CC BY
83
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
УДК 62118 Е. П. ЖИЛЕНКО
С. Ю. ПРУСС Н. Ю. ФОМЕНКО Д. Е. ХРИСТИЧ
Омский государственный технический университет
УПРАВЛЯЕМЫЙ ХАОС В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Нелинейная динамика была успешна в объяснении очевидного предельного поведения электроэнергетических систем (ЭЭС). Компоненты ЭЭС нелинейные и линейные методы их анализа иногда приводят к качественно неправильному предсказанию поведения ЭЭС. В реальных ЭЭС происходят процессы, которые вписываются в общие рамки хаотической динамики.
Ключевые слова: энергетические системы, нелинейная динамика, стабильность, раздвоение, хаос.
Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках выполнения соглашения № 14S37.21.0332 от 27 июля 2012 г.
1. Введение. Многие исследования показали существование хаотического поведения в нелинейных электрических схемах и системах, например [1]. В частности, они часто раскрывали ранее неподозреваемую бифуркацию установившегося режима работы ЭЭС.
Исследованы нелинейные эффекты, такие как хаос в преобразователях питания [2]. Тем не менее инженеры продолжают использовать линеаризацию на основе методов моделирования слабого сигнала при исследовании переходных и установившихся процессов.
Рассматриваемая нами ЭЭС состоит из нескольких взаимосвязанных подсистем постоянного тока: солнечные батареи, аккумуляторы, ПТ —ПТ (постоянный ток в постоянный ток) преобразователи, регуляторы, сети распределения питания и полезной нагрузки. Более того, последующие поколения энергетических систем становятся более крупными и сложными, включая цифровые контроллеры и частые изменения конфигурации системы. Это всё создается для удовлетворения требований к источнику питания. Следствиями нежелательной хаотической бифуркации режимов ЭЭС могут быть снижение качества и динамики или непредсказуемые сбои ЭЭС в целом.
2. Нелинейная динамика и хаос. Цель нелинейной динамики: понять сложное поведение нелинейных систем. Ниже приведены очень кратко некоторые основные идеи.
А. Пространство состояний и показателей качества регулирования ЭЭС. Пространство состояний автономной динамической системы определяется дифференциальным уравнением.
ёх_
М
х = — = Дх),/ : Яп ® Яп,х^0) = х0, (1)
где x(t)eRn является п-мерным вектором состояния в момент времени t.
В электрических системах вектор состояния обычно включает токи индуктивностей и напряжения конденсаторов. Производная X представляет собой векторное поле. Множество всех траекторий х(t), которые удовлетворяют (1), называется потоком системы. Выбирая конкретные начальные условия х0 = х(0), выберем одну единственную траекторию. С ростом t от нуля вектор состояния следует этой траектории и происходит динамическое развитие системы.
Б. Предельные множества. Далее описаны четыре различных типа стационарного поведения системы. Они называются предельными множествами, потому что они содержат множество точек, принадлежащих х(t) в пределе при t®¥.
Точка равновесия. Специальные точки в пространстве состояний (обозначаются х), где вектор поля равен нулю, т. е. вектор состояния остается неподвижным. Следовательно, х(^=х для всех t. Устойчивость точки равновесия определяется из собственных матриц Якоби Р от х‘ (матрица Якоби содержит частные производные от Р по х). Собственные значения с отрицательной действительной частью указывают на сокращение, а с положительной действительной частью — на расширение. Они показывают, что малые возмущения от равновесной точки могут привести к росту или распаду неустойчивости. Если все п собственных значений лежат в левой половине комплексной плоскости, то система асимптотически устойчива. (Это похоже на условие устойчивости линейных непрерывных систем, по сути, мы линеаризуем системы х .)
Периодические решения. Это такие решения, которые удовлетворяют условиям х(t)=х(t+T), где Т — некоторый минимальный период больше нуля. Их устойчивость может быть определена из их характерных множителей (мультипликаторов Фло-ке) — обобщение собственных значений в точке равновесия [3]. Если характеристика мультипликато-
ров лежит внутри единичного круга, периодическое решение асимптотически устойчиво — предельный цикл. (Это условие должно быть известно из дискретной линейной теории систем.)
Квазипериодическое решение. Квазипериодичность возникает, если спектр траекторий состоит из двух или более компонентов, частоты которых несоизмеримы, то есть связаны иррациональным числом.
Хаотические решения. Хаос по-прежнему бросает вызов общепринятым определениям, но, грубо говоря, это шумоподобные колебания, которые происходят в детерминированных системах и имеют широкополосный спектр. Траектория очень чувствительна к возмущениям, и остается в пределах ограниченной области пространства состояния. Лучшим показателем хаоса является положительный показатель Ляпунова [4, с. 185— 187].
Стабильные предельные множества известны как аттракторы. Областью притяжения является область пространства состояний, в которую вектор состояния, в конце концов, притянул область при Хаос, связанный с фрактальной устойчивостью предела, с бесконечно сложным фазовым портретом, известен как странный аттрактор.
В. Повторное отображение (изображение на фрактальной плоскости). Система также может быть описана с помощью карты, или отображения. Это алгебраическая функция, касающаяся вектора состояния хт на одной выборке от хт+1, образцы могут быть приняты в ряде способов: через регулярные промежутки времени (стробоскопическая карта); на определенные события, например, максимумов или минимумов (карта Лоренца), или как х(t) проходит через поперечную поверхность в пространстве состояний (карта Пуанкаре). Полученные из дифференциальных уравнений, отображения можно легко повторить и выявить динамику системы [5].
п-мерное отображение Р:Я”®Я”, х®Р(х) является функцией, которая действует на вектор состояния хт, чтобы произвести свое следующее значение хт+1 ,
хт.+ 1=Р(хт)' где т=°, 1, 2, 3.
(2)
(ІР
< 1.
(3)
0.0
3.570 3.828 4
Рис. 1. Одномерное квадратичное отображение (вставка) и бифуркационная диаграмма при а от 2,9 до 4
Учитывая начальное состояние х0, отображение может повторяться, чтобы получилась последовательность {хт}={х0, х1, х2, Это называется орбита системы.
Г. Неподвижные и периодические точки отображения. Если есть хт=х такое, что Р(х*)=х*(т.е. вектор состояния инвариантен при отображении), тогда х известен как неподвижная точка отображения. Для одномерной системы неподвижные точки можно получить графически от пересечения линии хт+1=хт с фуНкцией хт+1=Р(хт).
Устойчивость неподвижной точки может быть определена из собственной матрицы Якоби Р от х*. Неподвижная точка устойчива, если спектральный радиус Якоби меньше единицы (ее собственные значения лежат внутри единичного круга), т.е.
Рис. 2. а — каскад бифуркаций; б — бифуркация Хопфа
Связанная последовательность {х*}={х0,х1,..,хк_1} известна как к-периодная орбита. Периодические орбиты могут быть стабильными, либо неустойчивыми, как это определено в собственных матрицах Якоби Р{х}.
Д. Хаос повторного отображения. Хаос повторного отображения характеризуется последовательностью {хт}, которая никогда не повторяется, но остается ограниченной в пространстве состояния. Таким образом, привлекающая хаотическая орбита заполняет конечную область, не сходясь и не повторяя себя. Классическое одномерное отображение является квадратичным отображением
Хт+1=аХт(1-Хт)’ а€ I0, 4Ь
(4)
Для одномерной системы это условие упрощается \Р'(х)\<1.
Если вектор состояния возвращается в ту же точку, но только после двух итераций отображения, т.е. Р(х)Фх, а Р(Р(х))=х\ то х называется двухпериодной точкой. Она может быть обобщена в период к, для которого Р^(х*)=х* для некоторых к=2, 3, 4,....
Бифуркационная диаграмма (рис. 1) свидетельствует о качественном изменении поведения электроэнергетической системы при изменении бифуркаци-оного параметра а (в нашем случае коэффициент а обозначает относительное солнечное освещение).
При а£3, {хт} сходится к неподвижной точке, при а=3, {хт} предполагает двухпериодную траекторию. При дальнейшем увеличении периода 4, 8, 16, ... последовательно период возобновляется. При а»3,570 период становится бесконечным и возникает хаос. (Это явление известно как период удвоения бифуркации.) При определенных значениях параметров, вновь появляются стабильные периодические орбиты, например, при а = 3,828 возникает трёхпериодная траектория.
Е. Бифуркации. Каскад бифуркаций происходит тогда, когда действительное собственное значение изменяется между отрицательным и положительным значениями (рис. 2а), изменяя местоположение стационарной точки равновесия на фазовой плоскости.
Бифуркация Хопфа происходит тогда, когда действительная часть комплексно-сопряженной пары собственных значений изменяется между отрицательным и положительным значениями. Возникает
ІХ 0 х=х
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
периодическое решение, и если оно устойчиво, то имеют место автоколебания (рис. 2б).
Кроме того, бифуркации могут также быть охарактеризованы по способу установления предельного цикла.
3. Нелинейность в энергетической системе. Далее мы опишем нелинейные элементы энергетической системы.
А Солнечные батареи. Особенность постоянного тока солнечной батареи может быть смоделирована математически простыми отношениями, полученными из физики полупроводника:
]=]кз-]о(ехРи/ит~1)'
(5)
сечение периода б / сечение периода 5_ сечение периода 3-
где ] — плотность тока, ]кз — плотность тока короткого замыкания (на данном уровне освещения), ]0 — плотность тока при отсутствии освещения, и — напряжение через ячейку, и ит — тепловое напряжение, вычисленное по формуле кТ/ц, где к — постоянная Больцмана, ц — заряд на электроне и Т — абсолютная температура. Мы видим, что отношение нелинейное.
Б. Батареи. Напряжение на клеммах аккумулятора нелинейно изменяется с зарядом. Таким образом, простейшая модель будет состоять из нелинейного конденсатора [6]. На практике математическое моделирование включает в себя множество дополнительных параметров, в том числе внутреннее сопротивление и емкость, заряд и разряд, саморазряд и температуру.
В. Электрические компоненты. Многие силовые электрические компоненты являются нелинейными. Транзисторы, биполярные транзисторы и диоды имеют нелинейные характеристики постоянного тока, а также нелинейную емкость. Трансформаторы, дроссели и магнитные усилители имеют нелинейную индуктивность. Элементы управления, такие как широтно-импульсный модулятор, текущий режим контроллера и фазовой автоподстройки петли также существенно нелинейный.
Г. ПТ—ПТ преобразователи. Уже более десяти лет существует литература, которая описывает бифуркацию и хаос в ПТ —ПТ (постоянный ток — постоянный ток) преобразователях с различными схемами управления. Вполне вероятно, что все типы способны создать хаос, при любых условиях.
Например, простой управляемый напряжением понижающий преобразователь был изучен усреднением пространства состояния и оказался стабильным в широком входном диапазоне. Когда к нему были применены основы нелинейной динамики, то был получен удивительный диапазон поведения: высшие гармоники, перебои, хаос, сосуществующие аттракторы и даже узкие группы хаотического поведения включены в устойчивую область. Диаграмма раздвоения представлена на рис. 3.
4. Потеря (просадка) напряжения на шине. Чтобы продемонстрировать значение нелинейной динамики, мы опишем некоторые знакомые нам эффекты в энергетической системе, исследуя упрощенную, но соответствующую модель.
Давайте сначала рассмотрим простую систему первого порядка, содержащую солнечные батареи, конденсатор и понижающий ПТ — ПТ преобразователь, как показано на рис. 4. Для иллюстрации предположим, что нет аккумулятора, поэтому питание происходит от солнечной энергии.
Вместо того чтобы использовать обобщенную формулу для солнечной батареи (5), мы упрощаем
Рис. 3. Моделирование диаграммы бифуркации для понижающего преобразователя. Ц=[15.....................40 В]
вычисления, моделируя солнечную батарею полиномом
(6)
где 11 и и — предельный ток множества и напряжение, 1кз — ток короткого замыкания, ирц — напряжение разомкнутой цепи, значение степени принимаем р = 33, чтобы приблизить близко ПТ к реальной солнечной батарее. Коэффициент обозначает относительное солнечное освещение.
Получим четыре значения тока в солнечной батарее для различных значений освещенности: /1(а = = 0,25) = 1 А, г1(а = 0,5) = 1,99 А, г\(а = 0,75) = 1,66 А, г'1(а= 1,00) = 1,093 А.
В следующем анализе мы используем а в качестве параметра раздвоения. Солнечная батарея питает конденсатор и регулируемый понижающий преобразователь. Преобразователь имеет два режима работы, в зависимости от входного напряжения. В предпочтительном режиме входного напряжения достаточно для получения регулируемого выходного напряжения. Однако, когда входное напряжение слишком низкое, переключатель понижающего преобразователя закрывается постоянно, и его входное значение становится пропорционально значению Яг Этот режим является нежелательным, поскольку выходное напряжение не регулируется.
Входная характеристика понижающего преобразователя:
RUl
(предпочтительный способ)
І2 = -^ если, Щ < ивыход
(7)
(нежелательный способ)
где 12 и и2 — значения входного тока и напряжения; и — искомое значение выходного напряжения.
выход ±
Получим значения тока для различной освещенности: г'2(а = 0,25) = 0,456 А, г'2(а = 0,5)=6,37 А, г'2(а = = 0,75) = 11,5 А, г2(а = 1,0) = 11,672 А.
Как только и2 = и1, то система примет вид:
іїщ = І1(и1) - І2(и2)
С
= ї (ц),
(8)
где 11(и1) — задается формулой (6), 12(и) — системой (7). Мы получим равновесную точку {и1*}, полагая !(и)=0 и решая уравнение относительно и1. Мы используем следующие параметры: 1КЗ=4 А; и =46,2 V; ивьход=14 В; Д=3,92 Ом; С=250 мФ. Рассматриваются два случая: а=1, а = 0,5 (полное и неполное освеще-
Полученные значения равновесия ЭЭС
а Н ежелательный Предпочтительный
Щ1* Ї1*=Ї2* Щ1* Ї1* = Ї2*
0,50 7,840 2,000 25,000 45,082 2,000 1,109
1,00 - - 45,755 1,092
Таблица 2
Стабильность и режим равновесия ЭЭС
а Точки равновесия Щ1 йи^/йі Состояние Режим
А 7,840 - 1020,41 Стабильный Нежелательный
0,50 Б 25,00 + 319,99 Нестабильный Предпочтительный
В 45,08 -2510,87 Стабильный Предпочтительный
1,00 Г 45,75 -8289,07 Стабильный Предпочтительный
Рис. 4. Схема энергетической системы первого порядка
ние). Мы можем получить одну, две или три точки равновесия, в зависимости от значений параметров (рис. 5).
В табл. 1 приведены численные результаты.
Устойчивость равновесия определяется путем оценки йи/йї при {и1*}.
В табл. 2 обобщаются результаты. Отрицательные значения указывают на стабильность, положительные на нестабильность. При а=1 (полное освещение), есть одна устойчивая точка равновесия Г (рис. 5), где понижающий преобразователь работает в своем предпочтительном режиме. Когда снижается напряжение, эта точка перемещается в точку В, но появляются два дополнительных равновесия А и Б. Точка Б неустойчива, но точка А является стабильной и происходит в нежелательном режиме работы. Бифуркационная диаграмма представлена на рис 6.
Два интересных уровня освещенности: а = 0,3102 и а = 0,8929. В поворотной точке происходит бифуркация в момент, когда встречаются две ветви — ветвь стабильного равновесия и ветвь нестабильного равновесия. В пределах диапазона в зависимости от начальных условий можно выбрать одно из двух устойчивых равновесий. Это явление хорошо известно как гистерезис (запаздывание). Большое возмущение может перевернуть систему в другое устойчивое равновесие, где она и будет оставаться. Это простой пример сосуществующих аттракторов. Нестабильные ветви отделяют бассейны притяжения от каждой стабильной ветви. Если Яь принимается в качестве параметра бифуркации, то в диапазоне 1,215 Ом< <Я<3,5 Ом будет снова наблюдаться гистерезис. Если мощность входного сигнала недостаточна для обеспечения мощности, которая нужна нагрузке, система переходит на нестабильную ветку, что мо-
Рис. 5. ВАХ, точки равновесия А, Б, В и Г
жет привести к «лавине напряжения». Этот эффект является хорошо известной опасностью энергетической системы. Чтобы избежать этого, Яь должно быть увеличено (более чем 3,5 Ом при полном освещении), выключив полезную функцию: сброс нагрузки.
5. Псевдоколебания. Мы расширяем модель на более высокие измерения, включением двух дальнейших компонентов фильтра (рис. 7). Системные уравнения теперь выглядят следующим образом:
~т~ = Ч(Щ1 4 = №1, і'і,
йщ
йі
с
(9)
йі
йі С2
(11)
Полученные значения при различных уровнях освещенности сведены в табл. 3.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
188
Рис. 6. Бифуркационная диаграмма и^а) (гистерезис при 0,3102<а<0,8929)
Солнечная батарея и
Понижающий преобразователь н "з і2 -
С2_г
Рис. 7. Схема энергетической системы третьего порядка
-і я Л г
_Т У
3
к а
Рис. 8. Параметры режима и точки равновесия при различной освещённости
04 0.6 0.1 1 1 2
Рис. 9. Бифуркационная диаграмма и2(а)
Таблица 3
Значения, получившиеся в результате решения системных уравнений ЭЭС
а І1 и и1 І 2
0,25 1,255 1,788 5,802 0,799
0,5 1,91 24,97 -0,352 -4,46
0,75 2,287 45,08 -0,246 -9,21
1,0 3,165 45,754 -0,31 -8,507
Таблица 4
Нежелательный режим
а Точки равновесия І1 и1 к и І 2
0,25 Г 1,00 4,12 1,00 3,92 1,00
0,50 В1 2,00 8,24 2,00 7,84 2,00
0,75 Бз 3,00 12,36 3,00 11,76 3,00
1,00 - - - - - -
Предпочтительный режим
а Точки равновесия І1 и1 к и І 2
0,25 - - - - -
0,50 В2 2,00 25,40 2,00 25,00 2,00
Вз 1,114 45,10 1,114 44,88 1,114
0,75 Б2 3,00 17,72 3,00 16,67 3,00
Бз 1,102 45,67 1,102 45,45 1,102
1,00 Аз 1,098 45,75 1,098 45,53 1,098
Таблица 5
Сведения о бифуркации Хопфа
а Точки равновесия Собственные значения якобиана Состояние
її Ї2 Ї3
0,25 Г1 -2345,2 — ^4812,0 - 2345,0 +^4812,0 -678,2 Устойчивое
0,50 В1 + 2345,2 — ^4812,0 — 2345,2 +^4812,0 -678,3 Устойчивое
В2 + 564,5 — ]5431,4 + 564,5 + ^5431,4 + 204,4 Неустойчивое
В3 -21,4 — ]5462,6 — 21,4 + ]5462,6 - 161,2 Устойчивое
0,75 Б1 -2345,1 - ^4812,0 -2345,1 + ^4812,0 -678,3 Устойчивое
Б2 + 1422,3 - ^5109,5 + 1422,3 + ^5109,5 + 487,3 Неустойчивое
Б3 — 86,84 - ^5362,1 — 86,84 + ^5362,1 -3841,2 Устойчивое
1,00 А3 — 88,28 - ]5297,9 — 88,28 + ]5297,9 - 5575,8 Устойчивое
При значениях параметров системы С1 = 50 мФ, С2 = 350 мФ, 1=700 мГн и Л=0,2 Ом, находим переменные состояния (параметры режимов) I, /2, I в равновесных точках {х*} (рис. 8, табл. 4).
Для исследования устойчивости, рассмотрим собственные значения {11, 12, 13} якобиана в каждой точке равновесия (табл. 5). Помимо стационарных бифуркаций в системе второго порядка мы существование бифуркации Хопфа.
Как и прежде, мы создаем бифуркационную диаграмму, а параметр бифуркации (рис. 9). Опять наблюдается гистерезис, теперь при значениях 0,3113< <а<0,8998. Значения несколько выше, так как Я>0.
Есть еще два интересных значения освещенности: а = 0,4534 и а = 0,8997 — начальные точки бифуркации Хопфа. Проследим теперь траектории периодических решений, которые снова могут стать либо стабильными, либо нестабильными.
В области сосуществования трех аттракторов в диапазоне 0,4534<а<0,8997 можем наблюдать: два устойчивых равновесия, также есть две неустойчивые периодические траектории и неустойчивое равновесие, что говорит нам о наличии сложного переходного процесса.
Сосуществование аттракторов этого типа представляет собой серьезную угрозу для надежной
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
солнечная батарея
блокировка от понижения напряжения н
понижающий а
преобразователь
Рис. 10. Схема энергетической системы третьего порядка с блокировкой от понижения напряжения
Рис. 11. Фазовые портреты хаотического процесса колебаний напряжения и1 при а=0,49 (А); а=0,55 (Б); а=0,558 (В); а=0,597 (Г)
Рис. 12. Сигнал и1(Ь) при а=0,49 (А); а=0,55 (Б); а=0,558 (В); а=0,597 (Г)
работы и может привести к неисправности или отказу.
6. Хаос. В нашей третьей модели (рис. 10) установлена блокировка от понижения напряжения в конверторе. Такие схемы обычно используются для предотвращения критической разрядки батарей во время затмения, для обеспечения правильной работы преобразователя. Когда его входное напряжение слишком низкое, преобразователь отключается, когда напряжение восстанавливается, он автоматически подключается.
В этой модели 1=250 мГн; С1= 120 мФ; С2 = 250 мФ, и гистерезис пороговых значений при и2=19 В (отключение) и и2 = 21 В (подключение). Были получены результаты моделирования (зависимость и1 от 1[) при повышении уровня освещенности (рис. 11), соответствующие им сигналы u1(t) (рис. 12).
На рис. 11А существует предельный цикл при а = 0,490. На рис. 11Б при а = 0,550 период удвоился и на рис. 11В при а = 0,558 период утроился. Далее период увеличивается и на рис. 11Г при а = 0,597 поведение становится хаотичным. Таким образом, система хаотичная.
Хаотические операции могут быть качественно описаны следующим образом. Вольт-амперная характеристика преобразователя представляет собой отрицательное сопротивление, которое возбуждает резонансный режим между индуктивностью и емкостью, вызывая автоколебания вблизи резонансной частоты, при этом необходимо временно проигнори-
ровать понижения напряжения. Если в данный момент не учитывать Ь, то из-за гистерезиса появятся затухающие колебания напряжения, так как конденсатор разрядится, и при его зарядке от солнечных батарей преобразователь не будет работать. Эти колебания напряжения имеют свою собственную частоту, определяемую емкостью и частотой смены режимов заряда и разряда конденсатора. В общем, эти два типа колебаний происходят с несоизмеримыми частотами, следовательно, могут появиться квазипе-риодические колебания. Но нелинейное взаимодействие между двумя типами колебаний приведет к тому, что они могут заблокировать друг друга, в результате чего время отключения преобразователя увеличится, или они могут синхронизироваться с определенными интервалами, при этом вызывая хаос [7].
Система обладает чувствительной зависимостью от начальных условий, это фундаментальное свойство хаотического поведения. При повторении моделирования с начальными условиями, отличающимися только на 0,01, траектории быстро расходятся друг от друга. Фрактальная природа аттрактора является еще одним свидетельством хаоса.
7. Заключение. Различные аспекты, относящиеся к энергетической системе, были изучены при помощи упрощенных моделей. Результаты моделирования показали гистерезис и бифуркацию Хопфа, ведущую к предельным циклам, каскад бифуркаций и хаотическое поведение. Этот подход к электроэнергетической системе может потенциально пролить новый
свет на некоторые знакомые, но мало понятные эффекты, включая лавину напряжения, псевдоколебания и хаотический «шум». Эти явления могут привести к сбою системы. Но наша задача полностью понять и предотвратить эти эффекты.
Библиографический список
1. T. Matsumoto, «Chaos in electronic circuits», Proc. IEEE, vol. 75, no. 8, pp. 1033—1056, Aug. 1987.
2. D. C. Hamill, «Power electronics : a field rich in nonlinear dynamics». Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Dublin, pp. 164 — 179, July 1995.
3. T. S. Parker and L. O. Chua, «Chaos: a tutorial for engineers», Proc. IEEE, vol 75, no. 8, pp. 982—1008, Aug. 1987.
4. Современные проблемы нелинейной динамики энергосистем: электромеханический резонанс, энтропия, детерминированный хаос. Научное издание / Фёдоров В. К. [и др.]. — Омск : Полиграфический центр Кан, 2012. — 327 с.
5. D. C. Hamill, J. H. B. Deane and D. J. Jefferies, «Modeling of chaotic dc-dc converters by iterated nonlinear mappings», IEEE Trans, on Power Electronics, vol. 7, no. I, pp. 25 — 36, Jan. 1992.
6. H. J. N. Spruijt, «Possible battery cell model topologies», Euro. Space Power Conf., Graz, pp. 671 — 676, Aug. 1993.
7. Y. S. Tang, A. I. Mees and L. O. Chua, «Synchronization and chaos», IEEE Trans, on Circuits andSystems, vol. 30, no. 9,
pp. 620-626, Sep. 1983.
ЖИЛЕНКО Елена Петровна, инженер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий». ПРУСС Светлана Юрьевна, старший преподаватель кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».
ФОМЕНКО Николай Юрьевич, магистрант группы ЭС-512.
ХРИСТИЧ Дмитрий Евгеньевич, аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий», инженер.
Адрес для переписки: espp@omgtu.ru
Статья поступила в редакцию 14.03.2013 г.
© Е. П. Жиленко, С. Ю. Прусс, Н. Ю. Фоменко, Д. Е. Христич
УДК 621.316.4 Е. В. ПЕТРОВА
А. Я. БИГУН В. Н. ГОРЮНОВ С. С. ГИРШИН А. А. БУБЕНЧИКОВ
Омский государственный технический университет
РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОТЕРЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ В ПРОВОДАХ ПОВЫШЕННОЙ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ ИЗ-ЗА НЕУЧЕТА АТМОСФЕРНЫХ И РЕЖИМНЫХ ФАКТОРОВ___________________________________________
В статье рассмотрены высокотемпературные провода повышенной пропускной способности. Произведен расчет температуры провода и потерь электрической энергии в проводах повышенной пропускной способности с учетом атмосферных факторов и вариации нагрузки.
Ключевые слова: нагрузка, провод повышенной пропускной способности, потери энергии, температура, ветер.
Работа проводилась при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках выполнения соглашения № 14.В37.21.0332 от 27 июля 2012 г.
Современное состояние отечественной электроэнергетики характеризуется устойчивыми темпами увеличения электропотребления. В этих условиях актуально иметь возможность достоверно определять допустимую токовую нагрузку, уровень технологических потерь электрической энергии, а также оптимизировать технические решения повы-
шения пропускной способности линий электропередач [1—4].
До недавнего времени для удовлетворения постоянно растущего спроса на электрическую энергию использовались традиционные подходы [1, 5]: повышение напряжения, расщепление фазы, увеличение сечения проводов, строительства дополнительных
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА
