Об учете структуры параллельной системы дополнительных связей в математических моделях задач виброзащиты и виброизоляции Текст научной статьи по специальности «Физика»

Библиографический список

1. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. - М,: Машиностроение, 1980, - 276 с,

2. Комаров М.С., Зацерковный И.Г, Исследование свободных колебаний автобуса с подвеской переменной жесткости/ Автомобильная промышленность, - 1962. - № 7, - С, 26-30.

3. Тибилов ТА, Цисовский Т. Оптимальное управление виброзащитной системой рельсового экипажа в условиях неопределенных возмущений II Транспорт, Наука, техника, управление. - М,: ВИНИТИ, 2001. ст. 12. С. 24-33 (Шифр Т00010),

4. Елисеев С,В, Структурная теория виброзащитных систем, - Новосибирск: Наука, 1978, - 178 с.

5. Вибрации в технике, Т. 6. Ред. К.В. Фролов, - М.: Машиностроение, 1981. - 302 с.

6. Елисеев C.B., Волков ЛН„ Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. - Новосибирск: Наука, 1990. - 214 с.

Н.В.Банина

Об учете структуры параллельной системы дополнительных связей в математических моделях задач виброзащиты и виброизоляции

В задачах виброзащиты и виброизоляции основная расчетная схема представляет, как правило, механическую колебательную систему с одной степенью свободы. В составе механической колебательной системы классическим набором являются упругие и демпфирующие элементы, работающие параллельно. Исследования последних лет показали, что определенные возможности в решении задач виброзащиты и виброизоляции могут быть получены путем введения дополнительных связей, причем дополнительные связи могут быть реализованы посредством параллельного присоединения к известным упомянутым выше упругим и демпфирующим элементам [1]. Дополнительная связь может представлять собой механический преобразователь движения, а также устройство другого типа, которое представлено последовательно соединенными массо-инерционными элементами. В таком виде механическая система может быть названа базисной, В работах по виброзащите и виброизоляции объектов механическим колебательным системам сопоставляются эквивалентные в динамическом отношении системы автоматического регулирования [2], Структурная схема механической колебательной системы может быть составлена несколькими известными способами, которые подробно описаны в литературе. Элементарные звенья в структурной схеме колебательной системы соответствуют упругим и демпфирующим элементам в расчетной схеме. Актуальным является вопрос разработки подхода, позволяющего сделать корректной процедуру введения дополнительных связей. Решение этого вопроса заключается в нахождении и доказательстве соответствия условий введения дополнительных связей в расчетной схеме условиям введения эквивалентных элементарных звеньев или связей в структурной схеме. Это позволяет существенным образом упростить процедуры определения передаточных функций систем, имеющих дополнительные связи, и управлять изменением динамических свойств таких систем,

Рассмотрим механическую систему, имеющую массу тп+1 (тп+] > 0) и две упругие связи, одна из которых -пружина с коэффициентом жесткости с0 (с0 >0), другая представляет собой п масс т[>т2,...,тп (т1 > 0,1 =\,п), последовательно соединенных друг с другом /7 + 1 пружиной с коэффициентами жесткости с1,с2,...,сп+1 (с] >0,/ = 1 ,п + \). Далее такая система будет называться базисной механической системой (ВМС). Система совершает вынужденные колебания, происходящие под действием внешней силы ух(1) на массу тп+х (силовое возмущение, рис, 1, а) или в результате заданного движения у2(^) основания системы (кинематическое возмущение, рис. 1, б). Линейные перемещения масс = + 1 под действием заданных сил определяют обобщенные координаты системы хк к = 1, п +1 , Отметим, что данная система может рассматриваться иначе, а именно как система, имеющая одну обобщенную координату [3],

Если добавить в БМС параллельно каждой имеющейся пружине еще одну пружину, демпфер или устройство преобразования движения с некоторой определенной передаточной функцией, то передаточные функции получаемых систем будут иметь структуру, аналогичную структуре передаточной функции БМС, поэтому для их определения может быть использован уже имеющейся алгоритм нахождения передаточной функции БМС. Кроме того, добавление в структурную схему БМС определенным способом линейного звена с некоторой передаточной функцией соответствует до-

Рис. 1. Расчетная схема базисной механической системы: а - в случае силового возмущения; б - в случае кинематического возмущения

бавлению в ВМС параллельно каждой имеющейся пружине еще одной пружины или демпфера или устройства преобразования движения в зависимости от вида передаточной функции этого звена. Следующая лемма определяет вид передаточной функции ВМС.

Лемма: Пусть базисная механическая система совершает вынужденные колебания в результате действия внешней силы у}(() на массу тп+х или в результате заданного движения у2(0 основания системы и пусть хД/),

к = 1, п +1 - обобщенные координаты системы. Тогда передаточная функция системы имеет вид: 1) в случае силового возмущения

* в у.

, г- V и+1,1 «+1,п+1 / >

ух сЫ £> 2) в случае кинематического возмущения

X с

где

1 . + (Ан-1,1 >•"> Аг+1,п+1 )

у 2 ае1£> сМ!)

X — (Х\>Х2>--->Хп+\) ' 0 = Мр2+С, реС,

Сс, + с.

-с,

С =

-у I С ^ С^ 2

О (

О (

о о

-с* с о

и+1 + Сп

'п + ]

1

Сп+\ + С0 )

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

М =

т] О О т.

О О

\

т

(6)

Д,+м, г = 1,п +1, £>,., у = \,п + 1 - алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы £>. Доказательство: Кинетическая энергия системы определяется как

| л+1

^ ;=1

Потенциальная энергия системы в случае силового возмущения

1 ? 1 (

А А 7=2

и в случае кинематического возмущения

нЫ

1=2

см)2 + ~"со<А+1 -^2)2

Уравнения Лагранжа в случае силового возмущения системы

+ с2(х2 -х,)

^ Л 2 ^ 2 2 ^ 1 ^ ^ ^ ^ (х ^ X 2 ^

Ш X = —с (х — X ,) + с Ах — X )

п п п V п и-1/ п + 1 \ и/

тп+\Хп+\ \{Хп+\ ~ Хп ) _ С0Хп+] + У и в случае кинематического возмущения

т\х\ = ~с\{х\ ~У2) + С2(^2 -^1)

ТУЬ 2 X 2 ~ " С- 2 ^»Х* ^ ЭС ^ ^ I С ^^ ^ """*" ^ о ^

(7)

(8)

т х =—с(х — х , ) + с Лх , — х )

' п п п\ п п-\ } я+1 V п+\ п)

шп+]хп+] - —(х„+1 - хп) — ~ У2У

Решение л:(/) = (лс1(/');>...,хл+1(?));г системы дифференциальных уравнений (7) описывает движение колебательной системы при силовом возмущении, а решение системы дифференциальных уравнений (8) - при кинематическом возмущении. Применяя к системам (7) и (8) преобразования Лапласа, а затем теорему Крамера (о решении системы линейных алгебраических уравнений), получаем передаточную функцию в случае силового возмущения

х 1

ух О

и в случае кинематического возмущения

X с,

у2 сЫ О

(А,:.....

где матрица В определяется формулами (4) - (6) и И„+1,, / = 1,и +1, Д ., у = + 1 - алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы В. Лемма доказана.

Пусть в базисной системе коэффициенты жесткости пружин равны с', ] = 0,п + 1. Докажем, что если в ВМС

параллельно каждой имеющейся пружине с жесткостью с', у =0,я + 1 закрепить еще одну пружину с жесткостью

с",у = 0,я + 1 или демпфер с коэффициентом сопротивления Ь-, у =0,и + 1, то структура передаточных функций получаемых систем будет аналогичной структуре передаточной функции ВМС.

Утверждение I. Пусть система, получаемая из базисной механической системы посредством параллельного

присоединения к каждой имеющейся пружине с коэффициентом жесткости с'., у = 0,и + 1 пружины соответственно с коэффициентом жесткости с", у =0,и + 1, совершает вынужденные колебания в результате действия внешней силы у} (Г) на массу тп+] или в результате заданного движения >'2(0 основания системы и пусть хк^), к = \,п + \ - обобщенные координаты системы, Тогда передаточная функция системы имеет вид (1) в случае силового возмущения и вид (2) в случае кинематического возмущения, причем cJ = с' + с", у = 0,п +1. Доказательство. Кинетическая энергия системы

1

2 /=1

Потенциальная энергия системы в случае силового возмущения определяется как

пс = +\Тс'к{хк-хк_У -хн}+^с'0х2п+] +~с;Х

253

2

п+1

2 1 ' 2 1 ' 2£г2

а в случае кинематического возмущения как

7=2

(9)

Уравнения Дагранжа в случае силового возмущения системы имеют вид и в случае кинематического возмущения -

т\Х\ = ~(С! +С'ГХХ1 ~>'2)+(С2 + Хх2 -*])

~ ~(С2 + С2 Х*2 ~ Х\ (С3 + С3 ХХ3 ~ Х2 )

тЛ = -(< + С"п\Хп ~ Хп-1 )+ + С] - *» )

тп+\Хп+) - ~(Сп+1 + Х*я+1 ~ Х>1 ) ~ (6'о + С0 ХХ«+1 ~ У2 )> Применяя преобразования Лапласа к системам дифференциальных уравнений (9) и (10), а затем теорему Крамера, получаем передаточную функцию системы при силовом возмущении

X 1

(Ю)

.У]

¿еХР

(Р Р У

и при кинематическом возмущении

х с[ + с

(р р У , со+со (р р У

]],.••> Г]>П+\) 1 , п П+],Г>+\ ) '

у 2 ¿егр

где Р = Мр1 + С' + С", р е С. Здесь матрица М определяется формулой (6),

С\ С2 С2

'2 СЪ

с =

0

-с,

0 0 0 .. с' +с' -г'

0 0 0 .. 0 -с'

^ с" + с" 0 .. 0 0 0

~с"2 н , п 2 ^ -с'з - 0 0 0

(П)

Ся =

- е..

с , + с — с ,

И + 1 /) Я + 1

-с

и+1

'и+1 + С0 У

(12)

Если ввести обозначение с\ + с"-с1, / = 0, и +1, тогда С' + С" = С и Р = Мр +С1 + С" = Мр +С = D.

Таким образом, получаем передаточные функции вида (1) и (2), причем с, - с' +с", / = 0,и + 1, что и доказывает утверждение.

Утверждение 2. Пусть система, получаемая из базисной механической системы посредством параллельного присоединения к каждой имеющейся пружине с жесткостью с'., j ~ 0, п +1 демпфера соответственно с коэффициентом сопротивления bJt / = 0,я + 1, совершает вынужденные колебания в результате действия внешней силы

>>,(/) на массу тп+] или в результате заданного движения y2{t) основания системы и пусть хДг), к- \,п + \ - обобщенные координаты системы. Тогда передаточная функция системы имеет вид (1) в случае силового возмущения и вид (2) в случае кинематического возмущения, причем с = с' . + btp , j = О,« +1. Доказательство. Кинетическая энергия системы

J п+1

z 1=1

Потенциальная энергия системы в случае силового возмущения определяется как

п +1

Пс = ~ <х> + ^ Е c'i(*/ - ХН f + 1 coxh ■

2>i

а при кинематическом возмущении как

Лк -y2f ~ *м )2 + -Уг)2

21

Уравнения Лагранжа имеют вид: 1) в случае силового возмущения

т2х2 = -с2

(х2 -х,)-b2(х2-*,) + с'3(х3 -х2) + Ь3(х3 - х2)

(13)

т

!и+Л+1 ~ Сп+[{Хп+\ Хп) + \ ("*'»+1 Хп) С0ХЦ-А ^(}ХП+\ ^ У\

2) в случае кинематического возмущения

m,x, =-с;(х, -jp2) + c2(x2 -xj+^fe -х,)

ш2х2 = —с2(х2 — х,)—Ь2(х2 —х1)+с3(х3 —х2)+^3(х3 — х2)

(14)

т

п+1"

\хп+\ — £л+1(Х,7+| Х/1) (*/»+] Хп) (*/?+! ^2) ^о(Хп+] У 2) Применяя преобразования Лапласа и теорему Крамера к системам (13) и (14), получаем передаточную функцию системы:

1) при силовом возмущении

х 1

Ух det Q

2) при кинематическом возмущении

х _ с[ +Ьхр

У 2 det6

In п У I с'° +b°p(n n У

Veil,! >•••>)si\,n+\ / ^ 1 IHii+l.lv^n+l.n+l/ '

det0

где

x = (xlv..,x„+1)r, Q = Mp2 +Bp + C, ре C,

В =

Ъх+Ъ2 -Ь2 -Ъ2 Ь2+ Ъъ

Ьп+1 + Ьг,

'«+1

ъ^ +

(15)

70 У

а матрицы Ми С' определяются равенствами (6) и (11) соответственно. Если ввести обозначение сУ + Ъ}р-сг

} = 0,п +1, тогда Вр + С' -С и <2 = Мр +Вр + С' = Мр + С = £>. Таким образом, получаем передаточные функции вида (1) и (2), причем с/ = с'. + Ь]р, у = 0,/7 +1, что и доказывает утверждение.

Проанализируем структурные схемы БМС и механических систем, рассмотренных в утверждениях 1 и 2. Структурная схема БМС при условии, что жесткости входящих в нее пружин равны с'., у = 0,и + 1, имеет в случае силового возмущения и кинематического возмущения БМС вид, изображенный на рис. 2. Здесь матрицы С', М и векторная функция 3с(0 имеют соответственно вид (11), (6) и (3), ?|<У) = (ОД.-Ду, (Г))7', Г2(0 = (^2(ОД.-Д^2(0)7

- +1 компонентные векторные функции, С[ -

- (и +1) х (и +1) матрица. Если добавить

'О У

параллельно линейным звеньям с передаточными функциями С' и С,' соответственно линейные звенья с передаточ-

ными функциями С" и С", где матрица С" имеет вид (12)

сг =

(С" 0 .. 0 0 ^

0 0 .. 0 0

0 0 .. 0 0

и 0 .. 0 Со )

(и +1) х (п +1) матрица, то получим следующую структурную схему, приведенную на рис. 3. Составим передаточную функцию по структурной схеме (см. рис. 3, а):

Зс = (е + (Мр2 У (С + С")У1 [Мр2)"' 7У => х = (Мр2 +С' + С"У ?х => {Мр2 +С' + С")х = ¥} .

Переходя в последнем равенстве в пространство оригиналов, получаем систему уравнений Дагранжа (9), описывающую колебания механической системы, указанной в утверждении 1, в результате силового возмущения. Таким образом, добавление в структурную схему БМС линейного звена с передаточной функцией С" указанным способом будет соответствовать присоединению в расчетной схеме БМС к каждой имеющейся пружине с жесткостью с'.,

а) б)

6 - в случае кинематического возмущения

а)

С'

У,

с;

с:

б)

с

с

Рис. 3. Структурная схема механической системы: а - в случае силового возмущения; 6 - в случае кинематического возмущения

X

} — 0,77-4-1 параллельно еще одной пружины с жесткостью с",] = 0,и + 1. Аналогичное утверждение справедливо

и в случае кинематического возмущения системы.

Подобным образом может быть доказано также, что добавление в структурную схему параллельно линейным звеньям с передаточными функциями С' и С,' соответственно линейных звеньев с передаточными функциями Вр2

и Вхр, где матрица В имеет вид (15) и

р, 0 . . 0 °1

0 0 . . 0 0

0 0 . . 0 0

,0 0 . . 0

- (п +1) х (п +1) матрица, приводит к

структурной схеме, соответствующей механической системе, которая получается из ВМС посредством параллельного присоединения к каждой имеющейся пружине с жесткостью с'., ] = 0,п + 1 демпфера с коэффициентом сопротив-

ления Ъ1,} = 0, п +1 (рис. 4),

Введем в структурную схему БМС дополнительные связи, а именно, присоединим указанным выше образом к

структурной схеме БМС линейное звено с передаточной функцией Ьр2, где

0 ... 0 0 0 ^

... 0 0 0

Ь =

А А А

Ь2 Ь2 + £3 ¿3

А А+1 + А А+1

ь

и+1

I + /

и линеиное звено с передаточной

о)

С'

м {мР2У

Вр

г,

б)

В]Р

а

с

{мр2}

Вр

Рис. 4. Структурная схема механической системы; а - в случае силового возмущения; б - в случае кинематического возмущения

О)

С'

Lp'

г;

в)

f„ 2

L'p

с:

С'

{мР2У

LP2

Рис. 5. Структурная схема механической системы: а - в случае силового возмущения; 6 - в случае кинематического возмущения

функцией L'p2, где L' =

ГА 0 . . 0 °1

0 о . . 0 0

0 о . . 0 0

U о . . 0 А) у

- (п +1) х (п +1) матрица. Получаем структурную схему, пред-

ставленную на рис. 5.

Покажем, что передаточные функции, составленные по данным схемам, будут иметь структуру, аналогичную структуре передаточной функции ВМС. Передаточная функция, определенная по структурной схеме на рис. 5, а, имеет вид

х = (я + (Мр2 У (С + hp2 ))"' (Мр2 У Y{ =>

=> х = (Мр2 + С' + Lp2 )"' Yx. (16)

Пусть c'j+Ljp2 =сrj = 0,« + 1, тогда С' + Lp2 - С и Мр2 + С = D, и из равенства (16) следует, что

— -I — X 1 / \т

x = D~Y] и — =--[Dn+l],...,Dn+] п+]) . Полученная передаточная функция имеет вид (1), причем

ух det D

С = С + Lp2. Аналогично доказывается, что передаточная функция, составленная по схеме, приведенной на рис. 5, б, имеет вид (2), причем С-С' + Lp2, = с[ + Lxp2 и с0 = c'Q + L0p2.

Проводя аналогии с ранее рассмотренными случаями, можно утверждать, что представленная на рис. 5 структурная схема соответствует механической системе, которая получается из ВМС путем параллельного присоединения к

каждой имеющейся пружине с жесткостью с', j = 0, п +1 устройства преобразования движения с передаточной

функцией Ljp2, j = 0,77 + 1 и которая совершает вынужденные колебания в результате силового или кинематического возмущения.

Библиографический список

1. Гозбенко В.Е. Управление динамическими свойствами механических колебательных систем. - Иркутск: Изд-во Иркут, гос. ун-та, 2000, - 412 с.

2. Елисеев C.B. Структурная теория 8иброзащитных систем, - Новосибирск: Наука, 1978. - 220 с.

3. Банина Н.В. Исследование вынужденных колебаний механической системы с упругой связью цепочной структуры II Проблемы механики современных машин. - Улан-Удэ, 2003. - Т.2, - С. 182-185,