CC BY
65
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, П. С. Будянский
особенности фотодиэлектрического эффекта, связанного с возбуждением примесных
комплексов A+ + e в квазинульмерных структурах во внешнем магнитного поле
Аннотация.
Актуальность и цели. Интерес к фотодиэлектрическому эффекту (ФДЭ) обусловлен тем, что он может быть использован как эффективный механизм воздействия ИК-излучения на распространение субмиллиметровых волн в квазинульмерных структурах и как метод регистрации ИК-излучения. Во внешнем магнитном поле появляются новые возможности для управления ФДЭ, что важно для ряда приложений в полупроводниковой наноэлектронике. Цель работы заключается в теоретическом исследовании влияния внешнего магнитного поля на ФДЭ, связанный с возбуждением примесных комплексов A+ + e в квазинульмерных структурах.
Материалы и методы. Кривые спектральной зависимости относительного изменения диэлектрической проницаемости (ОИДП), а также зависимости ОИДП от величины внешнего магнитного поля построены для квазинульмерной структуры, состоящей из InSb квантовых точек. Расчет энергии связи
дырки в примесном комплексе A+ + e выполнен в модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении. ОИДП рассчитано в дипольном приближении с учетом дисперсии радиуса КТ.
Результаты. Выявлен дихроизм ФДЭ, связанный как с нарушением центральной симметрии основного состояния электронного адиабатического потенциала, так и с наличием внешнего магнитного поля. Показано, что внешнее магнитное поле подавляет ФДЭ, что связано с усилением локализации электронной волновой функции в магнитном поле, а также с модификацией электронного адиабатического потенциала. Найдено, что порог ФДЭ в магнитном поле сдвигается в коротковолновую область спектра, при этом в случае поперечной относительно направления внешнего магнитного поля поляризации света пики в спектральной зависимости ФДЭ расщепляются в дублеты Зеемана.
Выводы. В магнитном поле возможно эффективное управление ФДЭ за счет модификации электронного адиабатического потенциала и электронной волновой функции.
Ключевые слова: фотодиэлектрический эффект, магнитное поле, квантовая точка, адиабатическое приближение, примесный комплекс, относительная диэлектрическая проницаемость, эффект Зеемана, электронный адиабатический потенциал, квазинульмерная структура.
V. D. Krevchik, A. V. Razumov, P. S. Budyanskiy
features of the photodielectric effect, associated with A+ + e extrinsic complex excitation in quasizero-dimensional structures in an external magnetic field
Abstract.
Background. Scientific interest to the photodielectric effect (PDE) is caused by a possibility of its usage as an efficient mechanism of infrared emission influence on propagation of submillimeter waves in quasizero-dimensional structures and as a method of infrared emission registration. In external magnetic fields there occur new opportunities for PDE management, which is important for a number of applications in semiconductor nanoelectronics. The aim of the work is to theoretically research the influence of an external magnetic field on PDE, associated with A+ + e extrinsic complex excitation in quasizero-dimensional structures.
Materials and methods. Curves of spectral dependence of relative change of dielectric permittivity (RCDP), as well as ECDP dependence on the external magnetic field value were generated for a quasizero-dimentional structure, consisting of InSb
quantum dots (QD). Calculation of hole binding energy in A+ + e extrinsic complex was performed in a model of zero radius potential in adiabatic approximation. RCDP was calculated in dipole approximation, taking into account QD radius dispersion.
Results. The authors have revealed PDE dichroism, caused by a breakdown of central symmetry of the general state of electronic adiabatic potential, as well as by external magnetic field's presence. The article shows that the external magnetic field suppresses PDE, which is caused by intensification of electronic wave function localization in the magnetic field, as well as by modification of the electronic adiabatic potential. It has been found that PDE in a magnetic field shifts to the short-wave spectral region. In case of light polarization being tranversal to the direction of external magnetic field, the peaks in spectral dependence of PSE split to Zeeman doublets.
Conclusions. Efficient PDE management is possible in a magnetic field due to modification of an electronic adiabatic potential and an electronic wave function.
Key words: photodielectric effect, magnetic field, quantum dot, adiabatic approximation, extrinsic complex, relative dielectric permittivity, Zeeman effect, electronic adiabatic potential, quasizero-dimensional structure.
Введение
В настоящей работе проанализирована возможность регистрации возбужденных состояний примесных комплексов A+ + e по их вкладу в диэлектрическую проницаемость полупроводниковой квазинульмерной структуры при внутризонных оптических переходах электронов во внешнем магнитном поле. Ранее [1] нами было показано, что, поскольку эффективный радиус возбужденных состояний примесного комплекса A+ + e в квантовой точке (КТ) значительно превышает эффективный радиус основного состояния, то за счет роста поляризуемости может иметь место заметное изменение диэлектрической проницаемости полупроводниковой квазинульмерной структуры - фотодиэлектрический эффект (ФДЭ). Во внешнем магнитном поле появляются новые возможности для управления ФДЭ, что важно для приложений в полупроводниковой наноэлектронике: управляемое воздействие на процесс распространения субмиллиметровых волн в наноструктурах; детекторы ИК-излучения с управляемыми параметрами; метод спектроскопических исследований примесей в полупроводниковых наноструктурах.
Цель настоящей работы заключается в теоретическом исследовании влияния внешнего магнитного поля на ФДЭ, связанный с возбуждением примесных комплексов A+ + e в квазинульмерных структурах, представляющих
собой прозрачную диэлектрическую матрицу с синтезированными в ней полупроводниковыми КТ.
Расчет энергии связи комплекса А+ + e в полупроводниковой квантовой точке в условиях фотовозбуждения во внешнем магнитном поле
Процесс фотовозбуждения примесного комплекса A+ + e связан с оптическими переходами электрона из основного состояния КТ в возбужденные состояния размерно-квантованной зоны проводимости во внешнем магнитном поле. Учет кулоновского взаимодействия между электроном и дыркой,
локализованной на А0 -центре, приводит к тому, что в результате электронных переходов будет изменяться энергия связанного состояния дырки вследствие изменения электронного адиабатического потенциала, который при фиксированном радиусе КТ зависит только от начального и конечного состояний электрона.
Взаимодействие электрона, находящегося в основном состоянии КТ
с дыркой, локализованной на А0 -центре, будем рассматривать в рамках адиабатического приближения. В этом случае электронный потенциал Vnlm (г ), действующий на дырку, можно считать усредненным по движению электрона [2]:
„2 R (г)2
V„J,т (- ) = ^т£- У Т -1 Ъ, (1)
4пе0е-1 т - те\
0 0 1 е|
где е - заряд электрона; е - диэлектрическая проницаемость материала КТ; £о - электрическая постоянная; ¥ п[т (те) - волновая функция электрона в КТ; п - радиальное квантовое число электрона; т = 0,±1,±2... - магнитное квантовое число; I = 0,1,2... - орбитальное квантовое число.
В первом порядке теории возмущений для основного состояния электрона (т = 0, I = 0) потенциал (1) может быть записан в виде [3]:
Vnoo (р) = --^+m
n,0,0V^ 4ne0eR0 2
2а * ( ,2 \
«2
n 2
v
*
2
Р2 + ^ «2, (2)
где
h«n =
Pn =Yo - Ci (2nn) + ln(2nn);
1/2
(lh2%2n 2e 2 У (3m* R04n£o£
р, ф, г - цилиндрические координаты; У0 = 1,781 - постоянная Эйлера; . . * С1 (х) - интегральный косинус; т^ - эффективная масса дырки;
I I *
= \е\Б / те - циклотронная частота.
Энергия связи дырки в комплексе А+ + е в КТ в магнитном поле определяется решением следующего трансцендентного уравнения [3]:
Vnih -РоР/71 +(2Ph)-1 + wP/-' =
'ПР/
J dt exp
-iP/nih -Po + w + 2 It
x
X
x exp
1
1= - w (l - e -21) 2 (1 - exp (-2 wt))
-1
2 ty[2t
exp
* 2 / . " -g (i
2 Ph
x
* 2
2e (1 WPa( 2 t))(1+exp(-2wt)-2exp(-wt)ch(P/a*-2t)
2Ph (1 - exp(-2 wt)) V '
, (3)
где Пха = \Exh\fEh ; Е^ - энергия связи дырки, отсчитываемая от дна электронного адиабатического потенциала; Eh - эффективная боровская
энергия дырки; р0 = ри е2/4жoгв0lahEh ; ^0 = ко/Ч ; Ph = Ч/Пюп ;
^ = 1 + в2а* 4/2 ; а* = ав / аh ; а в / (те юв) - магнитная длина;
П
Ei
/ Eh ; Ег- - энергия связанного состояния дырки, локализованной на
таком же А+ -центре в объемном полупроводнике; z*a= za / ah ; ра = ра / ah ;
ah - эффективный боровский радиус дырки.
Найдем явный вид потенциала Уп1т (^), определяемого формулой (1)
в случае, когда электрон находится в возбужденном состоянии КТ. Выражение (1) можно представить в виде
,2 П
2п
V„.,m, (п, ) = - ei J sin Ode J d9 JI*( e ф) ^ dre
e 0 0 i 0 \1П/ + re - 2rhre COSe
+
+
^ „,/,m (re, e,ф)) re2 dre
rh
(4)
В условиях внешнего магнитного поля возможны дипольные оптические переходы из .-состояния в ^-состояние с обычными правилами отбора для магнитного квантового числа: в направлении поля т = 0 и в поперечном направлении т =±1.
Рассмотрим случай, когда е^ ТТ В (е^ - единичный вектор поляризации света). В этом случае т = 0 и для сферических функций имеем
71,0 (e, ф) = л — cos e.
v 4п
(5)
Учитывая выражение для производящей функции полиномов Ле-жандра [4]:
n-1 l
2 ~\гpl (C0S 0)' если rh < Ге,
l=0 re n-1 r l
2-е+ГPl (C0S 0)' если rh > Ге' l=0 rh
<Jrh2 + re2 - 2rhre C0S 0
для интеграла по переменной 0 имеем
J sin 0 cos2 0Pl (cos 0)d 0 =
2 (l +12 - 2)sin(nl)
0 nl (l + l)(l +12 - 6
С учетом (7) суммы в (6) запишутся в виде
-1 rhl 2 (l +l2 - 2)sin(n) 2 (
2-жx ,„.,./, ,2 л = 3
2 .
l=0 re
nl (/ +1)(
l +12 - 6
it 2 1
1 2 rh
re 5 r:
e e у
-1 el 2 (l +12 - 2)sin(nl) У—^г X—--^-r
2
_ /+1
l=0 rh
l (l + 1)(l +12 - б) 3 V rh 5 rh
1 2 re —+ -X-e
2 1
(6)
(7)
(8)
(9)
тогда для интегралов по re имеем
1 2 re rh 5 h
T 2 J 3
n,1 *
R
* 'e
"0 у
*
dre =-
*3 ~ 3
rh Xn,1
15 X 25 Г2 V 2 1R03
-x
X ^152 F3
( 5 *2^ R02
+ 42 F
( 5 *2^ R02
(10)
R ( 1 о 21 ( V J ( 1 + 2 X \ -2 Xn1
J I re 5 re3
rh
J 2 J 3
e У
e
V "0 У
R0
^ Y- 3 dre =-
3гг>*2т-2 ( 3
3 5Rq Г | ^
x
X\3rl22F3[ ^,2;-|,-|,4;-X2дУ-3^2F
R0
5 r>*2
15 5
R02 F3I 2'2;2'i'4;- x
n,1
5 rh 2 R*
*3
*2 F3
1 ~ 3 5 *2 X21
2'2;2'2'4;-rh R^ +
2' ;2'2' ; h R*2
(11)
r
и
где Хп 1 - корень функции Бесселя полуцелого порядка 3 / 2;
(,...ар;^...Ъц;х) - обобщенная гипергеометрическая функция [4].
Выражение для потенциала Упю (г,) (4), учитывая (7), (10) и (11), запишется в виде
Vn,\,0 (rh ) = ■
2 Y 3 e Yn,1
e 3 x 5R02
Г/*32-5 R*-1r-21 2
f
+42 F
2,3;—,4,4.
X,
\
n,1 *2
? _ ? 1 ? 1 ?
i
2" ' R02 r/
*3 *
R*
-3 r/L2 F
1 ~ 3 5 л *2 Xn 1 - 2'--4' -r/2——
+ 3-2 г-2 13
2 ^
152 F
*2
2,2—,3,4
X,
Л
n,1 *2
? — ? 1 ?
Л 7 7 7 rh
2 R*2
+
1,3 5
2, ; 2, 2:
3rh 2F3| -,2;-,-,4;-XT,
2,1
2 2 2'
5 h
R0
+frL22f3I f,2;f,f,4;-Xn2,1
R*
"2 F3
Y 2 ^ *2 Yn,1
3 2 5 5 4 - -
2,2;2,2,4;-rh r02
(12)
Рассмотрим случай, когда В : т = ±1, и для сферических функций
имеем
71, ±1 (e, ф)^^ ±/ф Sin e.
С учетом (6) для интеграла по 0 получим
П 88Ш (п1)
18Ш 0 8Ш2 0Р1 (с08
0 п1(1 +1)(
Суммы в (6) запишутся в виде
88Ш (п1)
/+/2 - 6
(13)
(14)
n-1 /
x
(
1=0 rJ+1 п/((+ 1)(б-/ -/2) 3
g r/ X 8sin(n/) = 4
2 >
I - 2 x
V r 5 re3 ,
1=0 ,+1 + 1)(б-/-/2) 3
*
Интегрирование по ге дает
1 - 2 x ZL rh 5 h
2 >
(15)
(16)
J i rh"5 x h
2 ^
j 2
J 3
r
X,
n,1
Л
* 'e j 2 i '"0 j
R*
*3 ~ 3
, l rh Xn,1
dre =-7T\-
15 x 25 г2 I 5 | rL3
x
r
X
(
152 F
X
Л
n,1 *2
2 2-— 3 4'--— n,'
2 R
f
- 42 F
XT,
Л
n,1 *2
2 3"— 4 4*--'bL n'
J^J^S *2 'h
2 R0
(17)
R*,
rh
1 - 2 X
re 5
2 1
J 2
J 3
e У
XT,
n,1 *
л
* ' e
V "0 У
R0
*
dre =
X3'1
335R02 Г2 ( f
X
X
-3r*22F3I "г,2;Т'Т'4;-vXnzi I+3^*2F
12 3 5
2' ;2'2'
*3 (1 3 5 XX2 1
i 2-3 5 4- -r*2 Xn,1
a
R0
2 2 2'
V
{ ^ f3 (f,2;f,f,4;- X21 ] + 5 R32 F
2 1
3 „ 5 5 ,, *2 Xn 1 — 2---4--n 2——
' ' ^ ' ^ ' ' h *2
T 2 2'
. (18)
Выражение для потенциала ^ 1 ±1 (т) в (4), учитывая (14), (17) и (18), можно представить в виде
Vn,1,±1 (й ) = -
2 X 3 e Xn,1
е 5 X 22 R*2
r/*^-5 R*-1r-2 ( f
152 F
X,
Л
n,1 *2
2 2^ 3 4;--fu'
^^ ~ *2 'h 2 R
-42 F
( 5 X 2 1
2 3^ 4 4; -rp 2 R
+ 3-2 Г-2 (3
-3г/*22F31 -Xn2,1 ^ +
*3
+3 R" F
2 1
1 ~ 3 5 л *2 Xхn 1 — 2---4; -Г;2-—
V
Г 2 2'
2 F V f,2;f,f,4; - 1У +
*3
+5 V F3
2 1
3 ~ 5 5 *2 Xn 1
2'2;2'2'4;-rh R02
(19)
Используя разложение в ряд Тейлора вблизи гН тт и ограничившись квадратичным членом, получим
*
Vn,1,0(rh ) = Pn,0 - —:Г
eRQ 2
,2 1
2 «В <0 + "2
V 2 у
2 —hz 2 Р2 +<0 =
(20)
2 * ( Vn,1, ±1(rh ) = -R Pn,±1
2 1
2 «В
«n, ±1 +-f
V У
2 —hZ 2
Р +-V" «n,±1:
(21)
где величины вп 0, вп ±1, ®п 0 и юп ±1 определяются следующим образом:
и
Pn,0 -■
X,
n,1
-x
x
30Ror3min (3 Xn,1 COS (n,1) + (X2,1 - 3) Sin ((n,1)
6rh5minXnj,1 - 3rh5min Xn,1 - 15rh3min Xn,1R0 + 40rh3min X«,1R0 +
+3rh5minXn,1 COS (2Xn,1) + 15rh3minXn,1R0 COS (2Xn,1)
+
+30rhminXn,1R COS
+30rh3min Xn,1R0Ci
f2r ■ X И
^'h mmyi n,1
f 2n ■ X Л
^'h штл n,1
—R0
- 30rh3minХЬФ (2Xn,1)
+
■30rh3min X31R02ln
(ru ■ > 'h m
R)
+
+6rh minXn,1 sin (2Xn,1) + 30rh minXn,1R0 sin (2Xn,1)
-15rh2min X;?,1R0Sin
f 2fi ■ X 1 ^
^'h min^ n ,1
R0
- 15R0 Sin
f 2 rh ^ X 1 ^
^'h min^ n,1
—R0
(22)
Pn, ±1 -■
Xn21
COS
(2 Xn ,1 )-1 + 2y 0 Xh
2 (3Xn,1 cos (xn,1) + (Xn2,1 - 3) Sin (xn,1)) -2 XJ1 - 2 X2,1Ci (2 Xn,1) + 2 Xn2,1 ln (2 Xn,1) + 2Xn,1 sin (2 Xn,1 ), (23)
ЙЮп,0 =
h2 e2 Xn,1
-x
mh 5rhmmR0e(3Xn,1 COS(,1) + (Xn3,1 - 3)sin(n,1)
( 5 533325 / \
rh minXn,1 + 2rh minXn,1 -5rh minXn,1R0 - rh minXn,1COS (2Xn,1)
+
+ 15rh minXn,1R0 (rhmmXt,1 - 4R0 )COS
f 2rhminXn,1 ^ „ 5 T^2
R0
- 2 rh min Xn,1 sin (2 Xn,1 )-
-45rh2min X2,1R0sin
f 2n ■ X И
min^ n,1
R0
+ 30R0 sin
f 2r, ■ X 1 Yl 5 . min^ n ,1
R0
J j
1/2
(24)
hrn,
n,±1 -
h2e2Xh (2X4,1 -1 - 2X2,1 + cos(2Xn,1) + 2Xn,1 sin (2Xn,1))
mh 10R3e(3 Xn,1 cos ^д) + (Xn3,1 - 3) sin ^,1)
1/2
. (25)
В результате энергия связи дырки в комплексе А + е в случае, когда электрон находится в возбужденном состоянии КТ с учетом (20) и (21), будет определяться решением следующего трансцендентного уравнения:
^и(1,2) -Р(1,2)Р/г(1,2) +(2Ра(1,2)) + ^(1,2) РН(1,2) =
I ЖехР -|Рн(1,2^(1,2)-Р(1,2)+ ^(1,2)+ 1 1
\ nph(1,2)
X
2 tfij
■W(1,2)(1 - е -2t ) 2
1
2 (l - exp (-
2 w(i,2)t)) exp
-1
2 P
X
^ - (2:
h(1,2)
X
X exp
w(1,2 )P*a 2 1 + exP (-2 w( 1,2 )t)-2exP (-w(1,2 )t) ch (Ph(1,2)
X
2 Ph(1,2)
*-2Л a 11
1 - exp (-2 w(1,2 )t)
(26)
где
ПШ = |Еш|/еН ; Чп2 = \Eih2\ZеН ; р1 = ри,ое2 / ;
Р2 = Ри,±1 е7 4пеоеЛ0°нЕн; Рн1 = ен/ ; Рн2 = ен/ й®и,+1; ^ =у1 1 + Рн1°*-4/2 ; ^2 = ^ 1 + РН2«*-72-
Волновая функция дырки, локализованной на А+ -центре, для случая
возбужденного состояния комплекса А+ + е запишется в виде
^ Н(1,2 )(P, Ф, 2 )= С(1,2 )ехР
( 2 , 2 Л
w(1,2 )Р + z
X
4 Ph(1,2 )ah
X J dt exp -( Ph(1,2)nJh(1,2)-в(1,2)+ w(1,2)+ 2 11
X
x(1 - е -21) 2 (1 - exp
"2 w(1,2 )t
-1
X
X exp
z2 exp [-2t ] • exp w(1,2 )p2exp -2w(1,2 )t
2ph(1,2)ah (1 -exp [-2t]) 4ph(1,2)ah (1 - exp -2W(1,2)t] )
(27)
где С(1 2) - нормировочный множитель, определяемый выражением вида
C
(1,2)
-1 - - 3 Ph(1,2 )w(1,2 )Г I ^ - W(1,2)
-2 2 п 2 ah
2
Ph(1,2 )nXh(1,2)+ w(1,2) 1 2 4
-X
(2 ^
Ph (1,2 )nXh(1,2)+ w(1,2) 5
2 4
X-
2
Ph (1,2 )%h(1,2)- w(1,2) 3
2 4
2
Ph (1,2 )nXh(1,2)+ w(1,2) 1 2 4
X
X
¥
2
Ph (1,2 )nXh(1,2)+ w(1,2) 5 2 4
2
Ph (1,2)nXh (1,2) - w(1,2) _3
2 4
. (28)
Полученные соотношения (26) и (27) будут использованы в следующем разделе для расчета коэффициента поглощения света при фотовозбуждении
примесных комплексов А++ е в квазинульмерной структуре.
Расчет коэффициента поглощения света комплексами А+ + е в квазинульмерной структуре в случае продольной по отношению к направлению магнитного поля поляризации
Рассмотрим процесс фотовозбуждения комплексов А+ + е в КТ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице в магнитном поле, в случае, когда е^ ТТ Б. Будем считать, что А+ -центр локализован в точке Яа =(0,0,0). Энергетический спектр электрона в магнитном поле во втором порядке теории возмущений будет определяться выражением вида
п*2 V I2
Е = Е(0)+ V, , + у Гп,1 ,т;п ,1 ,т I (29)
2 ^2 п - Х n',l'
п'1'т
здесь Е(0) = X2 ¡Ей/Щ*2 - нулевое приближение к энергии электрона в размерно-квантованной зоне; Уп,тп'1' т' - матричный элемент оператора возмущения:
Vn,l ,m;nl'm' 21 n'=0
h«Bm
4п
(Xh -Xh)J + 3 ((п,1 )JI + 3 ((n'j)
X
X
* ~ / * / * ~ \ * ~ / * ~ \ / * ~ ^ R0Xn',lJ +1 (RXn',l) Jl+3 (RXn,l) - R0Xn,lJl+1 (R0Xn,l) Jr+3 (RXn',l)
. 2 2 ' '
l+-' 2
l+-' 2
+
, Nk * 2 *
(-1) m*«bR)
( 31 l+3 X 2
2k+1
+
2-
k=0 k! ГI l + k + 5 12l+4+2k
-X
X
((- m + 4 )(l - m + 3)(l - m + 2)((- m +1)
(2l +1) (2l -1)2 (2l - 3)
X
F
-k,-l - k -3,l + 5 ХпП'1-2 ^
X-
2' I2,
2 F
3 5 ХЪ, Л -k, -l - k--, l + - n,i
2' X2,
(2/ + 2k + 2)Г| l + ^
-X
X^(( - m)((- m -1)(( + m + 2)((+ m +1)
(2l + 3) (2l -1) (2l + 2k + 4)
( 3 5 X2, 1 f -k,-l-k-3l+5,:%2
2 2 хХn2,l
+
2l + 2k + 6
-X
X
\
(l + m + 4 )(( + m + 3)(l + m + 2 )(l + m +1)
(2l + 5)(2l + 3)2 (2l +1)
(30)
r(s)
Эффективный гамильтониан взаимодействия Н\п(б с полем световой волны в случае, когда е^ ТТ Б запишется как
2пй2а*
^intB =-ih*-0\Г'"'IT 10 exP(iqsn)(eb V?)
V m «
(31)
где ^0 - коэффициент локального поля; а* - постоянная тонкой структуры с учетом статической относительной диэлектрической проницаемости е; 10 - интенсивность света с частотой ю, волновым вектором и единичным вектором поляризации е^ ; V- - оператор Гамильтона.
Матричный элемент , определяющий величину силы осциллятора
дипольных оптических переходов электрона и дырки из основного состояния Ф т (те,Гн) примесного комплекса в возбужденные состояния Ф ш (те,Гн) КТ запишутся как
м/1=4
2 па*/п
ю
(En,1, п- Е\,п,п- (ЕЖ - EXh ^ х
/е,rh ) (5,re ) (re, rh )) =
2па*/
= ^-(En,1 0 - Е1,0 - ((M - EXh ^ х
hi (rh h0 (Г ))(*nlm (е ) (5,Ге ) (Г ) • (32)
Интегралы в (32) имеют следующий вид:
R*
J ехр п
1 + ехр (-2t) + 1 + ехр (-2t')
Л *2 z
eh (1 - ехр (-2t)) Ph1 (1 - exp(-2t'))
erf
= л/Л-
2
* (
1 + ехр (-2t) + 1 + ехр (-2t')
Л/2'
Ph (1 - ехр (-2t)) Ph1 (1 - ехр (-2t'))
(
1 + ехр (-2t) + 1 + ехр (-2t')
Л/2
(33)
R*
f *2 J P ехр
Ph (1 - ехр (-2t)) Ph1 (1 - ехр (-2t'))
W1
w
+
Лр*2
erf
= 2\fñ-
Ph (1 - ехр (-2 wt)) ph1 (1 - ехр (-2 W11'))
d р =
w
+
W1
Ph (1 - ехр (-2 wt)) ph1 (1 - ехр (-2 W11'))
1/2 *
Л Ro 2
n3/2
w
+
W1
Ph (1 - ехр (-2 wt)) ph1 (1 - ехр (-2 W11'))
ехр
-2 %
w
- +
W1
Ч2
Ph (1 - ехр (-2 wt)) Ph1 (1 - ехр (-2 W11'))
(34)
w
- + -
W1
Ph (1 - ехр (-2 wt)) ph1 (1 - ехр (-2 W11')) Интегрирование по угловым переменным в (32) дает
&т,0&1,1
U О sin О COs О! I т (О, (°, Ф) = "
0 0
2п п
J d Ф| d О sin О cos VYl т (О, ф)% (О, 9) = "^
(35)
Интеграл по радиальной координате можно записать в виде
R*
г * *
I dr r J 3 0 2
( ~ \
X
1,0 * r
V R у
~
J5
2
X,
n,1 * r
V R у
R0
(Х20 - Хи,1
X
X
R*Хn,1J3 (RXn,1) J3 (R*X1,0 ) - RX 1,0 J1 (R*X1,0 ) J5 (R*Xn,1)
(36)
В результате для матричного элемента в (32) получим
. (s) = . /2ла*/| Mf 'i', f i = —
k (Xn2,1 -п2)
-(EXh(1,2)-Eih ) + R*2 2
Vn,1, (0, ±1); n', l', m'
V
1,0,0;n', l', m'
n'l'm
(л2 -X2,l')Eh
X
X
3 3
2-1 п-3ah ehH1WW1
г| ^ - w IГ
(Phn2^+w + 51
(Ph nL +w +1
2 4
2
X-
Г| 1 w 1Г I PhiHih1 + w1 + 5
Г| 2 - w1 JГV-2-+ 4
(n ~2
Л
(n „2
РыПщ + w1 +1 Г h1 - w1 +1
' " 4y
(a „2
(Ph nhi- w + 31
2 4
(Рыпш+w1 +11
-X
X
X
Y
( Ph1nih1 + w1 +11
2 4
V
-Y
РыПщ - w1 +1
2 4
-1
X
( mL+w +11
V
Y
(Phn^x+w + 5
2 4
Л
-Y
(Ph nhi- w +1
2 4
X
-1
-1/2
X
-1 Phnih - P0 + w + 2 J t- (Ph1nih1 - P0 + w1 + 2 1 t'
dtdt 'x
XJ J exP
0 0
x(1 -e-2fУ2 (1 -e-21')~2 (1 -exp[-2wt])-1 (1 -exp[-2w1t'])-1 X
X
>/лЛ0
erf
(X12,0 - X2пЛ
X
2
* (
1 + exp (-2t) + 1 + exp (-2t')
N1/2
Ph (1 - exp (-2t)) Ph1 (1 - exp (-2t'))
(
1 + exp (-2t) + 1 + exp (-2t')
1/2
X
Ph (1 - exp (-2t)) Ph1 (1 - exp (-2t'))
X
erf
2л/л-
w
+
W1
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 W11'))
\1/2 * Л Ro 2
N 3/2
w
+
W1
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 W11'))
exp
-2Ro
w
- +
w1
Ч*2
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w11'))
w
+
w
(0)
X
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w11'))
* ~ / * ~ \ / * ~ \ * ~ / * ~ \ / * ~ R0Xn1J3 (R0Xn,1) J3 (R0^^1,0 ) - R0XX1,0 (R0^^1,0 ) (R0Xi
X
n,1,
(37)
здесь erf (x) - функция ошибок.
Будем предполагать, что дисперсия и размеров КТ возникает в процессе фазового распада пересыщенного твердого раствора и удовлетворительно описывается формулой Лифшица - Слезова [5]:
р (и ) =
34 eu2 exp [-1/(1 - 2 и/3)]
2 5/3 (и + 3)7/3 (3/2 - и) 0,
11/3' и < 2:
(38)
3
и > —, 2
где и = Я о/ До, Я о и До - радиус КТ и его среднее значение соответственно; е - основание натурального логарифма.
Коэффициент примесного поглощения света КВ) (ю) при фотовозбуждении примесных комплексов А+ + е в квазинульмерной структуре в магнитном поле с учетом дисперсии радиуса КТ определяется выражением вида
kb )(ш)=^P (и)
0 п 0
М (s)
Mf v,f ь
( h2 (X2,1 -п2
* _ 2
2mе (RqU)
"(ЕШ - EXh) +
V i2 I i2 Л
+R -J-X^-L _
n'l'm' п X n',l'
(39)
где Шо - концентрация КТ в диэлектрической матрице; 5(х) - дельта-
функция Дирака.
В боровских единицах:
KB V )= 2nN0
3/2
М0 Eh
И
0 n
М (S) Mf 'i',f i
j Xn2,1 -п2
(Rou )2
-(nih1 -nih )-
X +
+R*2u2
n'l'm'
I I2 I I2 л
(п2 -
X2,l ') Eh
P(u)du .
(40)
Корни Д1 аргумента 5 -функции Дирака, удовлетворяющие закону сохранения энергии для оптических переходов электрона, находятся из трансцендентного уравнения:
u4R*4 2
I Р I |2
n'l'm'
(п2 -ХЩ'Х)Eh ') + к ('
-u2R02 (nih1 -nih + X) + к (X21 -п2 ) = 0.
(41)
С учетом (41) выражение (4о) для коэффициента поглощения К (X) запишется в следующем виде:
т 2 *Л7- N1
kB )(x )=2LRN 2 Р (A1)
EhKQX n=0
( X 2 п2 , Xn 1 -п /2 2
k ,,*2 . 2 -(nih1 -nih ) +
R Д1
+r*2 a2 :
i i2 i i2 л
n'l'm'
(п2 -
Xn',l') Eh
X
/
X
2-1 п-3a6 Ph2Ph12ww1
3 3 A12 г I 2 - w Л г (2 - w I г
( 1 Л
Ph nih A12 + w + 5 2 4,
( 1 Ph nih A12 + w +1
2 4,
2
X
Л
PhnihA12 - w + 3 2 4.
9
(РыПш + w1 + 51
X-
(Рыпш+w1 +11
2 4
2 /_
(Рыпш- w1 + 31
2 4
( Phjnlh! + w1 +11
X
X
Y
(Phjni h1+w1 +11
2 4
-Y
(Рыпш- w1 +11
2 4
-1
x
x
( 3 2
Р/Па/А2 + w +1
V 2 4 у
( 3 2
Y
1 ( 1 2
Phnih A12 + w + 5
V 2 4 У V 2
Y
Y
Phnih A12 - w + 3 4 у
-1
X
X
J J dtdt' exp
0 0
f
\
PhnihA12 -p0V + w+-
t - V Ph1nih1 -P1A 1 + w1 +11'
X
x(1 - e - 2 f) 2 (1 - e - 2 r') 2 (1 - exp[-2 wt]) 1 (1 - exp [-2 w1 t'j) 1 X
erf
x
VnR*A1
R0A1
1 + exp (—2t) 1 + exp (-2t')
Л/2'
+ —
v
_ 3 ' Ph1 (1 - exp ( 2t'))
PhA? (1 - exp ( 2t))
X
^ (X120 - Xn2,1
( 1 + exp (—2t) 1 + exp (-2t') 1
T^ +Ph1 (1 - exp ( 2t'))
Ph A2 (1 - exp ( 2t))
1/2
X
erf
2yfn-
w
w1
1 R*A1
_ 3 ' Ph1 (1 - exp (-2 w t'))
Ph A2 (1 - exp (-2 wt))
w
+
w1
43/2
_ 1 ч Ph1 (1 -exp(-2w11'))
Ph A2 (1 - exp (-2 wt))
exp
-2R0A1-
w
- + =-
w_1 r*2a2
_ ч Ph1 (1 - exp (-2 w t'))
Ph A2 (1 - exp (-2 wt))
w
w1
_ 3 "Ph1 (1 - exp (-2 w t'))
Ph A2 (1 - exp (-2 wt))
x
f
X
RqXn,1A1 J3 (RXn,1A1) J3 (RX1,0A1) -. 2 2
2
-R* X1 0A1J
(R0X1,0A1) J5 (R0Xn
W
^-4,0^1 j^M^O^n,^1 2 2 yy
(42)
здесь
P1 =Pn,0 eV4ne0eR0*ahEh ; Ph1 = V3R03Ehahпе0е/ w1 = ^1 + ph21A3a*-V2 ,
2 2 2 л^^ ;
Ph1 =
e2 X
n,1
-X
5n*min R*3AiEhahe(3xn,1cos ((n,1)+(xn,1- 3)sin ((n,1))
(*5 *5 3 *2 2 *3 3 *5 / \ *
rhminXn,1 + 2rhminXn,1 - 5R0 A1 rhminXn,1 - rhminXn,1Cos(2Xn,1) + 15rhmin x
2n*m1n x2,1sin (2 xn,1 )-
xXn,1 R*2A2 (n*minXn2,1 -4R*2A2 )xcos
*
2Г X ^'h min^1 n,1
-45n*mm Xn2,1R03Aisin
*
2Г X ^'h min^1 n,1
R*A1
R* A1
+30RqA5 x sin
*
2 г X min^1 n ,1
-1/2
R*A1
/У
Коэффициент поглощения света при фотовозбуждении комплексов А+ + ев квазинульмерной структуре в случае поперечной по отношению к направлению магнитного поля поляризации света
Для случая, когда е^ ± Б поперечной поляризации света, эффективный
й Л (?) -
гамильтониан взаимодействия Н б с полем световой волны, характеризуемой волновым вектором и единичным вектором поляризации е^ г, запишется следующим образом:
/2лй2а*
f
i\e
¿ыв =-i h Vl —л » - - / v - w 1Ь
\ m « 2П
В
\
7*exp (iqtn) (eXt V? )-^—[eXt, n]
(t)
(43)
В дипольном приближении матричный элемент М^/ ^ рассматриваемых оптических переходов можно представить в виде суммы двух слагаемых:
м%, fX = M1 + M2 =
(44)
где
M1 = i Xп
2па*/0
ю
(En,1, ±1 -E1,0 -(EXh2 -EXh ))x
хЫОш (re,rh ) (Xt,re ) |Ф2 (re,rh )
(45)
M 2 = -X0
^ xífL (re, h ) [Xt, re ]z |фЦ (Г., h )) . (46)
Расчет матричных элементов в (45) и (46) приводит к следующим интегралам по угловым переменным:
п 2п
J d О J d ф sin2 О cos (ф-^)Гпп (ф, О)т (ф, О) =
0 0 V3
(5т,1 ехр (-i ^) + 8т,-1 ехр ((А)),Ь
(47)
где Ф - полярный угол единичного вектора поляризации е^ { в цилиндрической системе координат.
Нетрудно заметить, что дальнейшее интегрирование приводит к уже полученным ранее результатам в (33)-(36). Принимая это во внимание, запишем окончательное выражение для матричного элемента в (44):
M (3, = i J ^ f En ,1, ±1 - E,0-(EXh 2 - EXh)+ h~2 )x
f', f~ X 2 X 2
>
* ~ /* ~ \ / * ~ \ * ~ / * ~ \ / * ~ ^ RXn,1J3 (R0Xn,1) J3 (RXX"1,0 ) - R0xX1,0 (RX1,0 ) J5 (RXn,1 J
2
>
>
3 3
2-1 п- 3 at Ph2 % 2 WW2
г| 2 - w i г
f Ph nL +w + 51
2 4
fa „2
Л
fn „2
>
PhnhX+ W + 1 г PhП2Х- w + 3
- + —
>
г I 2 - W2 i г
f Ph 2nXh 2 + w2 + 5Л
Ph 2nXh2 + w2 +11 г f Ph2nXh2w2 + 3
f Ph 2nXh 2 + w2 +11
2 4
>
X
(
Y
Ph 2ПШ + w2 + 5 2 4
Л
(
-Y
Ph2nih2 - w2 +1
2 4
-1
X
X
(ehni;i+w +11
Y
(Phnhi+w + 51
Y
(Ph nhi- w + 31
-1/2
X
X J J exp
0 0
Ph nih -Po + w + 2 1t - I Ph 2nih 2 -p2 + w2 + 1 It'
dtdt'x
x(1 - e - 2 f) 2 (1 - e - 2 r') 2 (1 - exp [-2 wt]) 1 (1 - exp [-2 w2 t'j) 1 X
ет/
X
R
*
1 + exp (—2t) 1 + exp (-2t')
1/2
+
Ph (1 - exp ( 2t)) Ph2 (1 - exp (-2t'))
X
1 + exp (—2t) + 1 + exp (-2t')
1/2
Ph (1 - exp ( 2t)) Ph2 (1 - exp(-2t'))
X
ет/
2yfn-
w
+
w2
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph 2 (1 - exp (-2 w21'))
1/2 * 1 R* 2
3/2
w
+
w2
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph 2 (1 - exp (-2 w2 t'))
exp
-2 Ro-
w
+
w2
1 Ro*2
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph 2 (1 - exp (-2 w2 t'))
w
+
w2
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph 2 (1 - exp (-2 w21'))
. (48)
Коэффициент примесного поглощения света при фотовозбуждении примесных комплексов А+ + е в квазинульмерной структуре в магнитном
поле Кб ) (ю) с учетом дисперсии радиуса КТ определяется формулой (в боровских единицах):
кВ )(Х ) = ^0
в Щ Eh
3/2
i2
0 n
м (t)
Mf 'i', f a
k (X2,1 -п2 (R^u )2
"(nih 2-nih)-x +
+R*2u2:
n'l'm'
||n,1,+1;n',l ',m'\ ||1,0,0;n',l ',m'| (п2 - X«',l') Eh
|2 Л
P(u)du . (49)
После интегрирования по и получим
K(t)(x) = 22п2Noi2а* R*A2 3J22 1 (kXn2,1 -п2 /2 n2 X KB (X) =-/7E2--Y~ J 2 X2 X2 k K*2A2 "Pih2-ihГ
*6Eh X 0 n=1 X1,0 - Xn,1 , K0 A2
h WB n*2ll2 ^ pn,1,+1;n',l',m' - |1,0,0;n',l',m'|
|2 Л
+^+r*2a 2: 2Eh
n'l'm'
(п2 - X2',l')Eh
X
X
K0Xn,1A2J3 (K0A2Xn,1) J3 . 2 2
-RqA2 X1,o J1 2
0 )J 5
X
X
3 3 9
2-1 п- 3 aj Ph2 Ph22A24 ww2
г| 2-w Iг
( 1 л
о „2
Ph nihA 2 + w + 5
2 4,
( 3 Ph nihA 2 + w+1
2 4.
Л2 (
3
Л
X
Ph nih A2 - w + 3 2 4
-w2 |г
( Ph 2nih 2 + w2 + 5Л
2 4
X
( Ph 2nih 2 + w2 +1
2 4
Л ( Ph2nih2 - w2 + 3Л
2 4
( Ph 2nih 2 + w2 +1Л
X
X
¥
( Ph 2nih 2 + w2 + 5
2 4
Л ( Ph2nih2 - w2 +1
2 4
¥
( 3 л Ph nihA 2 + w2 +1
2 4
Л
X
X
( 3
¥
PhA 2 nih + w2 + 5 2 4
Л ( 3 Л
PhA2 nih - w2 , 3
¥
- + -
2 4
-1
X
2
X
Y
( Ph 2nih 2 + w2 +11
2 4
-Y
( Ph2nih2 - w2 +11
2 4
-1
( 3 1 Ph nih A 2 + w2 +1 2 4
л
X
X
( 3
Y
Ph A2 nih + w2 + 5
2 4
1 ( 3 1
Ph A2 nih - w2 , 3
Y
+
" (
X J Jexp -
0 0 _ V
( 3
/ v 1 1 (
-1
X
Ph A2 Па/-PoA 2 2 + w +
t -
Ph 2nih 2-P2A 2 2 + w2 +:
dtdt 'x
x(1 - e - 2 f) 2 (1 - e - 2 f) 2 (1 - exp [-2 wt]) 1 (1 - exp [-2 w2 t'j) 1 X
—* /
RqA2 (
erf
X
1 + exp (—2t) + 1 + exp (-2t')
1/2
Ph A 2 (1 - exp ( 2t))
Ph2 (1 - exp ( 2t'))
1 + exp (—2t) + 1 + exp (—2t')
1/2
X
_ 3, ч Ph2 (1 - exp ( 2t'))
Ph A 2 (1 - exp ( 2t))
x
erf
2л/п-
w
- + -.
w2
_ 3, Ph 2 (1 - exp (-2 w1'))
Ph A 2 (1 - exp (-2 wt))
1 Ro*A2
f
w2
- + =-
w2
n3/2
_ 3 Ph2 (1 - exp (-2 w t'))
Ph A 22 (1 - exp (-2 wt))
exp
-2 R*A2-
w
- + —
w2
1 r*2a2
_ 3 Ph2 (1 - exp (-2w2t'))
Ph A2 (1 - exp (-2wt))
w
w2
где
_ 3 Ph2 (1 - exp (-2w2t'))
Ph A2 (1 - exp (-2wt))
w2 1 + Ph22A3a*-4/2 ; P2 = pn,±1 eV4пeoeRo*ahEh
(50)
Ph2 = (5EhahR03A2е)2 e-1X"1 (3Xn,1 cos(Х„л) + (Х3„л - 3)sin(Х„л ))x
x(2 Xn2,1 (
Хи,1 ■
1)-1 + cos
(2 Xn,1)+2 Xn ,1 sin (2 Xn,1))-2,
Д2 - корни аргумента 5 -функции Дирака, определяемые из трансцендентного уравнения
и
4 к*4:
I Р I |2
rn,1,+1;n',l ',m' - r1,0,0;n',l ',m'
n'l'm'
(п2 - XXn2',l')Eh
-и2R)2 (nih2 -nih + X) + k(Xn21 -п2) = 0.
(51)
На рис. 1 представлены кривые спектральной зависимости коэффициентов поглощения света при фотовозбуждении примесных комплексов
А+ + е в квазинульмерной структуре с 1п8Ь КТ во внешнем магнитном поле для случая е^ ТТ В (кривая 2) и е^ ± В (кривая 3). Видно, что в магнитном поле происходит сдвиг края полосы поглощения в коротковолновую область спектра (ср. кривые 1 и 2, 1 и 3), что связано с динамикой уровней Ландау.
4 5
Энергия фотона, мэВ
Рис. 1. Спектральная зависимость коэффициента поглощения света (в отн. ед.) при фотовозбуждении примесных комплексов а+ + е в квазинульмерной структуре с 1п8Ь КТ во внешнем магнитном поле при Е^ = 5 мэВ; Яо = 5о нм для различных значений величины В: 1 - В = о; 2, 3 - В = 5 Тл (2 - е^ттВ , 3 - В)
В случае, когда е^ ± Б, полоса поглощения расщепляется в дублет Зеемана (ср. кривые 1 и 3) в соответствии с правилами отбора для магнитного квантового числа т =±1. Следует ожидать, что указанные особенности спектральных кривых в магнитном поле будут проявляться в спектрах
ФДЭ.
Расчет радиационного времени жизни возбужденных электронных состояний
При относительно небольших изменениях диэлектрической проницаемости е (Ае < 3е) изменение величины е при фотовозбуждении в дипольном приближении с учетом дисперсии радиуса КТ определяется из следующей формулы (см. также [6]):
4 N 3/2
Ae(ro) = п 0 0 V[ cn (ю)тпanP(u)du, (52)
йю ^ J
n o
где I* - интенсивность излучения; ю - частота падающего света; an - поляризуемость возбужденных состояний электрона в КТ; Tn - время жизни возбужденных электронных состояний; cn (ю) - парциальное сечение поглощения фотона КТ с комплексом A+ + e .
Поскольку величина 1/ Tn определяет суммарную вероятность, отнесенную к единице времени, спонтанного испускания фотонов при квантовых переходах электрона из ^-состояния (с различными квантовыми числами n) в основное состояние, то в предположении, что система характеризуется только радиационным временем жизни, выражение для Tn запишется как*
— = ГО, (53)
т„
где полная вероятность перехода Ш определяется выражением вида I УК Ф (Ге, гн ) IV Фп (Ге, Тн ) '2
Й
Ш= 2Г J2Кф out (ne, nh )\V\Фп (ne,nh ))|2 dP (Eout) , (54)
при этом величина й р( ЕоиГ) характеризует плотность числа конечных состояний системы и определяется как
ч V (ю)2 йО йр(Еои?)= / ;3 3 , (55)
(2п )3 Йс3
где
ю = (Еп - Еои? )/Й = (й2 (Хи,1 - Я2 )/2те*4^02 - (ЕМ(1,2) -Е1Ь ) +
Детальное описание последовательности расчета Ае(ю) содержится в работе [1].
+к0 2 I Vn,1,(0,±1);n',l',m' n'l'm'1
- V
1,0,0;n',l',m'
'(п2 -xX2
',l' Eh
lh;
^О - бесконечно малый элемент телесного угла, а оператор взаимодействия частицы с электромагнитным полем (в однофотонном приближении) имеет вид
V = -
-A (г) p,
(56)
здесь А (г) - оператор векторного потенциала, определяемый следующей формулой (в кулоновской калибровке)
A (г ) = 2
к ,о
^ 2пhc2Л V юк
1/2
. ■ ikr . -ikr
ek ,o(k ,oe + akae
(57)
а к ,о и а ^ о - операторы уничтожения и рождения фотона с волновым вектором к и поляризацией о соответственно. В случае дипольного приближения выражение для полной вероятности в боровских единицах с учетом дисперсии размера КТ будет определяться следующим образом:
Ш =
4e2 El
3h4c3
k (Х"Д -п'/ (n2 n2 ) R*2 x
——2--(nih(1,2)-nih )Kq X
( R0U )
x :
V.
,1, (0, ±1);n', l', m'
V1
1,0,0; n', l', m'
(п2 -
Xn',l' ) Eh
Pn
(0,±1)
(58)
где величина Рп (о ±1) определяется выражением
Р„
.(0, ±1)
2 ^^(г )¥ih (Г ) ^ ¥n ,1,(0,±1) (re )
r(s,t)
ei , re
¥1,0 (re ) , (59)
С учетом полученных ранее выражений для матричных элементов (37) и (48) выражения для (59) запишутся для случая, когда е\ ТТ В :
Р I2 =
Pn,0 =
3 3
2-1 п-3 a6 Ph P21ww1
г| 1 - w ) г I + 5
Phn/ji + w +1| г | Phn/ji- w + 3
-X
3
2
Г12 - w1 IГ
( РыПШ + w1 + 51 2 4
x-
РыПЩ + w1 +1
Y
(
Ph1nih1 - w1 +1
(Ph1nih1+w1 +11
X
X
(
Y
V
РыПаh1+w1 + 5
2 4
Л
(
Y
Ph1nih1 - w1 +1
2 4
X
X
X
(Ph nhi+w +11
Y
(Ph n2i+w + 5
2 4
1 (a -2
Y
Ph n2i- w +1
2 4
-1
J J exp
0 0
-|phnih-Po + w +11t-VPh1nih1 -Po + w1 + 2 It'
X
dtdt'x
x(1 -e-2f) 2 (1 -e-2r') 2 (1 -exp[-2wt]) 1 (1 -exp[-2w11']) 1 X
erf
X
^ (X120 - Xn,1
X
R
* i
1 + exp (—2t) + 1 + exp (—2t')
1/2
Ph (1 - exp ( 2t)) Ph1 (1 - exp (—2t'))
1 + exp (—2t) + 1 + exp (—2t')
1/2
X
Ph (1 - exp ( 2t)) Ph1 (1 - exp (—2t'))
X
erf
w
+
w1
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w11'))
1/2 *
1 R* 2
s3/2
w
+
w1
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph1 (1 - exp (-2 w11'))
exp
-2R0-
w
+
w1
1 Ro*2
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph1 (1 - exp (-2 w11'))
w
+
w
(0)
X
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph1 (1 - exp (-2 w11'))^
* ~ / * ~ \ / * ~ \ * ~ / * ~ \ / * ~ Ro xn,1 J3 (R* xn,1) J3 (Ro X1,o)- R* X1,o J1 (Ro X1,o) J5 (Ro xn,1
X
/J
, (60)
и для случая, когда ei ± B :
* ~ / * ~ \ / * ~ \ * ~ / * ~ \ / * ~ \ RXn,1J3 (RQXn,1) J3 (RQX1,0 ) - RX1,0 -Л (RX1,0 ) J5 (RqXn,1)
P
n, ±1 -
X
X
3 3 2-1 3 a6 P 2 R" 2,
Г I 1 - w 1Г (М/^ + 5
^ ^ ah вь2 Ph2ww^ 12 J \2 2-^-X
PhnL + w +Г | phnL- w + 3
X
ГI 2 - w2 J Г ( ph2ЛХ22 + w2 + 5
P h2nlh2 + w2 +11 Г f p h2nlh2 w2 + 3
( ph 2nlh 2 + w2 +1 1
X
X
¥
( ph2nih2 + w2 + 51 - ¥ ( ph2nih2 - w2 + 3 1
- + —
4 j i
+ — 4
-1
X
X
(Ph nhi+w +11 ¥ (Ph nhi+w +5 ^ -¥ (Ph nhi- w +3 J -1
2 4 I j 2 4 I j 2 4 I j
-1
X
X
j j exp
0 0
-I phnih-p0 + w +1J t - f ph2nih2-p2 + W2 + 2 I
dtdt'x
x(1 - e-21) 1/2 (1 - e -21') 1/2 (1 - exp [-2 wt]) 1 (1 - exp [-2 w21']) 1 X
erf
X
.Rq 2
* (
1 + exp (-2t) + 1 + exp (-2t')
s1/2
Ph (1 - exp (-2t)) Ph2 (1 - exp (-2t'))
X
(
1 + exp (-2t) + 1 + exp (-2t')
Л/2
Ph (1 - exp (-2t)) Ph2 (1 - exp (-2t'))
x
erf
w
- +
w2
11 rQ
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph 2 (1 - exp (-2 w2 t'))
w
+
w2
Ph (1 - exp (-2 wt)) Ph2 (1 - exp (-2 w2 t'))
3
exp
—2Rq '
w
- +
w2
1 Ro*2
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph2 (1 - exp (-2 w2 t'))
w
+
w2
Ph (1 - exp (-2 wt)) ph 2 (1 - exp (-2 w21'))
. (61)
Соответственно для времени жизни электрона на возбужденном уровне с учетом дисперсии радиуса КТ получим следующее выражение:
Тп = [к(X2, -л2)/(Щи)2-(пхн<1,2) -Пи)Ч2 X
x 2,
n'l'm'
Vn,1, (0, ±1); n',l', m'
N-3
1,0,0; n', l', m'
(п2 -XI'
',l' Eh
3й4с3
4e2 El
2
P„
(*,±1)
(62)
Поляризационная зависимость фотодиэлектрического эффекта в квазинульмерной структуре с примесными комплексами А+ + е во внешнем магнитном поле
Поляризуемость ап электронных состояний в КТ с комплексом А+ + е определяется выражением вида (в боровских единицах):
an
= W
Eh
k(Xn2,1 -п2/ (n2 n2 )+ R*2 x -——2--(nih(1,2)-nih ) + R0 x
( R0u )
x 2.
n'l'm'
Vn,1, (0, ±1); n', l', m'
N 1
V
1,0,0; n', l', m'
(*2 -
Xn',l') Eh
Pn
(*,±1)
(63)
Парциальные сечения поглощения фотонов КТ с комплексом А+ + е можно записать в виде (в боровских единицах):
°n (X) = йп
й10
м (s,t) Mf 'i', f i
2
k (Xn,1 -п ) ( 2 2 )
\2--(nih(1,2)-nih) —
( r*
X +
+R*2u2 2;
n'l'm'
Vn,1, (0, ±1); n', l', m'
- V
1,0,0; n', l', m'
(п2 -
Xn',l') Eh
(64)
2
где ^ определяется формулами (37) и (48) для случаев е^ ТТ Б и
е\ ^ Б соответственно.
Таким образом, выражение (52) примет вид
2
Ае(Х )= 12 N01 рАУЧУ 2 J(
n=1 0
P
(0,±1)
e2 Eh5
(R*u) P(u)
-T-X
X 2
X
X2,1 -п2 ( RqU )2
-(nih(1,2)-nih ) + R*2 x
\—2
x 2,
n'l'm'
V
1, (0, ±1); n',l', m'
V1
1,0,0; n', l', m'
(п
2 Xn',l') Eh
X
x5
k (Xn21 -п2
■ 2 ' - (nih(1,2) -nih ) + R)" x ( R0u )
x 2,
n'l'm'
Vn,1, (0, ±1); n',l', m'
- V
1,0,0; n', l', m'
(п2 -Xn2,l')Eh
(65)
Корни А, 2 аргумента 5 -функции Дирака, удовлетворяющие закону
сохранения энергии, находятся из уравнений (41) и (51). Выполнив интегрирование по переменной и, окончательно получим выражения, определяющие спектральную зависимость Ае для случая, когда е^ ± Б :
А^х)= 12^0'о^УанУ Ур(а1 )х
е Ен х п=1
л-2
X
k (ХпД п ) / 2 2 \ *2 |Vn,1,0;n',l',m' - V1,0,0;n',l',m'
---"2--(nih1 -nih) + R0 2 -T2-~2 \-
(RQA1) n'l'm (п - Xn',l') Eh
X
X
3 3 А9 Г (1 - w 1Г11 - w1ГI Phnih AP+w+51
2-1 п-3«J Ph2Ph12w-w-1 1 V2 У V2 'У }-2-44X
Ph nih A3/2 + w +11 Г ( Ph nih Ai3/2 - w + 3 1
(Ph1nlh1+w1 + 51
x-
(n J2 ■ ,тг 1 12 (n J2
Ph1nih1 + w1 +1
2 4
Ph1nih1 - w1 +1
2 4
(Ph1nlh1+w1 +11
X
X
¥
( Ph1nih1 + w1 + 51
I
¥
( Ph1nih1 - w1 +11
X
X
( 1 q „2
Л
iVniW + w +1
2 4 J
¥
( 3 Ph nlh A12 + w + 5 2 4.
1 ( 3 1
q „2
-¥
Mih A12 - w + 3 2 4,
-1
-1
X
X
J J dtdt' exp
0 0
(
PhnihA12 -PqA- 1 + w+1
t - If Ph1nih1 -P1A 1 + w1 + 1 1 t'
X
-1 -1
x(1 -e-2f) 2 (1 -e-2r') 2 (1 -exp[-2wt])-1 (1 -exp[-2w1t'])-1 X
erf
X
VnR(*A1
R0A1
1 + exp (-2t) 1 + exp (-2t')
+ =
Ph A? (1 - exp (-2t))
Ph1 (1 - exp (-2t'))
X
^ (- XXn,1
1 + exp (-2t) 1 + exp (-2t')
_ 1 ' Ph1 (1 - exp (-2t'))
Ph A2 (1 - exp (-2t))
x
erf
2>/n-
w
+ =-
w1
Ph A3/2 (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w1 0)
2 R0A1
w
+
w1
exp
-2 RoAr
Ph A3/2 (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w1 f)) ~ щ
w
+
1
Ph A3/2 (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w10 )
w
+
w1
Ph A3/2 (1 - exp (-2 wt)) Ph1 (1 - exp (-2 w10 )
x
3
f
x
R0Xn,1A1 J3 (R0Xn,1A1) J3 (R0X1,0A1) -. 2 2
M
2
—* _ / —* _ \ / —* _ -R0X1,0A1J1 (R0X1,0A1) J5 (R0Xn,1A1
2 2 yy
(66)
и случая, когда ei ± В :
А£(Г)(x) = 12No1 о^А/У 22p(a2)X
e Eh X n=1
X
k (X2,1 -п2
/2 2 \ 77*2 Vn,1,±1;n',l',m'
2 -(nih2-nih ) + R0 2J-(пГ-
(Ro*A2) mm' (п -
V1
\—2
1,0,0;n ',l ',m'
Xn' ,l') Eh
X
X
R0 Xn,1A 2 J3 2
n,1) J3 2
- R0A 2 X1,0 J1 2
0 )J 5
X
X
3 3 9
2-1 п- 3 «l P/2 PlbA4 —2
ri ^- w Iг
( Ph nil a2/2 + w + 51
Г 2 - w2 | Г
Phnila2/2 + w +1T ГI PhnilAj/2 - w + 3
2 4
1
4
-x
( ph 2nih 2 + w2 + 5
X-
( ph 2nih 2 + w2 +1
>2 /_
( ph 2nih2 - w2 + 31
( ph2nih 2 + w2 +11
X
X
Y
( ph 2nih 2 + w2 + 5 ^
Y
( ph2nih2 - w2 + 31
( Ph ni h A^ + w + 11
X
X
Y
(PhA2/2nih + w + 5|-Y(PhAj/2nih - w + 31
2 4 У V 2 4
-1
x
2
x
j j exp
0 0
( 3
Ph A2 n^h -P0A2 2 + w +
Ph2nih2 -P2A2 2 + w2 +:
X
x(1 - e -2f) 2 (1 - e -2r') 2 (1 - exp[-2 wt]) 1 (1 - exp [-2 w21']) 1 X
вг/
X
RqA 2
1 + exp (-2t)
■ + —
1 + exp (-2t')
s1/2
v
_ 1 ' Ph2 (1 - exp (-2t'))
Ph A 2 (1 - exp (-2t))
( 1 + exp (-2t) 1 + exp (-2t') 1
+Ph2 (1 - exp (-2t'))
Ph A 2 (1 - exp (-2t))
1/2
X
X
вг/
2\[к-
w
+ =-
w2
11/2 ROA2
Ph A2/2 (1 - exp (-2 wt)) Ph2 (1 - exp (-2 w 0)
w2
+
w2
3/2
Ph A2/2 (1 - exp (-2 wt)) Ph2 (1 - exp (-2 w 0)
exp
-2 RqA2-
w
+
w2
1 rQ2a2
_ 3 Ph2 (1 - exp(-2w2t'))
Ph A2 (1 - exp (-2wt))
w
+
w2
_ 3 Ph2 (1 - exp(-2w2t'))
Ph A2 (1 - exp (-2wt))
(67)
На рис. 2 представлена зависимость относительного изменения диэлектрической проницаемости (ОИДП) квазинульмерной структуры с 1п8Ь КТ от величины внешнего магнитного поля для случев в^ ТТ В (рис. 2,а) и в^ ± В (рис. 2,6). Сравнение кривых на рис. 2,а и рис. 2,б позволяет выявить дихроизм ФДЭ, связанный как с нарушением центральной симметрии основного состояния электронного адиабатического потенциала, так и с наличием внешнего магнитного поля. Из сравнения кривых 1 и 2 на рис. 2,а и кривых 3 и 4 на рис. 2,б видно, что магнитное поле подавляет ФДЭ, что связано с усилением локализации электронной волновой функции в магнитном поле, а также с модификацией электронного адиабатического потенциала.
Заключение
В модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении исследовано влияние внешнего магнитного поля на ФДЭ, связанный с возбуждением примесных комплексов А+ + в в квазинульмерной структуре.
В, Тл
В, Тл
б)
Рис. 2. Зависимость относительного изменения диэлектрической проницаемости квазинульмерной структуры с 1и8Ъ КТ от величины внешнего магнитного поля: а - для случая е^ тт Б ; б - для случая е^ ± Б при Е^ = 2,5 мэВ; йю = 1 мэВ для различных значений среднего радиуса КТ: 1, 3 - ^0 = 75 нм; 2, 4 - ^0 = 55 нм
Показано, что в магнитном поле возможно эффективное управление ФДЭ за счет модификации электронного адиабатического потенциала и электронной волновой функции.
Список литературы
1. Кревчик, В. Д. Фотодиэлектрический эффект, связанный с возбуждением комплекса А+ + е в квазинульмерных структурах / В. Д. Кревчик, А. В. Левашов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 77-92.
2. Екимов, А. И. Квантование энергетического спектра дырок в адиабатическом потенциале электрона / А. И. Екимов, А. А. Онущенко, Ал. Л. Эфрос // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1986. - Т. 43, № 6. -С. 292-294.
3. Кревчик, В. Д. Влияние магнитного поля на рекомбинационное излучение,
связанное с A+ -центрами в квантовых точках / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, П. С Будянский // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 3 (35). - С. 125-143.
4. Градштейн, И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М. : Физматгиз, 1962. - С. 1100.
5. Лифшиц, И. М. О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов / И. М. Лифшиц, В. В. Слезов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1958. - Т. 35, № 2 (8). - С. 479-492.
6. Известия Академии наук СССР. Сер. физическая. - 1978. - Т. 42, № 6. - С. 1206.
References
1. Krevchik V. D., Levashov A. V. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2007, no. 3, pp. 77-92.
2. Ekimov A. I., Onushchenko A. A., Efros Al. L. Pis'ma v Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Letters to the Jornal of experimental and theoretical physics]. 1986, vol. 43, no. 6, pp. 292-294.
3. Krevchik V. D., Razumov A. V., Budyanskiy P. S. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3 (35), pp. 125-143.
4. Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedeniy [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow: Fizmatgiz, 1962, p. 1100.
5. Lifshits I. M., Slezov V. V. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of experimental and theoretical physics]. 1958, vol. 35, no. 2 (8), pp. 479-492.
6. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Ser. fizicheskaya [Proceedings of the USSR Academy of Sciencfes. Series:physics]. 1978, vol. 42, no. 6, p. 1206.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета приборостроения, информационных технологий и электроники, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of instrument engineering, information technology and electronics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Razumov Aleksey Viktorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of general physics and physics teaching technique, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Будянский Павел Сергеевич Budyanskiy Pavel Sergeevich
аспирант, Пензенский государственный Postgraduate student, Penza State
университет (Россия, г. Пенза, University (40 Krasnaya street,
ул. Красная, 40) Penza, Russia)
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 539.23; 539.216.1 Кревчик, В. Д.
Особенности фотодиэлектрического эффекта, связанного с возбуждением примесных комплексов А+ + е в квазинульмерных структурах во внешнем магнитного поле / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, П. С. Будянский // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 4 (36). - С. 111-144.
