Косвенный метод прогнозирования показателей надежности восстанавливаемых технических объектов. Интегральное уравнение восстановления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К. КОСВЕННЫЙ МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Аннотация. В статье дается вывод основного интегрального уравнения восстановлен на основе косвенного метода измерения показателей надежности. Показана физическая сущность процессов, отображаемых различными составляющими этого уравнения.

Ключевые слова: интегральное уравнение восстановления, поток отказов, интенсивность потока,

параметр потока, простейший поток отказов, нагружение, сопротивляемость, случайный стационарный процесс нагружения.

Показателями надежности восстанавливаемых объектов служат характеристики потоков отказов Мп), связанные причинно-следственными зависимостями с составляющими комплекса условий испытаний

3{х,у,и} объектов прогноза. Для применения косвенных методов прогнозирования потоков отказов восстанавливаемых технических объектов необходимо непрерывные переменные комплекса условий испытаний (или эксплуатации) объекта [ и (1:) , х (1:) , у (1:) , г (1:) ] преобразовать в последовательности некоррелированных случайных величин [йпг х п, у п, г п] г зависящих от порядкового номера нагружения (п) объекта как от параметра. Такое преобразование осуществляется по «методу некоррелированных максимумов» [ 1].

При косвенном методе прогнозирования надежности условием отказа в одном акте нагружения объекта является соотношение (и >х) , условием безотказной работы (и <х) , где й - случайная величина

нагрузки, действующей на объект в п-м нагружении, х - случайная величина сопротивляемости объекта действующей нагрузке.

Введем обозначения: (х) - функция распределения случайной величины нагрузки в одноактном

нагружении; (х) - функция распределения сопротивляемости объекта действующей нагрузке до начала нагружений (эксплуатации); ^(-^) ~~ функция распределения сопротивляемости объекта, введенного в

эксплуатацию взамен отказавшего; х1 = 'х - функция старения сопротивляемости

объекта введенного в эксплуатацию до начала первого нагружения, а, Ь, а - параметры старения объекта при функционировании; уп — у^1 + Ъх (п — 1)°* ^ — ах (п — 1)°* - функция старения запасного объекта до

момента п использования его взамен отказавшего, ах, Ьх, ах - параметры старения запасного объекта при его хранении до начала применения;

Поток отказов называется стационарным, если вероятностность появления того или иного числа отказов на отрезке времени, равном т, зависит только от длины этого отрезка и не зависит от того, где именно на оси времени (последовательного числа нангружений п) находится этот отрезок.

Поток отказов называется ординарным, если вероятность появления двух или большего числа отказов на элементарном отрезке времени Дт (в одном нагружении) пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного отказа.

Поток называется потоком без последействия, если вероятность появления определенного числа отказов на некотором отрезке времени т не зависит от чередования отказов, возникших до этого момента. Иными словами, если условная вероятность наступления т отказов на интервале испытаний [п, п +Дп], вычисленная при любом предположении о чередовании отказов до момента п, равна безусловной вероятности Р^ (Дп;п] того же события.

Поток, обладающий свойством стационарности, ординарности и отсутствием последействия называется простейшим потоком.

В данном исследовании рассматриваются одномерные потоки отказов, обусловленные действием нагрузки определенной физической природы. Условие одномерности потока отказов однозначно определяет его ординарность. В теории потоков (восстановлений) [2] показано, что если поток простейший, т.е. обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия, то параметр

потока отказов численно равен интенсивности отказа Ь(п) = ^(п) . Для асимптотически стационарных

потоков справедливо аналогичное равенство

Нш И(п) = ^(п) . (1)

п^да

В дальнейшем будем пользоваться в основном лишь понятием интенсивности потока отказов, обозначив его через Мп) .

С учетом всех факторов, влияющих на вероятность отказа Р{ип>гп) объекта в п-м нагружении получим следующее выражение для определения интенсивности потока отказов Мп) [1]

п-1

А(«) = | Ка & (х)А+

. \

1

1=1

и-1 " . . п~1-‘ (X + А. '

“®Г,

ВД

Лх (2)

+2>С0(*■>*»-./) П Фу

-со /—1

где (х : -со < х < со), (у: -со < у < со), (и : -со < и < со), [и = 1(1)со],

рй (*; х1)=рй {*[1+ь (> ~ 1)“] - а (> ~ 1Т} А (х’х-) =1 - ри (х>)>

А = ах (У - 1)“х; В) = 1+ъх (1 - ])ах , [1 = 1 (1)п -1], и = 1 (1)п -1]

Интенсивность потока отказов Мп) представляет собой решетчатую функцию, определенную лишь при целочисленных значениях аргумента п.

Интегралы в выражении (2) отличаются один от другого, во-первых, количеством предыдущих нагружений до рассматриваемого момента времени (номера нагружения п), а, во-вторых, в общем случае, законами распределения сопротивляемостей объектов замены в момент установки их взамен отказавших,

, А Л 1

|---Г - для

В,

х +

В У

:.е. = - в момент начала эксплуатации (прогнозирования), и ф-2{х} = ф.

■ о.

момента возобновления эксплуатации после устранения отказа в любом 31-м восстановлении. Различия в аргументе п не затрагивают причин появления отказа и не влияют на вероятностные свойства и характер распределения случайной величины п , т.е. не изменяют при прочих равных условиях ряд распределения Рп(п^ , чего нельзя сказать о плотностях распределения сопротивляемости объектов замены в моменты начала их функционирования. Исходный уровень сопротивляемости объектов, являясь одним из

факторов влияющих на появление отказа, непосредственно определяет характер распределения Рп(п)

случайной величины п . Поэтому, имея дело с объектами, обладающими различными в стохастическом смысле сопротивляемостями, мы имеем дело с различными случайными величинами наработок на отказ п.

, а, следовательно, и с различными, при прочих условиях, рядами распределения вероятностей отказов Р~ (п^) . Обозначим соответствующие интегралы в выражении (2) как

й да п—1

Рщ {П)=\Яи {Х'>Хп)Т\РВ (*;*<■) & {х)еЗх , ( 3 )

—ОТ I =1

да

п—-I

% (И - У)£ I {*’Хп-^ П ри (Х’Хцту

Гх+А? в, J

сЬс

И

(4)

где Рп^(п) представляет собой вероятность отказа в п-м нагружении объекта, поставленного на эксплуатацию в начальный момент времени 1з0, (п0) , а Р-ш(п — ^- вероятность отказа в п-м нагружении

объекта, функционирование которого началось после 31-го нагружения для всех 3 = 1(1)п-1].

Принимая во внимание аналогию между непрерывным временем безотказной работы объекта и числом п

его успешных нагружений до отказа, Рп^ (п^ можно рассматривать как дискретный аналог плотности

распределения времени безотказной работы

М*)=1Х(иЖ*-и) - (5)

е 5^ — п) —дельта функция Дирака; а I — текущее время.

гд

С учетом (3) и (4) выражение (2) для определения интенсивности потока отказов восстанавливае-

мого объекта может быть представлено в виде п—1

к (и) = Рщ (и) + 1> О )Рп] (п ~ ]) [и = 1 (1) °°] ( 6 )

]=1

Выражение (6) показывает, что интенсивность ординарного потока отказов к (п) в любом п-м нагружении представляет собой сумму вероятностей отказов в этом нагружении восстанавливаемого объекта

при всех возможных исходах испытаний, предшествующих моменту п.

По структуре, приведенное выше основное уравнение восстановления представляет собой уравнение прогнозирования показателей надежности восстанавливаемого объекта в серии независимых последовательных нагружений, являющейся моделью непрерывного процесса нагружения. Этой задаче были подчинены разработанные выше математические модели прогнозирования как случайного процесса нагружения й (1:) , так и случайных процессов изменения сопротивляемости х (1:) , у (1:) , 1 (1:) .

Преобразование случайного процесса нагружения по методу некоррелированных максимумов

обеспечивает вероятностное описание этого процесса по данным одной, имеющей ограниченную длину, реализации (если такой процесс обладает свойством эргодичности). Для описания случайных процессов старения сопротивляемости х (1:) , у (t) , г (t) используется информации о вероятностных свойствах

объектов в начальные моменты эксплуатации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенные методы прогнозирования надежности. М.: ВЦ им. Дородницына РАН, 2006. 272 с.

2. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М.: Сов. Радио, 1967. 299 с.

/=1