Гарантированная функция надежности и управление надежностью уникального объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков ВК, Северцев Н.А ГАРАНТИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ И УПРАВЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТЬЮ УНИКАЛЬНОГО ОБЪЕКТА

Аннотация. В статье рассматриваются различные условия прогнозирования показателей надежности, связанные с неопределенностью исходных данных. Показано, что величина энтропии прогнозируемого показателя надежности зависит от степени неопределенности исходных данных, используемых для прогнозирования.

Ключевые слова: неопределенность, мера неопределенности - энтропия, мысленный эксперимент, гарантированная функция надежности.

При косвенном методе прогнозирования показателей надежности уникальных технических объектов как характеристики самого объекта, т.е. предельные значения его технических свойств, так и характеристики условий его применения являются, в известном смысле, неопределенными. Таковы объективные условия прогнозирования характеристик надежности любых технических объектов, поскольку исходные данные на которые «опирается» прогноз, связаны с приближенностью измерений, осуществляемых при испытаниях, и неоднозначностью оценки условий применения технических объектов.

Неопределенность исходных данных, характеризующих условия прогнозирования показателей надежности, отражаются также и на степени неопределенности результатов прогноза. Если обе составляющие (нагрузка и сопротивляемость) условий испытаний (при прогнозировании это «мысленные испытания») неопределенны, то и показатель надежности также определяется неоднозначно. В теории информации, в качестве меры неопределенности измеряемой величины, используется величина энтропии (Нэ).

Неопределенность обстановки, на основе которой осуществляется прогноз работоспособности технического объекта, можно выразить предикатом следующего вида:

%}(г) и™ и{т}(1)<Х{т](1). (1)

где (?) - т-мерная случайная функция технического состояния объекта, выраженная предельными значениями нагрузок, приводящих объект к отказу; ¿^<т)(^) - т-мерная случайная функция нагрузок, действующих на объект; ~~ т- мерная случайная область допустимых (рабочих) нагрузок.

Определим величину энтропии показателя надежности в зависимости от степени неопределенности исходных данных, используемых для его прогнозирования.

а). Рассмотрим случай, когда одна из составляющих условий, при которых осуществляются испытания или эксплуатация объекта, детерминирована. Предположим, что детерминировано значение сопротивляемости рассматриваемого объекта х = х0 . Неопределенность технического состояния этого объекта, выражаемая величиной энтропии, очевидно, равна нулю, т.к.

Нэ = 1пДх=1 А« = 0 ,

где I ^- энтропия технического состояния объекта, Ах - ширина интервала неопределенности, в котором величина сопротивляемости распределена по закону равномерной плотности.

Величина Ах равна принятой единице измерения сопротивляемости.

В общем случае, когда обе составляющие условий испытаний (или эксплуатации) - нагрузка й и техническое качество объекта х- случайны, то показатель надежности также случайная величина [1]. Обозначим случайную величину показателя надежности в одном испытании через СО , и, соответственно,

за п испытаний через - ¿5^ . Тогда при детерминированном значении технического качества объекта (

х = х0 ) показатель надежности также характеризуется числом, т.е. однозначно определен. Функцию распределения показателя надежности в этом случае можно выразить через единичную функцию (Л) следующим образом:

где (£У) ~~ функция распределения показателя надежности уникального объекта за п испытаний,

Ри(,Хо) ~ веРОЯ1Т1НОС1Т1Ь непревышения нагрузкой технического качества объекта, равного величине х0 ,

за п испытаний (нагружений) .

б). Рассмотрим теперь гипотетический случай, когда о техническом качестве испытываемого объекта полностью отсутствуют какие-либо сведения. Иначе, интервал неопределенности величины х, характеризующий значение сопротивляемости, стремится к бесконечности хе—го. Тогда для любой сколь угодно большой единицы измерения сопротивляемости диапазон возможных значений измеряемой величины бесконечен хе(—го, го). Неопределенность технического состояния такого объекта бесконечна

Нэ = ^А*—»^ — ГО

Подобный случай является действительно гипотетическим, когда речь идет о техническом объекте, созданном трудом человека, ибо отличительной чертой объектов, создаваемых человеком, является их целевое назначение. Специфика сознательной деятельности человека такова, что еще до материального воплощения проекта, создаваемый объект уже существует в сознании человека. Это означает, что свойства, обеспечивающие необходимое (целевое) качество создаваемого объекта, заранее предопределены. Любой объект конструируется из элементов (материалов) с известными (в определенной мере) свойствами. Сведения о них добыты в процессе всей предшествующей производственной деятельности человечества.

Неопределенность свойств обусловлена лишь тем, что имеющиеся о них сведения не являются «исчерпывающими», а также тем, что «целое» может обладать новыми свойствами, отличными от свойств, составляющих его частей.

Каков же исход «мысленного эксперимента» (прогноза) в рассматриваемом гипотетическом случае

при

Н —— го ?

э

Поскольку ожидаемым «эффектом испытания» может быть отказ или неотказ «испытываемого» объекта, то схема «мысленного эксперимента» строится следующим образом.

Предположим, что в результате опыта внешнее воздействие, характеризующееся законом распределения его наибольшей величины, приняло значение равное и. Ввиду полного отсутствия сведений о возможных значениях сопротивляемости х , нет оснований предполагать, что в этом опыте х окажется больше и, т.е. и< х. Не существует также данных, позволяющих предположить, что в результате опыта окажется и > х. Остается предположить, что и = х. Это означает, что как положительный исход испытания, так и отрицательный (отказ) в подобной обстановке равновозможны.

Принимая во внимание, что величина й является случайной величиной, и равенство и=х выполняется при любой реализации величины и приходим к заключению, что в описанной обстановке величина сопротивляемости, т.е. технического качества, отождествляется с величиной действующей нагрузки й=х Из тождественности двух случайных величин следует конгруэнтность функций их распределения

Рй{и)=Рк{х)-

Функция распределения показателя надежности в первом испытании находится как отношение функций распределения технического качества объекта к функции распределения нагрузки при равенстве характеризующих их величин и=х .

Нетрудно видеть, что в первом испытании при 7^ (и) = 7^ (х) и, соответственно, Фи ( ) = Фх

имеем

Таким образом, прогнозируемое значение вероятности безотказной работы Ф^ в первом испытании для рассматриваемых условий равномерно распределено в интервале Ф = (0,1] с плотностью вероятности, равной 1. Это означает, что интервал неопределенности Аф прогнозируемого показателя надежности

Фф^ по отношению к единице его измерения бесконечно велик. Действительно, чтобы измерить значения

Фф^ близкие к 1 (ф^ = 0,999...) и близкие к нулю (®(1) = 0,00 0...) необходимо, чтобы единица измерения Фф^ была бесконечно малой величиной. Следовательно, прогнозируемое значение показателя надежности

в первом испытании, при «полной» неопределенности технического состояния объекта, также полностью неопределенно. Однако факт неотказа объекта в первом испытании приводит к уменьшению области неопределенности Ф^ в последующих «мысленных испытаниях».

а) Рассмотренные выше два случая являются крайними в отношении информированности прогнозирующего о предельных значениях технических свойств объекта.

Действительность такова, что неопределенность, характеризующих ее величин, не равна нулю, но и не бесконечна, а может быть выражена некоторым конечным значением энтропии

Нэ = 1ПАх =✓ Ах = С Нэ = 1п Ах = с

Ах=ес

Отсюда вытекает весьма важное и в качественном отношении известное следствие, что, воздействуя на показатели технического качества объекта (управляя ими), можно целенаправленно изменять показатели его надежности.

Управление показателями надежности осуществляется с целью: удовлетворить заданным требованиям к показателям надежности.

Можно наметить два пути «управления» техническим качеством, причем использование одного из них не исключает необходимости, в некоторых случаях, воспользоваться вторым путем.

Первый путь заключается в «сужении» интервала неопределенности Ах исходного значения сопротивляемости объекта, т.е. уменьшении энтропии его технического состояния. Для этого могут быть использованы более точные методы расчета возможных значений сопротивляемости, например, методы неразрушающих испытаний или привлечены к оценке технического состояния объекта эксперты высшей квалификации.

Естественно, эти усилия должны быть направлены, в первую очередь, на уточнение нижней границы хн области возможных значений сопротивляемости х. Изменение интервала неопределенности сопротивляемости Ах, как показано выше, приводит, соответственно, к изменению интервала неопределенности эксплуатационного состояния. Однако чтобы оценить достаточность усилий по уточнению технического состояния объекта, необходимо сравнить эффект, выразившийся в изменении показателя его надежности, с требованиями к показателям надежности. Требования к показателям надежности технических

объектов выражаются либо в форме детерминированных (заданных) функций надежности К3 (?) , либо в виде показателя (числа) вероятности безотказной работы за рассматриваемый (заданный) интервал времени . Поэтому случайную функцию надежности, являющуюся характеристикой надежности уникального объекта, следует выразить через неслучайные характеристики этой функции. Такая возможность представляется, если случайную функцию надежности уникального объекта выразить в форме гарантированной функции надежности <ф^ (1 — у), где у - уровень гарантии вероятности безотказной работы.

После этого гарантированную функцию надежности ф (1 — у) следует сравнить с заданной функцией

надежности 7^-(?3).

Если в пределах интервала прогноза ни разу не нарушено соответствие

Т

Щ{гъ)<ш(п){\-г), 1,еТ,[п = 1тъ N =----------,

^кор

то требование к надежности рассматриваемого уникального объекта выполнено с условием гарантии не меньшим у.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ им. А.А.

Дородницына РАН. 2 0 03.

5. Северцев Н.А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке. М.: Высшая школа. 1989.