CC BY
37
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
двигателей и энергетических установок. Т. 1. Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. М. : Машиностроение, 2008.
3. Иноземцев АА., Нихамкин М.А., Сандрацкий В.Л. Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 2. Динамика и прочность авиационных двигателей и энергетических установок. М. : Машиностроение, 2008.
4. Иноземцев АА., Нихамкин М.А., Сандрацкий В.Л. Основы конструирования авиационных двигателей и энергетических установок. Т. 3. Автоматика и регулирование авиационных двигателей и энергетических установок. М. : Машиностроение, 2008.
5. Анализ влияния надежности авиационной техники на безопасность полетов за 2007 год. : прилож. № 188. М. : Гос Центр безопасности полетов, 2007.
УДК 531 Димов Алексей Владимирович,
к. т. н., начальник управления НИР, Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. (3952) 63-83-44, e-mail: dmov_av@irgups.ru
ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВУХМАССОВЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
A. V. Dimov
PECULIARITIES OF TWO-MASS VIBRATING SYSTEMS MATHEMATICAL MODELING
Аннотация. В статье рассмотрены несколько приемов составления и преобразования структурных схем, построенных в качестве эквивалентных в динамическом отношении исходным колебательным системам. В частности, на примере двухмассовой колебательной системы рассмотрены вопросы, связанные с математическим моделированием колебательных систем путем упрощения некоторой базовой системы - «занулением» параметров типовых элементов. Показано, что, используя базовую схему колебательной системы, путем «зануления» параметров и делая соответствующие преобразования, можно получить структурные схемы и передаточные функции для упрощенных вариантов. В статье представлены структурные схемы для последовательного соединения пружин и каскадов с демпфирующим элементом. Описанный подход дает возможность построения математических моделей и преобразований в более сложных системах, содержащих последовательные соединения каскадов из пружин, демпферов и устройств динамического гашения колебаний.
Ключевые слова: математическое моделирование, структурные преобразования, колебательные системы.
Abstract. The article describes several methods of structural drafting and conversion schemes constructed as equivalent in respect of the initial vibrational dynamic systems. In particular, on the example of the two-mass oscillation system, issues related to the mathematical modeling of vibrating systems by simplifying the base system - «zeroing» parameters of typical elements are considered. It is shown that using the basic scheme of the oscillating system by «zeroing» parameters and making the appropriate transformations, we can obtain structural diagrams and transfer functions for simplified versions. The paper presents the structural diagrams for a serial connection of springs and cascades with the damping element. The described approach enables the construction of mathematical models and transformations in more complex systems containing serial connections of cascades of springs, dampers and dynamic damping devices.
Keywords: mathematical modeling, structural transformation, oscillatory systems.
Для улучшения виброзащитных свойств механических систем часто рекомендуется последовательное соединение упругих и демпфирующих элементов, однако построение таких систем, как правило, связано со сложностями математического моделирования ввиду больших размерностей. В работах по использованию структурных методов моделирования [1, 2] известны подходы, связан-
ные с упрощением некоторых базовых колебательных систем путем «зануления» параметров, входящих в систему элементов. При этом часто возникают сомнения в корректности таких подходов, поскольку фактически осуществляется переход от одного класса систем к другому. Рассмотрим несколько приемов составления и преобразования структурных схем, построенных в качестве
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
эквивалентных в динамическом отношении исходным колебательным системам.
Пусть базовая двухмассовая колебательная система имеет вид, показанный на рис. 1, в расчетной схеме приняты следующие обозначения: М - масса объекта защиты, т - промежуточная масса (динамический гаситель колебаний), С -коэффициент жесткости пружины, связывающей основание с объектом защиты, Ь - коэффициент демпфирования, Сь С2 - коэффициенты жесткости пружин для присоединения промежуточной массы, у - внешнее возмущение со стороны основания, х, х1 - обобщенные координаты движения объекта М и промежуточной массы т соответственно.
м
ш
с1
с'
31
х,
С2
Рис. 1. Расчетная схема двухмассовой колебательной системы
Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы, а также функцию Релея (учитывая наличие в системе демпфирующего элемента):
1,1, Т = —Мх +—тхл 2 2
(1)
П = 1С (Х ~ У + 1С1 (Х " Х1 ^ + 1С2 (Х1 " У ), (2)
Ф = Ь(х-х1)2.
(3)
Используя уравнение Лагранжа 2-го рода [1], найдем дифференциальные уравнения движе-
ния масс
Мх + Ьх + Сх + Сгх - Ьхг - С1х1 = Су, пщ + Ъхх + С1х1 + С2х1 -Ьх-С1х = С2у.
(4)
В соответствии с методами получения и преобразования структурных схем [1, 3] можно получить структурную схему (рис. 2) колебательной системы, изображенной на рис. 1, после чего появляется возможность провести свертку в контурах I и II. Результат описанных преобразований представлен на рис. 3.
Найдем передаточную функцию системы (задача виброзащиты)
Ж ( р) = Х
(5)
имея в виду, что в системе имеется два канала передачи внешнего воздействия у , а также и то об-
Рис. 2. Структурная схема колебательной системы, изображенной на рис. 1
- П
-V _I_
у
Г -ф-
—О
Г1+Ьр
Рис. 3. Преобразованная структурная схема колебательной системы
х
Ь
стоятельство, что, согласно структурной схеме, в системе имеются и отрицательные и положительные обратные связи. Тогда передаточная функция W(p) будет определяться в два шага на основе принципа суперпозиции
, x Bc + C (C + bp )
W(p) = - =-^-^ , (6)
y ' y BA -(Q + bp)2 , ( )
где A = Mp2 + C + Ci + bp, B = mp2 + bp + C1 + C2.
Применяя различные варианты «зануления» параметров в структурной схеме, можно рассмотреть ряд частных случаев.
Пусть С = 0 (убираем пружину жесткости С, таким образом имеем дело с обычной системой последовательного соединения двух тел с массами M и m), тогда передаточная функция примет вид:
W (p) = 7-w C2(C + ЬР)-,-,, (7)
[Mp2 + Q + bp )( mp2 + bp + C + C )-(C + bp )2 откуда при b = 0 (убираем демпфирующий элемент) можно получить:
W ( p ) = -
C C
C2 c1
(тр2 + С + С2)(Мр2 + С)-С2 ' ^ Если принять m = 0 (зануляем промежуточную массу), то (8) преобразуется и получим
W ( p ) = -
C C
(9)
M 1
J
7777777777
y
или
W ( p ) =
C2 (C + bp )
рАМт + ръЪ (М + т) + р2 (МС + МС2 + Ст) + рЪС2 + С2С1'
(10)
Структурные схемы, соответствующие рис. 4, а, б, содержат элементы с так называемыми приведенными параметрами [4, 5]. Структурная схема (рис. 5) соответствует расчетной схеме на рис. 4, а - последовательное соединение пружин, а структурная схема на рис. 6 - расчетной схеме на рис. 4, б - последовательное соединение каскадов.
Таким образом, используя базовую схему, представленную на рис. 1, путем «зануления» параметров с последующим проведением описанных преобразований, можно получить структурные схемы и передаточные функции для упрощенных вариантов исходной схемы. Так, принимая С = 0, m = 0, Ь = 0, можно из выражения (6) получить выражение (9), из которого следует формула последовательного соединения пружин (С1 и С2). Принимая C = 0, m = 0, из (6) можно найти передаточную функцию системы с последовательным соединением каскадов.
С2 (С1 + Ър)
(Мр2 + с )(С + С2)-С2 или после преобразований:
Ш ( р) = С2СЛС1 + С2 )
( ) Мр2 + сс/(С + С),
что соответствует колебаниям объекта массой М на пружине, состоящей из двух последовательно соединенных пружин с коэффициентами жесткости C1 и C2 (рис. 4, а). При Ь Ф 0 (рис. 4, б) получим
Ш ( р )=-,-С2 (С1 + Ър )-,-2
[Мр1 + Ър + С )(тр2 + Ър + С + С )-(С + Ър )2 а)
х
W ( p )=-
-. (11)
ръМЪ+р2М (с + С)+рЪС2 + С С
Анализ (10) также показывает, что можно ввести понятие о некотором упруго-демпфирующем элементе, с передаточной функцией
Ш (р) = С + Ър, тогда системы на рис. 4, а и 4, б в плане структурных преобразований будут аналогами.
Таким образом, приведенная жесткость в расчетной схеме (рис. 4, а) определяется из формулы
б)
M 1
J
х
C2
777777777/
y
Рис. 4. Расчетные схемы двухмассовой колебательной системы, полученные путем «зануления»:
а - параметров с, Ь, т; б - параметров с, т
b
Cl
-1
Рис. 5. Структурная схема системы с последовательным соединением пружин (С1 и С2) в последовательном преобразовании: позиции 1-5
©
^ _ (Ç + bp)C2
(C+bp)+c2
-о—
1
Mp2
X
—О—►
-1
Рис. 6. Структурная схема системы с двумя каскадами в последовательном преобразовании: позиции 1-7
С_ —
С С
С + С
а в расчетной схеме (рис. 4, б) - по формуле
(С + bp ) С2
Спр 'bp+с + C
(12)
(13)
В целом, такой подход обладает теми достоинствами, что открывает возможности для рациональных преобразований в более сложных системах. При этом, важным является то, что мы фактически переходим к новому понятию - обобщенный элемент, передаточная функция которого представляет собой сумму передаточных функций элементарных звеньев (пружины, демпфирующие и любые другие элементы), работающих в каскаде колебательной системы параллельно. Обобщая, можно полагать, что каскад определяется свой-
ствами передаточной функции дробно-рационального вида.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Елисеев С.В. Структурная теория виброзащитных систем. Новосибирск : Наука, 1978. 224 с.
2. Димов А.В. Решение обобщенных задач виброзащиты и виброизоляции на основе структурных методов математического моделирования : дисс. ... канд. техн. наук : 01.02.06 / А.В. Димов ; Иркут. гос. ун-т путей сообщ. Иркутск, 2005. 187 с.
3. Иващенко И.И. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. М. : Машиностроение, 1993. 632с.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
4. Гозбенко В.Е. Управление динамическими свойствами механических колебательных систем. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2000. 412 с.
5. Насников Д.Н., Димов А.В. Мехатроника виброзащитных систем. Особенности структурных преобразований // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 4. С. 75.
УДК 519.6 Дмитриева Татьяна Львовна,
д. т. н., профессор кафедры «Сопротивление материалов и строительная механика», НИ ИрГТУ,
тел. 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu
Нгуен Ван Ты,
аспирант кафедры «Сопротивление материалов и строительная механика», НИ ИрГТУ,
тел. 89246020079, e-mail: nguyentuad@gmail.com
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
T. L. Dmitrieva, Nguyen Van Tu
MATHEMATICAL MODELS IN THE OPTIMAL DESIGN OF REINFORCED
CONCRETE RECTANGULAR BEAM
Аннотация. Рассмотрена задача оптимального проектирования однопролетной статически определимой железобетонной балки прямоугольного сечения, формализованная в виде задачи нелинейного математического программирования. В качестве минимизируемой (целевой) функции используется вес конструкций. Варьируются геометрические параметры поперечного сечения. Ограничения, используемые в задаче, представляют собой проверки по прочности и задаются в соответствии с нормативными документами. Расчётные усилия не меняются в процессе варьирования размерами поперечного сечения и площадью арматуры (или количеством арматуры). Численный алгоритм решения задачи состоит из двух основных блоков: блока конструктивного расчета и блока решения условно-экстремальной задачи оптимизации. Использован прием, приводящий исходную постановку к задаче на безусловный экстремум при помощи функции Лагранжа, а также двух её модификаций. Алгоритмы условной и безусловной минимизации, заложенные в блок оптимизации, связаны системой уровней, на каждом из которых решается автономная задача. Рассмотрен пример подбора оптимальных параметров сечения железобетонной балки, который продемонстрировал робастность алгоритма оптимизации. Решение этой задачи с разных начальных проектов подтвердило единственность полученных результатов при достаточно высокой скорости сходимости. Устойчивую работу алгоритма удалось получить, применяя в качестве метода безусловной минимизации метод деформируемого многогранника. Полученные результаты дают основание продолжить работу в направлении оптимизации конструкций более сложного вида: ферм, рам, комбинированных систем, при этом варьировать не только параметрами сечений, но и координатами узлов расчетной схемы конструкции, а также задавать более сложные условия работы конструкции.
Ключевые слова: оптимальное проектирование, железобетонные конструкции, нелинейное математическое программирование, методы модифицированных функций Лагранжа.
Abstract. We consider the optimal design of a single-span statically determinate reinforced concrete rectangular beam, formalized in the form of non-linear mathematical programming. As minimized (target) function the weight of structures is used. The cross-sectional geometric parameters vary. Constraints used in the problem represent strength checks and are set in accordance with the regulations. Calculated effort do not change during varying cross-sectional dimensions and reinforcement area (or the number of fittings). Numerical algorithm for solving the problem consists of two main blocks: the constructive calculation and solution conditionally extreme optimization problem. Technique leading the formulation of the original problem to an unconditional extreme using the Lagrangian and 2 of its modifications is used. Conditional and unconditional minimization algorithms input in optimization block are connected with the system of levels, each of which solves autonomous task. An example of the section of reinforced concrete beams optimal parameters selection, which demonstrated the robustness of the optimization algorithm, is considered. The solution to this problem with different initial projects confirmed the uniqueness of the results obtained at a sufficiently high rate of convergence. Stable operation of the algorithm could be obtained using as a method of unconstrained minimization method of flexible polyhedron. The results obtained provide a basis to continue to work towards the optimization of designs of more complicated form: farms, frames, combined systems and in this case not only to vary the parameters of the cross sections, but also coordinates of the construction design scheme sites, as well as specify more complex conditions of the structure.
Keywords: optimal design, reinforced concrete structures, nonlinear mathematical programming, Lagrange modifiedfunctions methods.
