Особые случаи оценивания надежности при испытаниях технических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К. , Бобр О.А., Кубасов И.А. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ОЦЕНИВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

(Работа выполнена по гранту РФФИ «Обратная задача теории надежности» № 05-08-33629-а).

Как известно, величина, характеризующая качество объекта или явления, выраженная простым числом, является частным случаем более общего понятия - случайной величины или случайного числа. Показатель

надежности, в общем случае, выражается случайной величиной - временем безотказной работы (t). Отсюда следует, что любые характеристики случайной величины ? могут служить количественной характеристикой надежности объекта.

Одним из основных понятий теории надежности является понятие отказа. Формулировка события, называемого отказом, играет в теории надежности важную роль. В зависимости от формулировки отказа, а точнее, - от формулирования условия (или критерия) отказа, количественное значение оценки возможности наступления этого события может принимать различные значения. Поэтому количественные характеристики надежности - это характеристики случайного события - отказа объекта.

В исследованиях надежности технических объектов наибольший интерес представляет прогнозирование возможности наступления отказа (или противоположного ему события - безотказной работы) на интервале времени применения (эксплуатации) этих объектов. Прогноз - это предсказание (или суждение) возможности появления некоторого события в будущем, на основании данных, которыми располагает исследователь. Результатами такого прогноза надежности являются априорные (доопытные, полученные до проведения испытаний или эксплуатации объекта) показатели надежности. Как правило, такими показателями являются математические ожидания случайных величин, характеризующих вероятность появления прогнозируемого события.

Если условие отказа (критерий отказа) сформулировать в виде высказывания: «отказ наступает, если нагрузка превышает сопротивляемость объекта этой нагрузке», то такое высказывание (случайное событие

А) можно записать следующим неравенством: и>х (где и- случайная величина нагрузки (в обобщенном

смысле), а х - неопределенная величина сопротивляемости этой нагрузке). Если проводится серия из л испытаний (конечно, мысленных), с целью прогнозирования вероятности отказа (событие А), или противоположного ему события А - неотказа, то математические ожидания этих событий найдутся по формулам [1]

со

р (п = п) = Рл (и) = | ^ (х% (х)арх (х), (1)

—да

СО

Р{п>п)=РЯ{п)= \рд(хурх(х) , (2)

—СО

где Р (п = п} = Р- {п} и Р(п>п^=К^(п^ - соответственно, математическое ожидание вероятности отказа в

л-ом испытании и вероятность неотказа за л испытаний; Я - случайная дискретная величина, равная числу испытаний до отказа [п(1/)со] (в данном случае Я играет роль случайной величины времени работы

объекта до отказа); - функция распределения случайной величины нагрузки й ; 7^(х) - функция

распределения неопределенной величины сопротивляемости х .

Что представляют собой апостериорные (послеопытные) характеристики надежности?

Исход каждого испытания или серии из л испытаний буде заключаться в появлении отказа или безотказной работы. Каждый из исходов является случайным событием, величина которого со^ , обладает следующими свойствами:

Г 1, если А произойдет

ёА= П л ~ (3)

л [0, если А не произойдет

Кроме того, введем понятия единичной функции Д(х), которую определим как

, ч Г 0, при х<а А(х — а) = { (4)

[1, при х > а

и дельта - функцию следующего вида:

7 ч Гда, при х=а-0

£(х — а) = \ (5)

[0, при х ф а-0

причем

да а

| 3(х — а)dx = | 3([—а)йх = 1 , при любом е>0.

—да а—е

Исходя из принятых обозначений показателем апостериорной вероятности безотказной работы (надежности) испытываемого объекта может служить вероятность того, что случайная величина ю^ примет значение равное 1, или, что одно и тоже, произойдет событие А: Р(А ) =Р (3^ =1) . Поскольку эта величина

может принимать только два значения (0 или 1), то распределение ее вероятностей имеет характер двухточечного распределения:

<Рй (со) = д8 (со) + р8 (со -1) ; (6)

Р^(со) = дА(со) + рА(со-\) , (7)

где р= Р(А ) ; я=1-р= Р(А).

Так что же такое послеопытная надежность объекта? Из равенства Р(А) =Р(ф^=1) следует, что, с одной стороны это вероятность того, что случайное событие А произойдет, т.е. станет достоверным, а

с другой - это вероятность того, что соответствующее высказывание А будет истинным. При прогнозировании вероятность появления события адекватна истинности высказывания об этом событии. В обоих случаях она равна вероятности Р(со^=1) того, что индикатор со^ примет значение 1, которое на языке алгебры событий суть вероятность достоверного события, а на языке алгебры высказываний - значение истинности заведомо истинного высказывания.

Для пояснения сути априорных и апостериорных оценок надежности технических объектов, рассмотрим некоторые примеры.

Пример1.

Пусть внешнее воздействие задано стационарным случайным процессом с функцией распределения

(и) наибольших некоррелированных значений на интервалах . Сопротивляемость объекта пред-

ставляет собой однозначно заданную границу х0 допустимых значений нагрузки, не изменяющихся в процессе испытаний (рис. 1а). Функция распределения сопротивляемости в этом случае выражается единичной

функцией (х) = Д(х — х0) . Тогда, пользуясь формулами (1) и (2), получим

Р€(п) = | Рё 1 (х) Д(х)^(х — хо)¿х = 1 (хо)Д(х0) , (8)

ОТ

(п) = | (х)^(х — Хо)¿х = р£ (х0)

(9)

Нетрудно видеть, что выражение (8) представляет собой геометрический закон распределения вероятностей. Роль параметра этого распределения играет величина 7^(х0) - вероятность превышения нагрузкой г8 сопротивляемости х0 . Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины п , подчиняющейся геометрическому закону, в обобщенной форме может быть представлена в виде плотности распределения вероятности отказа (событие А) по времени ^ с помощью единичной функции

РЯ(*) = Д(Х0) 1 (х0)Д(п — () ' [п = 1(1)от] • (10)

п

Из этого примера видно, что к геометрическому закону распределения вероятностей можно прийти только при рассмотрении моделей испытаний нестареющих объектов, сопротивляемость которых х0 неслучайна. В статистической трактовке это означает, что распределение времени безотказной работы, определяемое по результатам испытаний некоторой выборки однотипных объектов, будет подчиняться геометрическому закону распределения вероятностей лишь в том случае, если все испытываемые объекты имеют одно и то же значение сопротивляемости Х = х0 . Геометрический закон распределения вероятностей широко применяется в теории надежности, однако, не всегда обращается внимание на условия испытаний, при которых ожидаемые результаты могут быть аппроксимированы этим законом. Графики функций Р (п) и

Д (п) приведены на рис. 1 б.

Определим теперь функции распределения переменной - апостериорных характеристик безотказной

работы

% = (®)] = Д[^€(1 (®) — х0] = Д[® — ^ (х0)] = Дю — Рё (х0)]

(11)

Из (11) следует, что распределение ^ (ю) является вырожденным и в каждом испытании сосредоточивается в точках ®(п) = Р& (Х0) (рис. 1 в ) . Графики функций Д[ю — рп (Х0 )] представляет собой серию единичных функций, положение каждой из которых на оси ю определяется глубиной прогноза п . Эксплуатационное состояние испытываемого объекта полностью характеризуется числом испытаний и заданной функцией распределения нагрузки р (м). Поэтому апостериорная вероятность может принимать лишь одно

значение Юл) = р£ (х0) в каждой серии испытаний, где длина серии определяется как [л(1)м].

Гарантированная вероятность безотказной работы, соответствующая уровню гарантии у , найдется как

®(-) (1 — У) = (1 — У) = Ч) (Х0 ) = (Х0 ) • (12)

Выражение (12) свидетельствует о том, что вероятность безотказной работы в любой последовательности испытаний не зависит от уровня гарантии у .

Пример 2.

При исходных данных примера 1 граница допустимых значений нагрузки (сопротивляемость) изменяется

\а

в процессе испытаний по закону хп = х0 — а(п — 1)“ (рис. 2 а ) . Соответствующие показатели надежности в

этом случае принимают вид

ОТ п—1

р(п) = | Д[х0 — а(п — 1)Я] Пр[х — а( — 1')“^]5(х — х0^х =

—ОТ /=1

п—1

= Д[х0 — а(п — 1)а] ПР€[Х0 — а( — 1)Я] ' (13)

I=1

ОТ п п

(п) = I Прё[х — а(г' — 1)а]^(х — х0^х = ПР«[Х0 — а(г — 1)“]. (14)

—ОТ I =1 I = 1

Формула (13) по структуре подобна формуле ряда распределения, подчиняющегося геометрическому закону распределения (8). Однако «параметр» распределения в формуле (13) Д [х0 — а(п — Г)“] является переменным. Вследствие этого члены ряда, выражаемого формулой (13), могут, как убывать, так и возрастать

(рис. 2 б ). Соответствующие этому случаю функции распределения апостериорной вероятности безотказной работы Р€ ( для каждой серии испытаний принимают следующий вид:

®(п) ' '

Рис.1.

Рис.2.

(15)

Графики функций (15) показаны на рис.2 в . Как видно из приведенного рисунка апостериорная вероятность безотказной работы изменяется скачком от 0 до 1 по завершении соответствующей серии испытаний. Это означает, что определяемый при оговоренных условиях испытаний показатель надежности (п) является «вырожденным», т.е. неслучайным. Вероятностные показатели надежности вырождены, если хотя бы одна из характеристик комплекса условий испытаний вырождена. В рассмотренных выше примерах такой характеристикой является сопротивляемость х0 .

Пример 3.

Пусть сопротивляемость испытываемого объекта задана в форме сингулярного случайного процесса Х€п = X (без старения), а внешнее воздействие - циклическим процессом (рис. 3а). Наибольшие значения нагрузки в каждом цикле неслучайны и неизменны, т.е.

Щ = Щ = ■■■ = Щ Щ , р£(ы) = А(ы — Щ)■

Априорные характеристики надежности: распределение вероятности отказа по числу испытаний и вероятность безотказной работы в этом случае принимают вид

Рис.3.

Ра (п) = | рп—1(хуад -1РП (х)ар£(х) =

—да —да

да да

= | [А(X — ий)]п—1ар£(х) - | [А(х — ий)]ЧР£(X),

—да —да

да

ке(п) = |[А(х—ий)]пар£(х)=Ке(и0).

(16)

(17)

Из выражения (16) следует, что вероятность отказа в любом испытании, кроме первого, равна нулю. В первом испытании

да

Л»,

Р€(1) _ 1 / [А(х и0)] ¿р€(х) _ Р€(и0)

(18)

Следовательно, при отсутствии старения сопротивляемости ( х£п = х) и постоянном, однозначно определенном (детерминированном - ио) значении нагрузки вероятность отказа в первом испытании является исчерпывающей характеристикой надежности. Вероятность безотказной работы Я$ (п) в любой серии испытаний, включающей первое испытание, остается неизменной. Этот результат вполне очевиден: если сопро-

тивляемость неопределенна, но в процессе испытаний (или эксплуатации) не изменяется, а действующая нагрузка задана однозначно, то одного испытания достаточно, чтобы определить эксплуатационное состояние объекта исчерпывающим образом (рис. 3 б ). Подобная схема испытаний широко применяется на практике в форме, так называемых технических освидетельствований. Испытываемый объект подвергается действию тарированной (заданной) нагрузки. Если испытание завершается успешно, то в пределах установленного отрезка времени, когда старение отсутствует, гарантируется безотказная работа объекта (если, конечно, соблюдается условие ип <щ ).

Функция распределения Р^ ^ ( О) вид:

Р€(п) ( О) = Рх[р—1 ( О)] = рх(и0)А О + Кх(и0)А(о — 1) .

апостериорной вероятности безотказной работы в этом случае имеет

>) ’

Из формулы (18) (рис. 3 в ).

следует,

(п)

(19)

двухступенчатое

распределение на множестве {0,1}

имеет

Гипериндикатор в каждой серии испытаний принимает либо значение = 0, с вероятностью

либо значение = 1 , с вероятностью К^(и0)■ Когда х = и0 , условие отказа неопределенно, и

(п) может принимать любые значения от нуля до единицы. Но если определить функцию А(х — щ) следующим образом:

|0 при < и0

А(х — Mq) =

11 прих > и0,

то при х = Щ , Уу^ = 1.

Гарантируемая вероятность неотказа у(1 — у) при уровне гарантии (у) в этом случае определяется как

у(п)(1 — у) = А[(1 — у) — F£(uq)1 (20)

Из формулы (20) следует, что если уровень гарантии у таков, что (1 — у) < Fx (mq), то безотказная работа не может быть гарантирована, т.е. ау^ (1 — у) = Q. Если же уровень гарантийной вероятности у снизить до такого значения, что (1 — у) > Fx(mq), то (1 — у) = 1. Следовательно, в зависимости от величины у гарантийная вероятность ау^(1 — у) может принимать одно из двух значений: либо 0, либо 1. Высокий уровень гарантии у истинности высказывания относительно безотказной работы объекта в п испытаниях делает такое высказывание ложным. И наоборот, низкий уровень гарантии у истинности высказывания относительно безотказной работы объекта в п испытаниях делает такое высказывание истинным, если (1 — у) > F£(mq).

Заключение

Из рассмотренных примеров следует, что применение апостериорных характеристик надежности позволяет при проведении специальных испытаний принимать решения об уровне гарантии безотказной работы объектов техники на определенном (ограниченном) интервале времени.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ им. А.А. Дородницына РАН. М 2003. -187 с.