ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОТОКА ОТКАЗОВ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ОБЪЕКТА(H) И ИНТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗА НЕВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ОБЪЕКТА (λ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интенсивность потока отказов восстанавливаемого объекта(й) и интенсивность отказа невосстанавливаемого объекта (Л)

Дедков ВК

Аннотация. В статье рассматривается сравнение интенсивности потока отказов восстанавливаемых объектов h(n) и интенсивности отказа

Л(п) невосстанавливаемого объекта и показано, что при прочих равных условиях для идентичных объектов интенсивность потока отказов восстанавливаемых объектов h(n) существенно отличается от интенсивности

отказа Л(п) невосстанавливаемого объекта. Только в первом нагружении эти характеристики надежности численно равны одна другой.

Ключевые слова: - интенсивность потока отказов, интенсивность отказа, интегральное уравнение восстановления, дискретная форма интегрального уравнения, прогнозирование.

В работе [1] дан вывод интегрального уравнения восстановления при косвенном методе прогнозирования показателей надежности в форме дискретной функции, связывающей интенсивность потока отказов восстанавливаемого технического объекта (h) с характеристиками случайной величины нагрузки (и) и случайными значениями сопротивляемостей (х, у):

¥ П-1

h(n)= j Ru(x;xn)ПFu(x;xi (x)dx +

— ¥ І = 1

n-1 ,

+ Z h( j)jRU (■

j=1

n - j -i

) П Fu(x; xij

x; xn - j

i =1

x + A

j

B У

\B\

;dx

(1)

(x: -¥ < x < ¥), (y: -¥ < x < ¥), (U : -¥ < и < ¥), [n = 1(1)¥],

где Fu(x; xi)=Fu{x[1 +b(i - 1)a ] - a(i - 1)a ] Ru(x; xi )=1 - Fu(x; xi),

A = ax(j - 1)ax; Bj = 1 + bx (1 - j )a; [i = 1(1)n -1], [j = 1(1)n -1]

1

- h(n) - интенсивность потока отказов, представляющая собой решетчатую функцию, определенную лишь при целочисленных значениях аргумента n.,

- х - начальный (случайный) уровень сопротивляемости восстанавливаемого объекта,

- у- случайный уровень сопротивляемости после восстановления отказавшего объекта

- и - случайная величина нагрузки, действующей на объект,

F{i (x;xt) - функция распределения наибольшего случайного значения на-

грузки и,

Fx (x; xt) - функция распределения случайной величины сопротивляемости.

Не входя в анализ физических процессов, послуживших основой для вывода интегрального уравнения восстановления (1), можно дать упрощенную интерпретацию вывода зависимости интенсивности потока отказов восстанавливаемого объекта в серии последовательных нагружений от вероятности отказа в п-м нагружении [2].

Рассмотрим, чему равно среднее число отказов из совокупности однотипных восстанавливаемых объектов N, появившихся в n — ом нагружении, если их общее число во время эксплуатации поддерживается постоянным, путем замены отказавших. Очевидно, что интересующее нас число отказов h(n )N является суммой среднего числа отказов в n — ом нагружении объектов, которые к данному нагружению еще не отказывали ни разу (объекты первой группы), и среднего числа отказов в этом же n — ом нагружении объектов, отказывавших и восстановленных ранее (объекты второй группы). Соответственно в n — ом нагружении среднее число отказов объектов (до этого ни разу не отказывавших) равно произведению безусловной вероятности первого отказа (n) (здесь п0 - случайное число нагружений объекта

до первого отказа) в п - ном нагружении на число объектов N, т.е. равно: NPn0 (n).

В свою очередь среднее число отказов в n — ом нагружении объектов второй группы равно произведению безусловной вероятности отказа объекта в рассматриваемом нагружении на число объектов этой группы (в общем виде обе эти величины зависят от момента времени п и количества предшествующих отказов). Число отказавших, а следовательно, и замененных объектов второй группы, в любой момент времени предшествующей эксплуатации (в любом п -м нагружении для j = l(l)n — 1)) равно: Nh(j),

(где h( j) интенсивность потока отказов в j - м нагружении), а вероятность отказа в n — ом нагружении элемента, введенного в эксплуатацию взамен отказавшего в любом j — ом нагружении для "j = l(l)n — 1, соответственно равна:

Pj(n—j) (2)

Тогда среднее число отказов таких элементов второй группы определится как:

Nh(j P (n — j) (3)

Суммарное число объектов второй группы, отказавших и замененных к n — ому нагружению с начала эксплуатации будет равно:

n—1

N Z h(j X (4)

j=1

из которого в n — ом нагружении вновь откажет следующее число элементов:

n—1

N Z h(j P (n—j). (5)

j=1

Суммарное среднее число отказов объектов в n - ом нагружении будет равно произведению Nh(n), или с учетом отказов первой и второй групп объектов:

Nh{n)=Np^ {п)+у Nh(j )Pn, (n - j) (б)

j-1

Откуда после сокращения на N левой и правой части равенства (б) получим уравнение восстановления в общей форме [1]:

h{n)=рп0 {п)+У ЯЛрп{n -j). (7)

j-1

По своему смыслу, структуре и содержанию выражения (1) и (7) идентичны и представляют собой основное интегральное уравнение восстановления в дискретной форме. Приведенные уравнения отличаются большей информативностью по сравнению с известными из теории восстановлений уравнениями [3].

По своему содержанию и по смыслу разработанные формы основного уравнения восстановления (1) и (7) носят характер уравнений прогнозирования поведения восстанавливаемого объекта в серии последовательных нагружений. Математические методы, использованные для описания как случайного процесса нагружения, так и случайного процесса старения сопротивляемости, были подчинены решению основной задачи - обеспечить возможность прогнозирования потока отказов технического объекта

В первом случае применяется метод преобразования случайного процесса нагружения и {t) в дискретную последовательность независимых случайных величин по «правилу некоррелированных максимумов», обеспечивающий вероятностное описание этого процесса по данным одной, имеющей ограниченную длину, реализации.

Во втором случае описание случайного процесса старения основано на информации о вероятностных свойствах элементов сложных устройств в начальный период эксплуатации. При известном законе старения (т.е. при известных параметрах старения a,b,a) этой информации достаточно для определения случайных величин, характеризующих сопротивляемость элемента действующим нагрузкам в любой момент времени эксплуатации.

Кроме того, сам вывод выражений (1) или (7) основан на прогнозировании поведения восстанавливаемого элемента в серии последовательных нагружений (метод «мысленного эксперимента»).

Во многих практических случаях исходная информация о составляющих комплекса условий эксплуатации рассматриваемого объекта, на основе которой формируется модель потока отказов, может быть получена до начала реальной эксплуатации или на ограниченном ее этапе. Поэтому приведенные выше уравнения (1) или (7), можно рассматривать как уравнения, обеспечивающие прогнозирование априорных значений интенсивностей потоков отказов восстанавливаемых объектов в предстоящей эксплуатации. Глубина прогноза n при этом не ограничивается.

Все это существенно расширяет информационную базу приведенных выше уравнений восстановления (1) и (7) по отношению к информации, используемой при выводе известных из теории восстановлений интегральных уравнений [3].

Полученные уравнения восстановления в качестве первого слагаемого содержат дискретный аналог плотности распределения времени безотказной работы - (п).

При невозможности восстановления объекта (j (х) = 0

(У: -¥ < х < ¥) поток отказов вырождается в одно событие - первый отказ, безусловная вероятность которого и определяется величиной Pn . Из (1) при

jy (х ) = 0 имеем:

¥ п-1

Pn0 (п)=Bep{no = п}= j R (х; хп )П Fu(х; xi jx(х)dx (8)

— ¥ І = 1

С учетом (8) функция ненадежности F % (п) невосстанавливаемого

элемента равна:

j-1

п п — / \j

F0 (п)=ВеР{по£ п}= £рп0 (j) = £ j Ru(х;xj )ПFu(х;хі j(х)Вх (9)

j = 1 j = 1-¥ І = 1

Соответственно функция надежности Rп (п) или вероятность безотказной работы элемента за нагружений равна:

п ¥ . j-1

R0 (п)=ВеР{п0 >п}=1 - Fn0 (п)=1 - £ jRu(х;xj) ПFu(х;хі j(х)Вх (10)

j = 1-¥ І =1

Rn (п) является дополнительной функцией распределения случайной

величины п 0 и характеризует интегральный вид закона распределения наработки на отказ.

Путем перехода к суммированию под знаком интеграла и преобразования подынтегрального выражения по формуле суммы убывающей геометрической прогрессии, (10) можно представить в виде:

¥ п

R0 (п) = j ПFu(х;хі )фх(х)Вх (11)

-¥ І =1

Нетрудно видеть, что с учетом (11) выражение (8) может быть представлено в виде:

Рп0 (п )=Rп0 (п-1)-Rп0 (п) (12)

И, наконец, третий важный показатель безотказности невосстанавливаемого элемента - интенсивность отказа 1(п),[п = 1(1)»] с учетом полученных выражений (8) и (11) можно представить в виде:

n-1

l(n)- no

Pnn (n )

j (x; xn )П Fu(x;x )^jc(x )dx

i=1

R«„ (n -1)

¥ n-1

(13)

j П Fu(x; xi px(x )dx

— ¥ І =1

При отсутствии старения сопротивляемости невосстанавливаемого объекта выражения для определения R? (n) и l(n) с учетом (8) примут вид

[1]:

Rn0 (n ) = j FU (x px (x)dx

(14)

j Ru(x x)Fu 1 (x )<Px(x )dx

1(n)=—¥¥----------------- (15)

j FU—1 (x px(x )dx

— ¥

Сравнение выражений (1) и (13) показывает, что при прочих равных условиях для идентичных объектов интенсивность потока отказов восстанавливаемых объектов h(n) существенно отличается от интенсивности отказа

l(n) невосстанавливаемого объекта. Первая их них (для ординарного потока отказов) равна безусловной вероятности отказа объекта в единицу времени (в n — ом нагружении), а вторая - условной вероятности отказа объекта также в единицу времени (в n - ом нагружении), но при условии отсутствия отказа в предыдущих нагружениях. Только при n = 1 h(n) численно равна l(n), т.к.

Rn0(0)=1:

¥

h(1) = 1(1) = РЙ0 (1) = jRs (x)ps (x)dx (16)

— ¥

В целом при n = 2(1 )¥ соотношение между значениями h(n) и l(n) как видно из формул (1) и (13) в зависимости от вида законов старения и уровня восстановления сопротивляемости после отказов может быть любым, что можно показать на конкретных примерах прогнозирования интенсивностей потоков отказов восстанавливаемых объектов и интенсивностей отказа невосстанавливаемых объектов.

Литература

1. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенные методы прогнозирования надежности. М.: ВЦ им. А.А. Дородницына РАН. 2006. 272 с.

2. Дружинин Г.В. Надежность систем автоматики. М.: Энергия, 1967.

527 с.

3. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М.: Сов. Радио 1967. 299 с.