Методика построения модели прогнозирования надежности «Стареющего» технического объекта Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Дедков В.К. МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ «СТАРЕЮЩЕГО» ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА

Предлагается методика построения модели косвенного прогнозирования показателей надежности «стареющего» объекта. Нелинейность реализаций случайной функции старения объекта в общем

случае, приводит к нелинейным изменениям начала отсчета сопряженной с ней случайной переменной й (нагрузки) и неравномерным преобразованиям ее масштаба, что связано с определенными трудностями аналитического представления результатов прогноза показателей надежности. Трансформация переменной х в последовательной цепи испытаний в переменную х2 , в общем случае,

заключается в изменении начала отсчета переменной х2 и изменении ее масштаба по отношению к переменной х. Учет этого обстоятельства наряду с учетом условия непоявления отказа ( безотказной работы) существенно затрудняет представление функции распределения величины х2 аналитическим выражением. Предлагается учитывать изменения переменной х2 адекватными изменениями переменной йп , что существенно упрощает модели прогнозирования надежности.

Рассмотрим последовательность мысленных испытаний технического объекта, подверженного «старению». Под испытаниями со старением понимается такая цепь испытаний, в процессе реализации которой имеют место необратимые изменения физико-механических или технических свойств испытываемого объекта. Иными словами - изменяется характерный параметр объекта, определяющий (в совокупности с другими переменными) возможность реализации условия отказа или безотказной работы. В соответствии с «методом некоррелированных максимумов», разработанным в [1], непрерывный

скалярный случайный процесс и(^), характеризующий внешнее воздействие на объект, можно

преобразовать в п - мерный случайный вектор с независимыми составляющими а .

где м(п - случайный непрерывный процесс изменения внешней нагрузки, действующей на объект;

,=(М1,м2,...,мл),[и = 1(1)со] , (1)

и<п> - п - мерный вектор дискретных случайных величин.

Каждая компонента этого вектора является характеристикой воздействия фона на объект в соответствующем испытании. Кроме того в [1] предложена методика согласования функции, описывающей

старение характерного технического параметра объекта х{п) (величина которого определяет условие отказа или безотказной работы), с функцией внешнего воздействия и .

Заметим, что йп является скалярной случайной функцией, определяющей величину внешнего воздействия, воспринимаемого объектом, благодаря убывающему («стареющему») во времени свойству сопротивляемости, описываемому вырожденной случайной функцией х(п} . Покажем, как учитываются

изменения «внешнего фона» йп и параметра х(п) моделью прогнозирования надежности, представляющей

собой последовательную цепь прогностических предикатов, отражающих изменение работоспособности объекта на интервале прогноза.

В первом же мысленном испытании учет старения влечет за собой трансформирование случайной величины параметра х в другую случайную величину, которую обозначим символом х2 . При этом гипотетическая функция распределения ^(-*0 случайной величины х трансформируется в функцию распределения РХ2(х) случайной величины х2 . Трансформация, в общем случае, заключается в изменении начала отсчета переменной х и изменении ее масштаба по отношению к переменной х.

Учет этого обстоятельства наряду с учетом условия непоявления отказа (событие А1 ) существенно затрудняет представление функции распределения величины х2 аналитическим выражением.

Однако, определяемые по формуле полной вероятности показатели надежности останутся прежними, если изменения, связанные со «старением» технической характеристики объекта, отнести не к функции распределения ад - а к функции Ец(и), аргументом которой является переменная и, т.е. характеристика внешнего воздействия. В дальнейшем, при переходе от одного испытания к другому потребуется связывать аргумент и с параметрами х, х и т.д.

Как скажется такая замена на виде функции распределения Р~(х) ?

Замена аргумента равносильна изменению начала отсчета переменной и и ее масштаба. Причем, если

случайная функция, характеризующая процесс старения , линейная, то в каждом последующем

испытании по отношению к предыдущему изменяется лишь начало отсчета переменной и, без изменения ее масштаба.

Если процесс старения выражается нелинейной вырожденной случайной функцией х(п), то изменяется

как начало отсчета, так и масштаб переменной и. При этом масштаб переменной и может оказаться неравномерным.

Нелинейность реализаций функции старения в общем случае, приводит к нелинейным изменениям начала отсчета переменной и и неравномерным преобразованиям ее масштаба. При этом за исходную систему отсчета, относительно которой выражаются изменения, удобно принять систему отсчета (начало координат и масштаб) переменной х. Масштаб переменной х, как правило, принимается равномерным.

В первом испытании плотность распределения фона ф (и) рассматривается в той же системе

отсчета, в которой определена исходная плотность распределения параметра фXх) • Поскольку определяющей в отношении системы отсчета аргумента является переменная х, а изменение фона и

должно быть «согласовано» с изменением параметра х, то х (или параметры, от которых она зависит х = х(а,ь,а,...) ) следует рассматривать как обобщенный параметр (совокупность параметров) . Обобщенный

параметр определяет положение и форму кривой плотности распределения фона, т.е. функции ф _(и\х) •

Преобразования системы отсчета, связанные со старением, выражаются зависимостью, которая устанавливает соответствие между началом отсчета и масштабом переменной х и зависящими от нее переменными х2,х3,...х .

Следовательно, последовательные (по числу испытаний) трансформации плотности распределения параметра х можно рассматривать, как плотности распределения одной и той же случайной величины и

Х2> Х3,...Хп

относительно изменяющихся обобщенных параметров отсчета, т.е. как ф- (х,х) , &(х;х2) ... фИ (х;хя) .

К этому вопросу можно подойти по иному.

Плотности распределения внешнего фона относительно различных параметров

или относительно различных систем

х0, х, ,...х„

рассматривать как плотности распределения различных случайных величин и15и2,...и относительно одного и того же параметра х, т.е. в одной и той же системе отсчета. В принятой символике плотности распределения этих величин будут выражаться так:

аргумент, х - параметр, щ9й29...9йп

Фи1(к',х),фи2(1Г,х),...фи11(1Г,х) , где и

случайные переменные.

Оба способа выражения плотности распределения нагрузки, позволяющие учитывать изменения сопротивляемости, эквивалентны.

Таким образом, учет старения в рассматриваемой модели прогнозирования надежности сводится к последовательной трансформации фона, т.е. к последовательному переходу от одной системы отсчета нагрузки к другой, метрические характеристики которых определяются параметрами старения.

Собственно такая же схема трансформаций может быть положена в основу модели прогнозирования показателей надежности при нестационарном, случайном процессе взаимодействия объекта со средой. Сложность такого случая не в построении модели оценивания надежности, а в анализе и получении характеристик, отражающих вероятностные свойства нестационарного случайного процесса в пределах всего интервала прогноза.

и, х

Рис.1. Трансформации плотности распределения фона фй {и,х1) , связанные со старением объекта, и плотности распределения параметра объекта ф п (хЛ - в связи с неопределенностью исходной

1=1

величины параметра х = хг.

Вследствие того, что показатели надежности зависят не от абсолютных значений (в том числе и случайных) внешнего фона и технических параметров объекта, а от отношения между их величинами, то для модели оценивания надежности не имеет принципиального значения что изменяется в процессе испытаний: фон и или параметр х, или обе составляющие комплекса условий испытаний одновременно.

Воспользовавшись приведенной выше схематизацией, будем относить изменения, связанные со старением параметра объекта, к трансформации фона, а изменения в последовательной серии испытаний (п), связанные с исходной неопределенностью сопротивляемости х , — к сопротивляемости.

Тогда зависимости между показателями надежности нестареющих невосстанавливаемых объектов и

законами распределения нагрузки Vг<п> старению можно записать в следующем виде

К,-1(п) = Р(п>п)= | I V. !<//-,( VI .

—да 1 =1

00 П

с»)=р(" < ")=1 -1П/ - х< ^ • (2 '>

—да 1 =1

00 п

р,-,00 = Р(" = ")= | Я,(*;Х1 ^• {3)

—да 1=1

«—1

Л(п)=Р{1~,п>х! А(п_1))= _[■

сопротивляемости

(1)

с (и) ,

для объектов, подверженных

«—1

(4)

> 1=1

где ^(п) = Р(п > п) - вероятность безотказной работы за п нагружений объекта, суммарная длительность которых, равна отрезку времени на котором укладывается ровно п нагружений;

вероятность отказа объекта за рассматриваемый период нагружений;

Рл(п) = Р(п<п) -

и

Р„(п) = Р(п =п) - вероятность отказа объекта в п-ном нагружении, или приведенная плотность

распределения отказа по числу нагружений;

Х(п) = Р(ип >х! А^п_ _^) - интенсивность отказа.

Заметим, что в выражениях (1) - (4) функция распределения фона Р-(х\х^) и дополнительная

функция распределения параметра Р^(х\х^) зависят от параметров Х2?Х^...Х19...ХП - т.е. являются

различными функциями одного и того же аргумента х. Поэтому в выражениях (1) - (4) функции

распределения параметра, отражающие вероятности безотказных исходов в серии из п испытаний, перемножаются (а не возводятся в степень).

Воспользовавшись зависимостью х{ = х|^1 + Ь{г — 1)°^ — а{г — 1)а , определяющей характер старения

сопротивляемости х объекта от числа 1 его нагружений, приведенной в [1], и устанавливающей связь между значением параметра х в п -ном испытании и его исходной величиной х , выразим условные вероятности Кц^х,) и Рц{х\х,) в виде явных функций аргумента х и некоторых параметров,

являющихся константами старения ху = х(а,Ь,а,...) . Подставляя развернутые функции и Рл{х\х,)

в формулы (1) - (4), получим

Rn(n)= \X\Füix ! + *(/—l) -а(й)да). (5)

—да /=1 L J

Рй(п)=1~ J f\Fü{x 1 + *(/—1) -«(/—1) }dFi(x) .

—да /=1 L J

Рп{п)= J^{x[l+ü(«-l)a]-a(«-l)“}x® хП^{*[1 + А(/-1)“]-а(/-1)“^(*) .

i- J [\г«{х 1 + 61/-1) -а\ Z-II • (6)

—да /=1

» (хГ1 + 6(г-1)“]-а(г'-1)а) „-1

Л(„)= $^-ГЛ±------------------J----------J-----X *[l + A('--l)a]-«('--l)af^W •

—да /=1

(8)

Таким образом, при косвенном прогнозировании показателей надежности объектов, подверженных старению, учет старения в модели прогнозирования надежности сводится к последовательной

трансформации внешнего фона F~(x\x^ в цепи мысленных испытаний, т.е. к последовательному переходу

от одной системы отсчета нагрузки к другой, метрические характеристики которых определяются параметрами старения. Такой подход существенно упрощает аналитическое представление результатов прогноза, связанных сложными зависимостями с вероятностями исходных характеристик объекта прогноза.

Литература

1. Дедков В.К. Модели прогнозирования индивидуальных показателей надежности. М.: ВЦ им. А.А.

Дородницына РАН. 2003. 186 с.

со