Особенности статического и динамического нагружения в механических колебательных системах. Задачи вибрационной защиты Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1992-6502 (P ri nt)_

2014. Т. 18, № 1 (62). С. 37-47

Ъыьмт QjrAQnQj

ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru

УДК 62.752

Особенности статического и динамического нагружения

в механических колебательных системах.

Задачи вибрационной защиты

с. в. Елисеев 1, р. с. Большаков 2, а. в. Елисеев 3, Е. А. Паршута 4

1 [email protected], 2 [email protected], 3 [email protected], 4 [email protected]

ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» (ИрГУПС)

Поступила в редакцию 27.10.2013

Аннотация. Обсуждается методологическая основа для решения задач определения положения статического равновесия и соответствующих реакций в соединениях элементов системы между собой и с опорными повехностями. Предлагается алгоритмический базис расчета реакций при различных формах действующих внешних сил. Рассмотриваются особенности формирования положения статического равновесия при нескольких элементах. Задача определения статических реакций в системе с упругими элементами может быть решена на основе динамических подходов, когда упругой механической системе сопоставляется структурная схема эквивалентной в динамическом отношении структурной схеме системы автоматического управления. При этом предполагается, что комплексная переменная в преобразованиях Лапласа, которая отражает действие внешней силы, принимается равной нулю. Такая ситуация следует из предварительного получения уравнения кинетостатики на основе принципа Далам-бера с последующим переходом к уравнениям статики при р^0. Особенностью предлагаемого подхода является доказательство возможности использования аппарата передаточных функций для решения задач статики. Получены рекомендации и соответствующие аналитические соотношения, позволяющие ввести в рассмотрение особенности формирования статических реакций в системах с несколькими степенями свободы при действии нескольких статических сил.

Ключевые слова: равновесие в системах с упругими связями; статические реакции между элементами системы; статические реакции в нескольких опорах; статическое равновесие при действии сил тяжести.

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы обеспечения надежности и безопасности рассматриваются на всех стадиях жизненного цикла машин и оборудования, что предопределяет интерес к этапам предварительных исследований и оценки динамических свойств технических объектов, в первую очередь, на уровне расчетных схем. Последние, как правило, представляют собой механические колебательные системы, имеющие одну и более степеней свободы. Действие внешних возмущений и внутренних неуравновешенных сил, если речь идет о вибрационных нагрузках, изучается с использованием математических моделей [1-3],

Исследования выполнены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012-13 гг. (ХЬУП очередь, мероприятие 1.3.2. - естественные науки) № 14.132.21.1362.

описывающих малые отклонения относительно положения статического равновесия. В [4, 5] предлагаются различные подходы по определению динамических реакций, возникающих между элементами механических колебательных систем, в том числе между соединительными элементами (а к ним относятся пружины, демпфера, устройства для преобразования движения и др.) и опорными поверхностями. Что касается опорных точек в системе, то их может быть достаточно много, что зависит от структуры системы и ее сложности. Кроме того, механические колебательные системы могут иметь твердые тела, которые не приводятся к материальным точкам, а это требует, в свою очередь, учета особенностей опоры объекта в нескольких контактах с опорной поверхностью.

При существующей развитости методологических и методических обоснований, связанных с определением параметров динамического состояния систем (перемещений, скоростей, уско-

рений, динамических реакций и др.) в меньшей степени разработаны вопросы оценки статического состояния, то есть оценки статических реакций, статической устойчивости и др. в механических системах с упругими звеньями.

Учет статических составляющих реакций в сочленениях звеньев механических колебательных систем имеет, тем не менее, большое значение для определения режимов взаимодействия элементов, между которыми существуют неудерживающие связи. При необходимости обеспечения нераскрытия стыков, как правило, используют способы предварительного нагру-жения, что достигается деформированием упругих элементов (или пружин), созданием натягов, поджатий контактов, приложением дополнительных удерживающих сил, реализуемых специальными механизмами.

Таким образом, вопрос об определении статических реакций в механических колебательных системах можно рассматривать как необходимый этап в оценке уровня силовых взаимодействий элементов системы, в предположении целесообразности получения информации о полных реакциях в контактах как суммы статических и динамических компонент.

В дальнейшем рассматриваются особенности определения статических реакций в механических системах с целью разработки обобщенного подхода, позволяющего создать некоторые основы, допускающие переход к оценке динамических реакций, и при необходимости - их суммы.

I. СТАТИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

1. Система с одной степенью свободы

Для определения статических реакций, возникающих в механических системах с упругими соединительными элементами (или пружинами), рассмотрим систему с одной степенью свободы. При горизонтальном расположении элемента с массой т (объекта) сила веса Q не будет оказывать действия. Предполагается, что длины пружин с жесткостями к\ и к2 выбраны соответствующим образом и обеспечивают равновесие в точках контакта А, Аь В, Вг без возникновения усилий.

В положении равновесия у = 0 в качестве внешнего статического воздействия принимается во внимание постоянная по величине сила Е Ф 0 (рис. 1). Под действием силы Е происходит смещение точки равновесия на величи-

ну У = ■

что позволяет определить реак-

к^ + к 2

ции в тт. А, Аь В, В^ получим соответственно

N = Ы = = Т^ Е, (!) +

к0

Ы = М = к2 У = —V Е •

к^ + к2

(2)

F

р * ;Д А , — т У 3 А А.

\

А А

V т.Д т.В V f V V т.В

О о о

Рис. 1. Принципиальная схема статически уравновешенной системы

Показанное на рис. 1 твердое тело может быть представлено в виде материальной точки, к которой приложена постоянная сила Е. Эта сила вызывает статические реакции: в точке А (точке контакта пружины к (рис. 1) с опорной поверхностью I, ЯА = к\у), а также в т. В - точке контакта пружины к2 с опорной поверхностью II (рис. 1), где ЯВ = к2у. В свою очередь

Яа + Яв = Е.

(3)

Учет геометрических размеров твердого тела (как это показано на рис. 1) приобретает смысл в определенных задачах, когда, например, предсталяют интерес взаимодействия в т. А! - к\ и твердым телом т, или между пружиной к2 и твердым телом т (точка В1). В таких случаях может определяться усилие давления твердого тела, учет предварительной деформации пружин и т. д.

Отметим, что уравнение равновесия системы (рис. 1) может быть получено из уравнения кинетостатики на основе применения принципа Даламбера:

ту" + ку + к2 у2 = Е. (4)

В изображениях Лапласа (4) можно записать:

тр2у + у(к + к2) = Е, (5)

где р = /и - комплексная переменная [6]; у,

Е - изображения у(0 и в области преобразований Лапласа. В статике можно полагать, что р = 0, тогда получим, что (5) соответствует (3).

я

4

© 777^7777

д О

777777777777 ® >®

Рис. 2. Принципиальная схема отношения опорных поверхностей: а - раздельные, б - раздельные и параллельные, в - общие, и соответствующие структурные схемы: г - раздельные пружины, д - пружины в параллельном соединении, е - пружины как дополнительные обратные связи

Рассматриваемая задача может быть интерпретирована с использованием структурных подходов. На рис. 2, а-е показана последовательность соответствующих преобразований. При этом на рис. 2 исходная расчетная схема (рис. 1) приведена к вертикальному виду, а сила Л заменена на силу веса Q.

Из сводного рис. 2 следует, что выбор опорных поверхностей I и II предопределяет особенности реакций, которые могут рассматриваться как отдельные взаимодействия или происходящие в параллельном соединении. Структурные схемы системы на рис. 2, г, д, е относятся к случаю динамического взаимодействия, но использование символики позволяет продемонстрировать некоторые общности, существующие при определении как статических воздействий, так и динамических сил, если они относятся к гармоническим.

2. Система с двумя степенями свободы

Рассматривается случай с двумя материальными телами т1 и т2, соединенными упругими элементами к1 и к2, к3, как показано на рис. 3.

® т.А

т

т.А

®

,т.В

Рис. 3. Принципиальная схема системы с упругими связями к1, к2, к3 и постоянными силами и Л2

В данном случае, как и ранее, рассматривается линейная система, в которой при действии

постоянных сил и Л2 присходят отклонения системы у1 иу2 от положения равновесия.

Примем, что Ф 0, а Л2 = 0. Используем изложенный выше прием построения уравнений кинетостатики и получим

(к1 + к2) у1 - к 2 у 2 = ^

(к2 + кз)у2 - к2у1 =

Так как в соответствии с (7) _ _

У 2 =-

-Ух,

(к 2 + кз)

то после подстановки (8) в (6) получим, что

(6)

(7)

(8)

(к2 + к3)у -

к о

(к 2 + к^)

У1 =

(к2 + к3 )к1 + к2к3 - _ ^

(к2 + к3)

-У1 =

откуда у1 =

(к 2 + к^)

(к 2 + к3 )к

1 + к2 к3

= Л

кк к + 23

(9)

(1°)

+ к3

То есть под действием силы Л масса т1 получит смещение, которое определяется при параллельном соединении к1 и блока последовательно соединенных пружин к2 и к3. При этом можно найти реакцию в точке А (на опорной поверхности I):

К =

кЛ

кк. к +—

+ к

= к1 Уl,

(11)

б

в

1

К

К

к

т

У1 =

Используя (6), получим, что F1 + k2 У 2

k^ +

= kiyi,

(12)

тогда

(k2 + k3)У2 -

k f

или

(ki + k2)

У 2 = F1

k

k + k

У 2 = Р!-к2-• (12')

к3 (к^ + к 2 ) + к^к^

В дальнейшем можно полагать, что у2 = у2 в силу свойств преобразования Лапласа (постоянные величины) [6]. Отметим, что смещение у2 отличается от у 1.

Реакция в т. В, то есть между упругим элементом к3 и опорной поверхностью II, определится

RB = k3 y2 = '

F1k2 k3

-■ (13)

к3 (к^ + к ^ ) + к^к^

При этом | = |ЯЛ11, а |ЯВ | = |ЯШ |. Что касается пружины с жесткостью к2, то усилие ее деформации может быть определено

Ru = (У 2 - Ух )к2 = F1 (■

_ _F1k2k3

(k2 + k3 к2)к2

k^k2 + к^к^ + к^к3

) =

к\к^ + к^к^ + кхкъ Из (14), в частности, следует, что

\RA2\ = \RB

(14)

(15)

В2 | •

II. УЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ РАСПОЛОЖЕНИЯ СИЛ

Будем полагать, что схема действия постоянных сил изменится и = 0, а Е2 Ф 0. Тогда уравнения равновесия примут вид

y1(k1 + k2) - k2 У 2 = 0,

У 2 (k3 + k3) - k2 У1 = F2-

Из (16) найдем, что

У1 =■

-У2-

к^ + k^

Подставим (18) в (17) и получим

У2^2 + k3) -

k 22 У2 k^ + k-^

= F

(16)

(17)

(18) (19)

откуда следует, что

[(k + k2) ■ k3 + kk^ = F2(kj + k2)

или

У2 = F2

k^ + k^

F

(k1 + k2 k + k1k2 ^ + k1k 2 '

k^ + k^

Найдем (при F\=0, F2^0) реакцию в (Rb = у 2kl)'-

(20)

т. B

Rl =■

k^ (k^ + k2 ) (k^ + k2 )k^ + k-^k'

F2 k3

k+

k1k2

(21)

к^ + к2

В свою очередь реакция в т. А определится после ряда промежуточных преобразований

Е2 + к 2 У1

У 2 =■

+ k3

(22)

тогда

Уl(kl + k2 ) - k22yl

или

У1 ="

k + k

k 2 F2

k + k

-F

k^k^ + k^k^ + k^k-^ В конечном итоге получим k1k 2

RA = КУ1 =

k-^k2 + k-^k^ + k^k-^

F

= к2 (У2 - Ух) =

(к] + к2 к 2

к\к^ + к^к^ + к2к3

__к1к2_

к к +к к + к к

(23)

(24)

(25)

RA = k 2 (У2 - У1) =

(k1 + k2)k2 F2 k22 У1 k^k2 + k^k^ + k^k^

III. СЛУЧАИ ОДНОВРЕМЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ДВУХ СИЛ

Теперь можно перейти к определению полных статических реакций, которые находятся по принципу суперпозиций. Вначале найдем статические смещения, вызванные силами F и F2 -

F (k2 + k3) ± k2F2

У1 =

У2 =

k k + k k + k k k2F ± (k1 + k2)F2

(26)

(27)

к^к2 + к^к3 + к2къ

Сравнивая (26) и (27), можно отметить, что в системе с двумя степенями свободы при действии двух постоянных сил одновременно, необходимо учитывать знаки смещения масс по координатам у1 и у2 (они могут быть противоположными). Поэтому из (26) и (27) можно найти условия, когда у1 = 0, что возможно, если выполняются соотношения

Е1(к2 + к3) = к2 Е2.

или

F = F = F1(1 + f).

(28)

2 "-2

При этом ¥2 и направлены противоположно. Такие процессы можно реализовать практически, например, на основе электромагнитных управляемых устройств.

2

Рис. 4. Принципиальные схемы распределения упругих элементов при разных силах:

а, б, в - У ф 0, У2 = 0; г, д, е - У = 0, У2 ф 0

В свою очередь, можно аналогичные условия найти для равновесия по у2. Тогда необходимо обеспечить

ь к.

у =

к + к

к1 + к2 у = ^(1 + кЦ. (29)

к

22 Реакции в точках контакта с опорными поверхностями I и II и между пружинами и массами т1 и т2 могут быть найдены при использовании принципа суперпозиции. Найдем статические реакции при одновременном действии сил и У2:

Кл = Кл + К"л =

(к 2 + к3)к1 + (^к 2) У-

КБ = Кв + Кв =

Уук^к^ ^ Л^к^ (к^ + к^ ) Л0 Л0

(30)

(31)

Соответственно |ЛЛ1 = Я'л1 + | = |Лл |,

Ив1 = 1 + Кв1\ = .

На рис. 4 показана последовательность преобразования начальной расчетной схемы (рис. 3) с учетом особенностей соединения упругих элементов (в данном случае силы веса не

учитываются, это будет сделано в дальнейшем; и Л2 - просто постоянные силы).

Сравнительный анализ смещения точек, связанных с приложениями сил и У2, показывает, что сме щ е ние , например, по координате У1 от действия силы определяется свойствами блока соединенных между собой пружин к1 , к2 , к3 (рис. 4, в) с приведенной жесткостью

к, = к2к3 + ^ . + к3

(32)

Такой же результат следует из выражения (10). Если рассматривать случай У1 = 0, У2 Ф 0, то из рис. 4 , е следует, что приведенная жесткость, определяющая смещение т2 по координате у 2 от де йствия Л2 может быть найдена

к""р =к' + кТТГ <эз)

Такой же результат следует из выражения (20). Вышеприведенное позволяет сделать вывод о том, что при статических взаимодействиях и выборе точки приложения постоянной силы и опорной поверхности, приведенная жесткость упругой системы может определяться в предпо-

0

0

ложении, что все промежуточные массы «обнуляются»; используются при этом правила параллельного и последовательного соединения пружин. Отметим, что такой подход применим для оценки действия постоянных сил (но силы веса не учитываются). Для учета сил тяжести, когда движения системы совпадают по направлению с силами веса, необходимы другие подходы для нахождения статических реакций и положения статического равновесия.

При рассмотрении действия сил ^ и Е2, в частности, раздельного, можно отметить, что при Ф 0 (Е2 = 0) смещение по координате у/ определяется приведенной жесткостью из выражения (32), что дает возможность найти общую статическую реакцию на поверхности I и II, как показано на рис. 4, в. Такая же реакция будет действовать и на тело массой т1. В данном случае имеют место совпадение (или совмещение) тт. А и В, а также тт. А и А2, хотя в общем случае, то есть при разделении опорных поверхностей, тт. А и В не совпадают. Аналогичная ситуация наблюдается при раздельном действии Е2 Ф 0 (Е = 0). Тогда может быть найдено смещение массы т2 по координате у2 от действия силы Е2, что определяется приведенной жесткостью упругой системы из выражения (33). В этом случае также при определении статических реакций можно наблюдать совмещение тт. А и В (рис. 4, е), а также тт. Вь В2. Однако в обоих случаях остается открытым вопрос о деформациях упругого элемента к2 и статических реакциях, формируемых промежуточной массой т2 (при ^ Ф 0) или т1 (при Е2 Ф 0). Упомянутые особенности связаны с тем, что при раздельном действии ^ Ф 0 (при Е2 = 0) происходит также и смещение по координате у2, определяемое, в частности, выражением (21).

Для случая Е2 Ф 0 (Е = 0) под действием силы происходит смещение, определяемое приведенной жесткостью (33). Одновременно происходит и смещение по координате у1 , определяемое из (23). Эти смещения будут одинаковыми, если ^ Ф Е2. Если ^ = Е2, то (21) и (23) совпадают, что является известным свойством механических колебательных систем, называемым эффектом взаимного влияния [6].

Для определения статических реакций на промежуточных массах можно воспользоваться приемом, который заключается в том, чтобы умножить смещение на промежуточной массе на соответствующее значение приведенной жесткости. Так, например, при ^ Ф 0 (Е2 = 0) статическая реакция на т2 определится

Кт2 =

к2 ^

(к3 +-ММ=

к3 (к| + к 2) + к^ к 2 к| + к2 ^^ [к3 (к^ + ^2) + к\к^ ^ к2

= г-V-=-р1- (34)

[к3 (к] + к2 ) + к1к2 ,Кк1 + к2 ) к1 + к2

В свою очередь, при Е2 Ф 0 (Е = 0) реакция на промежуточной массе определится как

Кш1 =

к2 ^2

(к^к^ + к^к3 + к ^) к2^2

. (к =

^2 + к3

^2 + к3

(35)

Таким образом, если рассматривается система с двумя степенями свободы, в которой действуют постоянные силы ^ и Е2, то в такой системе могут быть определены статические реакции. Эти реакции отражают распределение смещений по координатам у1 и у2, а также соответствующие параметры деформирования упругих элементов и усилия, возникающие в соединениях упругих элементов с твердыми телами и опорными поверхностями. При действии двух сил одновременно для определения реакций может быть использован принцип суперпозиции. Отметим также, что рассматриваются системы с линейными свойствами, а силы тяжести (или веса) в расчет не принимаются. Возможности приложения сил разных направлений могут приводить к появлению эффектов компенсации смещений.

IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ

РЕАКЦИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛ ВЕСА СОСТАВЛЯЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Расчетная схема системы с двумя степенями свободы показана на рис. 5, а-г, где силы веса обозначены соответственно Ql = тQ2 = т^ (^ = 9,81 м/сек2).

Необходимые для определения статических реакций смещения могут быть найдены также, как и в предыдущих случаях, когда использовались силы и Е2. С учетом (26) и (27) запишем Щ§ (к2 + к3) + ш^к2

У1 ='

(к 2 + к3 + к 2),

(36)

ш

У 2 =

ш^к2 Ш2 g + (к + к2)

= 1 (к2 + 2 к2 + 2 к1)5

л0 ш Ш

где А0 = к;к2 + к2к3 + к1к3.

т,

о

о

о

т. В

а /////.¿//////

т. В,.

У2

т. В„

т. А,

© %

Л

' к2 т2

й

У1

тА

Л

©

к т1

777777777777

т. А

й

У1

т1 О г1 У1 1 т1

/ 1 1 /

т.т. А, Аг т.т. А, А

к

© У7Т777 ///7//(,

т. А т. В

В

а

к + к2 к3

к2 + к3

т.т. А, В

У777777Т777777

© '©

(62 = 0)

т.т. А, В 77777777777777

т. В

Рис. 5. Принципиальная схема для расчета статических реакций от действия сил веса: а - расчетная схема с двумя силами веса Q1 и Q2; б - преобразованная схема с разделенными опорными поверхностями; в - схема с общей опорной поверхностью; г - схема при условии предположения Q2 = 0

к

к

Выражения (36), (37), у1 и у2 отражают так назывемые статические смещения, определяющие положение статического равновесия системы. При приложении динамических нагрузок, то есть периодических внешних сил, система приходит в движение, и будет колебаться относительно положений статического равновесия, определяемых из (36), (37). При этом предполагается, что внешние периодические возмущения обладают симметрией и не имеют постоянных составляющих. Наличие таких составляющих потребует корректировки положения статического равновесия.

При использовании (36), (37) можно предположить, что в системе положение статического равновесия формируется только силой веса Q1, тогда выражение, стоящее в скобках, можно преобразовать путем введения приведенной пружины с жесткостью

кпр =

кк + к 2^3 + кк

к 2 + к3 + к2 к2 + к3 + к 2

т

т,

кк

к + 23

(38)

к2 + к3

к

1 + - 2

т

к2 + к т

Отметим, что приведенная жесткость становится зависимой от соотношения масс элементов системы. При т2 = 0 можно получить, 1 1 кк

кщ, = к +--2 3 , что соответствует схеме на

+ к3

рис. 4, г. Если к3 = 0, то исчезает связь с опор-

ной поверхностью II, тогда Л0 = к1к2, а (36) и (37) принимают вид

.1 т2 1. т^., т2. У1 = (— + —+ —) = -^(1 + —) =

к т к к

т

5 (т + т2)

к '

(39)

В этом случае смещение по координате у1 определяется суммарным весом приходящихся масс т1 и т2 на координату у1. Все необходимые для определения статических реакций особенности могут быть получены из анализа выражений (36), (37).

VI. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ ПОДХОДОВ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Используя расчетную схему на рис. 5, а, можно построить структурную схему в соответствии с методикой, изложенной в работе [2], и преобразовать в специализированные схемы, связанные с материальными телами т1 и т2.

Будем полагать, что внешние воздействия Q1 и Q2 могут рассматриваться и как силы веса, которыми обладают твердые тела т1 и т2, а также, при необходимости, и как внешние воздействия периодического вида (рис. 6, а-в).

Математическая модель системы в изображениях переменных по Лапласу (р = /ю, у^-1 -комплексная переменная) имеет вид

) т1Р У1 + (к1 + к2)У1 - к2У2 = я1,

\т2 Р 2 У2 + (к2 + кэ) У2 - к2 У1 = °2-

(40) (41)

о

а

1

mp + k + k

У1

t

б

k2

mp2 + k + k

1

mp2 + k + k

1

mp + k2 + k3

k?

mp + k + k

У1

&

mp2 + k + k

a

1 Л

mp2 + k + k

1

k2

mp2 + k + k2

У2

Рис. 6. Структурная схема системы на рис. 5, а (а); схема, приведенная к элементу т1 (б);

схема, приведенная к элементу т2 (е)

Передаточные функции системы при двух

(42)

внешних воздействия примут вид:

W(ri\ -A- m2 Р2 + k2 + k3

Wl(p) 02-0- ei" a

_ . . VI к^ + к^

мер, при р = 0 из (42) следует, что 1 - 2 3

а

из (43) следует, что

-2( Р) e 2-0 -1 - ^

W'(p)_ - A - •

Wl (Р)e;-o - 7л - Л' '

а

02

y2 _ ^p2 + ki + k2

(43)

(44)

(45)

A 02

^L ; из (45) - A

A 02

kJ +

из (44) -

что позволяет

получить выражения для смещении по координатам у1 и у2 (в предположении, что Ql и Q2 в данном случае соответствуют силами тяжести твердых тел)

где А'0 - характеристическое уравнение системы [2]:

А'0 = (тр2 + к + к2 )(т2р2 + к2+к3) - к2. (46) Выражению (46) можно придать вид:

А = щт2р4 + р2 [т (к2 + к3) + + т2(к1 + к2)] + + к2кз +

<k2 + k3)Q1 + k2Q2

У1 - 4

<ki + k2)Q2 + к201 У2 - 4,

(48)

(49)

v^3

0 AO -Ao.

<47)

откуда следует, что при р

Приведенные структурные схемы (рис. 6, а-е) и передаточные функции (42)-(45) отражают особенности линейной механической колебательной системы при гармонических внешних воздействиях (с учетом того, что начальные условия динамического состояния имеют нулевые значения). Однако приведенные структурные схемы и передаточные функции содержат вполне определенную информацию, которая может быть использована для определения статических реакций, как это было показано в предыдущих разделах исследования. Так, напри-

Это совпадает с выражениеми (36) и (37).

Таким образом, структурная схема на рис. 6, а, а также выражения для передаточных функций (42)-(45) позволяют определить параметры статического равновесия системы, вызванных действием сил тяжести. Что касается статических реакций в характерных точках, то они могут быть найдены аналогичным вышеизложенным способом. Однако необходимая информация может быть получена из соответствующим образом преобразованных структурных схем, приведенных на рис. 6, б и е.

Если опорные поверхности на рис. 5, а разделены, то, используя структурную схему на рис. 6, б, можно ввести некоторую детализацию в построение структурной схемы, как это показано на рис. 7.

2

0

k

2

0

0

к1(к2 + к3)й , Q2 к1к 2

Я. =--1--

(50)

Рис. 7. Детализированная структурная схема для определения статических реакций, связанных с элементом т1

ко

1 У 2

т2 Р 2

Рис. 8. Детализированная структурная схема (рис. 6, в) для определения статических реакций

Как было показано ранее, при взаимодействии с опорной поверхностью I (точка А) статическая реакция от действия силы тяжести (в данном случае) Q1 определится Я'л = к1 у1, чему соответствует обратная отрицительная связь с передаточной функций к1 (Рис. 7). Физический смысл такой обратной связи заключается в том, что она соответствует величине жесткости пружины между элементами т1 и опорной поверхностью I (рис. 5, а при ^ = 0). Что касается силы Q2 (рис. 7), то она формирует Я'Л = к1 у1 = к1Ж1( р^2 (при Q1 = 0, как это показано на рис. 7), что при р = 0 дает Л"= к • —• = М2 ^ . Оконча-

_ к1к 2

к 2 + к3 Л0 Л0

тельно получим (используя принцип суперпозиции, имеется два входа Q1 и Q2):

Л0 л0 что соответствует выражениям (30) и (36).

Аналогичным образом может быть использована структурная схема на рис. 8, которая детализирована путем раскрытия цепей обратных связей.

Для определения статической реакции, которая возникает между упругим элементом к3 и опорной поверхностью II (рис. 6, а) для случая раздельных опорных поверхностей, запишем (отдельно компоненты при Q1 Ф 0, Q2 = 0, а Q1 = 0, Q2 Ф 0, используя принцип суперпозиции):

к1к2

Яв = к3 у 2 +

к^ + к'

у2,

к3(к1 + к2)Я2 . 61к2к3 КВ =-+ "

(51)

Ао А

что совпадает выражениям (31) и (37).

Таким образом, статические реакции могут определяться несколькими способами при получении совпадающих результатов.

Важным обстоятельством является то, что статические реакции в необходимых точках механической систем могут определяться на основе использования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления, как это делается в структурной теории виброзащитных систем [1-3]. Отметим, что использование структурных подходов связано с определенными условностями, так как структурные схемы в обычном понимании используются при периодических сигналах и используются в частотном анализе. Однако необходимые для определения статических реакций соотношения между упругими элементами и правила преобразования структурных схем сохраняются при р = 0. В принципе, в этом случае нет принципиальных противоречий, поскольку в преобразованиях Лапласа линейные дифференициальные уравнения движения при гармонических воздействиях преобразуются в алгебраические, а принцип кинетостатики при равенстве нулю сил инерции трансформируется в уравнение статики.

Отметим также, что при рассмотрении задач статики и статических реакций, вызванных силами веса или специальными постоянными силами, формирующимися специальными устройствами, используемые передаточные функции представляют собой отношения выходных сигналов в виде смещений при входных сигналах в виде постоянных сил. Разработанный метод, может быть распостранен и на системы, в которых массоинерционные элементы могут быть

представлены не материальными точками, а твердыми телами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Определение статических реакций в механических колебательных системах имеет особое значение при детализированном рассмотрении особенностей взаимодействия элементов системы между собой и между элементами и опорными поверхностями. В тех случаях, когда связи между элементами и с опорной поверхностью не являются двухсторонними, то знание статической реакции, которая является частью полной реакции, состоящей в свою очередь из суммы статической и динамической реакций, позволяет определить не только контактные усилия (реакции), но и условия возможного возникновения зазоров.

2. Предлагается метод определения статических реакций, удобный для последующих определений динамических составляющих реакций. Основная идея метода заключается в том, что уравнения равновесия или статики рассматриваются как часть уравнений кинетостатики в предположении об отсутствии сил инерции. Такой подход позволяет использовать структурные методы исследования, в рамках которых механическая колебательная система рассматривается как эквивалентная в динамическом отношении система автоматического управления. При определении статических реакций предлагается использование передаточных функций, в которых комплексная переменная при получении соответствующих выражений принимается равной нулю.

3. Система действий, связанных построением структурных схем, выделением соответствующих связей и цепей, образованных соединениями элементов, а также последующее получение передаточных функций и их преобразования составляют алгоритмическую основу метода определения статических реакций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коловский М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 320 с. [ M. Z. Kolovskii, Automation control of vibroprotection systems, (in Russian). Moscow: Nauka, 1976. ]

2. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П. Меха-тронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск.: Наука, 2011. 394 с. [ S. V. Eliseev, Yu. N. Reznik, and A. P. Khomenko, Mechatronics approaches in dynamics of mechanical oscillation systems, (in Russian). Novosibirsk: Nauka, 2011. ]

3. Хоменко А. П., Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В. Системный анализ и математическое моделирование в меха-тронике виброзащитных систем. Иркутск: ИрГУПС, 2012.

274 с. [ A. P. Khomenko, S. V. Eliseev, and Yu. V. Ermoshenko, System analysis and mathematical modeling in mechatronics of vibroprotection systems, (in Russian). Irkutsk: IrGUPS, 2012. ]

4. Белокобыльский С. В., Елисеев С. В. Обобщенные представления о задачах вибрационной защиты // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 1. С. 7-15 . [ S. V. Belokobilslii and S. V. Eliseev, "Generalized notions of tasks of vibration protection," (in Russian), Systems. Methods. Technologies, no. 1, pp. 7-15, 2013. ]

5. Вибрации в технике: справочник в 6 т. Т. 6. Защита от вибраций и ударов / Под ред. К. В. Фролова. М.: Машиностроение, 1983. 586 с. [ Vibrations in technics: handbook in 6 v., vol. 6, (in Russian), Edited by K. V. Frolov. Moscow: Mashinostroenie, 1983. ]

6. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 650 с. [ I. M. Babakov, Theory of oscillations, (in Russian). Moscow: Nauka, 1968. ]

ОБ АВТОРАХ

ЕЛИСЕЕВ Сергей Викторович, дир. науч.-образоват. центра совр. технол., сист. анализа и моделир. ИрГУПС. Дипл. инж.-мех. (ИрПИ, 1963). Д-р техн. наук (Ин-т механики АН УССР, 1973), проф. Иссл. в обл. мехатроники, виброзащиты, роботехники.

БОЛЬШАКОВ Роман Сергеевич, асп. науч.-образоват. центра совр. технол., сист. анализа и моделир. ИрГУПС. Дипл. инж. ж/д тр-та (ИрГУПС, 2010).

ЕЛИСЕЕВ Андрей Владимирович, асп. науч.-образоват. центра совр. технол., сист. анализа и моделир. ИрГУПС. М-р математики (1998. Новосибирский государственный университет. Направление "прикладная математика и информатика").

ПАРШУТА Евгений Александрович, соискатель науч.-образоват. центра совр. технол., сист. анализа и моделир. ИрГУПС. Дипл. инж. ж/д тр-та (ИрГУПС, 2003).

METADATA

Title: Features of statical and dynamical weighting in mechanical oscillation systems. Tasks of vibration protection Authors: S. V. Eliseev, R. S. Bolshakov, A. V. Eliseev, E. A. Parshuta.

Affiliation: Irkutsk State Transport University (IrGUPS), Russia. Email: [email protected]. Language: Russian.

Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 18, no. 1 (62), pp. 37-47, 2014. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print). Abstract: Methodological base for solution of tasks of identification position statical balance and appropriate responses in connections of system elements between themselves and base surface is offered. Algorithmical basis of responses estimation at different forms of acting external forces is developed. Features of formation of statical balance at several masses were considered. Is shown that statical balance is depend on external forces structure and on elastic compact structure. Such a elastic elements complex is formed in supposition of «nulling» of intermediate masses at certain points of forces application. Defini-

tions about displacement of system points at absence of straight application of external force. Is shown that estimation statical responses task in system with elastic elements can be solved on base dynamical approaches when elastic mechanical system is compared structural scheme of equivalent in dynamical relation of structural scheme of automation control system. Is supposed that in Laplas transformations complex variable which reflects external force action, is assumed equal zero. This situation follows from preliminary getting of kinetostatics equation on base of Dalamber principle with consequent conversion to statics equations at p^0. Proof of possibility of using of transfer functions apparatus for decision of statics tasks is feature of offering approach. Recommendations and appropriate analytical correlations are got which is allows to introduce in consideration features of formation of statical responses in systems with several degrees of freedom at action of several statical forces.

Key words: balance in systems with elastic elements; statical responses between system elements; statical responses in several support; statical balance at gravity action.

About authors:

ELISEEV, Sergei Victorovich, chief of science educational center of modern technologies, system analisys and modelling, IrGUPS. Dip. of ing. - mech. (IrPI, 1963), Doctor of science (Institute of mechanics AN USSR, 1973), prof. Mechatronics, vibroportection, robototechnics.

BOLSHAKOV, Roman Sergeevich, Post-graduate student of IrGUPS. Dip. ing. railway transport (IrGUPS, 2010).

ELISEEV, Andrei Vladimirovich, Post-graduate student of IrGUPS. Master of mathematics (1998, NSU. Apllied mathematics and informatics)

PARSHUTA, Evgenii Aleksandrovich, applicant of IrGUPS. Dip. ing. railway transport (IrGUPS, 2003).