'ф)
л(5„,0 + Л
*((,0 + Є-і»5
т,-2 Ь
т,2
при т' - -1, при т' -1,
(60)
получаем правила отбора для магнитного квантового числа т . Оставшиеся в (59) интегралы имеют вид
+г ( 2 \
ехр
-г V ^ У
Н2п11£1 Н ' 2
Г0, прип Ф 2п1,п1 Ф щ,щ - 0,1, 2... а1 |а22п1 (2п1 )!л/я, прип - 2п1, п1 - п1,
Л (
11 - | р2Зт (кт З1 (к'1
0 V ¡0 У V ¡0,
Л р.
(61)
(62)
Интеграл в (62) можно вычислить, воспользовавшись известным соотношением [1]:
Рх2„ (ах)йр-1 (Рх) - ах2р-1 (ах)йр (Рх)
а2 -Р2
где 2р (ах) и йр ((Зх) - произвольные цилиндрические функции.
С учетом последнего выражения и замены х ^р /Я0 интеграл в (62) - при т = 0:
\3
І1 =
/ *\3 1 2 -2(¡0 ) )к0(к' 1З1 ((к0 )З0 ((к'1 )
(¡0) |х З0((к0х) (к'1х)Лх=—-------------- ----------------------------2-; (63)
при т = ±2:
1
71 -((0 ) ) х2 З0 (к 2 х )З1 (к'1х )Лх -
0
2 ( аЛ ¡0 ) )к'131 ( (к2 ) З0 ( (к'1) (■2(22 - (2'1
В результате для (62) будем иметь \3
-2
( о-^2']
!(^0 ) )к'1 У1 ((=к2 )У0 (Ік'1 )(2її2 - ї2']
при га = 0,
(65)
при т = ±2.
^к 2 (2 - ^к' 11 С учетом (60)-(62) выражение (59) перепишется в виде
((!)
М' = іА0
2яа* 1
((г Л2 (г Л2 )
Ю
0 Еа 82иі,и
1кт
*
«0
Ік' і * «0
Ут+1 (1кт ) Уга'+1 (1к'1 )
-X
X-
^1 (е ^,0 + е^т,-2 ) пРи= -1, ^1 (^,0 + е~іЬ8т,2 ), пРит' = 1.
(66)
Квадрат модуля матричного элемента рассматриваемых ДФ оптических переходов с учетом выражений (54), (66) и суммирования по промежуточным состояниям примет вид
>-1/2
М
(ґ) СБ
2 08„.3/2 4*2т,4 *2т2
2 п аа % Л0 а /0 0*2Р4
=--------------2---------«0 Р
X 2
)-ч/і)]| х
х I
Жр1 (л, ґ )
X
X
-1/2
(
1
- + ґ
їк
2 )
V «0 ,,
X
X
Ік' 1^ * «0
+ 1к' 1У2 (1к '1 )К1
ґ * \ (я*Л
л/ґ
1к '1У0 (1к '1 )/1 («0Л К0 ( «0* |
I í «0* | /0 I ( и* )2 М ^ >2 V I
X
Л2 + Р | 2«1 + 2 | +
1к '1 * «0
- X
х
-2г'0
\к'1 ¿1 (к2 ) ¿0 (^к'1 )(22 _ ^2'1)
т,2
^к2¿3 ((=к2 )¿2 ((=к'1 )(22 _ ^2'1
^к 0^к '1
(20 _^2'1
^к 0 * *0
^к '1 * ^0
1 _ '10 (£к'1) ¿0 (^к'1 ) J2 (^к'1)
ё2г0^к'1 (2( _^2'1) ( Р ^2 (Р ^2 Ьк2 Ьк'1 * * ( *0 1 Е0 1 8т,_2
^к 2 ¿0 (£к'1 )(2 2 _^2'1 )
(67)
Выражение для коэффициента поглощения КсВ (2ю) света поперечной по отношению к оси КД поляризации ё^г в структуре с КД можно записать в виде
3
22
М,
>)
СВ
2
КСВ М = ^ I ЦйиР(и)
0 «1,к т=_2 0 В боровских единицах 8 -функция запишется как
8(Еп,т,к _ ЕХ_ (68)
(
8(Еп,т,к ЕХ 2ЙЮ) -
1кт " ---*
*0
(69)
* —И< —* —
где Р = д/ и0 / Ь ; ^0 = Щ/ аа •
Для выполнения интегрирования в (68) необходимо найти корни ик тп аргумента 8 -функции, удовлетворяющие закону сохранения энергии:
Р (2п1+ 2 I+'
ик,
Р2 ( 2п1 + 1 | _ 4
*0
т,щ
2 (2 X + л2
(70)
Далее, используя известное свойство 8 -функции, получим выражение для коэффициента ДФ примесного поглощения кСВ (2ю) в случае поперечной по отношению к оси КД поляризации света:
+
Ксо(2“) =
К0 о*2р4
X2
N К 2
Яо2Р4 XXX 8т.0+2Р(ик,т,щ )
»-¡=0 к =1 т=-2
К
XIX Ш
-1/2
X
<1
<я№| (л, і )
Л
1
— + 2
ик ,т»і
V Р У
Р
ик ,т,п
ик.
,т»і
V Р У
V2 г
+
V ик ,т»і у
, і
УУ -1/2
-1
X
X
^к '1
ч2 N
-1
ик .т.» *0
^к' 1^ —*
ик .т.» *0
+ ^к'1^2 (^к'1 )К1
ик .т.щ *0
^/Г~
* V
г _* N
„ ик ,т,И[ *0 К0 ------------р------
V/
^ —* N
ик ,т,«1 *0
^к'^0 (^к' 1 )^1
Г Ё>* N
ик ,т,п1 *0
X-
Г н* N2
ик ,т,»1 *0
~^Г~
-(^ 1 )2
-л2+—-— Г2»1 + -21+
ик,т,п V 2
^к '1
ик ,т,»1 *0
>2 N - X
-1
X
-2/0
^к'1 •А ((=к2 )^0 (^к'1)((2 - ^2'1
XI
1к 2
ик,т,п1 *0 у
£к' 1
ик ,т,п1 *0
т,2
^к2^ (^к2 ) ^2 (^к'1 )(22 - ^2'1 )
^к 0^к '1
Г ^к0 ' 2 Г ^ ' 2 “ 1 •]0 ((к' 1 )
—* ч ик,т,п *0 у —* ч ик,т,п1 *0 у ч4) (^к'1 ) J2 (^к'1 )у
(>- ^'1)
^2,05к' 1 (-&18
8т,0 +
^к24) (^к' 1 )(22 -^2'1)
2
ик ,т,п1 *0
^к '1
ик ,т,п1 *0
х
Р2 I 2п, + - I + 4
(У
(л2 + 2 х)
(71)
где
К = 29я5/2а4й^а*21оЩ/ЕЛ ;
У/ = ( л Р/ик,ш,п- "^ (/ о/ик,ш,п- «0 ) )|(4( Р/ик ,ш,п- |
ф/ = | л Р/ик,ш,п- ^{^/0 / ик,т,п- «0 ) (( Р/ик,ш,п- )| 1/2 ;
N = [С- ] - целая часть значения выражения
(
С, = 3
2X -л2 -
(2(М*) |4Р-1/4;
К и К - целые части решений трансцендентных уравнений
(к'1 I = 9«о'2 (X - Л214 - 3Р«о’2 ("2п- + 2
и
(Ъкт )2 = 9«02 ( - л2| - 3Р«Ъ2 (2п- + 2
21 /2
соответственно.
Зависимость края полосы ДФ примесного поглощения Х{ от параметров КД и примесного центра имеет следующий вид (в боровских единицах):
х=-л1Д
' 2 9«02 3
(72)
На рис. 6, 7 представлена спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения в случае поперечной по отношению к оси КД поляризации света. Можно видеть, что с увеличением характерных размеров КД край полосы ДФ примесного поглощения смещается в длинноволновую область спектра и соответственно растет величина ДФ поглощения, что связано с квантовым размерным эффектом.
Как видно из рис. 8, в квазинульмерной структуре с дискообразными КТ имеет место дихроизм ДФ примесного поглощения, связанный с изменением правил отбора для магнитного квантового числа в радиальном направлении КД. Эффект геометрической формы КТ проявляется в различном характере зависимости края полосы примесного поглощения от характерного размера КТ в радиальном направлении.
2
1
кССЬ (2ю), см"1
Ью, эВ
Рис. 6 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения в квазинульмерной структуре с КД для случая поперечной по отношению к оси КД поляризации света при и о = 0,7 эВ, Ь = 20 нм для различных значений высоты КД Я : 1 - Я = 70 нм; 2 - Я = 140 нм
к£>в (2ю), см"1
Ью, эВ
Рис. 7 Спектральная зависимость коэффициента ДФ примесного поглощения в квазинульмерной структуре с КД для случая поперечной по отношению к оси КД поляризации света при и 0 = 0,7 эВ, Я = 70 нм
для различных значений высоты КД Ь : 1 - Ь = 20 нм; 2 - Ь = 70 нм
К(2ш),см 1
Ьш •10-4,эВ
Рис. 8 Спектральная зависимость коэффициента поглощения при двухфотонной ионизации _0()-центров в структурах с квантовыми дисками в случае продольной (1) и поперечной (2) к оси диска поляризации света при и о = 0,7 эВ, Ь = 20 нм, Ко = 70 нм
Таким образом, в рамках модели потенциала нулевого радиуса получено аналитическое решение задачи о квазистационарных ^(-)-состояниях в квантовом диске. Показано, что характер пространственной анизотропии энергии связи ^(-)-состояний в КД отличается от случая КТ в форме эллипсоида вращения. Это отличие проявляется в слабой зависимости энергии связи ^(-)-состояния в радиальном направлении от характерного размера КД в ^-направлении и связано с наличием геометрического конфайнмента КД. Теоретически исследован дихроизм ДФ примесного поглощения в квазинуль-мерной структуре с дискообразными КТ. Рассчитаны коэффициенты поглощения при ДФ оптических переходах из квазистационарных ^(-)-состояний в размерно-квантованные состояния КД для случаев продольной и поперечной по отношению к оси КД поляризации света с учетом дисперсии характерных размеров КД. Показано, что, как и в случае квазинульмерных структур с КТ в форме эллипсоида вращения, дихроизм ДФ примесного поглощения связан с изменением правил отбора для магнитного квантового числа в радиальном направлении, а учет дисперсии характерных размеров КД приводит к размытию линий в спектральной зависимости коэффициента ДФ примесного поглощения. Найдено, что отличительной особенностью ДФ примесного поглощения в структурах с дискообразными КТ является более сильная зависимость края полосы ДФ примесного поглощения от радиального размера КД.
Список литературы
1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. бейтмен, А. Эрдейн. - М. : Наука, 1973. - Ч. 1, 2.
2. Кревчик В. Д., Яшин С. В., Кудряшов Е. И. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. -№ 1 (5). - С. 93.
3. Лифшиц И. М., Слезов В. В. //ЖЭТФ. - 1958. - Т. 35. - № 1 (8). - С. 479.
