CC BY
108
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 535.8; 537.9; 539.33
В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, П. С. Будянский
ДВОЙНАЯ ФОТОИОНИЗАЦИЯ ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ ПРИМЕСНЫХ ЦЕНТРОВ В КВАЗИНУЛЬМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ
Аннотация.
Актуальность и цель. Интерес к примесным атомам, обладающим двумя электронами, связан с тем, что они представляют собой простейшие системы, в которых возможна двойная ионизация одним фотоном. Отрыв от атома второго электрона происходит в результате эффекта отдачи после ухода первого. Целью данной работы является расчет вариационным методом первого потенциала ионизации двухэлектронного примесного центра в квантовой точке, а также теоретическое исследование особенностей двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров в квазинульмерной структуре.
Материалы и методы. Расчет энергии связи и первого потенциала ионизации двухэлектронного атома осуществлялся вариационным методом, где в качестве эмпирического параметра брался второй потенциал ионизации. Выражение для коэффициента примесного поглощения света получено в дипольном приближении с учетом дисперсии радиуса квантовых точек.
Результаты. Проведено обобщение метода потенциала нулевого радиуса на случай двухэлектронных примесей в квантовых точках с зарядом ядра, равным нулю. В рамках полуэмпирической модели вариационным методом получено аналитическое выражение для первого потенциала ионизации двухэлектронного примесного центра. В дипольном приближении рассчитан коэффициент примесного поглощения света при фотоионизации двухэлектронной примеси одним фотоном.
Выводы. Показано, что пространственное ограничение в квазинульмерных структурах способствует образованию двухэлектронных примесных центров и при нулевом заряде атомного остова. Двойная фотоионизация примесей приводит к появлению на спектральной кривой поглощения характерного двугорбого профиля, положение пиков в котором существенно зависит от среднего радиуса квантовой точки.
Ключевые слова: двухэлектронные примесные центры, потенциал ионизации, двойная фотоионизация, квантовая точка.
V. D. Krevchik, A. V. Razumov, P. S. Budyanskiy
DOUBLE PHOTOIONIZATION OF TWO-ELECTRON IMPURITY CENTERS IN QUASI-ZERO-DIMENSIONAL STRUCTURES
Abstract.
Background. The interest in impurity atoms, possessing two electrons, is associated with the fact that they appear to be the elementary systems within which double ionization by a single photon is possible. The second electron’s detachment from the atom occurs due to the recoil effect after the first electron’s departure. The aim of the study is to calculate the first potential of ionization of the two-electron impurity center in a quantum dot using the variation method, and to theoretically research the features of the double photoionization of two-electron impurity centers in a quasi-zerodimensional structure.
228
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Физика
Materials and methods. Calculation of the binding energy and the first potential of ionization of a two-electron atom is carried out by the variation method, where the second potential of ionization acted as an empirical parameter. An expression for the coefficient of impurity light absorption was obtained in dipole approximation taking into account quantum dot radius dispersion.
Results. The authors generalized the method of zero radius potential for the case of two-electron impurities in quantum dots with nuclear charge equaling to zero. In the framework of a semiempirical model, using the variation method the authors obtained an analytical expression for the first potential of ionization of a two-electron impurity center. In dipole approximation the researchers calculated the coefficient of impurity light absorption during photoionization of a two-electron impurity by a single photon.
Conclusions. It is shown that a dimensional constraint in quasi-zero-dimensional structures promotes occurrence of two-electron impurity centers and in case a zero charge of the atomic core. Double photoionization of impurities leads to occurrence on a spectral absorption curve of a typical two-humped profile with the peak disposition significantly depending on the quantum dot’s average radius.
Key words: two-electron impurity centers, ionization potential, double photoionization, quantum dot.
Введение
Большое количество примесей в полупроводниках в связанном состоянии может обладать не одним, а двумя электронами, т.е. представляют собой гелиеподобные примесные центры. Трудности теоретического изучения двухэлектронных примесных состояний обусловлены сложным характером взаимодействия электронов внешней оболочки примесного центра с валентными электронами ближайших атомов решетки [1]. В результате оказывается невозможным предсказать не только положение уровней многозарядных центров, но и их возможные зарядовые состояния. В работе [1] для расчета основного состояния двухэлектронного примесного центра использовался вариационный метод. Моделирование двухэлектронной примеси основывалось на обобщении на случай двух электронов модели Луковского. Как известно, в рамках этой модели предполагается наличие короткодействующего потенциала нулевого радиуса, определяющего энергию ионизации однократно ионизованной примеси, т.е. второй потенциал ионизации E2. Авторам [1] удалось рассчитать первый потенциал ионизации Ei в зависимости от заряда ядра примесного центра Z, при этом второй потенциал ионизации E2 принимался в качестве эмпирического параметра. Отдельный интерес представляет процесс двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров одним фотоном. Данная реакция является одной из фундаментальных реакций с участием нескольких частиц. Теоретические подходы к изучению подобных реакций развиты в работах [2, 3]. Изучение двойной фотоионизации при поглощении одного фотона имеет смысл для низкоэнергетических фотонов, поскольку при больших энергиях основную роль будут играть процессы рассеяния, а не фотопоглощения [3]. Целью настоящей работы является расчет вариационным методом первого потенциала ионизации двухэлектронного примесного центра в квантовой точке (КТ), а также теоретическое исследование особенностей двойной фотоионизации двухэлектронных примесных центров в квазинульмерной структуре.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
229
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Энергетический спектр двухэлектронного примесного центра в полупроводниковой квантовой точке
Воспользуемся полуэмпирической моделью двухэлектронных примесных центров, развитой в работе [1]. Короткодействующий потенциал в этой модели аппроксимируется потенциальной ямой глубины Vq , радиус которой d значительно меньше радиуса локализованного состояния. В качестве эмпирического параметра примем энергию двукратно ионизованной примеси, т.е. второй потенциал ионизации E2. Таким образом, задача заключается в расчете первого потенциала ионизации Ei. Величину Ei можно найти вариационным методом с волновыми функциями, взятыми в виде произведения одноэлектронных волновых функций ¥( Pi) с вариационным параметром п , который связан с варьируемой энергией одноэлектронного состояния. В качестве единиц длины и энергии выберем соответственно ad = ЄЙ2/m e2 -
эффективный боровский радиус и Ed = Й2/2m a^ - эффективную боровскую энергию. При этом учитываем, что мощность короткодействующего потенциала Vod при d ^ 0 остается конечной. Двухэлектронная волновая функ-
ция удовлетворяет уравнению Шредингера
H(PbP2 )^(PbP2 ) = E¥(bP2 ) (1)
где
H (i, P2 ) = H (i) + H (P2) +
m*a4 |p1 -P21
H(Pi ) = -
-A,- --
* 2 i * 2 2m ad 2m ad
v to).
2
Pd = d/ad , V(Pi) = |V0, Pi-Pd, Vq* = Vo/Ed pf = nfa ,
l0, Pi >Pd,
*
Г - координаты электронов при i = 1,2; m - эффективная масса электрона.
Обычно простейший вид двухэлектронной волновой функции ¥(1, P2), приводящей к удовлетворительному приближению в задачах о гелиеподобных центрах, представляет собой произведение одноэлектронных волновых функций
¥(P1, P2 ) = ¥( )¥(P2). (2)
Используя результаты работы [4], где в рамках модели сферически-симметричной потенциальной ямы (модель «жестких стенок») получено выражение для волновой функции электрона локализованного на короткодействующем потенциале в КТ, для одноэлектронной волновой функции ¥( Pi ) имеем
230
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Физика
*(Р/ ) =
sh ( 1 -PdП 1) sin ))
sh ( n 1
sh (п 1 — P«n 1
sin (XoPd )
Pi ^Pd>
(3)
sh (n 1
Pi ^Pd>
здесь Xo = VVo -П 2 , Vo* = Vq/Ed , П = л]Ed/\E2\ ; R = Rq/ad , Rq КТ; B = /2П^
радиус
С учетом (3) пробная двухэлектронная волновая функция запишется
в виде
^(РъР2 ) =
B2
р1р2
2 / * — 1 —1 \
sh (п —PdП )sin(%0р1 )sin(%Qp2 )
sh2fRQn-1
sin2 (XoPd)
> Pi ^ Pd
. * — 1 —1 \ / * — 1 — 1 sh (Ron —Р1П )sh (Ron —Р2П
(4)
sh2(RQn—1
, Pi ^Pd •
Энергия двухэлектронного примесного центра определяется минимумом среднего значения гамильтониана £((, П]
(5)
е((n) = Ed (^(P1,P2 )|H(P1,P2 )P(P1,P2 )\I^(P1’P2 )| Выражение (5) с учетом (4) можно представить в виде
е((, п) =--
26 п—2 п2
sh4 (R*n—1) th f RQn—1) — RQn—1cosec ((n—1
■x
x <
—1
sh ( — Pd П
-1\r
sin4 (XoPd)
n
—2
16X2
2
(sin (2XoPd) — 2XoPd)
(4XoPd — 2sin (XoPd) — 2Si (2XoPd) + Si (4XoPd)) 4Xo
+
+2 (2n (( —Pd ) — sh (2n (( —P2
n
x
x Ип 1 (— Pd)—4n 1Pd in
Rq —sh (4(n—M Chi (п—1 )-Chi (4Pd n—1)
"O a- \ / _ \ I \ I _
Physics and mathematics sciences. Mathematics
231
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
"sh(4п 1 (0-Pd))-2sh(4П 1(-Pd 11 In
/ * л
(R*
V Pd У
+ 2
Chi ("Ч )-
-Chi ( 1pd
sh( Ч) + ch(п 4) 1Pd + sh(( 1 ( "Pd
-chI2n 4
Shi ("R bShi ("Vd
-1,
+ ch( Pd )x
X
Shi ( 1R* )-Shi ( 1pd
ch(2П 1 ( "Pd ))x
X
Shi ( R )hi (2n-1Pd
-4П 1pd sh ( 4 )x
Shi ("4
-Shi(2n-1Pd) + ch("4) Shi("4 )-Shi(4n-1Pd
(6)
где Chi (x) и Shi (x) - интегральные гиперболические косинус и синус соответственно.
Осуществив предельный переход ( d ^ 0 ) для £^(, п) , получим
£((*, П) =
"2_2 г 2 п п Ed
sh4 (п"1)(th 4Y1 )R0n"1cosec (п"1
-X
x \2^ (2^ R0 " sh І2п_1 R0 I) + -3 x
X
"4n"4 " 8ch3 (1R0 )sh (1R0* )і ("4) + 2ln (exp(1 + C)n"1R0 )x xsh (2(4) + (Chi (■("R*) - ln (2)) sh (( 1R0) - Shi (2(R) x
x( 1" 2ch (2(4 ) - ch (■4(R ) + ch (4(R) Shi (4(R
(7)
здесь C - постоянная Эйлера.
Минимизация по параметру п приводит к трансцендентному уравнению для нахождения экстремального значения nextr ■
де((, п) Эп
= 0 .
(8)
Явное выражение для (8) имеет довольно громоздкий вид и по этой причине мы его здесь не приводим.
На рис. 1 представлена связь между первым и вторым потенциалами ионизации двухэлектронного примесного центра с нулевым зарядом ядра
232
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Физика
(Z = 0) в полупроводниковой КТ в единицах боровской энергии Ed, полученная из (7) с учетом (8) путем численных расчетов (кривые 1, 2, 3).
6
Рис. 1. Связь между первым и вторым потенциалами ионизации двухэлектронного примесного центра с нулевым зарядом ядра (Z = 0)
(кривые 1, 2, 3) в полупроводниковой КТ и объемном полупроводнике [1] (кривые 4, 5, 6), для разных значений R*: 1 - R* = 0,5 ; 2 - R* = 1; 3 - R* = 3 и разных зарядов ядра Z двухэлектронного примесного центра:
4 - Z = 1; 5 - Z = 2; 6 - Z = 3
На рис. 1 кривыми 4, 5, 6 обозначены аналогичные зависимости для различных значений заряда Z ядра примесного центра, полученные в работе
[1] для объемного полупроводника. Кривые 1, 2, 3 соответствуют различным
значениям радиуса КТ R). Сравнение кривых 1, 2 и 3 показывает, что с уменьшением размера КТ энергия связи двухэлектронной примеси возрастает вследствие квантового размерного эффекта. Сравнение кривых 1, 2, 3 и 4, 5, 6, показывает, что образование связанного состояния в полупроводниковой КТ возможно при нулевом заряде ядра (а также при значениях E2, близких к нулю).
Коэффициент поглощения света при двойной фотоионизации двухэлектронного примесного центра в квазинульмерной структуре
Атомы гелия и гелиеподобные ионы в основном состоянии представляют собой простейшие системы, в которых возможно наблюдение двойной
Physics and mathematics sciences. Mathematics
233
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
фотоионизации одним фотоном. В полупроводниковых наноструктурах изучение подобной реакции представляет отдельный интерес в связи с новой физической ситуацией, обусловленной размерным квантованием. В данном разделе мы рассмотрим процесс фотоионизации двухэлектронного примесного центра, находящегося в основном состоянии в полупроводниковой КТ:
22 П-2
*(Pb Р2 )=---------------^-------------З Х
(th (n 1)- 1cosec (n 1))
sh (-1 -Pin-1 )sh (n-1 -р2П-1)
x—------------------------------L. (9)
P1p2Sh (П )
Волновая функция конечного состояния будет определяться произведением волновых функций электронов в сферической КТ
ф ( Pl, P2 ) = ^n,l,m (P1, Фl, 01)^n,l,m 0^ Ф2, ^ , (10)
где
^n,l,m (pi, фі, 0i)
У2 Jl+12 (knlpi )
R0^[pi Jl+32 (^nl )
Ylm ( фі, 0i ) ,
(11)
здесь і = 1, 2; Yl m - нормированные шаровые функции; l, m - орбитальное и магнитное квантовые числа; JV(x) - функция Бесселя первого рода порядка V ; knl = ^nl/Ro ; ^nl - n -й корень функции Бесселя l -го порядка.
Энергия невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в сферической КТ будет иметь вид
En,l =
^nl
2m R0
(12)
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны с единичным вектором поляризации е^ и волновым вектором q определяется выражением
Hint = &0Й
Ґ О *
2лй2 а
\1/2
erom
*2 1о
exP (qr )(exVr),
(13)
где 30 - коэффициент локального поля, учитывающий различие амплитуд локального и среднего макроскопического полей; 1о - интенсивность света;
го - частота поглощаемого света; e - статическая диэлектрическая проницае-
*
мость материала КТ; а - постоянная тонкой структуры с учетом диэлектрической проницаемости.
234
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Физика
Матричный элемент, определяющий величину силы осциллятора дипольных оптических переходов электронов из основного состояния двухэлектронного примесного центра (7) в состояния ¥ nmi (р, ф, 0) дискретного спектра КТ, запишется следующим образом:
12 па*
! І ■Ч-* о її І0 (e„ , l, m
V ю
+ (En, l , m " - E2) /ш* У ш п l, m
),l,m (РЪ0ЪФ1 )* (Р2 ),r1 )Ш(РьР2 (Р1,0ЪФ1 )* (Р2 )Ex,r2 )¥(РіаР2 ) •
)+
(14)
С учетом (9)-(12) выражение для (14) квадрата матричного элемента можно записать в виде
■ ,2 ~2 2па* E2
M =Х^— Io
d
-X
X-
23 n-3
® “sh6 (^^0Л-1 )R*2 J+32 Rnl)
(4~2 + (/Ed + E2I/Ed )2 X
(th (n 1)- Ron 1cosec (i?0n ^
xk-3 (E1 +n-2 ))k„1 + і”-1 (( - i 2n-1 )x Xch(Ron-1 ) - in-1 (
4
n1 + i 2n 1)h ( 1 )x
xCi
П R0 Rn1 +in 1
ПR0 Rn1 - in 1
+ V R +in 1 (R_12n 1 )sh (R0n 1 )X
+ \Zr-n 1 Rn1 +i 2n 1 )h (R0n 1 )X
X Ci
£ R (E+in-') )1 it (+4 )x
X
n
-1
n 2 + E )R0cos{kn1R0 )-E 2 + 2R + E )R0sinRE
+ (n 2 Enl - R + kПі (knl + R))( ^
+
(15)
здесь Ci(x) и Si(x) - интегральные косинус и синус соответственно.
Будем предполагать, что дисперсия и размеров КТ возникает в процессе фазового распада пересыщенного твердого раствора и удовлетворительно описывается формулой Лифшица - Слезова [5]:
Physics and mathematics sciences. Mathematics
235
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
34ем2 exp[-1/(1 - 2и /3)] 3
---?-------------------,и < —,
Р (и ) = <
11
2 3 (и + 3)з (3/2 - и) 3
3
и > —, 2
0
(16)
где и = R о / R о, R о и R о - радиус КТ и его среднее значение соответственно; е - основание натурального логарифма.
Коэффициент примесного поглощения K (ю) света с учетом дисперсии размеров КТ определяется выражением
3
2
K (ю) = Ц-Nl duP (и )\М\2 б( ,0,1 + + E2 - й ю), (17)
0 П о
где N* - концентрация КТ в диэлектрической матрице; 5(х) - дельтафункция Дирака.
Учитывая (15) и выполняя в (17) интегрирование, коэффициент K(ю) примесного поглощения света можно записать в виде
N
K (X ) = Z Р (ип )
23 па*
Ed (n-2+^2nlR(;-2un-2
-6
п=1
X
-X
adl tfM 2sh6 ( RC* ип n 1) 1RQ 1и nl Jl+32 (ml )
,-1
;-1.-1
X
23 n-3
(/ —* -1 \ —* -1 / —* -1
thIR*ипn I-Rqипп cosecIR*ипп
252iRo*-2»„-2 + И+Iе2' '
Ed Ed )
X
xSi
V^rnRb + ;n 1 -/2n 1 )ch(пП 1 )X
^ RoM« ((Ё*-1"-1 - ?n-1) + *>/ ^ Ё*-1и-1 - *n-1 (( 1Ro-1u-1 + i 2n-1 )X
Xch (ип n 1 )Si
Щип (n ( 1мИ1 +in 1) ) 1R0 1мИ 1 +in 1
X
1ип 1 -i2n 1 )sh(Vn 1 ) J-Щи„ (r* 1ип 1 -ї'П 1
П
+
W^rnR0 1мп1 -in 1 (^„1rd 1ип1 + i2n 1 )sh (Vn 1 )X
236
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Физика
xCi
— R0Un i^>n1R0) lunl + г'Л 1
П '
V 2 -1
n
)_ L
n 2 +^и1^0 2un2 ))п cos(^и1 ) R0Un sin (п і )(л 2 + 2^n1R (1 +^и1^0 lun 2
+ (n 2 (^n1R0 1un1 -1) + knl (^n1R0 1un1 + 1))sh(R0unn
где Un = &/(2 ((d -^/Е ) ния трансцендентного уравнения вида
& = 3R02 (( Ed-| Е2І/Ed ).
"П , (18) является целой частью реше-
на рис. 2 и 3 представлены спектральные зависимости коэффициента поглощения света, связанного с двойной фотоионизацией двухэлектронного примесного центра. Можно видеть, что с ростом второго потенциала ионизации E2 (рис. 2) происходит смещение порога примесного поглощения света
в коротковолновую область спектра, из-за роста энергии основного состояния
двухэлектронного примесного центра. На рис. 3 приведена динамика края
—*
полосы примесного поглощения с увеличением среднего радиуса R0 КТ: коэффициент примесного поглощения увеличивается, а порог поглощения сдвигается в длинноволновую область спектра.
K (со) K0
Рис. 2. Спектральная зависимость коэффициента поглощения света при фотоионизации двухэлектронного примесного центра для различных значений радиуса КТ при r0 = 1: 1 - E2 = 0,01 эВ; 2 - E2 = 0,02 эВ
Physics and mathematics sciences. Mathematics
237
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
K (ю)Ко
Рис. 3. Спектральная зависимость коэффициента поглощения света
при фотоионизации двухэлектронного примесного центра для различных значений радиуса КТ при Е2 = 0,01 эВ: 1 - R* = 1,5 ; 2 - R* = 1
Как видно из рис. 2 и 3, характерным для процессов двойной фотоионизации гелиеподобных атомов является появление «двугорбого» профиля на кривой фотопоглощения, причем расстояние АХ между максимумами в вершинах спектральной кривой соответствует разнице между потенциалами ионизации: АХ = |Ei — E^JEj .
Заключение
В работе проведено обобщение метода потенциала нулевого радиуса на случай двухэлектронных примесных центров в КТ. Вариационным методом в рамках полуэмпирической модели двухэлектронного примесного центра в сферически-симметричной КТ рассчитан первый потенциал ионизации. Показано, что в отличие от объемного полупроводника в КТ образование связанных двухэлектронных состояний возможно при достаточно малых значениях потенциалов ионизации, а также при нулевом заряде ядра примесного центра.
В дипольном приближении в рамках метода эффективной массы рассчитан коэффициент примесного поглощения света при двойной ионизации двухэлектронного примесного центра одним фотоном. Показано, что характерной особенностью спектра двойной фотоионизации является «двугорбый» профиль спектральной кривой. Расстояние между максимумами спектральной кривой определяется разницей между первым и вторым потенциалами ионизации двухэлектронного примесного центра.
238
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Физико-математические науки. Физика
Список литературы
1. Гринберг, А. А. Об энергетическом спектре многозарядных примесных центров в полупроводниках / А. А. Гринберг, Е. Д. Белорусец // Физика твердого тела. - 1978. - С. 1970-1978.
2. Зайцев, С. А. Реакция двойной фотоионизации атомов в J-матричном подходе /
С. А. Зайцев, В. А. Кныр // Вестник ТОГУ. - 2010. - № 1(16).
3. Михайлов, А. И. Двойная ионизация и ионизация с возбуждением в компто-новском рассеянии высокоэнергетических фотонов на метастабильных состояниях гелиеподобных ионов / А. И. Михайлов, И. А. Михайлов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1999. - Т. 116, № 6 (12). - С. 1889-1902.
4. Левашов, А. В. Энергетический спектр и оптические свойства комплекса квантовая точка - примесный центр / А. В. Левашов, В. Д. Кревчик // Физика и техника полупроводников. - 2002. - Т. 36, № 2. - С. 216-220.
5. Лифшиц, И. М. О кинетике диффузионного распада пересыщенных твердых растворов / И. М. Лифшиц, В. В. Слезов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1958. - Т. 35, № 2 (8). - С. 479-492.
References
1. Grinberg A. A., Belorusets E. D. Fizika tverdogo tela [Solid state physics]. 1978, pp. 1970-1978.
2. Zaytsev S. A., Knyr V. A. Vestnik TOGU [Bulletin of Pacific Ocean State University]. 2010, no. 1(16).
3. Mikhaylov A. I., Mikhaylov I. A. Zhurnal eksperimental’noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of experimental and theoretical physics]. 1999, vol. 116, no. 6 (12), pp. 18891902.
4. Levashov A. V., Krevchik V. D. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Semiconductor physics and technology]. 2002, vol. 36, no. 2, pp. 216-220.
5. Lifshits I. M., Slezov V. V. Zhurnal eksperimental’noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of experimental and theoretical physics]. 1958, vol. 35, no. 2 (8), pp. 479-492.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, декан физикоматематического факультета, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Разумов Алексей Викторович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики и методики обучения физике, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of physics and mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Razumov Aleksey Viktorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of general physics and physics teaching technique, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Physics and mathematics sciences. Mathematics
239
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Будянский Павел Сергеевич аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Budyanskiy Pavel Sergeevich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: [email protected]
УДК 535.8; 537.9; 539.33 Кревчик, В. Д.
Двойная фотоионизация двухэлектронных примесных центров в квазинульмерных структурах / В. Д. Кревчик, А. В. Разумов, П. С. Будянский // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2014. - № 3 (31). - С. 228-240.
240
University proceedings. Volga region
