Дополнительные связи в колебательных системах для управления динамическим состоянием Текст научной статьи по специальности «Физика»

4 z У У\ - У2 ~ У ■ Выражение (22) ш - 1 яин у Сс2 + Вс1 b_mi[+j (/>н)2

5 ~t _ х] zi — _ у] = 0, у2 * 0. Выражение (23) - режима нет g _ м/, + J (W2)2

ó ¿i ~ _ У\ у] * 0, у2 = 0. Выражение (24) ¡W ®ди„ - B_Mll+J (A +hf

библиографический список

1, Гозбенко В,Е. Управление динамическими свойствами механических колебательных систем: Монография. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2000. - 412 с. '

2, Елисеев С.В, Структурная теория виброзащитных систем. - Новосибирск: Наука, 1978. - 178 с,

3, Елисеев С,В., Волков ЛН„ Кухаренко В.П, Динамика механических систем с дополнительными связями. - Новосибирск: Наука, 1990. - 214 с.

В.Е.Гозбенко

Дополнительные связи в колебательных системах для управления динамическим состоянием

Во многих задачах виброзащиты и виброизоляции в качестве расчетных схем используются колебательные системы с одной, двумя или более степенями свободы, в которых рассматриваются поступательные либо комбинация поступательных и угловых движений [1-3]. Если в структуре системы используется известный набор элементов 8 виде пружин, демпферов и элементов, обладающих массо-инерционными свойствами, то ее математическая модель, представленная структурной схемой, эквивалентной в динамическом отношении системе автоматического управления (САУ), может отображать прямые, обратные, перекрестные связи, используя в качестве исходного набора элементарные звенья систем автоматического регулирования: интегрирующие, усилительные, форсирующие и др. [4].

В этом отношении расчетной схеме механической цепочной колебательной системы с тремя степенями свободы (рис. 1) можно сопоставить ее динамический эквивалент в виде структурной схемы (САУ), имеющей соответствующие вход и выход в виде z{t), z{ (t) и Pt (/) [i = 1,2,3).

Используя обычные приемы составления математических моделей на основе формализма уравнений Аагранжа II-рода и соответствующих преобразований, получим структурную схему, представленную на рис. 2.

Отметим, что структурная схема состоит из трех базовых подсистем (блоков), соответствующих парциальным системам расчетной схемы (см. рис. 2), которые можно получить «зануляя» координаты последовательно по каждой степени свободы. Характерными для дальнейших рассмотрений являются точки I, II, III, к которым относят внешние кинематические и силовые возмущения. В терминологии теории автоматического управления это «входные параметры». При введении дополнительных активных связей важным является выбор места расположения точек приложения «активных усилий» и точек съема информации о динамическом состоянии системы [4].

Из анализа структурной схемы следует, что взаимодействие парциальных систем носит силовой характер и соответствует принципу: движение по одной координате вызывает соответствующее усилие по другой. Так, смещение по координате х2 через усилительное звено с3 формирует усилие в точке III, то есть взаимодействует с интегрирующим звеном. Одновременно смещение по х2 с обратным знаком через такое же усилительное звено с3 передает усилие в точку II.

Силовое взаимодействие хорошо интерпретируется картиной силовых связей на расчетной схеме (см. рис. 1). Сжимая на величину х2 пружину с жесткостью с3, надо учитывать появление реакции х2с3 на элементе с массой т2.

Одновременно смещение по х2 формирует воздействие х2с3 на элемент с массой т3 \ действие равно противодействию. Реальное распределение силовых взаимодействий носит более сложный характер из-за того, что в распределении усилий участвует большое количество упругих элементов с усложненной системой взаимных связей. Отметим, что вид структурной схемы существенным образом зависит от выбора системы обобщенных координат. В случае, представленном на рис. 1, в качестве координат выбраны абсолютные перемещения тел х1 (/ = 1,2,3)- Если будут

выбраны относительные координаты (^ =*,, у2 ~х2 -x]t у3=х3 -х2), то структурная схема будет другой,

отражая соответственно иную структуру силовых взаимодействий. В принципе система выбора обобщенных координат должна соотноситься со спецификой рассматриваемых задач [1, 4].

Некоторые упрощения. При решении конкретных задач виброзащиты и виброизоляции часто выполняются условия, соответствующие более простой, чем исходная (см. рис. 1) схема силового взаимодействия:

z, = 0 , Р] = Р2 = Р3 = 0 , с5 = с6 = с7 = с8 = 0.

В этом случае структурная схема, представленная на рис. 2, имеет более простую конфигурацию (рис. 3), что позволяет получить передаточные функции и с их помощью оценить динамические свойства системы при вибрационном

1

да, р-

Х1 г—, V

—EJ-^O-

Ci+C2

т2 р'

X■

уЧЗ-Q:

с2+с3

т3 р*

х

О—

с3+с4

Рис. 3. Упрощенная структурная схема цепной системы с тремя степенями своболы

возмущении со стороны основания. Приняв съ — 0, можно получить базовую систему моделей, широко используемых

в качестве базовых в задачах виброзащиты (рис. 4, а, б), Соответствующие передаточные функции имеют вид

с, - Со

^=3 =

Ж,

z [m2p2 + c2}(mlp2 +с} +с2 сг(т2р2+с2)

(1)

(2)

z (т2р2 + с2)(т]Р2 +с, +c2)-c¡

Если z представляет собой моногармоническую функцию вида z = A sin cot, то из (2) следует возможность существования режима динамического гашения при частоте

^дин

(3)

/и.

и двух резонансов с частотами, определяемыми из частотных уравнений, являющихся знаменателями (1) и (2). Более детальная информация о свойствах таких систем приведена в [1, 4].

Введение дополнительных связей, Дополнительные связи часто реализуются в виде механизмов с одной степенью свободы (рычажные, винтовые, зубчатые и пр.) и имеют передаточную функцию элементарного звена, если говорить о включении в структурную схему, следующего вида:

W.

don

Lp\

(4)

где L - коэффициент, зависящий от массо-инерционных свойств механизма [5, 6].

6)

1

) да, р

X i

i"

с&с:

т2р'

х

О—

С2+С3 и

777777777777777777 1 z

Рис. 4. Расчетная (а) и структурная (б) базовые схемы виброзащиты и виброизоляции

Если такие дополнительные связи ввести, то исходные базовые модели (см, рис. 4, а, б) примут вид, показанный на рис. 5, а, б. Комбинаторика введения таких связей достаточно проста (они работают так же, как упругие элементы), но в эквивалентных схемах систем автоматического управления они интерпретируются элементарными звеньями двойного дифференцирования. К примеру, физическое звено вязкий демпфер будет представлен на уровне элементарных звеньев как дифференцирующее звено первого порядка. Если ввести такие звенья по схеме, показанной на рис. 4а, б, то их введение отразится добавлением соответствующих членов в таком же порядке, как и введение звеньев двойного дифференцирования.

а) 6)

Передаточные функции системы, ранее представленные выражениями (1) и (2), примут вид

И, *1 =_(с1+Цр2)-(с2+12р2)_^^ ^

г (т2 Р2 +^2р2 +с2)\_т\Р2 +(А +Ь2)р2 +сх +с2]-(с2 +Ь2р2)

ш _ __(с]+Цр2)-(т2р2+Ь2р2+с2)_

2 — — — 2 ' * ' 2 (™2Р2 + 12Р2 + С2 ) [■ЩР2 + (■А + 12 ) Р2 + +С2 ] " [С2 + 1гР2 )

где Ьх, Ьг - приведенные массы дополнительных связей (механизмов преобразования движения).

Отметим, что при таких нововведениях анализ (5), (6) свидетельствует о наличии полюсов передаточных функций, которые определяют режимы динамического гашения при кинематическом возмущении. По координате х2

Чи• (7)

60дт = „1 . • (8)

По координате х, также можно отметить две частоты динамического гашения:

=4/т- . (9)

А

®дин.2=Л—ГГ ' (10)

\т2+Ь2

При частоте динамического возмущения определяемой выражениями (7), (9), появляется новый режим - полное динамическое гашение по двум координатам х2 и х,. Ранее это не находило отражения в научной литературе, что свидетельствует о недостаточном внимании к тому комплексу вопросов, который связан с детальным изучением спектра динамических свойств, привносимым дополнительными связями. Вместе с тем, сошлемся на работы [4, 6], в которых отмечалось, что при введении дополнительных связей в системах с одной степенью свободы при кинематическом возмущении реализуется режим динамического гашения. В рассмотренных случаях дополнительная инерционная связь была реализована в виде несамотормозящегося винтового механизма.

Продолжая исследование возможных динамических свойств (см. рис. 5, а, б), отметим, что новым является динамическое гашение по координате х2, которое в классическом подходе при кинематическом возмущении не предполагается (таких режимов при введении дополнительных связей два),

По координате х} введение дополнительных связей добавляет к известному (выражение (3)) еще один режим динамического гашения - выражение (9), Назовем этот режим динамического гашения корпоративным. Общая оценка возможностей динамического гашения при кинематическом возмущении (см. рис. 5, а) определяется тремя ситуациями: корпоративный режим (7), (9); динамическое гашение по х2 - выражение (8); динамическое гашение по х1 -выражение (10),

Из (5), (6) следует также, что в системе (см. рис. 5, а) будет существовать два резонанса - это нули передаточных функций. Особенностью режимов как динамического гашения, так и резонансов является то, что в числе определяющих параметров появляются массо-инерционные свойства дополнительных инерционных связей, то есть механизмов для преобразования движения. Можно утверждать, что динамика систем с дополнительными связями будет определяться в целом величинами приведенных параметров системы (инерционных и жесткостных), в которые входят геометрические размеры, форма механизма, массо-инерционные свойства звеньев.

Определенный интерес для возможных применений представляют ситуации, когда масса тх промежуточного звена стремится к нулю [тх —» 0), кроме того, Ьх —> со . В этом случае можно прийти к расчетной схеме виброзащиты при последовательном соединении каскадов, где вторая ступень играет роль «блокирующего» звена, реализующего на новых частотах эффект «запирания». Расчетная и структурная схемы для этого случая приведены на рис. 6, а, б.

б)

777777777777777777

Рис. 6. Расчетная (а) и структурная (6) схемы системы виброзащиты (без промежуточной ступени)

Ранее полученные передаточные функции (5), (6) в этом случае редуцируются к виду

сг(с2 + Ь2р2)

^ (т2р2 + Ь2р2 + с,) (Ь2р2 +с]+с2)-{с2 + Ь2р2) По отношению к координате х2 можно отметить, что существует режим динамического гашения

(11)

Если Ь2 0, то выражение (11) принимает форму

Ж

*2_ г

(где сЧК8 =

С, * С-,

с,+с2

Щ Р +СЭ*В

совпадающую с известными выражениями приведенными, например, в [6].

В отличие от известных выражений в системе (см. рис. 5, а) будет наблюдаться два резонансных режима, определяемых из частотного уравнения

т2Ь2р4 + [/и2 (с, + с2) + с, ¿2 ] р2 + с,с2 = 0,

откуда

где Л =

со

рез 1,2

-В

т2 (с, +с2) + с,1, т2Ь2

р= С1С2

т2Ь2

Система в этом случае имеет два резонанса, между которыми реализуется режим динамического гашения. Если Ь2 —>• 0, то в системе также будет присутствовать резонансный режим (между двумя резонансными частотами), но будет он располагаться на оси абсцисс амплитудно-частотной характеристики между низкочастотным резонансом и частотой динамического гашения.

Таким образом, введение дополнительных связей существенным образом изменяет спектр возможных динамических свойств (например, снижается частота собственных колебаний), привнося в систему дополнительные режимы динамического гашения и резонансов, предполагая, что оценка частотных свойств системы должна производиться на основе использования приведенных характеристик.

Введение дополнительных связей осуществляется достаточно просто на основе введения соответствующих параллельных звеньев второго порядка (двойное дифференцирование, дифференцирующее звено второго порядка) с последующим определением передаточных функций и частотным анализом.

Поведение на высоких частотах. Как было показано в [4], [5], на высоких частотах дополнительные связи создают эффекты запирания системы, когда значение коэффициента передачи амплитуды колебаний (амплитудно-частотная характеристика) при кинематическом возмущении стремится к определенному пределу. В частности, из (5) следует, что х2 при р —> со стремится к

т\ {т2 + ^2 ) + т2 {Ц + А")

Л, = 1-

а х, при роо стремится к

П2 =1

т1 (т2 + Ь2) + т2 (Ц ++ ЦЬ2

т] (т2 + £2) + т2Ь2 т] (т2 + Ь2) + т2 + Ь2) + ЦЬ2

<1,

<1

Если в одном из каскадов (см. рис. 5, а) значения приведенных масс дополнительных связей зануляются, то возможен ряд частных случаев:

по координате х2 при Ьх —» 0 «запирания» системы не происходит; при Ь2 = 0 также не происходит «запирания» системы. По отношению к координате х,:

при Ц = 0 система не «запирается»;

при Ь2 = 0 в системе при всех прочих условиях наблюдается «запирание» и П2 — 1 -

т1т2

т1т2 + т21л

В заключение отметим, что выбор места расположения по введению дополнительных связей, выбор значений приведенных характеристик позволяют в значительной степени изменять динамические свойства систем и управлять динамическим состоянием в более широком смысле слова, используя накопительные возможности варьирования составом и количеством различных режимов динамического гашения, резонансов и «запирания».

Библиографический список

1. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. - М,: Машиностроение, 1980, - 276 с,

2. Комаров М.С., Зацерковный И,Г, Исследование свободных колебаний автобуса с подвеской переменной жесткости/ Автомобильная промышленность, - 1962. - № 7, - С, 26-30.

3. Тибилов ТА, Цисовский Т. Оптимальное управление виброзащитной системой рельсового экипажа в условиях неопределенных возмущений II Транспорт. Наука, техника, управление. - М,: ВИНИТИ, 2001. ст. 12. С. 24-33 (Шифр Т00010).

4. Елисеев С,В, Структурная теория виброзащитных систем, - Новосибирск: Наука, 1978, - 178 с.

5. Вибрации в технике. Т. 6, Ред. К.В. Фролов, - М.: Машиностроение, 1981, - 302 с.

6. Елисеев C.B., Волков ЛН„ Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. - Новосибирск: Наука, 1990. - 214 с.

Н.В.Банина

Об учете структуры параллельной системы дополнительных связей в математических моделях задач виброзащиты и виброизоляции

В задачах виброзащиты и виброизоляции основная расчетная схема представляет, как правило, механическую колебательную систему с одной степенью свободы. В составе механической колебательной системы классическим набором являются упругие и демпфирующие элементы, работающие параллельно. Исследования последних лет показали, что определенные возможности в решении задач виброзащиты и виброизоляции могут быть получены путем введения дополнительных связей, причем дополнительные связи могут быть реализованы посредством параллельного присоединения к известным упомянутым выше упругим и демпфирующим элементам [1]. Дополнительная связь может представлять собой механический преобразователь движения, а также устройство другого типа, которое представлено последовательно соединенными массо-инерционными элементами. В таком виде механическая система может быть названа базисной, В работах по виброзащите и виброизоляции объектов механическим колебательным системам сопоставляются эквивалентные в динамическом отношении системы автоматического регулирования [2], Структурная схема механической колебательной системы может быть составлена несколькими известными способами, которые подробно описаны в литературе. Элементарные звенья в структурной схеме колебательной системы соответствуют упругим и демпфирующим элементам в расчетной схеме. Актуальным является вопрос разработки подхода, позволяющего сделать корректной процедуру введения дополнительных связей. Решение этого вопроса заключается в нахождении и доказательстве соответствия условий введения дополнительных связей в расчетной схеме условиям введения эквивалентных элементарных звеньев или связей в структурной схеме. Это позволяет существенным образом упростить процедуры определения передаточных функций систем, имеющих дополнительные связи, и управлять изменением динамических свойств таких систем,

Рассмотрим механическую систему, имеющую массу тп+1 (тп+] > 0) и две упругие связи, одна из которых -пружина с коэффициентом жесткости с0 (с0 >0), другая представляет собой п масс т[>т2,...,тп (т1 > 0,1 =\,п), последовательно соединенных друг с другом /7 + 1 пружиной с коэффициентами жесткости с1,с2,...,сп+1 (с] >0,/ = 1 ,п + \). Далее такая система будет называться базисной механической системой (ВМС). Система совершает вынужденные колебания, происходящие под действием внешней силы ух(1) на массу тп+х (силовое возмущение, рис, 1, а) или в результате заданного движения у2(^) основания системы (кинематическое возмущение, рис. 1, б). Линейные перемещения масс = + 1 под действием заданных сил определяют обобщенные координаты системы хк к = 1, п +1 , Отметим, что данная система может рассматриваться иначе, а именно как система, имеющая одну обобщенную координату [3],

Если добавить в БМС параллельно каждой имеющейся пружине еще одну пружину, демпфер или устройство преобразования движения с некоторой определенной передаточной функцией, то передаточные функции получаемых систем будут иметь структуру, аналогичную структуре передаточной функции БМС, поэтому для их определения может быть использован уже имеющейся алгоритм нахождения передаточной функции БМС. Кроме того, добавление в структурную схему БМС определенным способом линейного звена с некоторой передаточной функцией соответствует до-