CC BY
50
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, С. Е. Игошина, В. В. Евстифеев, А. В. Разумов
ОСОБЕННОСТИ КВАНТОВО-РАЗМЕРНОГО ЭФФЕКТА ШТАРКА В СПЕКТРАХ ПРИМЕСНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ КВАЗИНУЛЬМЕРНЫХ СТРУКТУР
В рамках модели потенциала нулевого радиуса проведен расчет коэффициента примесного электрооптического поглощения в квазинульмерной структуре с учетом дисперсии радиуса квантовых точек для случая произвольного направления вектора поляризации световой волны по отношению к направлению электрического поля. Показано, что квантово-размерный эффект Штарка проявляется в спектре поглощения квазинульмерной структуры в красном смещении энергии оптических переходов и в дихроизме примесного поглощения света, связанного с изменением правил отбора для осцилляторных квантовых чисел в у- и г-направлениях квантовой точки.
Введение
Электрооптика квазинульмерных структур вызывает повышенный интерес исследователей. Так, недавно появились работы по исследованию вида спектров фотолюминесценции и фототока самоорганизованных квантовых точек ¡иОсАз/ОсАз, выращенных на подложках с высоким индексом Миллера, в зависимости от величины электрического поля [1-3]. В данных работах экспериментально было обнаружено индуцированное встроенным электрическим полем красное смещение оптических переходов, что интерпретировалось как квантово-размерный эффект Штарка [4]. Наличие примесных центров в квази-нульмерных структурах стимулирует интерес к проблеме управляемой модуляции энергии связи примесных состояний [5] и, соответственно, управления примесным электрооптическим поглощением в системах с квантовыми точками (КТ). Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании анизотропии координатной зависимости энергии связи Б {_) -состояния в КТ, а также особенностей проявления квантово-размерного эффекта Штарка в спектре примесного поглощения квазинульмерной структуры.
1. Анизотропия координатной зависимости энергии связи
Б{_) -состояния в квантовой точке во внешнем однородном электрическом поле
Рассматривается полупроводниковая сферическая КТ радиусом с Б{_)-центром, расположенном в точке Я = (ха, уа, га), во внешнем однородном электрическом поле Е = {е, 0, 0). Для описания электронных состояний в КТ используется параболический потенциал конфайнмента:
* 2^ 2 2 2 ^
V{, у, г)= т Ю2 {х + у + г ), (1)
где т* - эффективная масса электрона; Юо - характерная частота удерживающего потенциала КТ.
Потенциал ^ ' -центра моделируется потенциалом нулевого радиуса.
п\ пг пъ и соответствующие собственные функции
Собственные значения Е,
Vщ п2 щ (х, У, г) гамильтониана рассматриваемой задачи имеют вид
Е
пЪ п2> п3
— ЙЮд (пі + п2 + пз + 3/2)-
2 772
Є Е
~ * 2 ’ 2т ю0
(п1 + п2 + пз )
Щ, п2, п3 (х у, г) — 2 2
(х - Х0 )2 + у2 + г2
¥ х ехр
•(х/п2!п3|) 12 -л 34 • а 32 х
Н
пі
х - Хо а
•Н
п2
у
•Н
п3
(2)
(3)
где а = у!й/(*Юо); хд = |^|е/(т*ю2); п^, п2, пз - осцилляторные квантовые числа; Нп (х) - полиномы Эрмита.
Задача определения волновых функций и энергии Е^ связанного
Б(_)-состояния состоит в построении одноэлектронной функции Грина y, z, ха, Уа , *а, Ех) для уравнения Шредингера с гамильтонианом рассматриваемой задачи с последующим использованием формулы Мелера для производящей функции полиномов Эрмита [6].
С учетом (2), (3) для функции О(х, у, г, ха, уа, га, Е^) после выделения расходящейся части можно записать
0( y, г, ха, Уа, га, ЕХ ) = -()“3/2 • Р“1/2 • • й^3 X
х
| й 7 ехр
23
Рч + 2-
Р32 аМЕ
а л
Е
х
х{(і-Є-2') • ехр
(ха - х0 )2 + у2 + + (х - х0 )2 + у 2 + г 2
2а2
х
X ехр
2(ха - х0 )(х- х0 )є ' - (.1^^ х) +(х хо) 1 27 1 Є
. а2 (і 27 1 Є 1
х
(4)
X ехр
2 УаУЄ- -(уа2 + у2 )е ”2'
а 2 х-
('Г
• ехр
2гагє~' -Ц + г2)е~2'
а 2 х-
х7)
-'-32•
ехр
(х - Ха )2 +(у - уа )2 + ( - га ) 2а 2'
• + 2д/ лр
х
ехр [-V РЛ2 + 3/2- (йНЕ/Е2) /Р а/ (х“ха )2 +(у-уа )2 + ( - га )2 /а2
і (х~ха )2 + (у-уа )2 + ( - га )2 /аІ
а
'
0
х
где Ей, ай - эффективная боровская энергия и радиус, соответственно;
л — VЫ/Ей; р — До/(Чи01; я0— 2Ко/ай; и0— ио/Ей;ио - амплитуда
потенциала конфайнмента КТ.
Общая форма дисперсионного уравнения в модели потенциала нулевого радиуса имеет следующий вид:
ь.2
а — )(x, У, ^, ха , уа, га , ЕХ ) ,
(5)
т
где а определяется энергией связи Б( ) -состояния в объемном полупроводнике; оператор Т определен как
Т — Иш
х^ ха
уа
1 + (х - ха ^ + (у - уа ^ +(г - га ))^ ох оу ог
(6)
Для рассматриваемой задачи Б -состояния в КТ при наличии внешнего однородного электрического поля дисперсионное уравнение (5) с учетом (4) примет вид
|Ех| + -у (3_хо/а2) —-^'4Л • \й'ехр -(1Е^1 + х°/а2))Єо7
х
х \' “3/2 -(- є _2ї)
32
• ехр
/ \2 2 2
\ха - хо ) + уа + га }_
а2 2
(7)
где £ о _ Ео,о,о.
При этом волновая функция Б(_) -состояния в КТ во внешнем электрическом поле, отличающаяся от одноэлектронной функции Грина (4) только постоянным множителем, может быть представлена в виде
хо Iх - хо)
^(х, у, г,о,о,о) — С • є а
Г
Р
Е
(<20)
2 Ей
г 2 + 2 + 2 ^ 34 х + у + г
~2
а
х W
Ґ 2 2 2 Л
х2 + у2 + г2
(8)
і 3 1.
!+—,--------V
где Wv ц(х) - функция Уиттекера [6]; Е(2°) — Єо + |Е^| - энергия связи
0(-)-состояния, отсчитываемая от энергии основного состояния КТ; С -нормировочный множитель:
С — (2Р)14 -л- 12а-3/2є2а2 х
(9)
2
а
х
X
г[ Р е(20) /(2Е* )
г[ Р Е(2°) /(2Ей)-12 ]
X
(9)
X
Е
ш
оЕА)) -Т[ Р
Е
(20)
- 1/2
где V (х) - логарифмическая производная гамма-функции Г(х) [6].
На рисунке 1 представлена рассчитанная с помощью уравнения (7) ко-
?(ОР)
ординатная зависимость энергии связи О ' -состояния
в ТиБЪ КТ.
Как видно из рисунка 1, в КТ имеет место анизотропия координатной зависимости энергии связи Б(_) -состояния, связанная со смещением центра тяжести электронного облака вдоль оси х (ср. кривые 1 и 2). Следует отметить, эффект электронной поляризации может быть использован для управления туннельным транспортом в квантовой молекуле. Приложенное электрическое
поле может вызвать передислокацию волновой функции Б(_) -состояния из КТ, легированной донором, в нелегированную КТ в квантовой молекуле. В результате нарушится связь электрона с примесным атомом, энергия ионизации примеси уменьшится, и электрон совершит переход с Б( _) -центра в размерно-квантованное состояние зоны проводимости КТ, образуя своеобразный проводящий канал так называемого квантового полевого транзистора.
)(-)-с
)(-)-ц
Рис. 1 Зависимость энергии связи О' '-состояния от координат О ’ -центра в ^-направлении (кривая 1) и в х-направлении (кривая 2) в КТ на основе 1пБЪ при Е = 25 кВ/см, и о = 0,15 эВ, = 56 нм (Яо - радиус КТ)
2. Дихроизм примесного электрооптического поглощения в квазинульмерной структуре
Рассмотрим примесное электрооптическое поглощение в квазинульмерной структуре, представляющее собой диэлектрическую матрицу с синтезированными в ней квантовыми точками. Внешнее электрическое поле направлено перпендикулярно вертикальной оси КТ (вдоль оси х), а примесный атом расположен в центре каждой КТ рассматриваемой системы. Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны имеет вид
н int= —i hK
0
S *2 V/2
a Io
*2 m ю
• (4^ р),
(10)
где Xо - коэффициент локального поля; а* = \в\2/(4леол/ёйс) - постоянная тонкой структуры с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости е ; с - скорость света в вакууме; /о - интенсивность света; ю - его частота; в\ = (cos а, cos 8, cos у) - вектор поляризации световой волны; cos а, cos 8, cos у - направляющие косинусы вектора вх •
Матричный элемент дипольного оптического перехода электрона из
D( _) -состояния в размерно-квантованные состояния КТ при наличии внешнего электрического поля имеет вид
Mf ,* = i K
0
2ла* -
ю
(eu1,u2,n3 — Ek)< ^n1,n2,n3|(4r )YK
>.
(11)
-щ,П2,п3\
Подставляя в (11) выражения для Тп Пї п? и ^ (формулы (3) и (8)) для квадрата модуля матричного элемента, получим
*7
M f KI2 = 2_3/2л-12К0 P-V2 • Ejc2a5d • 2-n1 • n1!e 2a2 x
I J ’ I m
(— 1)m 2П1 - m n1 — 2m
3x2
Ю
x
2
У l— 1 • 2 * • Y rk •( 1)П1 —2m—k
h m!(n1—2m)! ¿0 n1—2m
rp\ eQd)
Erl
+ n1 + n2 + Пз
x
x
"k+Г 2
2n2+Пз •( n2!) 12 •( пз!) 12 cos а-Г — + 1ІГ — +1І (k +1)! x (12)
V 2 /V 2 )
x
-2 p
ґ чщ — 2m—2 p+2
p =0
( k +1 — 2 p ) p!
a)
k + 2 — p,
E
(QD)
x F
k + 2 — p,
pi e<Qd)
2Ed
x0
+ П2 + П3
x
2E,
+ П2 + П3 + k + 2 — p, —0 a
P
+
+ 2п2+П3 • (и2|)-12 • (п3!)“12 0088х
хГ
п2 + 1 ^гГ П3 + 1
"к"
2
-2 р / \п! - 2от - 2 р -1
Х0
Р='
0( к - 2 р)! р!
х
х В
к - р + 2, •
Р Я20)
2Я
■ + П2 + Пз - 1
к - р + 2, •
Р
£
х
Хо
+ П2 + П3 + к - р +1, —
(12)
+ 2П2+пз • (п2!)-12 • (п3!)-12 008у-гТ+ 1ігТ+ 1І • к!х
V 2 /V 2 /
"к"
2
х
-2 р
Р='
0(к - 2 р )! р!
/ Лп1 - 2™-2 Р
Хо І
V а /
• В
к - р + 2, •
Р
2Я
к - р + 2, —------------1 + п2 + пз + к - р + 2, —
2Еа а
■ + п2 + пз - 1
Х0
х
где Е(а,у, г) - вырожденная гипергеометрическая функция [6]; В(х, у) - бета-
функция; С« - биноминальные коэффициенты.
Процесс вычисления выявил следующие правила отбора для осцилля-торных квантовых чисел и2 и щ соответственно в у- и г-направлениях КТ: в случае продольной по отношению к внешнему электрическому полю поляризации световой волны, оптические переходы с примесного уровня в размерно-квантованные состояния возможны при четных значениях я2 и щ, а в случае поперечной - при нечетных значениях П2 и щ. Таким образом, в ква-
зинульмерной структуре с 0(_) -центрами квантово-размерный эффект Штарка проявляется в дихроизме примесного электрооптического поглощения. Коэффициент примесного электрооптического поглощения в квазинуль-мерной структуре определяется как
2 N N мг N 3/2 2
к(ш) = X Е Е 1 аиР(иМА 8(Ещм -йш), (13)
0 «1 =0 П2 =0 П3 =0 о
где N0 - концентрация КТ.
Предполагается, что дисперсия и размеров КТ возникает в процессе фазового распада пересыщенного твердого раствора и удовлетворительно описывается формулой Лифшица-Слезова [7]:
2
2
2
+
2
Р (и ) =
34 еи 2 ехр[-1/ (1 - 2и/ 3)]
25/3 (и + 3)7/3 (32 - и)11/3, и < V2 , 0, и > 3/2
(14)
где и = ^0/^0, ^0 - среднее значение радиуса КТ; е - основание натураль-
ного логарифма.
Для выполнения интегрирования в (13) необходимо найти корни аргумента 8 -функции Дирака и* . Несложные, но громоздкие вычисления дают
*
и =
?\Еас1 V Ed у
I
|е|Еа^ ^ V Еа у
|е|Еа^ ^ V ЕЛ у
3
(15)
(х-л2)
|е|Еа^ ^
V Ed у
1
е|Еа^
V ЕЛ у
е|Еа^
V ^ у
где р = Я*/ ( 4^ ); я0 = Rо|ad ; и * = и 0/^ ; X = йш/ Ed ; Л2 = |Е^ Принимая во внимание (13) и (15), для К (ш) получим
2
х0
Щ N2 N3 ~ * 2
К(ш)= К0 £ £ е 2р а- .р*
«1 =0 «2 = 0 «3 =0
г ' р* Е2о) Е1 | . г-1 ' р* Е(<2») Е1 | 1
2Ed 2Ed 2
V у V у
X
р*
(2Я)
2Е,
-Т
Е
2Ed 2
X 2-« • га11-
_рк!
р (х -л2)
- 3
г 'е\Е^Л
V Ed у
-X
(16)
о2 *2
ри
2
£
/ 1\от /-.ГС] -2т «1 2т
у 1 • 2__________ ■£ с^ (_ 1)«1 -2т-к
« - 2т ' '
0 т! (« - 2т)! к=0 «
2«2+«3 („2!)-12(«3!)-12
сов а • г|
X
«2
+1 г
«3
1| (к +1)! X
+
2
3
3
Р
+
4
2
3
Р
X
1
*
Р
1
X
X
+
“2 Р
у_______1
рГо (к +1 - 2Р)!Р!
/ чп, -2т-2 р+2
Х0
V а
• В
к + 2 - р,-
Р*
Я
(6°)
2Еа
+ п2 + пз
х
к + 2 - р,-
Р*
е,6° )
2Е^
+ п2 + пз + к + 2 - р, — а
хГ
+ 2п2+пз -(п2!)-12 -(пз!)-12оо88х
к 2
к' У
^п2 + 1V пз + 1
2
2 р п1 -2т-2 р-1
Х0
хВ
2
к - р + 2, Р
Р =0
(к - 2 р ) р!
х
Р*
Я
(60)
2Ел
+ п2 + пз - 1
(16)
х
к - р + 2,
Е,(й°)
2Е^
+ п2 + пз + к - р +1, — а
+ 2п2+пз • (п2!)-12 • (пз !)-12 008 у • Г
пз
+1 ІГ
п2
+1 І • к!х
х
к
2
у2
р=0
2-2р
(к - 2р)р!
^ чп,-2т-2 р
Х0
V а
• В
к - р + 2,-
Р*
Я
(60)
2Е^
к - р + 2,-
Р*
е16° )
2Е^
+ п2 + пз + к - р + 2, —0 а
+ п2 + пз - 1
Х0
х
где Р* = Ри*; е160) = Е(б°(и*); М, = [С,], N2 = [С2], Щ = [С2]
целые части
значении следующих выражении:
С, =
5 *^1- 4*
\е\Еаа л
V ЕЛ у
—з 27
Р - —; С2 = С1 - п1-
На рисунке 2 представлены спектральные зависимости коэффициентов примесного электрооптического поглощения в квазинульмерной структуре с ¡иБЬ КТ, соответственно для случаев е^| |Е (кривые 1 и 2) и ± Е (кривые
1' и 2'). Видно, что в электрическом поле имеет место красное смещение края полосы примесного поглощения, при этом сила осциллятора дипольного оптического перехода заметно возрастает (ср. кривые 1 и 2). Выявленные особенности проявления квантово-размерного эффекта Штарка могут составить
2
+
2
+
2
2
2
основу для разработки модуляторов интенсивности света на основе квази-
нульмерной структуры с -центрами во внешнем однородном электриче-
ском поле.
Йю, meV
0 100 200
Рис. 2 Спектральная зависимость коэффициента примесного электрооптического поглощения в квазинульмерной структуре с КТ на основе InSb для случаев 4| |Е (кривые 1 и 2) и e^ L Е (кривые 1' и 2') при U0 = 0,15 эВ, R0= 56 нм,
\Е,\= 10-3эВ: 1, 1' - Е =10 кВ/см, 2, 2' - Е = 8 кВ/см
Список литературы
1. Patane’ A., Levin A., Polimeny A. [et al.] // Appl. Phys. Lett. - 2000. - V. 77. -Р. 2979-3083.
2. Gurioli M., Sanguinetti S., Henini M. // Appl. Phys. Lett. - 2001.- V. 78. -Р. 931-938.
3. Lemaitre A., Ashmore A. D., Finley J. J. [et al.] // Phys. Rev. B. - 2001. -V. 63. - Р. 161309-161319 (R).
4. Соболев М. М., Устинов В. М., Жуков А. Е. [и др.] // ФТП. - 2002. -№ 9. - 36 т. - С. 1089-1096.
5. Кревчик В. Д., Грунин А. Б., Евстифеев В. В. // ФТП. - 2006. - № 6. -40 т. - С. 136-141.
6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, Эрдейн. - М. : Наука, 1973. - 1, 2 т.
7. Лифшиц И. М., Слезов В. В. // ЖЭТФ. - 1958. - 35 т. - № 2 (8). -С. 479-492.
