Косвенный метод прогнозирования интенсивности потока отказов восстанавливаемого нестареющего объекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дедков В.К. КОСВЕННЫЙ МЕТОД ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ПОТОКА ОТКАЗОВ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО НЕСТАРЕЮЩЕГО ОБЪЕКТА

Аннотация. В данной статье рассматривается косвенный метод измерения и прогнозирования интенсивности потока отказов восстанавливаемого нестареющего объекта и дается сравнение этого метода с методом прямого измерения.

Ключевые слова: интегральное уравнение восстановления, поток отказов, интенсивность потока,

параметр потока, простейший поток отказов, нагружение, сопротивляемость, случайный стационарный процесс нагружения.

При применении косвенного метода прогнозирования показателей надежности восстанавливаемых объектов, основная характеристика потока отказов - интенсивность потока Мп), - как показано в [1], находится по формуле

п—1

к(П)=РА0(П) + ИкО')РЛ](П~Л' [И = 1(1)°°Ь (!)

j=1

где Рп^(п^ представляет собой вероятность отказа в п-м нагружении объекта, поставленного на

эксплуатацию в начальный момент времени 1з0, (п0) , Р„щ{п — у) _ вероятность отказа в п-м нагружении

объекта, функционирование которого началось после 31-го нагружения, т.е. после восстановления объекта или включения в работу взамен отказавшего для всех [3=1(1)п-1]

п - дискретный аналог текущего времени t работы объекта (нагружения), (вводится при преобразовании непрерывного случайного процесса нагружения в дискретную последовательность некоррелированных случайных нагрузок [1]), Г - случайная величина наработки объекта до отказа.

Величины вероятностей Р^ (п) и рйХп~1) определяются по формулам [1]

рй] (п - ;)= | Щ (х,хп^) П (л: Д. )<>,

х +

<1х

и

(3)

Где (х) - функция распределения случайной величины нагрузки в одноактном нагружении; Рх (х)

- функция распределения сопротивляемости объекта действующей нагрузке до начала нагружений (эксплуатации) ; ^(-^) - функция распределения сопротивляемости объекта, введенного в эксплуатацию

взамен отказавшего; = х - функция старения сопротивляемости объекта введен-

ного в эксплуатацию до начала первого нагружения, а, Ь, а - параметры старения объекта при функционировании; уп — + Ъх (п — 1)°* ^ — ах (п — 1)°* - функция старения запасного объекта до момента п ис-

пользования его взамен отказавшего, ах, Ьх, ах - параметры старения запасного объекта при его хранении до начала применения; г =г |~1 + б(г -1)а~|-<з(г -1)а - функция старения сопротивляемости г

объекта, восстановленного в момент времени п, а, Ь, а - параметры старения объекта при функциони-ровани.

В частном случае, рассматриваемом в данной статье, при отсутствии старения запасных объектов при хранении (ах = Ьх = ОС = 0) восстановление сопротивляемости объекта после отказов производится каждый раз до некоторого в стохастическом смысле неизменного уровня у с плотностью распределения

Фу(Х) для [у=1(1) п — ^ , при этом имеем

Рщ {П-})=Рпг{П~ }) = ■■■= Р\} (и - У) = ■ ■ ■ = РппЛ (« - У) =Ря(П~1) < 4 >

да п—у—I

где Рй (п - у) = | Щ (*;*„_,) П ^ (*;*,.) ф- (х) ах .

—да /=1

С учетом (4) выражение (1) принимает вид

п—1

Кп)=рщ(п)+Ик(Лрп(п~ у)=[«=1(1) °°ь (5)

1=1

и закон распределения Рп{П~}) становится безусловным, т.к. для всех 3 уровень восстановления свойств объекта после отказа в любом нагружении вплоть до п-1 остается неизменным.

Если все случайные величины наработок на отказ Г1?/"у...п имеют один и тот же закон распреде-

ления, как в случае (3.27), то такой поток отказов 1(п) называется рекурентным потоком.

Если же Р~_ (п — у) = Р- (п — у) , [j=2(l)oo], а Р^ (п — у) Ф Ри (п — у) , то поток отказов I (п) называется

рекурентным потоком с запаздыванием. Рекурентной называют формулу, которая позволяет шаг за шагом

определить любой член последовательности, если известны 3 ее первых членов.

Если в дополнение к условию (4) потребовалось, чтобы восстановление после каждого отказа осуществлялось до первоначального в стохастическом смысле уровня сопротивляемости, т.е. ф-^{х} = фх{х}, то нетрудно видеть, что

Рщ (П)=Рп (»),[»= 1(1)“] , (6)

и выражение (5) принимает вид

п—1

ЧП)=Рп0(п)+ЦЧЛРп0(п-Л> П)

у=1

где, как и ранее, рщ(п) - дискретный аналог безусловной плотности распределения наработки до первого отказа.

При отсутствии старения объектов при функционировании {а — Ъ — сс — О, Р- ^х;хп) = (х), |^/7 =

выражения (2) и (3), определяющие значения вероятностей Рп^ (п} и Р^\п — у), [у = 1(1)77 — 1], принимают

рщ (и) = | К {х)ра ' (х)Фз {хУх > (8)

Л

И

(9)

Отметим, что отсутствие старения сопротивляемости не изменяет структуры и смысла выражений

(1), (5) и (7) для определения интенсивности потока отказов к(и), но упрощает при этом формулы

для вычисления вероятностей Рф) и Р^(п~У)- Отсутствие старения сопротивляемости объекта в

ходе функционирования, исключает в разработанной модели необходимость изменения от нагружения к нагружению начала отсчета и масштаба нагрузки, оставляя при этом без изменения все остальные факторы, влияющие на ф~ (х) и в целом на модель потока отказов. В теории восстановлений [2] связь

между интенсивностью потока отказов

и плотностью распределения наработки на отказ Фд{^)

устанавливается через основное уравнение восстановления, которое для рекуррентных потоков имеет вид

г

Ь{*) = Фв{*) + \к(т)фё(г-т)с1т (10)

о

где 0 - случайное время наработки на любой из отказов объекта; £— текущее время с начала

эксплуатации (прогнозирования); т — текущее время с момента последнего отказа объекта.

Для рекуррентного потока с запаздыванием уравнение восстановления принимает вид [2]: г

Ь{*) = ф^ (1) + ^к(т)фё(1-т)<Лт , (11)

о

где Ф^(^) ~ плотность распределения времени наработки на первый отказ объекта, отличающаяся от

закона распределения наработок на второй и последующие отказы.

Сравнение выражений (5) и (11) показывает, что по своей структуре и по физическому смыслу выражение (5) является дискретным аналогом известного уравнения восстановления (11) [2], для реку-

рентных потоков с запаздыванием. При этом распределение можно рассматривать как дискретный

аналог закона распределения наработки между отказами Фд(^) • Аналогичный вывод можно сделать и из

сравнения выражений (7) и (10) для простых рекуррентных потоков.

Выражение (1) следует рассматривать как более общую дискретную форму основного уравнения восстановления, по сравнению с известным уравнением восстановления (11) для непрерывного времени.

Формула (1) позволяет, в общем случае, определять интенсивность ординарного потока отказов к (п)

при различных законах распределения наработки на очередной отказ, обусловленных старением объектов, используемых для замены отказавших.

Получаемые с помощью приведенных выше моделей функции Кп) рщ(п) и рф- у) в зависимости от характера процессов нагружения (7^ (г/)) и параметров старения (а,Ь,ОС,ах,Ьх,ОСх) , а также от уровня

восстановления сопротивляемости после отказов у , могут принимать различную, зачастую «нетипичную» форму. Действительное же изменение этих вероятностей во времени, а не «типовой» закон их изменения, как раз и представляет основной интерес для практики.

При необходимости перехода к типовому теоретическому закону распределения наработки на отказ,

наличие законов и Р^_ (п} всегда позволяет оценить погрешность такого перехода, а, следова-

тельно, и погрешность замены реального потока отказов теоретической моделью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дедков В.К., Северцев Н.А. Косвенные методы прогнозирования надежности. М.: ВЦ им. Дородницына РАН. 2006. 272 с.

2. Кокс Д., Смит В. Теория восстановления. М.: Сов. Радио, 1967. 299 с.

вид