Теоремы о числе решений частотных уравнений и их расположении на числовой прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1 Банина Нина Валерьевна,

к. т. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения,

тел. 638-310, e-mail: banina_nv@irgups.ru

ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ЧАСТОТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ РАСПОЛОЖЕНИИ НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ

N. V. Banina

THEOREMS ABOUT A NUMBER OF FREQUENCY EQUATION SOLUTIONS AND THEIR ARRANGEMENT ON THE NUMERICAL LINE

Аннотация. Изучаются изменения динамических свойств простейшей механической колебательной системы при введении в её структуру механической цепи. Формулируются и доказываются теоремы о числе и расположении на числовой прямой решений частотных уравнений. Эти решения определяют резонансные режимы и режимы динамического гашения колебаний. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач вибрационной защиты технических объектов.

Ключевые слова: механическая колебательная система, механическая цепь, резонансный режим, режим гашения колебания.

Abstract. Changes of dynamic properties of the simplest mechanical vibrating system under introducing a mechanical chain into its structure are studied. Theorems about a number of solutions of frequency equations and their arrangement on the numerical line are formulated and proved. These solutions determine resonant states and states of vibration quenching. Achived results can be used for solving problems of vibrational protection.

Keywords: mechanical vibrating system, mechanical chain, resonant states, states of vibration quenching.

При моделировании задач виброзащиты и виброизоляции расчетная схема реальных технических объектов, как правило, приводится к механической колебательной системе, состоящей из массово-инерционных элементов, пружин и демпферов. Теоретической основой для поиска новых подходов к решению задач данного класса может служить методика введения дополнительных связей в механические колебательные системы [1, 2]. В частности, дополнительные связи могут иметь вид механических цепей. Введение дополнительных связей в механическую систему приводит к изменению её динамических свойств. Поэтому важной задачей при использовании до-

полнительных связей является изучение их влияния на динамические характеристики механических колебательных систем, прежде всего определение режимов динамического гашения колебаний.

Под механической цепью будем понимать последовательное соединение параллельных комбинаций упругого элемента с коэффициентом жесткости с, демпфирующего элемента с коэффициентом сопротивления Ь и инерционного элемента в виде устройства преобразования движения с передаточной функцией Цр2, I = 1, п +1, причем в точках их соединений находятся материальные объекты с массами щ,ш2,..., щ . Если механическая цепь помещается между объектом защиты массой М и неподвижным основанием (рис. 1), то реализуется управление по абсолютному отклонению.

Рис. 1. Механическая колебательная система с дополнительной связью в виде механической цепи, реализующей управление по абсолютному отклонению

иркутским государственный университет путей сообщения

Если же механическая цепь помещается между объектом защиты массой М и подвижным основанием параллельно пружине с жесткостью с, то реализуется управление по относительному отклонению (рис. 2). Механическая цепь на рис. 1 и рис. 2 обозначена контуром.

]х(0

Рис. 2. Механическая колебательная система с дополнительной связью в виде механической цепи, реализующей управление по относительному отклонению

Пусть Ь = 0, / = 1, п, тогда движение этих систем описывается следующими системами дифференциальных уравнений, составленными на основе уравнений Лагранжа второго рода: а)

т{хх + (<?! + с2 )х1 - с2х2 = ~{ЪХ + Ъ2 + Ъ2х2,

т2х 2 — с2х1 + (с2 + с3 )х2 — с3х3 = Ь2х! -ф2 +Ь3)х2 +Ь3Х3,

"п л—1

+ (cn + cn+1) xn cn+1x -

= bnxn_x - 0b„ + bn+l )x„ + bn+lx,

Mx - c„+1x„ + (c„+1 + c)x = cy + b„+1x„ - b„+1x;

6)

Х| "i* (Cj "i" C2)xx —

= cxy - {bx + b2)xl+b2x2,

Ш2Х2 (^2 C3 C3X3 — ~(b2 +b3)x2 +63X3,

mnXn ~ CnXn-\ + (Си + Cn+\ )Xn ~ Cn+\X =

= bnxn_l-{bn+bn+l)xn+bn+lx,

Ш ~ Cn+lXn + (C»+1 + C)X = СУ + K+lXn

Для того чтобы получить математическое описание систем в случае введения в их состав дополнительных инерционных элементов, реализуемых в виде устройств преобразования движения с передаточными функциями

Цр2, Ь2р2,Ьи+1р2, можно использовать подход, связанный с введением дополнительных свя-

зей [3, 4]. Данный подход предусматривает прежде всего переход к рассмотрению эквивалентной механической системе системы автоматического управления (САУ) и определение её передаточной функции. Будем считать, что входной величиной САУ является внешнее воздействие y (t), оказываемое на механическую систему, а выходной - величина вертикального перемещения объекта защиты x(t) . Передаточная функция САУ имеет вид:

а) для системы на рис. 1:

Wi(p) -Х -y

__c det(C + Bp + Mp2)_

(mp2 + c) det(C + Bp2 + Mp2) + det N (P)'

б) для системы на рис. 2:

W2( p) - x -y

n+1

c det(C + Bp + Mp2) + ^ (c + b] p)

_7-1_

(mp2 + c) det(C + Bp2 + Mp2) + det N1 (p)!

где

M -

m 0

0 m

C -

c + c —c

V0 0 . .. m

—c 0 .. .0

c + c —c .. .0

B -

N,(p) -

(

0 0 0. .. c + c —c

0 0 0. .. — c c + c

b + b —b 0. .. 0 0

—b b + b —b . .. 0 0

0 0 0. .. b + b —b

0 0 0. .. — b b + b

C + Bp + Mp2

I 0

' —cn+1 — bn+1p

0 —cn+1 — bn+1p \ cn+1 + bn+1p

Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение

m

В [1] определено соответствие между введением в механическую систему дополнительного инерционного элемента в виде устройства преобразования движения с передаточной функцией

Цр2 и внесением необходимых изменений в передаточную функцию эквивалентной САУ, а именно все проявления вхождения величины сг в передаточную функцию нужно заменить на величину с + Цр2 • Поэтому если вводимая механическая цепь содержит инерционные элементы, то передаточная функция такой системы будет иметь вид:

а) для системы на рис. 1:

Щ( p) = - = у

c det(C + Bp + (M + L) p2)

(mp2 + c) det(C + Bp2 + (M + L) p2 ) + det N2 ( p)

б) для системы на рис. 2:

W2( p) = x = y

n+1

det(C + Bp + (M + L) p2 ) + П (c; + b,p + Lp2 )

j=1

(mp2 + c) det(C + Bp2 + (M + L) p2 ) + det N2 ( p)

где

L =

( L + L - L

0 0

-L 0 L + 2L -L

0 0

0 0

0 0

L + L - L

N2 ( p) =

0 ï 0

- L L + L

■ y

! 0 ï

C + Bp + (M + L) p2

0 -c

n+l

"n+1

"n+l

Сп+1=Сп+1+Ьп+1Р+Ьп+1Р2-

Рассмотрим, как меняются свойства механических колебательных систем, изображенных на рис. 1 и 2, в зависимости от состава элементов вводимой механической цепи.

Полагая в формулах для определения Щ (р) и Щ (р) р = га, (о> 0, получаем амплитудно-частотные характеристики:

а) для системы на рис. 1:

4(ю) =

cdet(C + Bai - (M + L)a2)

(-Ma2 + c) det(C + Bai - (M + L)a2) + det N2(ia) б) для системы на рис. 2: A (a) =

n+1

c det(C + Bai - (M + L)a2) + ^(c; + b^i - L;a2 )

j=■

(-Ma + c) det(C + Bai - (M + L)a2) + det N2 (ia)

Частотные уравнения для определения режимов динамического гашения имеют вид:

а) для системы на рис. 1:

|cdet(C + Bai - (M + L)a2)\ = 0 ;

б) для системы на рис. 2:

|cdet(C + Bai - (M + L)a2) +

n+1

+ ^(c + bai -Lja2) = 0.

j=i

Значения частот режимов резонанса определяются из уравнения

|(-Ma2 + c) det(C + Bai - (M + L)a2) + det N2(ia)| = 0 Введем ряд обозначений. Пусть

f

C ' =

! 0 ï

C

m ' =

0 cn+1 j cn+1 y

! 0 ï

M

' ^ M

L ' =

0ï

L

0 -L,

'n+1

-L

L

n+1

c

Для системы на рис. 1 справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Пусть

Ь = 0, Ц = 0, г = 1, п +1, тогда механическая колебательная система, изображенная на рис. 1, имеет п частотных режимов динамического гашения а\, ар,..., ар+1, определяемых из уравнения

с ёй(С -Ма2) = 0 ; и п +1 частотных режимов резонанса а1р, ар,..., апр+1, определяемых из уравнения

(-Ма2 + с)ёй(С - Ма2) + ёе N (г'®)|6._0 = 0. (1)

Причем если а1 <ар <... < ар+х, то

а'р < а'г < ар1,г = 1,п.

(2)

матрица М 1 =

— 0.

щ.

.0 0

0 0.

.0 ±

т„

положи-

ёй С2 =

- с

= (с + с2 )(с2 + с) - ср =

Доказательство. Докажем первую часть утверждения. Чтобы убедиться в том, что система, изображенная на рис. 1, имеет п частотных режимов динамического гашения, необходимо показать, что уравнение

ёй(С - М X) = 0,

где Х = а2, Х> 0, имеет п положительных решений. Выполним ряд равносильных преобразований:

ёе [М • (М-С -ХЕ)] = 0,

ёе М • ёй(М-1С -ХЕ) = 0, ёй(М-1С -ХЕ) = 0.

Полученное уравнение имеет положительных решений, если матрица М~1С является положительно определенной. Действительно,

( 1 >

тельно определенная. Докажем по индукции, что матрица С является положительно определенной. Пусть С, ' = 1,п - ведущие главные подматрицы матрицы С.

При г = 1: ёе С = с + с2 > 0, так как с. > 0, ] = 1,п +1.

При г = Р

= с (с2 + с) + с2с3 > 0

Пусть ёе С^ > 0, тогда ёеС = с • с •... • с + с ёеС > 0 для всех г = 1,п .

Определители всех главных подматриц матрицы С положительны, следовательно, матрица С является положительно определенной. Матрица М~1С - положительно определенная, так как произведение двух положительно определенных матриц есть положительно определенная матрица.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что система, изображенная на рис. 1, при

Ь = 0, Ц = 0, г = 1,п +1 имеет п +1 частотных режимов резонанса. Покажем, что уравнение (1) имеет п +1 положительных решений. Перепишем это уравнение иначе:

ёе (С ' - М Х) = 0,

где Х = а2, Х> 0, а матрицы С' и М' определены выше. Данное уравнение равносильно уравнению

ёе (М'-1С' - ЕХ) = 0.

(3)

Положительная определенность матрицы М'~1С' доказывается так же, как это было сделано выше для матрицы М_1С. Значит, уравнение (3) и, следовательно, уравнение (1) имеют п +1 положительное решение.

Докажем вторую часть теоремы. Поскольку матрица

М '-1с ' =

с + с

-с

-сп

0

0

си_1 + с„

'п-1

-с„

т„

с п+1

0

сп+1

с п+1 + с

М

является окаймляющей для матрицы

с

Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение

М _1с =

с1 + сР -ср 0 . .. 0 0

тх

-ср ср + с3 тр -сз . .. 0 0

0 0 0 . с п-1 + с -с

.. тп-1

0 0 0 . .. -с п сп + сп+1

тп

ний для окаймленных матриц имеем выполнение неравенств (2). Утверждение доказано.

с ёе!(С - (М + Ц)Л) = 0,

и п +1 частотных режимов резонанса а>ур,а2р,...,апр+у, определяемых из уравнения

(4)

(5)

(-та2 + с) ёе!(С - (М + Ц)а2 ) +

+ ёе! Ыр(1а>)\ь==0 = 0.

Доказательство. Пусть хотя бы одно Ц Ф 0, г = 1, п, и докажем, что уравнение

ёе!((М + Ц)-1 С -ЛЕ) = 0, (6)

равносильное уравнению (4), имеет п положительных решений. Матрица (М + Ц) С является положительно определенной, так как матрица М + Ц есть симметричная матрица со строгим диагональным преобладанием:

\т + Ц + ц| > |--Ц I,

|тг + Ц + Ц+11 > \-Ц | + \-Ц+11,г = Р,п -1, К + Цп + 4+р| >|-4|,

и элементы ее главной диагонали положительны: К + Ц + Ц+1 > 0, г = 1, п. Следовательно, обратная

матрица (М + Ц )- - положительно определенная матрица. Отсюда следует положительная определенность произведения ( М + Ц) С, учитывая

положительную определенность матрицы С (см. Утверждение 1). Таким образом, уравнение (6), а значит, и равносильное ему уравнение (4) имеют п положительных решений.

ш

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что система, изображенная на рис. 1, при отсутствии в ней сопротивления

(Ь = 0, г = 1, п +1) имеет п +1 частотных режимов резонанса. Покажем, что уравнение (5) имеет п +1 положительных решений. Перепишем это уравнение иначе:

ёе! (С- (М' + Ь')Л) = 0,

Утверждение 2. Пусть Ь = 0, г = 1,п +1,

тогда механическая колебательная система, изображенная на рис. 1, имеет п частотных

режимов динамического гашения а1,®2,...,^^1, определяемых из уравнения

где Л = а2, Л> 0. Данное уравнение равносильно уравнению

ёе! ( (М' + Ц')-1С'-ЕЛ) = 0.

Положительная определенность матрицы (М ' + Ц')-1С ' доказывается так же, как это было

сделано выше для матрицы (М + Ц) С. Значит,

последнее уравнение и равносильное ему уравнение (5) имеют п +1 положительных решений. Утверждение доказано.

Из Утверждений 1 и 2 следует, что введение в механическую систему, изображенную на рис. 1, дополнительных инерционных элементов при отсутствии в ней демпфирующих элементов не меняет числа частот динамического гашения колебаний и числа частот резонанса.

Следующее утверждение определяет динамические свойства системы, представленной на рис. 2.

Утверждение 3. Механическая колебательная система, изображенная на рис. 2, имеет:

1) при Ь = 0 и Ц = 0, г = 1,п +1, п режимов динамического гашения, определяемых из уравнения

сёе!(С-Ма2) + с • с2 •... • с„+1 = 0, (7)

и п +1 режимов резонанса, определяемых из уравнения

(-М®2 + с)ёе<С - Ма2) + ёе! N (г®)\Ьг0 = 0, (8)

при условии, что все решения уравнений (8) действительны:

2) при Ь = 0 и Ц Ф 0, г = 1,п +1, п +1 режимов динамического гашения, определяемых из уравнения

п+1

с ёе1(С - (М + Ц)а2) + ^(с} - Ц®а2) = 0, (9)

]=1

и п +1 режимов резонанса, определяемых из уравнения

(-Ма2 + с) ёе*(С - (М + Ь)а2) +

+ ёе* Nр (га) | ^ =0 = 0,

(10)

при условии, что все решения уравнений (10) действительны. Причем в этом случае

Нш А2 (а) =

АЦр..Цп+1 ёе*(Ц '+М')

Доказательство. 1) Уравнение (8) равносильно уравнению

с ёе* М ёе*(М _1С - ЕХ) + с • с2 •... • си+1 = 0, (11)

где Х = а2. Поскольку ёе1*(М_1С - ЕХ) есть характеристический многочлен положительно определенной матрицы М~1С (см. Утверждение 1) вида

(-Х)" + аЦ1 +... + ап _1(-Х)1 + ап, (12)

где а = *г(М_1С) и ап = ёе1*(М_1С), то свободный коэффициент многочлена, стоящего в левой части уравнения (11), будет равен с ёе*С + с^с2...си+1. Так как ёе* С > 0 в силу положительной определенности матрицы С (см. Утверждение 1), то с ёе*С + сс...с„+1 > 0. Отсюда следует, что добавление к многочлену с ёе*Мёе1*(М_1С - ЕХ) слагаемого сс...с„+1 не нарушает числа перемен знака в ряду его коэффициентов. Число перемен знака равно п , и нет ни одного сохранения знака. Следовательно, п положительных решений будет иметь уравнение (7), при условии, что все они действительны.

Утверждение о числе режимов резонанса доказывается так же, как в Утверждении 1.

2) Уравнение (9) равносильно уравнению с ёе*(М + Ц) ёе*((М + Ц)-1 С - ЕХ) +

(13)

+П (с; - ЦХ) = 0,

3 =1

где Л = а2. Поскольку ёеЩМ + Ц)1С - ЕХ) есть характеристический многочлен положительно определенной матрицы (М + Ц)-1 С (см. Утверждение 2) вида (12), то знаки его коэффициентов чередуются. Второе слагаемое в левой части (13)

п+1

П (с _ Ц Х) представляет собой многочлен сте-

3=1

пени п +1, знаки коэффициентов которого также чередуются. При этом у суммируемых многочленов коэффициенты при одинаковых степенях Х имеют одни и те же знаки. Таким образом,

многочлен, стоящий в левой части равенства (13), имеет п +1 перемену знака в ряду своих коэффициентов и, следовательно, уравнение (9) имеет п +1 положительных решений при условии, что все его решения действительны.

Утверждение о числе режимов резонанса доказывается так же, как в Утверждении 2.

Далее,

Нш А2(а) =

а^вд

: НШ

а^вд

= Нш

а^вд

= Нш

а^вд

п+1

сёе^С - (М + Ц)т2) + П(с; -Ца2)

3=1

(-Ма2 + с) ёе^С - (М + Ц)а2) + ёеN{т)\ъ

ае^с" - ь'а2)

ёе*(С' - (М' + V )а2)

• 11Ш

а^вд

&е\(М' + Ц') Поскольку

ёе*((Ц '' )-1С" - Ею2)

С" =

ёе*((М' + Г)-1 С - Ею2)

! гЛ

С

. 0 -с,

п+1 |

Ц =

Ц + М

0

| т Л

0

, 0

----------у--

0 -4+^ 0 У

- невырожденные матрицы, причем ёе Ц" = ЦЦ . .4+1, кроме того, ае*((Ц " )-1 С" - Еа2) и ёе1*((М ' + Ц')-1 С' - Еа>2) - многочлены степени 2п + 2 и коэффициенты при их старших степенях равны (-1)п+1, то

11ш А (а) =

а^вд

11ш а^вд г • 11ш а^вд ёеЩ Ц'")-1 С " -

ёе^М ' + ёеЩМ ' + Ц "Г1 С '

44".4+1 (- 1)п+1 А4...4+1

ёе^М ' + Ц') (- 1)п+1 ёе^М ' + Ц')

а^вд

и

Системный анализ. Математика. Механика и машиностроение

в силу положительной определенности матрицы М' + Ц' (см. Утверждение 1). Утверждение доказано.

Из Утверждения 3 следует, что если добавить в механическую цепь, входящую в состав системы, изображенной на рис. 2, и состоящую из п +1 упругих элементов и п масс, устройства преобразования движения с передаточными функциями Цр2,Цр2,...,Ьп+1р2, то число режимов динамического гашения увеличится на один. Кроме того, при неограниченном увеличении частоты внешнего возмущения а ^ +<ю амплитудно-частотная характеристика системы А (а) не будет

Ц Цр..Цп+1 . это

превосходить значения, равного

свойство называется «эффектом запирания» системы.

Например, для системы, содержащей механическую цепь, состоящую из массы т , двух

пружин с коэффициентами жесткости с , с и двух устройств преобразования движения с передаточными функциями Црр, Црр, имеем:

М = т, С = с + с2, Ц = Ц + Ь2,

M' =

L' =

m о "

о M

, с' =

/ , л

c + c -c

-с,

l + l2 - l2

L Lj

N2(ia) =

Л

c + ^ - (m + L + L)a -С2+ La

2 л

-с + L С

c2 - l2 a/

Уравнение для определения двух режимов динамического гашения выписывается согласно формуле (9):

Л

с(с + с2 - (т + Ц + Ц )а ) +

+(с - Ца2)(с2 - Ь2а1) = 0,

а для определения двух режимов резонанса согласно формуле (10):

(-Ма2 + с)(с + с2 - (т + Ц + Ц )а2) +

+ (с -(т + Ц)а2)(с2 -Ца2) = 0.

Кроме того,

lim A2(a) =

L1L2

det( M' + L' )

L1L2

(m + L + l )(M+L ) - L2

= k.

Амплитудно-частотная характеристика данной системы представлена на рис. 3.

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика системы на рис. 2 при n = 1 и b = b2 = 0

Таким образом, введение дополнительных связей приводит к появлению в системе двух режимов динамического гашения, кроме того, при со^-ю значения амплитудно-частотной характеристики не будут превышать k . При исследованиях на предварительном этапе силы трения не рассматривались. Это не означает, что их влияние на динамические характеристики мало. Учет сил трения приводит к снижению остроты резонансных явлений, к уменьшению значений частот резонанса, к исчезновению эффектов полного гашения колебаний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Eliseev S.V., Lukyanov A.V., Reznik Yu.N., Khomenko A.P. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties. Irkutsk : Irkutsk State University, 2006. 315 p.

2. Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хоменко А. П., Засядко А. А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты технических объектов. Иркутск : Изд-во Иркутск. гос. унта, 2008. 523 с.

3. Елисеев С. В., Банина Н. В., Ахмадеева А. А., Гозбенко В. Е. Математические модели и анализ динамических свойств механических систем. Иркутск: Изд-во Иркутского гос. ун-та путей сообщения, 2009. 205 с. Деп. ВИНИТИ.

4. Банина Н. В. Об учете структуры параллельной системы дополнительных связей в математических моделях задач виброзащиты и виброизоляции // Вестник ИрГТУ. Иркутск : ИрГТУ, 2004. №1(17). С. 92-99.

со^ю