Фотодиэлектрический эффект, связанный с возбуждением комплекса в квазинульмерных структурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.23; 539.216.1

В. Д. Кревчик, А. В. Левашов

ФОТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ, СВЯЗАННЫЙ С ВОЗБУЖДЕНИЕМ КОМПЛЕКСА А+ + е В КВАЗИНУЛЬМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ

Теоретически исследован фотодиэлектрический эффект, связанный с возбуждением примесных комплексов А+ + е в квазинульмерной структуре. В адиабатическом приближении с учетом дисперсии радиуса квантовых точек получено выражение для спектральной зависимости изменения диэлектрической проницаемости. Показано, что поляризуемость комплекса А+ + е в ди-польном приближении определяется средним радиусом квантовых точек и

энергией связи дырки локализованной на А0 -центре. Найдено, что изменение диэлектрической проницаемости наиболее существенно в случае круговой поляризации света. Проанализирована возможность использования фотоди-электрического эффекта в качестве эффективного механизма воздействия ИК-излучения на распространения субмиллиметровых волн в полупроводниковых наноструктурах.

Интерес к фотодиэлектрическому эффекту связан с тем, что он может быть использован в качестве метода спектроскопических исследований примесей в полупроводниковых наноструктурах. При спектральных исследованиях примесей с помощью ФДЭ, в отличие от фототермической ионизации, не требуется термической ионизации возбужденных состояний [1]. Поэтому измерения можно проводить при сколь угодно низких температурах, что исключает влияние температуры на ширину линии оптического поглощения. С фундаментальной точки зрения ФДЭ представляет интерес как нелинейный оптический эффект с более низким порогом, чем у обычных нелинейных оптических эффектов. Резонансные частоты у0, характеризующие дисперсию низкочастотной диэлектрической проницаемости Де, находятся в субмиллиметровом диапазоне. Например, для квантовых точек (КТ) ¡иБЬ с комплексом А+ + е, как показали оценки, Уо □ 7 • 1011 Гц. Таким образом, при облучении полупроводниковой квазинульмерной структуры с комплексами А+ + е квантами с энергией ЙУо может заметно изменяться коэффициент преломления субмиллиметровых волн. В этой связи ФДЭ может служить эффективным механизмом воздействия ИК-излучения на распространение субмиллиметровых волн в полупроводниковых наноструктурах и как метод регистрации ИК-излучения. В настоящей работе в рамках модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении с учетом дисперсии радиуса квантовой точки (КТ), описываемых моделью «жесткой стенки», получены аналитические выражения, определяющие спектральную зависимость изменения диэлектрической проницаемости Де для линейной и круговой поляризации света.

При относительно небольших изменениях диэлектрической проницаемости е (Де□ 3е), где е - диэлектрическая проницаемость вещества КТ, изменение диэлектрической проницаемости при освещении светом с учетом дисперсии размеров КТ в дипольном приближении можно оценить, исходя из следующей формулы [2]:

Де(ю)= 10 ^ | а^^ю,Лоы^^(^ы)(ы)йы, (1)

п о

где Яо - средний радиус КТ; ы = Щ/ Я , ^о - интенсивность излучения; N0 -концентрация КТ в диэлектрической матрице; ю - частота падающего света;

а

■й

поляризуемость возбужденных состояний электрона в КТ; т,

■{±,1

Ц

время жизни возбужденных электронных состояний; ап (, Яоы) - парциальное сечение поглощения фотона КТ с комплексом А+ + е ; п - квантовые числа электрона в размерно-квантованной зоне проводимости. Соответственно, верхний индекс отвечает линейной, а нижний - круговой поляризации

света. Поскольку величина —(у определяет суммарную вероятность, отне-

тп

сенную к единице времени, спонтанного испускания фотонов при квантовых переходах электрона из Р-состояния с различными квантовыми числами п в основное состояние, то в предположении, что система характеризуется толь-

ко радиационным временем жизни, выражение для тп дующим образом:

1

= ш,

■(±11

запишется сле-

"(1

(2)

где полная вероятность перехода ш определяется как

ш=Ш I

а

2

й р(Бои1 ),

(3)

при этом величина йр(ЕоШ) характеризует плотность числа конечных состояний системы и определяется соответственно следующим образом:

Л2

V

й р ( ЕоЫ )

(о 1 ю±11

_____V

й О

(2л)3 %(?

(1 1 { ¿{У

где ю1_ - — Б Й

Чп - ЕоЫ

2т*Яог

- Е0

£1

(4)

, йО - беско-

V 7—10 V

нечно малый элемент телесного угла; ¿£1 - энергия дырки, локализованной на

энергия дырки в р-состоянии

Ао ¿ЧУ

А -центре, в о-состоянии электрона; ¿£п

т

п

электрона при т = 0, ± 1 (в зависимости от поляризации света), а оператор взаимодействия частицы с электромагнитным полем (в однофотонном приближении) имеет вид

(5)

здесь А (г) - оператор векторного потенциала, определяемый формулой (в кулоновской калибровке),

г ) = I

к ,а

2лйс V юк

1/2

^ ($ і$г . $ + —і$г

ек,а І ак,ае + акае

(6)

+

ак,а , ак а - операторы уничтожения и рождения фотона с волновым вектором к и поляризацией а; ек,а - единичный вектор поляризации. В случае дипольного приближения выражение для полной вероятности будет определяться следующим образом:

К ) =

4е

3Й4с3

ЧГ — Еі1

X

X

/

Л

Лй'Ге,

¥1,0,0 ре )

где волновая функция электрона

Хп,1ге

У К0 )

^1,т

(7)

(8)

и соответственно

2Г

3 I £1п

4 2

V

1 + .£Іп 4 2

л

4Л2 £

V

V V

3 | £1п

4 2

¥

3 | £1п

4 2

ЛЛ

(к)—3/2^

.1

2 ’4

( 2 ^ гк

V а*п

- (9)

/У

волновая функция дырки, локализованной на А0 -центре, когда электрон находится в о-состоянии.

Здесь е£п =^3Я*к/2л2п2 ( к Л2 - 2Рп ), к = ае /ан, а^ = а^у°п ,

уп =76ЯоЯо /(2лп), рп = У0 -С1 (2лп) + 1п(2лп), Жа,р(г)- Ж -функция Уиттекера; ^(г) - логарифмическая производная от гамма-функции,

2

2

2

и

х

(10)

4о

волновая функция дырки, локализованной на А -центре, в конечном состоянии (р-состояние) и соответственно

^ \ 2

5^Яо(3*п,1С08(Хп,1 ) + (д - 3)в1п(п,1)) х

-----------------------------------------х

,р,о =

еХп =

Х

п,1

х(Г°^Хп,1 + 2НтпХЪпХ -5^Хп,1Яо02 -' гНт1пХп,1со5(2Хп,1) + 15гНттХп,1Я0 (ттХи,1 - 4Я0 )х

' 2гНттХп,1 й1п(2Хп,1) -

х соя

2гНтт Хп,1

(11)

-45^ Х^яп

2гН т1п Хп,1

Я°

+ 30 Я*5 яп

2гН т1п Хп,1

ЛЛ

1/2

Я

//

х

х

е Р,±1 = еХп

10Я° (3 Хп,1 соя (Хп,1) + (Хп3,1 - 3)п (Хп,1)

Хп2,1 (2Х( - 1 - 2Хп2,1 + соя(2Хп,1 ) + 2Хп,1 ЯД(2Хп,1 )

1/2

х

(12)

х

( Я* л2 - 2рр,±1 ^

Рпр0 =■

Х

п,1

30Я0Гйтт ( 3Хп,1 сой ( Хп,1) + ( Х(,1 - 3 ) ) ( Хп,1)

-х

(13)

X(6rhminXn,1 3rhminXn,1 15rhminXn,1R0 +

+40rhmin Xn,1R0 + 3rhmin Xn,1 eos (2Xn,1) + 15rhmin Xn,1R0 cos (2Xn,1 )'

+ 30rhmin Хп,1^0 cos

2rh min Xn,1 ^

R

0

' 30rhmin Xn,1R(2c¿ (2 Xn,1) + 30rhmin x3LR0C

2rh min Xn,1

R0

(13)

- 30rhmin Xn,1R02ln

rh min ^ V R0 j

' +6r/imin x2,1 sin (2 Xn,1) +

' 30rhminXn,1R0 sin(2Xn,1) 15rhminXn,1R0

sin

2rh min Xn,1 ^

R0

-15Rq sin

2rh min Xn,1

ЛЛ

ip^1

R0

Xn21

JJ

-X

2 (3 Xn,1Cos (Xnj ) + ( - 3)sin (Xnj)) x(eos(2Xn,1) + 2у0-1 - 2Xn21 - 2X2nXCi(2Xn,1)+ (14)

+ 2 Xn21ln (2 Xnj) + 2 Xn,1sin (2 Xnj)),

где r/^min - значение радиуса, отвечающее минимуму адиабатического потенциала электрона в случае линейной поляризации; Rq - радиус КТ; Yo -постоянная Эйлера; Xn ¡ - n-й корень функции Бесселя полуцелого порядка

l +1/2 (n - порядковый номер корня функции Бесселя при данном l), и со-

2 2 p 0 2 2 p +1 ответственно ap 0n = ahYn , ap,±1,n = ahYn , где

Vp,0 _ í n

5^Ro3 (3XnX cos(X„1) + ( - 3)sm (Xn¿)

X

n,1

X( rhmin Xn,1 + 2rhmin Xn,1 5rhmin Xn,1R0

■ romin X„1 eos (2 X„,1) + 15rhmin Xn,1R02 ( (,1 - 4R0

(15)

x cos

o

2rh min Xn,1

r0

2rhmin Xn,1 sin (2 Xn,1)

45rhminXíj,1R0 sin

2rhmin Xn,1

r0

+ 30R05 sin

2rhmin Xn,1

1/2

RO

у р,±1 = * п

10ЯоО3 (3 Хпдсоя (Хп,1 ) + (,1 - 3)п (Хп,1))

ч1/2

Хп2,1 (2Хп4д -1 -2Хп2д + соя(2Хп,1) + 2Хп,1 я1п(2Хп,1))

(16)

Выражение для полной вероятности в боровских единицах с учетом дисперсии радиуса КТ запишется в виде

л3

ш

3Й4с3

к (Хп2,1 -Л2 ) - Г рЩ;

'-то V2

„ [±Ц2 * 2

Лп -Л1

,р&

(Яоы)

(17)

где Р^Р ^ определяется следующим образом:

4Хи11 Х„ 1 соя Х,

Рп{ ±^ (Яо°ы ) =

п,1 ( Хп,1 соя Хп,1 (Хп,1 -л | + я1п Хп,1(3Хп,1 -л |)

ЯОы ^3/2 (Х0,1)-^5/2 (Хп, 1)(7л2 - Хп1

х

х

1

3Хп,1 соя Хп,1 + ЯШ Хп,1 ( Хп,12 - 3)

х

х

(18)

р(};8

3 I е£п

4 2

Л г Г

х

V

У

I + еХп

4 2

1"О "I я ^

Р,(];8

V

р№

3 + еХп

4 2

Л г -¥

/

р(};§

ЛЛ

х

3 + еХп

4 2

V

уУ

л

X

V

V 2 Уі

'=* ^2|.2+і+]і ГГ 1

-X

Р( } ^І±1| 1 + £1п

4 2

V

х 2 ¥2

Р±1

3 -3 £1п 5 .3

- + і + ],- + —— ;- + і + ] ,-; -2 4 2 2 2 а 2

(ои)

+ і + ] IГ

рМ}

-х

/

х 2 ¥2

£ Р\1

1+і + ]',‘4 +_12—; ;2,2 +і + ];

V

(18)

1 + £1п

4 2

V

уі

л

Р4±1

3 + £1п

4 2

V 2 Уі

) (1іі+3 )Г Г 1

-X

(1 +і + 3 )Г

Р( } ^І±1|

1 + £1п

4 2

Р,{01І

1+і+]',‘І+І1^;2+і'+]',-|; 2 4 2 2 а2

Р,1±1}п

арМ. ((їи)1+і+]) Г(2

/

Р\0 }

3 + £1п

4 2

л

X

ґ

а*;п

+

х 2 ¥2

1 1 е,р[} 1 3 К» )2

- +1 + +1 + у,———

2 4 2 2 2 а 2

р[}п

(18)

Соответственно для времени жизни электрона на возбужденном уровне с учетом дисперсии радиуса КТ получим следующее выражение:

3Й4с3

4е2 е\

(о» )-------;------

* (^) _ ) Л р[

(о» )

Р,м / \

Поляризуемость ап 1 ] (о»)

(19)

Л ¿1/2 _Л2

Лп Л1

(^ом)

электронных состояний в КТ с комплексом + е определяется выражением вида

аГ^о ) = — х

е

2

'■(2.)

Хп

2

х

Л

(2о)

*2 К _*2 У _ Г Ер[

~ * г. 2 Хп

Л

2те Яо

или соответственно в боровских единицах:

_ Ех1

а,

’■й

Гп 1 2

3 4ал рр[} 1 п

\ * (Х2д _л2 ) _ ) ^

(ом )2

(21)

Л ¿1/2 _Л2

Лп Л1

Парциальные сечения поглощения фотонов КТ с комплексом Л + е имеют вид

2

х8

р[} у 2л

ап (ш Яо ) = —

й/о

2те Яо

[}

М/ ■ хК Ко)

х

( Р[ 1 ^

ЕР\ ±1 Хп _ 1^ _ йш

V )

где Му■ х (ш, Яо) - матричный элемент, отвечающий фотовозбуждению комплексов Л+ + е при внутризонных переходах электрона. Переписывая последнее выражение в боровских единицах, получим

2

2л М [}х (х, Яом) х

НІ о Ек

х5

М

где X = Йш/Ел и Му^х(х,Яом) определяется формулой

к (( _Я ) _( (Хэы )

Л ¿1/2 _Л$2

Лп Лі

_ X

м

/ МХ • «0)

= 1ак

* Т Г1

а І0 ей

X

- (х(

_я

*2

С „ {о 1 „р4 ±1/2 *2 Лп _Лі

(23)

Еь 4(2я)1/2 Хпд

(зХпД сов ХпД + віп ХпД (ХпД2 _ 3)

(

\

3+ем.

4 2

V______У

(

\

і+ем.

4 2

V______У

( (г, $ \ (

3+ек

4 2

¥

V V

¥

У

\Л

УУ

^ /о 1

3 I еЯп

4 2

У

^ Ґ го

1 /{1 і + еЯп

4 2

У

( (

¥

о

р’{11

3 + еЯп

4 2

¥

\ V

р’1±±1 3+е^

4 2

\\

Ґ

(ХП’12 сов ХпД (ХпД2 - Я2 ) + 8Ш ХП’1 (3Хп’12 _я2 )

р|0 у$ у 4±1

>п>п

У У

\_3/4

V

^3/2 (Х0,1 )-/5/2 (ХП’1 )(7г2 _ Хп/

(24)

х Ц-

г=0 1=0

(_1)

у $ _1 +у р4 ±Л _1

пп

1 ]і (у п)_

2 1 І !і!

1+ек

4 2

V Уі

(

1 + Єп

4 2

\

2 (2+■+1) Г Г _1'

3 +' +11Г

( \0^

Р’1±1

1 + еЛп

х

Г

г

Г

Х 2 р2

чч *2 л

3 . . 3 £^п 1-1 5 . .3 Я*2

-+ I + ],- + —— ;- +1 + ],-\—0-

2 4 2 2 2 Л°

У п У~'

Ур’1±1/ Я* 2 (1+1+])Г * п л0 Г

Г

I+‘+у| Г

Р( ^’1+1

3 I £Хп

4 2

1

Т2 ^2

V

Р’{+1

1 + г' + ¿4 + -^^2—;^2’2 +г +

*2

X Л 1 + £п 4 2

V

у г

г

Г

, Р’1+11 л

3 ' £Хп

Х

V 2 Л

Р( I ^’1+11 У п

Х

Я

V

(1 +г + ] )Г

Т2 ^2

р (о 1

3 £ ^ 3 Я*2 1+г+> ,4+-Апг;2+г+] ’г-т*

Рл+1 У п

+ (24)

Р,

0 1 * 21 -+г+]

У п 1X1 Яо

V -

Х

Г

2+г+у)Г

Р(оП

^’1+1 3 ' £Хп '

Х

Я*2 (+<+. 1 >Г ^ _ 2)

(1 +г + 7 )Г 1 '^]

4 ' 2 V у

р (о 1

3 £ ^ 3 Я*2

1+г++-Апг;2+г+•/

р,

о1 * 21 -+г+]

У п 1X1 Яо

V'

/

2+<+^) г

р(о 1 л +1

3 + £Хп '

4 2

V У

Х

Ур1+1

п

+

+

х 2 р2

1 . . 1 13. . «02

2 + -Г;2’2 +

У п 1±]

у//

(24)

Таким образом, выражение (1) запишется в виде

Де(х) = Nо/о12гс2й4сУа* ^3/|2_

’Й/Е

(«0«)

е2 Ек5 X 2

х

'"10 * (,1 ~^2) _ f Л

((о«)

Л ¿1/2 я2

Лп _Л1

(25)

х8

*(( _^2) _(лр{}: ((о«)

Л ¿42 „л2

Лп Л1

_ X

Р («)йи

Корни 8п ] аргумента 8 -функции Дирака, удовлетворяющие закону сохранения энергии, находятся из уравнения

Г Гп 1 Л

\2 т

(26)

ЛР,{£1)2 _Л2 Лп Л1

к (Х,1-л2)

и имеют вид, определяемый формулой

о х2 _я0)2и2X =0

(«0« )

(£,)= V* ( _д2)

8Г =

( к 1 А

«о Р.± Лп :12 Я 2 _Л1 + х

V V

(27)

с учетом вышесказанного последнее выражение для Де можно представить как

2

т , 2*4 3 5 о N 3/2

де(х) = Nо/о6n ії сака ^

) р;

(о«)

е2 Ек5 X 2

-х

п=1 0

* (хn2l-гс2) _ (л ’,{!£!}

((о«)

Л ,±12 _* 2

Лп Л1

(28)

х

(.1 _гс2)

К

г ( /о 1 А А

р.{± Лп У 2 ^ 2 _Л1 + х

V V /

: -8

(±1І

Р («)^«,

V /

2

где Р («) - функция Слезнова-Лифшица [3].

34 е« 2ехр (-1/(1 - 2«/3))

Р («) =

25/3 (« + 3)7/3 (3/2 - «)1 0. « > 3/2.

11/3

« < 3/2,

(29)

Выполнив интегрирование по переменной «, окончательно получим выражение. определяющее спектральную зависимость Де от частоты падающего света:

, )= ^ /о96гс2 й4сУ д* х е2 Ек5 X 2

Р

х

N

і—

=1 с С

¥

V V

,{±1П

п

V У

3 + £Х1

4 2

V У

1+ £Х1

4 2

V У

3 + £Хп 1

4 2

р.{±і);8 1 с р.{±1);8

V

V

3+

4 2

¥

3 £ х;8 3+£м

4 2

уУ

( г ¥

V V

3+ £Хп 4 2

/о А

’О

¥

х

3+ £Хп 4 2

уУ

х

(,1-ГС)

х

(-гс2) ((*«)

Р\±1/2 я2

Лп -Л1

гг

Р\±1\2 я 2

Лп -Л1

Л ^3/2

+ X

У У

(30)

х

/

X

п,1

у Л

і п І п

-3/4

V

3^,1 соя ^,1 + яш ^,1 (хn,l2 - 3

х

(-1).

хЦ-

і=0 і=0

(уї5)

Р,|±Л;8

(у ї8)'

х

Xn,l2 соя Xn,l (^^п,12 -гс2 ) + яіп Xn,l (3^п,12 -гс2))

_ {о) ,

•^3/2 0,1-^5/2 (Х^п,1)«(*8пк1 (гс

х

2 V 2

- Ап,1

Ґ

х

х 2 ¥2

3 3 £ р,{±1);8 5 3 Х) «*2

3 + і + у,3 + £^_ ;5 + і + у,3;

2 4 2 2 J 2 р,{±.І8

Х+<+і« 2 <1+і+у-

2+і+і'іг

3 І £Хп

4 2

р{8л

х

х 2 ¥2

р{±,);8

V

і с '■“і і я1±і2 г) *2

1 + і + у,1 + -^--------;1,2 + і + у; п «0

p,{±l|;8

(30)

л/Уп;8

1 +£Хп

4 2

V Л

3 + £Хп

4 2

V 2 ),

х

8{±1} 2 (і+г+.)«* 2 (1+г+.

(1 +і + у )Г

І + £Хп 4 2

х

х 2 ^2

р,{+і);8

;2 + і + у 3; 8І01)2«С” +‘ + у,2; р№

Л

Ж) (І+'+у) к*2 (1+і+у

V ‘ п °п «о

г|2

+і + і іг

Р,{±±і};8

3 + £Яп

4 2

Л

(30)

х 2 ^2

V

’О8

1 . . 1 єЯп 13..

— + і + ], — + -£п-;—,— +1 + у;

2 4 2 2 2 р,|° )

У п

я1±1/2 п *2

8п «о

На рисунках 1 и 2 приведены графики спектральной зависимости

Д£

для КТ на основе ¡иБЬ в случае линейной и круговой поляризаций света при концентрации А+ -центров N0 = 1015 см-3 .

б)

Рис. 1 Спектральная зависимость относительного изменения диэлектрической проницаемости при освещении светом с линейной поляризацией в КТ ІпБЬ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице при |Е(-| = 2 мэВ

и различных значениях «о : а - «о = 72 нм ; б - «о = 86 нм

2

є

Рис. 2 Спектральная зависимость относительного изменения диэлектрической проницаемости в КТ 1и8Ъ, синтезированных в прозрачной диэлектрической матрице при ^ = 3 мэВ и Я о = 86 нм: а - линейная поляризация света; б - круговая поляризация света.

Как показал компьютерный анализ формулы (30), из-за дихроизма внутризонного поглощения света изменение диэлектрической проницаемости чувствительно к виду поляризации света. Из рисунка 1 и видно, что при увеличении Яо и |е| фотодиэлектрический эффект возрастает, т.к.

при этом возрастает поляризуемость комплекса А+ + е в КТ. При этом изменение диэлектрической проницаемости в квазинульмерной структуре

с комплексами А+ + е наиболее существенно в случае круговой поляризации света и достаточно сильно зависит от размера КТ и мощности потенциала нулевого радиуса.

Список литературы

1. Годик Э. ЭКузнецов А. И. Известия Академии наук СССР. - 1978. - № 6. -42 т. - С. 1206. - (Серия физическая).

2. Bethin J., Castner T. G., Lee N. K. // Solid State Communs. - 1974. - 14 т. -С. 1321.

3. Лифшиц И. М., Слезнов В. В. // ЖЭТФ. - 1958. - № 2 (8). - 35 т. - С. 479.