CC BY
44
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Левашов ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ПРИМЕСНОГО КОМПЛЕКСА A+ + e В СТРУКТУРАХ С КВАНТОВЫМИ ТОЧКАМИ
В рамках модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении исследовано влияние кулоновского взаимодействия на оптические свойства комплекса A+ + e в квантовой точке, описываемой моделью «жесткой стенки». Аналитически получено дисперсионное уравнение для дырки, локализованной на A0 -центре. Показано, что изменение квантового состояния электрона приводит к существенному росту энергии связи дырки. В рамках адиабатического приближения, с учетом дисперсии радиуса квантовых точек, получено аналитическое выражение для коэффициента примесного поглощения квазинульмерной структуры с комплексами A+ + e в случае перехода
дырки, локализованной на A0 -центре, в состояния дискретного спектра адиабатического потенциала электрона. Выявлено, что адиабатический потенциал электрона приводит к нетривиальной зависимости коэффициента примесного поглощения от среднего радиуса квантовой точки.
В настоящей работе рассмотрена ситуация, когда в процессе возбуждения фотолюминесценции светом накачки в квантовой точке (КТ) возможно образование комплекса A+ + e , представляющего собой дырку, локализованную на A0 -центре и взаимодействующую с электроном, локализованном в основном состоянии КТ. Действительно, согласно работе [1, 2], при использовании метода двойного селективного легирования, например в квантовых ямах, сохраняется
вероятность нахождения некоторого количества A0 -центров, с которыми могут эффективно взаимодействовать неравновесные электроны и дырки с образованием комплексов A+ + e . Учет кулоновского взаимодействия между дыркой, локализованной на A0 -центре, и электроном ведется в рамках адиабатического приближения.
Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании влияния кулоновского взаимодействия на энергию связи дырки в комплексе
A+ + e и оптического поглощения квазинульмерных структур.
1. Энергетический спектр комплекса A++ e
Рассмотрим задачу о связанных состояниях дырки в комплексе A+ + e , в КТ, потенциал конфайнмента которой моделируется сферически симметричной потенциальной ямой с бесконечными высокими стенками (модель «жестких стенок»). Как известно, движение электрона в поле такой потенциальной ямы описывается волновой функцией вида
/с Ч-v /с \ +1/ 2 (kl ,nr) /1ч
Vn,l,m (r, ^, Ф) _ Yl,m (^ Ф) i~ , . (1)
R0^ rJl+3/2 (kl,nR0)
Потенциал примеси описывается в рамках модели потенциала нулевого 2 *
радиуса мощностью у = 2кН /(а/и ), который в сферической системе координат имеет вид
Уs(г,йа) = у8(г -йа)[1 + (г -йа)УГ], (2)
где а определяется энергией связанного состояния этого же A+ -центра в массивном полупроводнике; 8(x) - дельта-функция Дирака.
Будем предполагать, что в процессе фотовозбуждения дырка объединяется с нейтральным акцептором А0 с образованием А+ -центра. Взаимодействие электрона, локализованного в основном состоянии КТ с дыркой, локализованной на А0 -центре, будем рассматривать в рамках адиабатического приближения. Как известно [3], адиабатическое приближение приводит к задаче об изотропном трехмерном гармоническом осцилляторе. Характерными длинами задачи являются: ае и а^ - эффективные боровские радиусы электрона и дырки соответственно; Щ - радиус КТ; X-1 - радиус локализации
дырки на А0-центре; ап - характерная длина осциллятора. Теоретическое рассмотрение проводится в рамках метода эффективной массы, т.е. в предположении, что все характерные длины велики по сравнению с постоянной решетки. Рассмотрим случай X-1 << Щ и учтем взаимодействие электрона и дырки, локализованной на А0-центре. Электронный потенциал Упіт (г),
действующий на дырку, можно считать усредненным по движению электрона (адиабатическое приближение):
2 0
Уп1 т (ГУ~- |
Є 0
1 /- *\ 2
¥п ,і ,и (г 0
г - ге
йтє, (3)
так что на дырку в случае і = т = 0 будет действовать сферически симметричный потенциал вида [4]
Уп^М--^^, (4)
ЄЛ0 2
где
Рп =У0 - Сі(2лп) + 1п(2лп), (5)
У0 = 1,781 - постоянная Эйлера; т* - эффективная масса дырки; Сі (х) - интегральный косинус; є - диэлектрическая проницаемость КТ, а частота юп
определяется следующей формулой:
-і!/2
ЙЮп
(2 л2 п1в1)/ Л0
(6)
Уровни энергии такого осциллятора даются в виде
2
т^п,0,0 е пя . * ( . . . 3^ /ПЛ
Еп1, п2,пЗ - рп + Йюп ^п1 + п2 + п3 +2^ , (7)
а соответствующие одночастичные волновые функции запишутся как
^П1,п2,пЗ (х. у. ^) = Спехр
где Сп =
x + у + z
2аП
2 >
Ґ л Ґ Л Ґ Л
Нп1 X К ап Нп 2 у К ап Нп3 z К ап , (8)
/-.пі+п2+пЗ . . ._3/2 3
2 Пі !п2 !пз an
-1/2
- , Hn (х)
полино-
мы Эрмита; «, «2 , « - квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням гармонического осциллятора [5].
Для определения энергии связи дырки в комплексе А+ + е в адиабатическом приближении необходимо построить одночастичную функцию Грина О (г, Яа; Е^п) к уравнению Шредингера с гамильтонианом, содержащим потенциалы (2) и (4):
в\ г,Яа;Е
А +е
- I
п1,п2,п3
^пі,п2,п3 (ха. уа. ^ и1,п2,п3 (х.у.z)
-^А +е
+ Йюп (пі + П2 + Пз )
(9)
где
7А++й
= |ЕАп| - е2РП /Ио) + 3ЙЮп/2 - энергия связи дырки в комплек-
се А+ + е, отсчитываемая от уровня энергии основного состояния осцилля-торной сферически-симметричной потенциальной ямы; Е^п = -Й2^2 /^2т*).
Суммирование в (9) по квантовым числам можно выполнить, воспользовавшись формулой Меллера для производящих полиномов Эрмита [6]. Используя стандартную процедуру метода потенциала нулевого радиуса [7], получим уравнение, определяющее зависимость энергии связи дырки
ЕА
-‘—'її
в комплексе А + е от параметров КТ и квантового числа п:
Л; =
7* А++е
\йге
Упг
2
* А++ е
ехр
Е
-г\
X
1 - е-
1 + е
-г
2і42І
(і - е-2г )3/2
(10)
где Е
* А++е
7А++е
/ Еи =лП- ^+ЗуЛ Уп я*/ (2^ п). я* = яа/ ал;
л
0
лг- = д/|Е-|/ Ей.
На рисунке 1 приведены результаты компьютерного анализа уравнения (10) для случая КТ на основе ТиБЪ. Можно видеть, что энергия связи дырки
оо
0
ЕА +е в комплексе А+ + е существенно возрастает с увеличением радиального квантового числа п, характеризующего состояние электрона в комплексе
А+ + е (ср. кривые 1 и 4). Таким образом, особенность энергетического спектра дырки, обусловленная адиабатическим потенциалом ее кулоновского взаимодействия с электроном, приводит к зависимости энергии связи дырки
в комплексе А+ + е от радиального квантового числа электрона в КТ.
еА
, мэВ
3
Яа , НМ
14,4 28,8 43,2 57,6 72
Рис. 1 Зависимость энергии связи дырки в комплексе Л+ + е в случае КТ 1и8Ъ (Я0 = 72 нм , \Б;\ = 5мэВ) от координаты Л+ -центра
при различных значениях радиального квантового числа электрона п:
1 - п = 1; 2 - п = 2; 3 - п = 3; 4 - п = 4; 5 - п = 10
2. Коэффициент примесного поглощения
Рассмотрим теперь примесное поглощение света в структурах, содержащих КТ с комплексами Л+ + е с учетом кулоновского взаимодействия электрона и дырки. Действительно, для материалов с те □ т^ (те и т^ -
эффективные массы электрона и дырки) кулоновский потенциал электрона, действующий на дырку, можно считать усредненным по быстрому движению электрона (адиабатическое приближение). В случае если электрон находится на нижнем уровне зоны размерного квантования, этот потенциал имеет минимум в центре сферически-симметричной квантовой точки и может быть записан в виде (4).
Таким образом, учет кулоновского взаимодействия приводит к появлению для дырки дополнительной потенциальной ямы, глубиной порядка
2
е / е^0. Роль дополнительной потенциальной ямы в формировании энергетического спектра дырок существенным образом зависит от соотношения глубины ямы и энергии размерного квантования дырок. Относительный вклад этих величин зависит от размера КТ и может быть оценен по порядку величины. Действительно, энергия кулоновского взаимодействия, пропорциональная е / еЛо, будет больше энергии размерного квантования дырок,
5
6
4
5
3
4
2
1
которая пропорциональна Й2/ т^Я^ при значениях радиусов КТ, удовлетворяющих условию Яо > аь .
Таким образом, для полупроводниковых материалов с те □ т^ энергетический спектр дырок определяется усредненным по движению электрона потенциалом кулоновского взаимодействия, а не размерным квантованием [4].
В этой связи возможен новый механизм примесного поглощения света
в квазинульмерных структурах с комплексами А+ + е, связанный с оптическим переходом дырки в состояния дискретного спектра адиабатического потенциала электрона.
Пусть А+ -центр локализован в точке Яа = Яа (0,0,0), локальный уровень энергии Е^п его связанного состояния расположен ниже дна параболического потенциала, а электрон находится соответственно в основном состоянии (^-состояние, п = 1) КТ.
Волновая функция дырки, локализованной на А0 -центре, когда электрон находится в основном состоянии, дается выражением
П1 (г ) —
^ X Л ^
3 + М
4 2
V_____і
1+£к 4 2
л
V
/
-3/4
2л2 а31
ґ х Л
31 £^1
4 2
V V 1
¥
¥
^ х 'Л
3 + £Я1
4 2
V уУ
ах1
W
£І1.1 2 ’4
2
V ах1 У
, (11)
где £^1 3Я* /2л2 л2 — 2Р{/2), а^1 — а2д/3"^о3/2л2, к — ае /а^,
Wаp(z) - функция Уиттекера; ¥(^) - логарифмическая производная
гамма-функции.
Используя рекуррентные соотношения между шаровыми функциями и свойства ортогональности, легко можно показать, что выполняются стандартные правила отбора дипольного электрического излучения, таким образом, оказывается возможным переход только в р-состояние с т — 0.
Матричный элемент в боровских единицах можно представить в виде
2 Я*3 Бка*10 /г(пГ + 5/2)
31/2 лХ
пГ !Г2(5/2)
л
V
г
3Я*3 V
2пГ + 5 |--^- + гц2
Г 2) Я0 11
о
х
/
х-
1 Г(2 )Г
Л
3 £^1
- + -Л1 + п
4 2 ;
V_______________і
^3 + £М ^ А
4 2
11 41
— + + п,
Л
х Л ^ 3+£А1 4 2
V______і
1+£к
V
У
^ ^ х \
3 + £М
4 2
V V у
¥
¥
^ х 'Л
3 | £Х1
4 2
V уу
х
(12)
х 2
Г 2 \
—I- пг ,2; —I—— + пг; 0
2 г 4 2 г
(12)
где тц \Exi\fЕк , X = Йю/Еь , ^0 = к0/ аН •
Коэффициент поглощения К(2^Х) с учетом дисперсии радиусов КТ будет определяться формулой
к(я )(х ) = «2| з
. 2 ,,2 )«;1/2г1^+ 5
!■
Хп,- !Г2[|
х
/
л и 8 (2пг+ 2) _л
3Яо383 0 п, *0
х
Г 2 IГ(2)Г
^ я-п ) )2 ^
3 ж
— + + пг
4 2 г
V
У
3 + <1пг Г
4 2
V У
11 <1"г '
— + + "
4 2
3+М3
4 2
V
1 о*';", )
1+ °^1
4 2
V
{ г ¥
$;"- ^ 3 + 1'
4 2
V V У V
¥
я;п
3+М.
4 2
;п_ Л)
х
(13)
У У
2
5 11 е?1"г
2пг -—,2;---------1-------- пг ;0 х
г 2 4 2 г
\2/3
х
(4пг + 5)
X-т2+#
5/3
я
о У
здесь Р (м) - функция Слезнова-Лифшица [8],
34 ей 2ехр (-1/(1 - 2м /3))
Р (м ) =
25/3 (м + 3)7/3 (3/2 - м) 0,
\11/3 ’
м < 3/2,
м > 3/2,
(14)
и соответственно
^1
8пг =
3Я*383 А
и Г!
8л2
т,-
л
0
+2
2Й
*
\2/3
Я
0 У
(15)
(16)
пг =1
г
где и = Л^/^0 ; к0 - средний радиус КТ; соответственно = Л^/ан ; N0 -
концентрация квантовых точек в материале, Иг = [С ] - целая часть числа С, определяемого следующим выражением:
9^/цЛ0(з1^Т1ч
с = -
16л
5
4'
(17)
Пороговое значение энергии фотона X^ в боровских единицах опре деляется как
2Р1
2 20л
ХгИ = Л1 + _ —*з/2 -* •
(18)
9 Щ
На рисунках 1 и 2 представлены спектральные зависимости коэффициента
примесного поглощения квазинульмерной структуры с комплексами А+ + е . Из рисунков 1 и 2 видно, что при увеличении среднего радиуса КТ коэффициент примесного поглощения уменьшается (ср. рис. 1,б и 2), т.к. при увеличении Що уровни энергии параболической ямы сдвигаются в сторону дна валентной зоны и расстояния между локальным уровнем энергии А+ -центра |£^1І и размерными уровнями параболической ямы становятся больше.
а)
Рис. 1 Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света в КТ ІиБЬ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице при ІЕ-І = 3 мэВ : а - Що = 58 нм; б - Що = 72 нм
а)
б)
Рис. 2 Спектральная зависимость коэффициента примесного поглощения света в КТ 1и8Ъ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице: а - Е\= 3 мэВ , Яо = 108 нм ; б - |£;| = 5 мэВ , Яо = 72 нм
Таким образом, наличие электронного адиабатического потенциала в КТ приводит к нетривиальной зависимости коэффициента примесного поглощения, а также края полосы примесного поглощения от среднего радиуса КТ.
Список литературы
1. Иванов Ю. ЛПетров П. ВТонких А. АЦырлин Г. ЭУстинов В. М. // ФТП. - 2003. - 37 т. - С. 1114.
2. Авиркиев Н. С., Жуков А. Е., Иванов Ю. Л. [и др.] // ФТП. - 2004. -38 т. - С. 222.
3. Эфр ос Ал. Л., Эфрос Ф. Л. // ФТП. - 1982. - 16 т. - С. 1209.
4. Екимов А. И., Оеущенко А. А., Эфрос Ал. Л. // Письма в ЖЭТФ. -
1986. - 43. - С. 292.
5. Флюге, З. Задачи по квантовой механике / З.Флюге. - М. : Мир, 1974. - 1 т.
6. Бейтман, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтман, А. Эрдейи. - М. : Наука. - 1 т.
7. Кревчик В. Д., Левашов А. В. // ФТП. - 2002. - 36 т. - С. 216.
8. Лифшиц И. М., Слезнов В. В. // ЖЭТФ. - 1958. - 35 т. - № 2 (8). - С. 479.
