CC BY
55
УДК 535.8; 537.9; 539.33
В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Т. А. Губин
ВЛИЯНИЕ ОБМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕЗОНАНСНЫХ £>2 -СОСТОЯНИЙ В КВАНТОВЫХ ЯМАХ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ1
Аннотация. Интерес к квантовым ямам с резонансными состояниями примесных центров связан с перспективой создания новых источников стимулированного излучения на примесных переходах. Особый интерес представляют резонансные В- -состояния, образующиеся в результате обобществления
электрона двумя нейтральными донорами. В этом случае появляются новые возможности для управления термами примесных молекулярных состояний, где важную роль начинают играть расстояние между нейтральными донорами и пространственная конфигурация В- -центра в объеме квантовой ямы. Целью
данной работы является теоретическое исследование влияния обменного взаимодействия на энергетический спектр В2- -центров с резонансными g- и
и-состояниями в квантовой яме при наличии внешнего магнитного поля, а также на примесное магнитооптическое поглощение в многоямной квантовой структуре с резонансными В2 -состояниями. Сравнение полученных теоретических результатов проведено с экспериментальными данными по зависимости энергии связи В - -состояния от величины внешнего магнитного поля в квантовой яме GaAs/AlGaAs, легированной мелкими донорами Si. Для решения задачи о связанных состояниях электрона, локализованного на В2- -центре
с резонансными g- и и-состояниями в параболической квантовой яме во внешнем магнитном поле, использовался метод потенциала нулевого радиуса и приближение эффективной массы. Расчет коэффициента примесного магнитооптического поглощения в многоямной квантовой структуре с резонансными В2- -состояниями проведен в дипольном приближении с учетом лоренцева уширения энергетических уровней. Исследована зависимость средней энергии связи резонансного g-состояния В2 -центра от величины внешнего магнитного
поля с учетом лоренцева уширения энергетических уровней. Проведено сравнение с экспериментальными данными по зависимости энергии связи электрона на В - -центре от величины внешнего магнитного поля в квантовой яме
GaAs/AlGaAs с мелкими донорами Si и продемонстрировано хорошее согласие с теоретическими расчетами. Выдвинуто предположение, что в квантовых ямах GaAs/AlGaAs, легированных мелкими донорами Si, при определенных условиях возможно существование резонансных В2- -состояний, образующихся в результате обобществления электрона двумя нейтральными донорами. Обменное взаимодействие между В0 -центрами может приводить к образованию резонансных В2 -состояний в квантовых ямах GaAs/AlGaAs, легирован-
1 Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.1165 «Особенности эффекта фотонного увлечения электронов в нанотрубке со спиральным дефектом и в двумерной ленте, свернутой в спираль, во внешнем магнитном поле».
ных мелкими донорами Si. В спектрах примесного магнитооптического поглощения в многоямных квантовых структурах обменное взаимодействие проявляется в наличии осцилляций интерференционной природы, амплитуда которых достаточно быстро убывает с ростом среднего расстояния между нейтральными донорами.
Ключевые слова: квантовая яма, обменное взаимодействие, энергетический спектр примесного молекулярного иона, примесные резонансные состояния, магнитное поле, примесное магнитооптическое поглощение, квантоворазмерный эффект Зеемана, осцилляции интерференционной природы.
V. D. Krevchik, A. B. Grunin, T. A. Gubin
INFLUENCE OF EXCHANGE INTERACTION ON THE ENERGY SPECTRUM AND OPTICAL PROPERTIES OF RESONANT D- -STATES IN QUANTUM WELLS OF THE EXTERNAL MAGNETIC FIELD
Abstract. The interest to the impurity centers resonant states in quantum wells is associated with possibility to create new sources of stimulated emission at impurity transitions. The resonant D2- - states, which are formed as a result of connection of an electron by two neutral donors, are of particular interest. In this case, there are new possibilities for the control of the impurity molecular states terms, where the distance between the neutral donors and the spatial configuration of the D2- -center in the volume of the quantum well begin to play an important role. The aim of this work is to theoretically study the exchange interaction influence on the energy spectrum of the D2- -centers with the resonant g- and u-states in the quantum well in the presence of an external magnetic field, as well as on the impurity magneto-optical absorption in quantum multiwell structure with D2- -resonant states. The authors compare the obtained theoretical results with experimental data for dependence of the D- -state binding energy on the external magnetic field in the quantum well GaAs / AlGaAs, doped with shallow donors of Si. To solve the problem of bound states for electron, which is localized on the D- -center with the resonance g-and u-states in a parabolic quantum well in an external magnetic field, it is necessary to use the method of zero-range potential and the effective mass approximation. Calculation of the impurity magneto-optical absorption coefficient in the quantum multiwell structure with resonance D2- -states is conducted in the dipole approximation with account of the Lorentzian broadening for energy levels. The researcher investigate the dependence of the average binding energy of the resonant g-state for D2- -center on the external magnetic field with account of the Lorentzian broadening for energy levels. The scientists compare experimental data concerning the dependence of the electron binding energy for D- -center on the external magnetic field in the GaAs / AlGaAs quantum well with shallow donors of Si and demonstrate a good agreement with theoretical calculations. It is supposed that the existence of resonant D- -states, formed as a result of connection of electron by two neutral donors is possible under certain conditions in the GaAs / AlGaAs quantum wells, doped with shallow donors of Si. The exchange interaction between the D0 -centers can lead to the formation of resonant D2- -states in the quantum wells of GaAs / AlGaAs, doped with shallow donors of Si. The exchange interaction in the presence of oscillations of the interference nature, amplitude of which rapidly decreases with an increase of
the average distance between neutral donors, is realized in the magneto-optical impurity absorption spectra in quantum multiwell structure.
Key words: quantum well, exchange interaction, energy spectrum of an impurity molecular ion, impurity resonant states, magnetic field, impurity magneto-optical absorption, quantum-dimensional Zeeman effect, scillations of interference nature.
Введение
В работе [1] приведены результаты экспериментальных исследований зависимости энергии связи D -центров ED в многоямных квантовых структурах GaAs/AlGaAs с мелкими донорами Si от величины внешнего магнитного
поля B. Выявлен нелинейный характер данной зависимости: Ed ~"Jb . Ранее [2] нами была предпринята попытка интерпретации полученных в [1] результатов в рамках модели потенциала нулевого радиуса для D-центра в квантовой яме (КЯ). Однако, как показали расчеты, зависимость Ed (B) оказалась достаточно близкой к линейной. В настоящей работе выдвинуто и теоретически обосновано предположение о возможном вкладе в нелинейную зависимость Ed (B) обменного взаимодействия между D0-центрами с обобществленным электроном, так называемые D- -центры. Последние могут образовываться вследствие роста концентрации нейтральных примесей, когда расстояние между D0-центрами становится достаточно малым и электрон обобществляется. При этом энергетический спектр D2- -центра расщепляется из-за обменного взаимодействия. Теоретическое исследование энергетической структуры и оптических свойств D2- -центров с локализованными g- и u-состояниями в квантовых проволоках при наличии внешнего магнитного поля проводилось в работах [3, 4]. Было показано, что энергия связи g- и u-состояний, а также величина расщепления между термами зависят от пространственной конфигурации молекулярного иона D2 в объеме квантовой проволоки. Целью данной работы является теоретическое исследование влияния обменного взаимодействия на энергетический спектр D2 -центров с резонансными g- и u-состояниями в КЯ при наличии внешнего магнитного поля, а также на примесное магнитооптическое поглощение в многоямной квантовой структуре (МКС) с резонансными D- -состояниями. Проводится сравнение с экспериментальными данными по зависимости энергии связи D -состояния от величины внешнего магнитного поля в квантовой яме GaAs/AlGaAs, легированной мелкими донорами Si.
1. Влияние обменного взаимодействия на резонансное ^-состояние D2 -центра во внешнем магнитном поле
Рассматривается полупроводниковая КЯ с параболическим потенциалом конфайнмента:
* 2 2
V(z) = m *2° z , (1)
где т* - эффективная масса электрона; Юц - характерная частота удерживающего потенциала КЯ; —Ь /2 < г < Ь / 2; Ь - ширина КЯ.
Внешнее магнитное поле направлено вдоль оси размерного квантования КЯ, а ось £>2" -центра ориентирована перпендикулярно по отношению к направлению магнитного поля. В приближении эффективной массы в симметричной калибровке векторного потенциала А = 1/2Вр ёф, где
В = (0,0, В) - вектор магнитной индукции, ёф - единичный вектор в цилиндрической системе координат, для невозмущенных примесями одноэлектронных состояний в продольном магнитном поле гамильтониан в выбранной модели имеет вид
я=-*
2 (
2 m
1_Э_ _ рЭр V Эр ,
+ -
1 э2
.2 -.„2 + -Л 2
р Эф dz
+
®B Л m*(S?B р2 Й2 д2 m*®2 z
+—BMz +----------—- +-------г—- +-----—
2 m dz2
(2)
где Юд = |е|в/т - циклотронная частота; |е| - абсолютное значение заряда
Л д
электрона, Мг = — і Й----оператор проекции момента импульса на ось г .
дф
Собственные значения Еп^тп и соответствующие собственные функции ¥п тп (р, ф, г) гамильтониана (2) даются выражениями вида
Й ю
B
■^2«1+mi+1)+‘
Й ю
B
m + Йюо I n+- |;
(3)
^ni,m,n ф,z)
2 2 + V2n+1 n!n2a
ni!
(і + |m|)!
1/2
X ехр
^ р2 2 ^
+ -Z-
4aB 2a2
v B
V
_eL'
, 2 2 aB
v B
Hn
exp (m ф),
(4)
где «1 = 0,1,2,... - радиальное квантовое число, соответствующее уровням Ландау; т = 0, ±1, ±2,... - магнитное квантовое число; п = 0,1,2,... - осцилля-
торное квантовое число; ад =у Й / ) - магнитная длина;
а = уіЙ/о) - характерная длина осциллятора; (х) - полиномы Ла-
герра; Нп (у) - полиномы Эрмита.
1
Поскольку удерживающий потенциал КЯ, вообще говоря, должен иметь конечную глубину, то в выбранной нами модели потенциала конфайн-мента (1) амплитуда потенциала и0 является эмпирическим параметром и
* 2 2 / \ удовлетворяет соотношению и0 = т Ю0Ь /8, причем и0 / I %Ю0 )>> 1.
Пусть £0 -центры расположены в точках Яа1 (ра1, фа1 , га1) и
К-а2 (Ра 2 >Фа2 ,га2 ) )аг =(Ра1’Фа1,2а1) ( = 1,2 ) - цилиндрические координаты примесных центров). Двухцентровой потенциал моделируется суперпозицией потенциалов нулевого радиуса мощностью = 2 п % 2^(т *) и в цилиндрической системе координат имеет вид
^8 ( р,ф,а ра1, фа1, га1, ра2, фа2, га2 ) =
= 2Yi Р 8(ф-) 8р-zai)
2 ^'Р-Р 1 Гі ( ) Э ( ) Э
1 + ( Р - Раі ))р + Р- Zai )
i=1
(5)
где аг- определяется энергией Ei 2 = -Й2а2у/(2m*) электронного локализованного состояния на этих же D0 -центрах в объемном полупроводнике.
В приближении эффективной массы для резонансного D- -состояния волновая функция электрона
( Р. Ф. ( Pal . tfa1za1 . Pa2 > фа2 > Za2 ) = ) ( Г (, Ra2 )
удовлетворяет уравнению Липпмана - Швингера для связанного состояния:
(;Ral.Ra2 ) =
= jdri G(;E( 2 + i hг)(; )l,Ra2) (^1;(ai,Ra2 = (6)
где G(r, (E(2 + ihг) - одноэлектронная функция Грина, соответствующая
источнику в точке ? и энергии Е ^2 = Й 2 А2^ (2т *) (ЕаВ)2 > 0) (ЙГ - полуширина резонансного уровня) [5]:
/ (0) \ ~ ¥п1.т.п (?1 )4<п1.т.п (г)
° М(2 + іЙ Г)= I —10,—:-----------------------------. (7)
пь т.п ЕаВ2 +і Й Г — Еп1. т.п
Подставляя (5) в (6), получим, что волновая функция электрона ¥?еі (?;Ё-а1.Ёа2) имеет вид линейной комбинации:
2
((а1.*а2 ) = Е (,Каі;Е( + і Йг) , (8)
і = 1
где
fл >
Ті ¥ Г
v /
(ai; Ra1 ,Ra2 ); Ti = ИШ Г1 + (r - Rai ) v 1 rL v 1
Применяя последовательно операцию Т* (г = 1, 2) к обеим частям выражения (8), получим систему алгебраических уравнений вида
|с1 =71 а 11 с1 +72 а12 с2,
\с 2 =71 а 21 с1 +72 а 22 с 2,
(9)
здесь a ij
f л >
TiG
Rai, (j; E (B2 +i П Г); ) j = )•
V /
Исключая из системы (9) коэффициенты с *, содержащие неизвестную
волновую функцию (г;(а1 >^а2), получим дисперсионное уравнение
для определения средней энергии связи резонансного ^-состояния ЕХБ 2 = й(юБ +а>о)/2 - К-е Е
(0)
XB2
и ширины резонансного уровня
AE = 21ше2В)2:
71 a 11 + 72 a 22 -1 -71 72 (a 11 a22 -a12 a21 )•
(10)
Одноэлектронная функция Грина в (7) с учетом (3) и (4) может быть представлена в виде
° ( Ф, (, Ра, Фа, (;ЕХВ2 + *ЙГ) =------)--
-X
23 п 2 a^ E^VP
x
. і п 2 о* 2 1 І & Г і
+~ _I _PnB2 +P aB I t
J dte v 2 E
0
X
2 2 p<
f*_ 2 B
1 _ e
_ 21
5 1 (t)x
Xsh 1 (вaB 21 )• exp
pa+p2)ipab 21
4 a
B
X
X ехр
PaP ch i (ф_Фa )_pa B 2 t
h s 2B a 2 n * _ 2 p aB t
X
X ехр
+ z2 jcth (t)
2 a"
• exp<
a2 sh (t)
-t 2 • exp<^
2t
+
л/2п
X
exp
X
вп B2 + p a
* _ 2 1 І h Г
B +-----1------
B 2 Ed
•A і
J
A
(11)
где
в-L I 4J U 0 I; L - Lad ; U 0 - Uo/Ed ; a B - aB/ad ;
nB2-EXB2/Ed; 5(t)-exp{_paB 21}; A-
(p_pa )2 + (z _ za )2
2a
B
Коэффициенты aij, входящие в (10), с учетом (11) примут вид
aij =■
23п2a3 E^>^
dte
і ігі2 о* — 2 1 і h Г і
+Г _ I _PnB2 +paB +^+— 11
2 Ed
X
X
2 2 paB" 2 (1-e_2t) 2 5_1 (t) sh _1 Гвa *B~ 2 t
1
X exp
(pa2j + Pai )cth(paB 2 t
4 a
B
exp
Paj Pai ch |l (фa i _Фaj )
* _ 2 a B t
2aBshTpajB 21
X
X exp
2 2 z a j + z a i
) cth (t)
2 a"
z ■ z ■ I _3 ^ai ^ai І л
• exp i^-----------і _ t 2 • exp
a 2 sh (t )Г
■, j
2t
+ V 2п
X
f 0 2 n * _ 2 1 i h Г і
_pn B2 +p a B + 2+~E~
2 Ed
•A
■, j
X
A
■, j
(12)
23 п2 a3Ed^
+~ _f _pnB2+p aB"2+2+^ It
J dte V 2 Ed
0
X
X
1 _ 1 22 paB~2(1-e_2t) 2 5_1 (t)• sh_1 (p
a*B 21 )X
^i th(2) 3" 1 f
X ехр V 2 ) 2 -1 2 2 -
L a J V
г> 2 г> * - 2 1 i ft Г
“РЛ £2 +Р a 5 + 2 + -E—
2 Ed
\
, (13)
где
В случае, когда =у2 = У, уравнение (10) распадается на два уравнения, определяющих симметричное (£-терм) и антисимметричное (м-терм) состояния электрона соответственно:
Y a 11 + Y ai2 =1 (c1 = c2);
Y a11 -Y a12 =1 ( = -2 X
(14)
(15)
Для поперечного по отношению к направлению магнитного поля расположения оси £>2 -центра Яа і =(0,0,0) и Яа2 = (ра2,фа2,0) уравнения (14) и (15) с учетом (12) и (13) могут быть записаны в виде
\J«0
E
i 2
E XB 2 +i ft Г
J
dt e
ft ш 0
0
ft Ю
B
X
( „*2
1 ± exp
V v
( ( exp
■v/2 ft Ю 0
pa 22cth (ft (O ((2 ft ш 0 )X t
1 - e
-21
2 5 1 (t)sh
-1
( h«B 5
2 ft ю 0
X
)) ( -1- 32
4 a
B
X
-yJ(E XB 2 +i ft Г/( ю o)
*
pa2
1 ± exp
pa2
* 7
4a £ t
± 2vn
X
v
B
pa2 / a
+
B
EXB2 +iftГ)/(«0 )
= 1,(16)
где верхние знаки относятся к симметричным (£-терм), а нижние знаки -к антисимметричным (м-терм) состояниям электрона; р *а 2 = ра2/ad ;
Л12 = р а2 - расстояние между ,0° -центрами.
Уравнения (16) соответствуют случаю, когда примесный уровень Е ^2
расположен между дном потенциала КЯ и уровнем энергии ее основного состояния Еоо° = %(щ +ю°)/2. Для перехода к случаю, когда примесный
уровень расположен ниже дна КЯ ( е|В2 < °), необходимо в уравнениях (16) энергию связи £>2" -центра определить выражением
EXB2 - EAB2 + Й(B +®0 )/2,
E (0) ии и
где E ^В2 в этом случае является действительном величинои.
Для учета дисперсии ширины КЯ в многоямной квантовой структуре (МКС) в выражениях (11)-(13) необходимо произвести замену в -L*j^4^U0 j
на в(и )- L* и/|4^U0 j, здесь и - l/l - дисперсия ширины КЯ, L - сред-
нее значение ширины КЯ. В этом случае энергию связи g-состояния (как резонансного, так и локализованного) необходимо усреднить по возможным значениям ширины КЯ:
u max
(E XBl)L = j duP (u ) E XB2 (u ) (17)
где um^, umax - минимальное и максимальное значения дисперсии u ; P (u) -функция распределения дисперсии ширины КЯ:
P(u)=—-------------------2---------------- e-(u-u")!, (18)
~'<п ((umax — u0) + ф(ио — иrnin))
где Ф(z) - интеграл ошибок;
u0 = (umin + u max )/2 ; в случае резонансного g-состояния в (17) необходимо выполнить замену E XB 2 на E XB2-
На рис. 1 приведены результаты численного анализа дисперсионных уравнений (16) для локализованных и резонансных g-состояний ,D2--центра как с учетом дисперсии ширин КЯ (см. кривые 1 и 3 соответственно). Так и с учетом уширения энергетических уровней (см. кривые 2 и 4), величина которого А = 4,8 мэВ взята из эксперимента [5]. Точками на рис. 1 обозначены результаты эксперимента [1] по исследованию зависимости энергии связи электрона на D -центре от величины внешнего магнитного поля в КЯ GaAs/AsGaAs с мелкими донорами Si. Можно видеть, что значение энергии связи примеси Si в селективно легированных МКС GaAs/AsGaAs в большей степени отвечают резонансным ^-состояниям (сравн. кривые 3 и 4 с кривыми 1 и 2). Таким образом, в КЯ GaAs/AsGaAs, легированных мелкими донорами Si, возможно существование резонансных ^-состояний, образующихся в результате обобществления электрона двумя нейтральными донорами, расположенными друг от друга на расстоянии не более 4 нм. На рис. 2 представлена зависимость энергии связи ^-состояния от величины внешнего магнитного поля для различных расстояний между ^0-центрами R12 . Видно, что
u mm
с ростом обменного взаимодействия (с уменьшением ^12 ) меняется характер зависимости энергии связи резонансного ^-состояния от величины внешнего магнитного поля В (сравн. кривые 1 и 5 на рис. 2): если расстояние между Б0-центрами ^12 больше эффективного боровского радиуса а^, то характер искомой зависимости близок к линейной (см. кривые 4 и 5), что отвечает Б-состояниям атомного типа, при Ку2 < а^ энергия связи ^-состояния ~ ^¡В (см. кривые 1, 2 и 3 на рис. 2).
0.012
0.01
И
® Si * 10
и
«
о
н
о
о
о
6 X 10
Q
й
И
М
га
о
4 х Ю
2 X 10
Рис. 1. Зависимость энергии связи Б2 -состояния от величины магнитной индукции В для случая поперечного расположения оси примесной молекулы по отношению к оси размерного квантования в КЯ ваЛє при |£г-1 = 0,4 мэВ,
Ь = 10 нм, и0 = 0,2 эВ, В.12 = 4 нм; кривые: 1 и 3 - локализованные и резонансные
примесные состояния с учетом дисперсии ширины КЯ; 2 и 4 - соответствующие состояния с учетом экспериментального значения уширения Д = 4,8 мэВ. Точками обозначены результаты эксперимента в селективно легированных структурах ваЛє / АЮаЛє [1]
Волновая функция электрона в резонансном ^-состоянии Б- -центра в КЯ ¥^(Р,(,г;ра1,(а1,га1,ра2,фа2,га2), находящейся в продольном маг-
нитном поле, в цилиндрической системе координат может быть представлена в виде
(р, Ф,( ра1, Фа1, га1, ра2, Фа2, га2 ) _ Т С1 х х{С(Ф,(РаЬФа1,га1;Е^ ) + +(Ф,(Ра2,Фа2,га2;ЕМ2 )}. (19)
Ю
СТ)
К
«
о
н
о
о
о
Q
со
W
РО
о
(-4
Рн
8
Г)
5, Тл
Рис. 2. Зависимость энергии связи резонансного £-состояния В-- центра от величины магнитной индукции В в КЯ ваАБ при |£г-1 = 0,4 мэВ, Ь = 10 нм,
и = 0,2 эВ для различных расстояний Л12 между В0 -центрами; кривые: 1 - Л12 = 4 нм; 2 - Л12 = 8 нм; 3 - Л12 = 12 нм; 4 - Л12 = 16 нм,
5 - Яі2 = 20 нм. Точками обозначены результаты эксперимента в селективно легированных структурах ваАБ / АЮэАб [1]
Из условия нормировки волновой функции (19) можно получить уравнение для нормировочного множителя с 1:
Y V в E-1 х
д G
д(вп £2
Ra1 ’ Ra1;вп £2 )--/---(Ra2’ Ra2;вп
д(вп
£ 2
|£2
д G Ч 2, Raí; вП £2 )- /д G2 ч ( Ral, Ra 2; вП £2
д (вп В 2
= 1.
(20)
д(вп B2 у
Уравнение (20) с учетом (11) при условии, что Ra1 =(0,0,0), примет
вид
2 2 Y С1-3
в
dt • te
+Г - І -вп£2+PaВ"2+1 11
1 - e-2t) 2 х
x5 1 (t )• sh 1 (в a £ 21 )x
1 + exp
za2th (t/ 2)
+
+2exp
2 ( *-2 ^
Pa 2cth в a£ t
4 a
В
• exp
a2
cth (t)
2a
= 1.
(21)
Получим выражение для волновой функции резонансного g-состояния в случае поперечной конфигурации D- -центра в КЯ:
(Ra1 =(0,0,0X(a2 = Ra2,Фа2,0) ) •
В этом случае уравнение (21) примет вид
Y c
1 3
Í
• t • e
x
2 „172 0
2n2a2aE2
x5 1 (t )• sh 1 (в a £ 21)
1 + exp
2 ( *-2 ^ Pa2Cth вaВ t
4 a
В
= 1. (22)
При вычислении нормировочного множителя С1 появляются интегралы
' Tf
1 и J2
вида J1 и J2 :
2
1
J{ = J dy • ln
0
( 1 1 -вп B 2 +P«B" +1
1
y
y
2 •(-y2) 2
1 - y
2 P a В
-1
V
J
J2= 1J
0
+Г - I -PnB2 + PaB +^ It
- 2 111 1
2і • ( -e-21) 2 •s-1 (t)
X
x sh 1 (вaB 21)xexp
2 ( *- 2 1
P a 2cth в a В t
4 a
B
Учитывая, что
1 - У
2 в a B
2 Л
-1
=IУ
k=0
2 k в a B
интеграл (23) запишется следующим образом:
Ji=-
I J dy
•y
-вп B 2 +в a B (2k+1) + T
д(впB2 ) k=0 0 В выражении (26) введем обозначение
d = -Pn_B2 +(2k +1) в ab +3/2
2 (1 - y2
и воспользуемся интегральным представлением бета-функции
JX Ц-1 (1 -X— ) 1 dx = — В(—,v 1, Re |i> 0, Rev > 0, — > 0.
В результате для J{ получим
j;=4г ( 2i-i
г
k = 0 Г
+1
здесь
+1
Gy (d) = Y|----------|-Y
( *-2 1
В интеграле (24) введем новую переменную u = th в aB t
V і
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
, тогда
J 2 --
Р a B д(Рп B2)
X
2 •!
2
„2,1 Рп B 2 + 2
, *-2 *-2
1 рав рав
XI du • u — (1 -u) -(1 + u) exp
0
Далее, используя следующие соотношения:
u — р
|хv—1 (u — х) 1e x dx -
p a 2
л 2
4 а в u
(30)
= Р 2 u
exp
Р
V 2 u J
Г(ц)^1—2^—v v I - |, Reц> 0, Rep> 0, u > 0; (31)
2 2
Ц+- —- (1 ,
Wk,ц(г)=z 2e 2g2V2—k+M^+1zI;
G2(a'Y'zI e— z''a—1 (1 +')
для J2 получим
, Re a > 0,
(32)
(33)
1
n2 *
р ав
exp
4 aB
V B J
p a 2
_d_
Эа
p a 2'
/, 2' ,
4aB ^а (Л . ,\—a—1
| d'e aB 'a (1 + ') “ \ (34)
0
Нахождение производной в выражении (34) приводит к интегралу вида
(35)
+^ 2 /Л
R = | d' • e 4a^ 'a (1 +') a 1ln ( 1— J.
в котором можно принять, что
ln
1
1 + ' J '
(36)
Учитывая вклад на нижнем и верхнем пределах интегрирования, получим
R =—r(a)G 2
( Р 2 ^
p a2
а, 0, —-
4a
B
(37)
д
1
В этом случае выражение (34) примет вид
о 2 *
р ав
ехр
4 а
в
•Г
Р а
2
в
~РпВ 2+2 О рк
Р а
- 2 ’ ’ О
* 2 4 а 2
в
в
. (38)
/ V
Окончательное выражение для множителя С\ в (22) запишется следующим образом:
С =
Г 3
2 2 |-г 2
п 2 ава^ Y 2 Р 2
1
V
1~ г 1
4
k = О Г
Р 2а В - 4
ехр
р а2
4a
в
X
хГ
Р а
*-2 В
1 р 2 2 o.ifl
Р а
- 2 ’ ’ О
* 2 4аВ
В В
(39)
Тогда волновая функция электрона в резонансном ^-состоянии О- -центра для случая Ла1 =(0,0,0), Яа2 = (а2,Фа2,0) запишется в виде
^Х(р,ф, z;0, О,О,р а 2,Фа 2,0) = ^i( г;О,Ра 2,Фа 2,О) =
*-2 1
' - -en“„+Ра
-Y С1-----f----------j
+Г -1-РЛ В 2 +Р а В I t
2 J /1 - е-2М 2
X
х5 1 (t)• sh 1 (раВ 21) exp
р2cth(ваВ 21
4a
В
exP 1 —
2cth (t)
~ 2 2a
X
X
1 + exp
Р а2 cth (P а
у*- 2
В
4a
В
• ехр
Ра2 Р ch
-2
г' (ф - Фа2 )-Р а В t
2 аВ sh (Р а В 21
. (4О)
2. Спектры примесного магнитооптического поглощения в многоямной квантовой структуре с резонансными О- -состояниями
Рассмотрим процесс фотоионизации О2 -центра, связанный с оптическим переходом электрона из резонансного ^-состояния в гибридно-квантованные состояния КЯ в продольном магнитном поле, для случая поперечной
1
по отношению к направлению магнитного поля поляризации e^t (cos у, sin у, 0), где у - полярный угол единичного вектора поляризации
e ^ t в цилиндрической системе координат.
Эффективный гамильтониан взаимодействия с полем световой волны
А (t)
я-в в цилиндрической системе координат будет иметь вид
2 п h 2а*
, J г J sin(у-ф) Э *2 J0exP(4zz) cos(У-ф)—+--------------
m w
V
dp
Эф
л
—V Р sin(ф-у)
2 a
B
(41)
где Ао = Ееу / Ео - коэффициент локального поля, учитывающий увеличение
амплитуды оптического перехода за счет того, что эффективное локальное поле примесного центра Еу превышает среднее макроскопическое поле в
кристалле Ео; а* = |е|2 /(пєо>/єЙс) - постоянная тонкой структуры
с учетом диэлектрической проницаемости є ; I о - интенсивность света; ю -
а; д = (,о, дг) - волновой вектор фотона.
его частота;
-(*)
Матричный элемент М^ ^ рассматриваемого оптического перехода в дипольном приближении можно записать как
.-(*) f, X!
«1? m, n
H(t)
int в
^(p, ф, z;0, Р a 2, фа 2’0 )• (42)
(t)
При вычислении матричного элемента Mf' появляются интегралы
вида
2п
J dфexp(-imф)
cos (
„-2
(-y)cthI ßa_g t I + i sin(ф-у)
= п
cth(ßaB tl (e iVSm, +1 +eiУУ- 1 ) iУУ+1 -ßiУ 6m,-1
; (43)
J dzHn I - I exP
a2 (1 - e - 21
= a 6 n,2 j (-1)' 2 2j Г( j +1 I (1 - e- 21) 2 e -2 jt.
(44)
В процессе вычисления матричного элемента были использованы следующие соотношения:
Jх 2 e ax/2V^2pVx)x =-
ГI ^ + V + - І РІ
r(2v +1)
— в 1 e 2aa цM-|a,
Re | |i+v+2 І > о;
F (a, c, x) = ex F (c - a, c, - x);
В
(x, j ) = J tx 1 (1 -1 )y 1 dt, Re x > 0, Re y > 0.
(45)
(46)
(47)
(48)
Окончательное выражение для матричных элементов М рассмат-
риваемых оптических переходов имеет вид
(t)
n 1 3
* т
a I
3
3
mv;>, , =-2 2 4 п 4 /a0a,— ■Ь0V ю
о
Yc1 Р 4a/ a^/ (n!) 2 6n,2 j (-l)x
1
j
х 22 j + 2 Г| j + 2
1V6OT, +1
■Pn22 + PaB (2 n1 + 1) + 2 + 2 j
+
■РЛІ2 + PaB (2n1 + 3) + 2 + 2j
+
n 1!
(1+| m|)!
х
X-
1 (yjl aB ^
V pa2 у
2 К
• ехр
2 n
pa 2
4 aB
V B у
. x1 Cn1-p НУ.
^ n1+l m\ p!
p = 0 ^
-1 m-1+1
|m-1+1
( p2 ^ 2 pa 2
~ 2 2 aB
V B
X
xe
/ ill i \ p +' ' ' о—'— I ml - m-1|+1
- «■ (m-1)9a2 e - i Vx ( + \m\-|m -1 +1 ^ —2 p+-----------
2
I c
k =0 p+
- k
m + m
-1+1
X
1
1
2
X-
k!
pa2 V2 aB j
B
m + \m -1 + 2k Iml -\m-
v +----!---- -----, p + ——1—
- k'
v
X
|m + 1+1
(pa2 ^ 2 ( m m+
v 2 aB j
\m\-I m+1+1 p+1—!—1------'■—
1 +1 ^ 2
P+
+ e"'■ (m + 1ф«2 eij
-I m + 1+1 __\____\____ii
I с
u=0 P+1
'|+| m+1+1 2
X
X
u!
pa2
v 2 aB j
B
v + -
m + m +
+ 2, p+J
m - m +
1 +1
\
- u
X
V
Iml+1
( 2 T“ Pa2 2
p a2 -im ф(
V2 aB у
p 1 ( p2 ^ .p!. I cp-V — • pa2
p+| m\ u!
u=0
V2 aB j
X
л/2 a
(-v)
X
a2
X
XB
m + Iml +1 + 2 и v +----------—--------------, p -u
v
+ - i (фa2 -V)>
+ e v 2 ' X
j
X B
m + Iml + 3 + 2 u v +--------—--------------, p -u
v
/
(49)
гДе ^“Рп^ +2 + 21 )Д2
Для оптического перехода с максимальной силой осциллятора ( = 0, п = 01 матричный элемент Мсогласно (49) примет вид
3 3
1 -1 Г^Т _ _
M/Д± = -24п 4 iYс 1 Р4 ai^2a<2 X
X
1
-P^B 2 + PaB + ~2
1
-P^B 2 + 3P°5 + 2
+
+-------~ • exP
2PaB
2
pa 2 • e - lm ф«2 .
ч 4 aB j
0(m)(m!) 2 •
m-1
m
( r>2 \
pa 2
V 2 aB j
X
X
m +1
( p2 pa 2 2
V° + m-
2 aB2
V о + m + -
-0(-m — l)-m|!) 2 e —а2 ^
С Р2 \
Ра 2 2 аВ
m + 1
m +
Р2
ра 2
2 аВ
[ 1, х > 0
где 0( х) = < - единичная функция Хевисайда;
10, х < 0
1
3
Vo +—
0 2
, (50)
V0 -1 —РлВ2 + ~2
2 Р аВ
Вычислим коэффициент примесного магнитооптического поглощения для МКС с учетом лоренцева уширения ИГ. Магнитное поле направлено вдоль оси размерного квантования КЯ. Считается, что в каждой КЯ находится по одному £ -центру. Рассматривается случай поперечного расположения оси £2 -центра по отношению к направлению магнитного поля.
Коэффициент примесного магнитооптического поглощения можно представить в виде
2
4° и- 2
Lc S h I
0
-HI
m n пл
M
(t)
f, ы-
x
X-
h Г
h Юв -2ni + |m| + m +1) / 2 + h Ю0 ^n + 2 j — E^B-, — h юj + (h Г)2
(51)
где Ьс - среднее значение периода структуры; S - площадь КЯ в плоскости, перпендикулярной оси размерного квантования; Йю - энергия фотона.
На рис. 3 представлена спектральная зависимость Кв ^(ю), рассчитанная по формуле (51) для МКС на основе ОаАз/АЮаАБ для различных средних расстояний между О0 -центрами. Можно видеть, что для спектральной зависимости кВ ) (ю) характерен квантово-размерный эффект Зеемана с осцилляциями интерференционной природы, которые исчезают с ростом среднего
расстояния между О0 -центрами (см. вставку к рис. 3). Необходимо отметить, что из-за наличия вырождения по магнитному и радиальному квантовым числам имеет место совмещение пиков в двух соседних дублетах Зеемана.
Таким образом, обменное взаимодействие между О0 -центрами может приводить к образованию резонансных О2 -состояний в КЯ ОаА8/АЮаА8, легированных мелкими донорами 81. Показано, что обменное взаимодействие эффективно проявляется на расстояниях ^2 < а^, при этом энергия связи резонансного ^-состояния зависит от внешнего магнитного поля как ~\[В .
Найдено, что в спектрах примесного магнитооптического поглощения в МКС обменное взаимодействие проявляется в наличии осцилляций интерференционной природы, амплитуда которых быстро убывает с ростом среднего расстояния между нейтральными донорами.
/но. эВ
Рис. 3. Спектральная зависимость коэффициента К В) (й) примесного магнитооптического поглощения в МКС (Ьс = 10 нм , S = 1 см2)
с £2 -центрами (|Ег-1 =0,4 мэВ, Ь = 10 нм, и0 = 0,2 эВ) в магнитном поле с индукцией В = 5 Тл для различных средних расстояний между ^0 -центрами; кривые: 1 - Щ2 = 4 нм; 2 - = 12 нм; 3 - Л12 = 20 нм
Примечание. На вставке в более мелком масштабе показана правая часть кривых данного рисунка.
Список литературы
1. Huant, S. Two-dimensional D- -Centers / S. Huant and S. P. Najda // Physical Review Letters. - 1999. - Vol. 65, № 12. - P. 1486-1489.
2. Кревчик, В. Д. Магнитооптика квантовых ям с D--центрами / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин // Физика и техника полупроводников. - 2006. - Т. 40, № 4. - С. 433438.
3. Кревчик, В. Д. Магнитооптические свойства молекулярного иона D- в квантовой нити // В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, А. А. Марко // Физика твердого тела. -2004. - Т. 46, № 11. - С. 2099-2103.
4. Жуковский, В. Ч. Термы молекулярного иона D- в продольном магнитном поле / В. Ч. Жуковский, В. Д. Кревчик, А. А. Марко, М. Б. Семенов, А. Б. Грунин // Вестник МГУ. Сер. Физика. Астрономия. - 2004. - № 5. - С. 7-10.
5. Жуковский, В. Ч. Изучение управляемости туннелирования в структурах типа «квантовая точка - квантовая яма» или «квантовая молекула» / В. Ч. Жуковский, Ю. И. Дахновский, В. Д. Кревчик, М. Б. Семенов, В. Г. Майоров, Е. И. Кудряшов, K. Yamamoto // Вестник МГУ. Серия 3: Физика. Астрономия. - 2006. -№ 3. - С. 24-27.
References
1. Huant S., Najda S. P. Physical Review Letters. 1999, vol. 65, no. 12, pp. 1486-1489.
2. Krevchik V. D., Grunin A. B. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Semiconductor physics and technology]. 2006, vol. 40, no. 4, pp. 433-438.
3. Krevchik V. D., Grunin A. B., Marko A. A. Fizika tverdogo tela [Solid bofy physics]. 2004, vol. 46, no. 11, pp. 2099-2103.
4. Zhukovskiy V. Ch., Krevchik V. D., Marko A. A., Semenov M. B., Grunin A. B. Vest-nik MGU. Ser. Fizika. Astronomiya [Moscow State University bulletin. Physics. Astronomy]. 2004, no. 5, pp. 7-10.
5. Zhukovskiy V. Ch., Dakhnovskiy Yu. I., Krevchik V. D., Semenov M. B., Mayorov V. G., Kudryashov E. I., Yamamoto K. VestnikMGU. Seriya 3: Fizika. Astronomiya [Moscow State University bulletin. Physics. Astronomy]. 2006, no. 3, pp. 24-27.
Кревчик Владимир Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, декан физикоматематического факультета, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Грунин Александр Борисович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра физики, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: physics@pnzgu.ru
Krevchik Vladimir Dmitrievich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean of the faculty of physics and mathematics, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Grunin Aleksandr Borisovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of physics, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Губин Тихон Алексеевич
аспирант, Пензенский государственный
университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
Gubin Tikhon Alekseevich Postgraduate student, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: physics@pnzgu.ru
УДК 535.8; 537.9; 539.33 Кревчик, В. Д.
Влияние обменного взаимодействия на энергетический спектр и оптические свойства резонансных £2 -состояний в квантовых ямах во внешнем магнитном поле / В. Д. Кревчик, А. Б. Грунин, Т. А. Губин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 2 (26). - С. 217-238.
