CC BY
33
ФИЗИКА
УДК 539.23; 539.216.1
В. Д. Кревчик, А. В. Левашов
ВЛИЯНИЕ КУЛОНОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР КОМПЛЕКСА Л% + е В КВАНТОВОЙ ТОЧКЕ
Теоретически исследовано влияние кулоновского взаимодействия на энергетический спектр дырки в комплексе А2" + е в квантовой точке, описываемой моделью «жесткой стенки». В модели потенциала нулевого радиуса в адиабатическом приближении получены дисперсионные уравнения для дырки, описывающие g- и и-термы, соответствующие симметричным и антисимметричным состояниям дырки, локализованной на А0 -центре. Показано, что
энергия ^-состояния увеличивается при сближении А0 -центров в комплексе А%+ е, а энергия и-состояния уменьшается из-за роста энергии обменного
взаимодействия А0 -центров. Найдено, что положение термов существенно зависит от квантового состояния электрона.
В последние годы резко возрос интерес к оптическим свойствам наноструктур, содержащих А+ -центры [1-5]. Этот интерес обусловлен более широкими возможностями изменения энергии связи А+ -центров по сравнению,
например, с Б~ -центрами. Так, если энергия связи Б~ -состояния зависит в основном от положения примесного центра и характерных размеров наноструктуры, то в случае А+ -центров имеется ряд дополнительных факторов, влияющих на энергию связи, - это уменьшение эффективной массы дырок на дне первой подзоны вследствие расщепления подзон легких и тяжелых дырок из-за эффектов размерного квантования. В случае напряженных структур на спектр мелких акцепторов влияет «встроенная» деформация, приводящая к дополнительному расщеплению подзон и уменьшению эффективной массы дырок [6]. В настоящее время с помощью техники двойного селективного легирования возможно получение двумерных структур, содержащих значительные концентрации стационарных А+ -центров [5]. При этом сохраняется
вероятность присутствия некоторого количества А0 -центров [3], с которыми могут эффективно взаимодействовать неравновесные электроны и дырки с
образованием комплексов + е . В результате появляется еще одна возможность для модуляции энергии связи А+ -состояния за счет варьирования параметров адиабатического электронного потенциала, который, как было показано Ал. Л. Эфросом с сотрудниками [7], определяет энергетический спектр дырок в полупроводниковых наноструктурах с эффективными массами электронов т* и дырок , удовлетворяющих условию т* □ . Следу-
ет отметить, что в квантовых точках (КТ) из-за размерного ограничения по всем трем пространственным направлениям условия образования акцепторных молекулярных состояний A+ более благоприятны в сравнении со случаем двумерных структур, где для этого требуются достаточно высокие концентрации A+ -центров [5]. Энергетический спектр примесных молекул и A+ + e отличается от спектра изолированного A+ -центра, что может приводить к целому ряду интересных особенностей в спектрах примесного поглощения света. С прикладной точки зрения, оптические эффекты, связанные с
изменением энергии связи примесных комплексов A+ + e в условиях адиабатического потенциала электрона, привлекают возможностью создания фотоприемников дальнего инфракрасного диапазона длин волн с управляемой чувствительностью.
Работа посвящена теоретическому исследованию влияния кулоновского взаимодействия на термы примесного комплекса A+ + e в квазинульмер-ной структуре на основе метода потенциала нулевого радиуса в рамках адиабатического потенциала.
Рассмотрим задачу о связанных состояниях дырки в комплексе A+ + e , в КТ, потенциал конфайнмента которой моделируется сферически симметричной потенциальной ямой с бесконечно высокими стенками (модель «жестких стенок»). Двуцентровой потенциал моделируется суперпозицией по-
2 *
тенциалов нулевого радиуса мощностью уг- = 2nh /(am),
Z.
V5 (f,R2 ) = XУi5(f - Ri )) + (f - Ri )Vr
(1)
i=1
Волновая функция дырки n (r, Rai,Ra2), локализованной на
A0 -центре, удовлетворяет уравнению Липпмана-Швингера для связанного состояния
Y^2,n (r, Ra1, Ra2 ) = Jdr\G(r, ry, EX )VS (ri, Ra1, Ra2 ) Y^2,n (r, Ra1, Ra2 ) , (2)
где G(r,ry,E^) - одноэлектронная функция Грина, соответствующая источ-
r 2 л 2 / * \ *
нику в точке ri и энергии E^n =-h An / I2mh I; mh - эффективная масса
дырки; n - квантовое число электрона. Подставляя двухцентровой потенциал в уравнение Липпмана-Швингера, соответственно получим
Y^2,n (r, Rax, Ra2) = YlG(r, Rax, E$+e )(T yY^ )(Ray , Ray, Ra2) +
+ Y2G(r, Rai, E^+e )(T2 Y^2,n )(Ra2 , Ray, Ra2 ),
где r = (r, 0, ф), Ray =(Ra, Qay, 9ay ) I =(Ra, 0a2,9a2 );
(3)
и соответственно
p = n lim (1 + (f - Rai )Vf). (4)
f ^Ra;
Применяя последовательно последнюю операцию (4) к обеим частям соотношения (3), получим систему алгебраических уравнений вида
здесь
| с1п - у1аПс1п + у2а12с2п; [с2п -у1а21с1п + у2а22с2п,
с1п - (Т!^А2,п)(Ка1 ,Ка1, Яа2); с2п - (Т2^Х2,п)(Яа2, Ка1 ,Яа2 );
(5)
- (Т«,п)(Ка,Каі, ^пА2 +е), і, І -1,2.
г2,п^~ ~ 7—п (6)
Исключая коэффициенты с«п, содержащие неизвестную функцию, из системы уравнений (5) получим уравнение, определяющее зависимость энергии связанного состояния ЕА +е дырки, локализованной на А0 -центре от координат А0 -центров и параметров КТ
Ї1ЙИ + у2«22 - 1 - у1у2 (aх\a22 - «1:2a^2X). (7)
В случае, когда Ух -У2 -У, равнение (7) распадается на два уравнения,
определяющие симметричное (#-терм) и антисимметричное (м-терм) состоя-
ния дырки:
(8)
уОх = 1 -у «12; (с = С2);
У«и = 1 + у «П2; (С1 =-С2).
Учитывая, что согласно (6) йц = |?,ОЯ, Яй1; ЕПА^+е | и принимая во внимание (4), для коэффициента йц будет определяться следующей формулой:
(9)
Записывая в явном виде однодырочную функцию Грина в сферической системе координат [8]
, • ЕА2 +е | -
О I Г , Яа ; ЕП I 3.2 3
V У я а„йю
1
2| еЛп + 2
(2я)
3.2
2я д/г2 + Яй - 2гЯй С08 4
2е~-гЯа с°4-2е“г(2+Я2)
2 , о2 г + Яа
2«п
(1 - е-2>)
- 3 2 2
а
п
0
f + Ra -2fRa cos 4
2a2„t
tSt
(10)
и принимая во внимание равенство cos ^ = cos 0cos 0a + sin 0sin 0a x Xcos( - ), функцию Грина можно представить в следующем виде:
G(r, 0, ф, Ra, 0ay, ф^, Efi+e ) -----X
■sjf-2+Ra-2rRa(cos0cos0ay +sin0sin0ay c0s(ф-фay ))
x
2| єЛп + 2
2n^Jf 2 + r2 - 2fRa (cos 0 cos 02у + sin 0 sin 02у cos (ф -ф^ )
“ -t| eAn +2
(2я)
x
(11)
x
exp
2e
lfRa (os 0 cos 0^ + sin 0 sin 0^ cos (^a)) - 2e t (2 +
a^ ( - e_2t)
(1 - e-2')-2
R2
x
2 , e>2 f + Ra
2al
( f 2 + r2 -2fRa ( cos 0 cos 0q +sin 0 sin 02У cos( ф-ф2У ) )
2a^t
'tft'
где Я0 - радиус КТ, Я0 - Я0 /ак ; уп - -у/бЯ0Яд/ (2яп); а2 - а2уп .
Замечая, что набла-оператор в сферической системе координат имеет вид
- д - 1 д - 1 д -
V =— er e0 + ^-7—Єф ,
дг r д0 r sin 0 дф
уравнение (9) перепишется в следующем виде:
(Г-R21) VG(Г,R21;EA++e j = (r- Ra)д-G(Г,R21;EnA2++e j + ( -02у Ra) dG (^ R 2l; E;2
(12)
(13)
д0
1
a
n
an e
0
1
+ ((r sin 0)ф-( sin 0ay )фay )9G (^ R ay; EnA^+e )
r sin 0 Эф
Таким образом, окончательно будем иметь
(Уз)
ayy = lim
0^0y ф^фу r ^Ra
G ( 0, ф, r; 0ay, фay, Ra ; E$+e j + f (r - Ra )Э-G (Г, R ay; EA+e + +
(( r sin 0)ф - (Ra sin 0ay )фay )ЭG f r, Rai; ^ +e
r sin 0
Эф
(0r -0ay Ra )
r Э0
A2 +e n
^im G' 0ay , ^1, r; 0ay, фay, Ra; En
• EA2 +e | =
= lim
r ^Ra
1----------- (" dte
V»3fe/v\ J
“ -tl eAn +2
1 an h^n 0
2sf2e
R2 -2e 2‘Rf+2e ‘Ra
6t I_________________(Л_______________u
~ r,1 2
an an
(l- e-2t)
(14)
-2r2-2Ra2
„ 2a2
.3/2
-V2
3 |2r2-2r2
2yfh
3/2
2i
2r2 - 2 Ra
Разлагая в ряд Тейлора по величине y = lim
r ^Ra
2(r2 -R2)
последнее
слагаемое в (14), его можно представить в виде ряда 1 ^
EXn + ■
e^n + 2 I y
V
2iy л/2л
2i
з(Ся)
■+...
(y5)
Из (15) видно, что единственный член этого ряда, отличный от нуля,
л/ ^Лп ^ 3/2
при стремлении у к нулю будет равен — -------р=-. Таким образом, оконча-
л/2п
тельно, после упрощений получим следующее выражение:
+
г
a
a
а11 -
3/2 3
я а
еАп +■
2я
х
ехр
а_ 2
у --п
1 - е~
у 1 + е ' ,
I 2 \3/2
(' ) (1 -е-2')
3
-2' \2
(16)
Аналогично, для коэффициента й12, исходя из (6), можно записать следующее соотношение: «12 ={Г,О)Яй1,Яа2;ЕПА2+е|, или, учитывая (4), его
можно представить в виде
а12 - Ііт
Є^9а1 Ф^Фа1 г ^Яа
О^г,Ка2; ЕА2++е ^ + (г - Ка1) VО^г,Ка2;еА2++є ^
Учитывая (12) , последнее выражение можно представить как
а12 - Ііт
г ^Ка 0^0а1
Ф^Фа1
Г
+
О ( 0, Ф, г, 0а2, Фа2, Яа; Е^+е ^ +
(г - Ка ))О ( г, Ка2; Е$+е ) +
((г(0)Ф-(а 5ІП0а1 )фа1 ) ЭО)Г,);Е
• ЕА2 +е п
г 8ІИ 0
(-0а1 Ка ) ЭО(г,Ка ;ЕпА2 +Є г Э0
Эф
л'
ОI Ка , 0а1 , Фа1, Ка, 0а2 , Фа2 ; Еп
Одночастичная функция Грина берется в виде (10)
1
О| Ка, 0а1,Фа1, Ка, 0а2,Фа2;ЕА +Є I - 3/2 3
) я3/2а;йюп
я
3/2
х
(17)
(18)
(19)
+
-2К1 (1_С080а1 С080а2 (9а1 ^0а2 сЦфа! -Фа2 ))
1 -'1 +2 К
х \ёгв 1 2 л
0
2а?'
('2 )3/2
к2 2я2е 1 ( '-0)89а1С080а2—ят0^ 8Ш0а2 -Фа2 )
аП 11-.
3/2
( е-2')
^0+4ел„ 0а1 (0а^ _я^п0а1 «т0а2 -Фа2 ))2 —
(19)
2^2 — (1“С05 0а1С0Я 0а2 _ (п 0а1 ^п 0а2 С0я (фа1 - Фа2 )
Переходя к боровским единицам, коэффициенты ац, а^ можно записать в виде
а11 =■
г у/гй ^2 2Рп + 3у-1 1 т * 1 I п
1 -< V К0
3/2 3 „ апЙЮп 2я
'У п
ё'е
„2 - ^Рп +3у -1
хт т>* п
V К0
я3 о
ехр
г *2-0*2 (1 - - \\
V Ка
V1+е ' JJ
(2 )3/2 (1 + е-2' )3/2
(20)
й12 „3/2 3*^
я а„ йю„
'Уп
2Р
V К0 у
л2 - 2-Рп +3у-1
1т п* ' п
К
ехр
2К02К1е ' I1 - С°8 0а1 С°8 0а2 “ ( 0а1 ^ 0а2 С°8 (фа1 - Фа2 ))
2у п'
(2 )3/2
- (21)
ехр
/ ч \
2К02^е_' ( -С°8 0а1 С°8 0а2 0а1 ^ 0а2 С°8 (фа1 - Фа2 )
а
е
п
\\
ехр
-^О^д/1-^ 0ах С030а2 -5ІП0^ ИП0а2 СШ( - фа2 )
4Р:
я
* *
(2)3/2 п ^о^^ї-с030^!^
. (21)
Подставляя коэффициенты, определяемые равенствами (20) и (21) в уравнения (8), окончательно получим следующее уравнение, определяющее
энергию связи дырки, локализованной на -центре:
Л; = > I Е‘п‘л ' “ +
ехр
* * Г~
-Я0Яа^/2
ГА2+е
+ -
1 - С03 ( С03 0а2 “ ( 0а1 3ІП 0а2 С03 ( - фа2 ))
^0яа I1 - С03 0а1 Сте 0а2 “ ( 0а1 3ІП 0а2 Сте (фа1 - Фа2 ))
X
ехр
1 ±-
\йїє
-я*2 я 2
X
ч0 а
(1“С05 0а1 С03 0а2 _ 3ІП 0а1 3ІП 0а2 С03 (фа1 - Фа2 )
-1
(2г )3/2 у пг
2 0 2 1-є м
Яо2 я
(22)
где Яа = Ка / аЛ ; верхний знак соответствует симметричному состоянию дырки (#-терм), а нижний - антисимметричному (м-терм).
Результаты численного анализа уравнения (22) представлены на рисунке 1, из которого видно, что энергия связи #-терма увеличивается при взаимном сближении центров (уменьшение угла 0 - соответственно), а энергия
оо
0
связи м-терма уменьшается, что соответствует увеличению энергии обменного взаимодействия А0 -центров в комплексе А+ + е .
а)
б)
Рис. 1 Зависимость положения g- и и-термов комплекса А+ + є в КТ іпБЬ от радиального квантового числа п при 0 = п/6 (= 2 мэВ, Яо = 72 нм ):
а - п = 1; Ь - п = 10
Важным отличием комплексов А+ + є является зависимость энергии связи симметричных и антисимметричных состояний от радиального квантового числа электрона п. При увеличении п энергия кулоновского взаимодействия дырки с электроном уменьшается, что в свою очередь приводит к увеличению энергии связи дырки в комплексе А+ + є (при изменении п с п = 1 до п = 10 энергия связи увеличивается более чем в 2 раза), при этом точка
вырождения g- и м-термов сдвигается к границе КТ и возрастает величина расщепления между термами.
Список литературы
1. Каган, М. С. Акцепторные состояния в квантовых ямах Оє8і, легированных бором / М. С. Каган, И. В. Алтухов, В. А. Королев // Известия Академии наук. -
1999. - № 2. - 63 т. - С. 359-361. - (Серия физическая).
2. Иванов, Ю. Л. Проявление А+ -центров в люминисценции двумерных структур ОаАз/АЮаАз / Ю. Л. Иванов, Н. В. Агринская, П. В. Петров [и др.] // ФТП. -2002. - № 8. - 36 т. - С. 993-995.
3. Иванов, Ю. Л. Зависимость энергии активации А+ -центров от ширины квантовых ям в структурах ОаА$/АЮаА$ / Ю. Л. Иванов, П. В. Петров, А. А. Тонких [и др.] // ФТП. - 2003. - № 9. - 37 т. - С. 1114-1116.
4. Авиркиев, Н. С. Энергетическая структура А+ -центров в квантовых ямах / Н. С. Авиркиев, А. Е. Жуков, Ю. Л. Иванов [и др.] // ФТП. - 2004. - № 2. - 38 т. -С. 222-225.
5. Петров, П. В. Молекулярное состояние А+ -центра в квантовых ямах ОаАз/АЮаАз / П. В. Петров, Ю. Л. Иванов, А. Е. Жуков [и др.] // ФТП. - 2007. -№ 7. - 41 т. - С. 850-853.
6. Алешкин, В. Я. Мелкие акцепторы в напряженных гетероструктурах Оє/Оє 1-х8іх с квантовыми ямами / В. Я. Алешкин, Б. А. Андреев, В. И. Гавриленко [и др.] // ФТП. -
2000. - № 5. - 34 т. - С. 582-587.
7. Екимов, А. И. Квантование энергетического спектра дырок в адиабатическом потенциале электрона / А. И. Екимов, А. А. Онущенко, А. Л. Эфрос // Письма в ЖЭТФ. - 2000. - № 6. - 43 т. - С. 292-294.
8. Кревчик В. Д., Левашов А. В. // ФТТ. - 2006. - № 48. - С. 548 т.
