CC BY
89
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012
УДК 621.318 В. К.ФЁДОРОВ
С. В. БИРЮКОВ В. Т. ЧЕРЕМИСИН Л. Г. ПОЛЫНЦЕВ
Омский государственный технический университет
Омский государственный университет путей сообщения
ООО «Сандимакс», г. Москва
ОСОБЕННОСТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Рассмотрена возможность возникновения сложных самовозбужденных электромеханических колебаний в нелинейной электроэнергетической системе. Предложены необходимые и достаточные условия возникновения и идентификации режимов детерминированного хаоса в переходных электромеханических процессах нелинейных электроэнергетических систем.
Ключевые слова: электромеханические переходные процессы, устойчивость, хаос, бифуркации.
В последние годы в электроэнергетических системах значительно возросла доля нелинейной нагрузки. Это связано с прогрессом в производстве силовых полупроводниковых устройств (преобразователи частоты, выпрямители, инверторы и т.д.). Такие нелинейные устройства все чаще находят применение в промышленности, сельском хозяйстве и в бытовой сфере. Однако наличие нелинейной нагрузки может приводить к возбуждению хаотических переходных электромеханических процессов, исследование которых является важным направлением современной электроэнергетики. Успехи этого научного направления для нелинейных ЭЭС, движение которых описывается на языке траекторий в фазовом пространстве, общепризнанны [1], но в то же время концепция режимов детерминированного хаоса в нелинейных ЭЭС остается предметом серьезных дискуссий. В некоторых публикациях [2] ставится под сомнение даже сама правомочность введения понятия «режимы детерминированного хаоса в нелинейных ЭЭС» и предлагается лишь искать в нелинейных ЭЭС «следы» классического хаоса.
Целью настоящей работы является развитие теоретических представлений о режимах детерминированного хаоса в переходных электромеханических процессах нелинейных ЭЭС в аспекте возникновения и идентификации хаоса.
При наличии нелинейностей существует широкий диапазон параметров элементов, при котором поведение нелинейной ЭЭС может оказаться хотя и ограниченным, но непериодическим и случайным, при этом колебания переменных состояния приобретают непредсказуемый, другими словами, хаотический характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Помимо этого поведение нелинейной ЭЭС
оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным, тогда как в классическом представлении считается, что если бы в некоторый момент времени состояние нелинейной ЭЭС было известно с достаточной точностью, то, в принципе, будущее поведение нелинейной ЭЭС можно было бы предсказать, а прошлое — восстановить.
В сущности, математическая модель хаотической нелинейной ЭЭС представляет собой детерминированную систему нелинейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, решение которой ведет себя непредсказуемым и случайным образом — такой тип решения называется режимом детерминированного хаоса. Таким образом, режимы детерминированного хаоса — это новый тип и особая форма поведения нелинейных ЭЭС.
В работе [3] были рассмотрены проблемы возникновения режимов детерминированного хаоса в диссипативных нелинейных системах, которые относятся к классу неавтономных систем и к которому принадлежат нелинейные ЭЭС. Состояния неавтономной системы в момент времени I полностью определяется заданием 5 обобщенных координат х (число 5 определяет число степеней свободы неавтономной системы) и 5 обобщенных скоростей х{(1), образующих 25-мерное фазовое пространство. Уравнение движения неавтономной системы определяется системой нелинейных дифференциальных уравнений
бх
— = г(х,х 0 ,г), (1)
б!
где х — вектор размерностью 25x1, f — совокупность нелинейных функций.
Совокупность нелинейных функций f определяет закон, осуществляющий однозначное преобразование начального состояния неавтономной системы х0 в состояние этой же системы при I >0.
Применительно к нелинейной многомашинной ЭЭС система нелинейных дифференциальных уравнений (1) трансформируется в систему нелинейных дифференциальных уравнений (2)
Т,^ + Д.
1 м
Е?-аи + £ Е, ■ Вз ■ У,1 ■ cos(Qj -8, -81)
1=1 1 **'
, (2)
1=1 1 **
, = 1, 2, ...,п .
(3)
Необходимо отметить, что в момент, предшествующий переходному возмущению (t = 0), Рмех ,0 = Рэ , 0,
то есть
Рмех,,0 = Е. ■ С„.0 + XЕГИГ 1 ■ С08(1 - 8, 0 - 81,о),
1=1 1 *,■
г = 1, 2, ..., п .
(4)
чески это означает, что отклонения Д(t) от исходной траектории (2) по определенным направлениям в фазовом пространстве увеличиваются на начальном интервале времени по экспоненциальному закону [5]:
Д(^ = Д(0) ехр(^),
(5)
где хт = [81, ю1, 82, ю2, ... , 8,., да,., ... , 8п, юп], г = 1, 2, ..., п.
Мощность, притекающая в сеть в узле г и равная электрической мощности г-той синхронной машины, определяется как
Рэ, = Е,2 ■ Си + X Е. ■ Е1 - У.1 ■ С08(% - 8, - 81),
Индекс 0 означает исходное состояние нелинейной ЭЭС и это относится к углам роторов всех синхронных машин и параметрам сети, поскольку конфигурация сети в переходном режиме (после коммутаций) изменяется.
Все обозначения, приведенные в (2), (3), (4), являются общепринятыми и поэтому не поясняются.
Для того чтобы можно было наблюдать нерегулярные движения нелинейной ЭЭС, допустим, что в начальный момент времени нелинейная ЭЭС описывается не точкой с координатами х0т=[810, ю1 0, 820,
■■■ , ^ wІIо, ■■■ , 8nго, оп,0], г=1, 2 -, n, а малой
областью V0 в фазовом пространстве, все точки которой равновероятны. Эту область представим в виде сферы с центром в точке х0 и малым радиусом Д(0). По теореме Лиувилля [4] при движении нелинейной ЭЭС в соответствии с уравнением (2) объем фазовой области V^), в которую переходит начальная область У0, не меняется со временем. Если система устойчива к малым вариациям (малым возмущениям) начальных условий, форма области V(t) как функция t будет приблизительно сохраняться, что соответствует регулярному поведению системы, при котором нелинейная ЭЭС имеет только периодические движения. Справедливо и обратное утверждение: если нелинейная ЭЭС регулярна, она является устойчивой к малым вариациям начальных условий. Для неустойчивых нелинейных ЭЭС при малых вариациях начальных условий происходит резкое отклонение траекторий движения от исходной траектории (2), то есть малые возмущения нарастают во времени. Математи-
где показатель Ляпунова 1 является положительным.
В дальнейшем в силу вступает механизм нелинейного ограничения процесса нарастания возмущения, и траектории снова начинают сближаться. В этом случае с ростом времени происходит сильная деформация области V(t) при сохранении ее объема по отношению к начальной области Vo — по одним направлениям она расширяется, а по другим сжимается. Тогда траектории нелинейной ЭЭС при достаточно высоком уровне их нелинейности равномерно перемешаются в занятой ими области фазового пространства, что соответствует нерегулярному поведению нелинейной ЭЭС и появлению в ней хаотических свойств, для описания которых нельзя использовать вероятностные представления, поскольку система нелинейных дифференциальных уравнений (2) является полностью детерминированной.
Для оценки уровня хаотичности нелинейной ЭЭС при переходе от малых масштабов нерегулярности движения, когда константа 1 мала, к большим масштабам нерегулярности можно использовать безразмерный параметр стабильности нелинейной ЭЭС %, определяемый как % = 1Т, где Т — характерный период регулярного движения нелинейной ЭЭС. Если значение %<<1, нелинейная ЭЭС является слабо возмущенной, то есть хаотические слои в фазовом пространстве нелинейной ЭЭС имеют малый удельный вес, и нелинейная ЭЭС ведет себя почти как регулярная. Если %> 1, следы регулярных слоев в фазовом пространстве практически исчезают, и поведение нелинейной ЭЭС становится хаотическим.
В качестве критерия перехода к хаосу в нелинейных ЭЭС в работе [3] было предложено использовать представление об интегрируемости уравнений движения нелинейной системы дифференциальных уравнений (1), достаточно широко применяемое для механических систем. Согласно теореме Лиувилля-Арнольда [4] механическая система с 5 степенями свободы имеет регулярные типы движений, если только М=Я, где М — число независимых главных интегралов движения, которые играют выделенную роль и прямо связаны с пространственными и временными свойствами симметрии гамильтониана механической системы. Такие механические системы обладают свойством интегрируемости их уравнений движения (1), то есть траектории движения системы (1) можно выразить через интегралы от аналитических функций. Если же М<Б, уравнения движения (1) в принципе становятся неинтегри-руемыми, и движение механической системы при определенных условиях становится нерегулярным, и механическая система переходит в хаотический режим.
Поскольку в нелинейной многомашинной ЭЭС число 5 обобщенных координат сравнительно велико, а число М независимых первых интегралов сравнительно мало (М = 3), то можно ожидать в соответствии с теоремой Лиувилля-Арнольда усиление проявления нерегулярностей в поведении нелинейных многомашинных ЭЭС.
Таким образом, в результате проведенного анализа становится возможным сформулировать необходимое и достаточное условия возникновения и
мех г
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (110) 2012
идентификации режимов детерминированного хаоса в нелинейных ЭЭС, а именно:
1. Необходимое условие состоит в том, чтобы выполнялось M<S, и это необходимое условие следует из обобщения теоремы Лиувилля-Арнольда для неавтономных диссипативных систем.
2. Достаточное условие состоит в том, чтобы выполнялось 1>0, и это достаточное условие следует из того факта, что в определенной ситуации появляется хотя бы один положительный показатель Ляпунова.
Библиографический список
1. Режимы детерминированного хаоса в нелинейных электроэнергетических системах / В. К. Фёдоров [ и др.] // Известия высших учебных заведений. Проблема энергетики — 2008. — № 9 - 10. С. 36-44.
2. Yixin Y. Power system instability and chaos // Electric power system research — June 2003. — vol. 65. — №3. — C. 187-195.
3. Фёдоров, В. К. Проблемы теории нелинейных диссипативных систем: детерминированный хаос и стохастическая динамика : научное издание. / В. К. Фёдоров, П. В. Рысев — Омск : Полиграфический центр Кан, 2008. — 250 c.
4. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — М. : Физматгиз. 1974. — 431 с.
5. Анищенко, В. С. Детерминированный хаос / В. С. Ани-щенко // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 6. - С. 70-76.
ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий» Омского государственного технического университета (ОмГТУ).
БИРЮКОВ Сергей Владимирович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Системы автоматизированного проектирования машин и технологических процессов» ОмГТУ. ЧЕРЕМИСИН Василий Титович, доктор технических наук, профессор (Россия), проректор по научной работе Омского государственного университета путей сообщения.
ПОЛЫНЦЕВ Леонид Геннадьевич, инженер-проектировщик ООО «Сандимакс», г. Москва.
Адрес для переписки: espp_omgtu@mail.ru
Статья поступила в редакцию 21.02.2012 г.
© В. К. Фёдоров, С. В. Бирюков, В. Т. Черемисин,
Л Г. Полынцев
Информация
Конкурс ФИНТ (Фестиваль инновационных технологий)
ФИНТ — это конкурс для смелых, талантливых молодых людей, мыслящих независимо и желающих реализовать свои идеи и разработки. Если ваш проект способен принести пользу людям в какой-либо сфере, заполняйте форму заявки участия в конкурсе и присылайте ее организаторам конкурса. Будьте внимательны, данная форма предполагает полное описание своего проекта: от разработки стратегии развития до описания необходимых финансовых затрат.
Отраслевые категории, в которых могут принять участие проекты, не ограничены:
— IT: программное обеспечение, интернет-проекты;
— телекоммуникационные продукты и услуги;
— биотехнологии и медицина;
— энергетика и энергосбережение;
— энергетика;
— нефтегазовая отрасль;
— банковская сфера;
— образовательные технологии и другие.
Сроки проведения конкурса: конкурс проходит в 3 этапа.
Результаты каждого этапа публикуются на сайте: fint.festivalnauki.ru
Заявки принимаются на адрес электронной почты: fint@festivalnauki.ru
Срок подачи заявок до 20 мая 2012 года.
С текущими вопросами о проведении и участии в конкурсе можно обращаться по адресу: e-mail: fint@festivalnauki.ru. Тел. (495) 939-55-57, факс (495) 939-43-45.
Информация о конкурсе на сайте Фестиваля науки: http://www.festivalnauki.ru/node/693
Источник: http://www.rsci.ru/grants/grant_news/297/231942.php (дата обращения: 10.04.2012)
