Защита от вибраций для объекта с двумя степенями свободы. Динамические реакции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621:534.834;886.6

А. П. Хоменко, С. В. Елисеев

ЗАЩИТА ОТ ВИБРАЦИЙ ДЛЯ ОБЪЕКТА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ.

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ

Обсуждается метод определения динамических реакций в механических колебательных системах с твердым телом с двумя степенями свободы. В основу подхода положены представления о возможности построения структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. Показано, что путем преобразований структурной схемы может быть выделена цепь обратной связи относительно рассматриваемого объекта, которая и представляет собой динамическую реакцию. Проведен сравнительный анализ на основе нескольких подходов в получении результатов. Показаны особенности метода при определении динамических реакций в точках твердого тела, контактирующих супругами элементами системы.

В динамике транспортных систем часто используются математические модели колебательных систем, учитывающие инерционные свойства твердого тела как элемента системы с двумя степенями свободы [1]. В таких системах описание движения связано с введением нескольких систем координат. Каждая система координат отражает особенности динамических взаимодействий элементов. Структурные интерпретации виброзащитных систем с объектами защиты в виде твердых тел рассмотрены, в частности, в работах [2 - 4]. Структурные подходы в исследовании динамики систем с твердыми телами позволяют отметить существенные особенности, привносимые рычажными связями в формирование динамического состояния объекта защиты и взаимодействие между парциальными системами. Передаточные функции межпарциальных связей могут содержать типовые элементы (или звенья) дифференцирования 2-го порядка [5]. При всей изученности динамических процессов упомянутых систем практически не освещались вопросы об определении динамических реакций, возникающих в местах присоединения к объекту защиты элементов виброзащитной системы, в том числе элементов из расширенного набора звеньев, а также в точках контакта элементов с опорными поверхностями.

В предлагаемой статье рассматриваются методологические основы построения математических моделей виброзащитных систем с твердыми телами, используемых для определения динамических реакций.

Рассматриваемая система (рисунок 1, а, б) состоит из твердого тела массой М, имеющего момент инерции относительно центра тяжести I и опирающегося на упругие элементы с жесткостями к1 и к2. Система совершает малые колебания относительно положения статического равновесия, силы сопротивления считаются малыми. Внешние возмущения представлены гармоническими силами Q1 и Q2, которые приложены по местам крепления упругих элементов, определяемых координатами у1, у2, а также кинематическими возмущениями от основания г1 и г2. Положение центра тяжести определяется расстояниями 11 и 12. Точки контактов упругих элементов обозначены соответственно для к1 - через А1 и В1, а для к2 - через А2 и В2. Координаты центра тяжести и поворота твердого тела обозначены у и ф.

д

т.В;

М, I

А цТ^ ^ 12

У

■т.В,

1

т.Л;

т.Л,

(1е2 - МаЪ)р2

1 - п- {1с1 - МаЪ)рг

(Ма2 + 1с2) р2 + к V

1

(МЪг + 1сг) х х рг + к2

У 2

к

а б

Рисунок 1 - Расчетная (а) и структурная (б) схемы виброзащитной системы с объектом защиты в виде твердого тела

2

к

г

2

74 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

Полагая, что кинетическая и потенциальная энергия системы может быть записана в виде

1 , 1

т = -му+-1ф-,

П = 1 к1 (Ух - )2 + 1 к2 (^2 - )2.

2

2

(1) (2)

запишем дифференциальные уравнения движения в системах координат у1, у2 (при

^ ^ 0, ^ ^ 0, ^ = 0, = 0 ), используя соотношения у = аух + Ъу2, ф = с (у 2 - у ):

д (Ма2 + 1с1) + кхух + у2 (МаЬ - /с2} = А',г,; У2 (МЪ2 + 1с2 ) + к2У2 + У (МаЪ - 1с2 ) = к2^2,

(3)

(4)

где а = 1 ; Ъ = —1—; с = —1—

д 11 н; /1ч К +12

Расчетная и структурная схемы системы представлены соответственно на рисунке 1, а, б. Передаточные функции системы при входном воздействии 21{() (гармоническая функция), при =0, ^ = 0,=0 по координатаму1 и у2 могут быть записаны в виде:

У Г(МЪ2 + ¡с2) р2 + к2

Ъ(р) =-Уь7

к121

Щр)=

_ У2 _

к1

А

(¡с2 -МаЪ) р2

А

где

А =[(ма2 + ¡с2)р2 + к]х[(мЪ2 + ¡с2)р2 + к2]-[(¡с2 -МаЪ)р2] -

(5)

(6)

(7)

характеристическое уравнение. Передаточная функция, в общем случае, содержит достаточную информацию для оценки параметров динамического состояния. Вопрос состоит в том, каким образом может быть использован аппарат структурных интерпретаций, основанных на преобразованиях Лапласа, для определения динамических реакций в виброзащитной системе при ее взаимодействии с окружением. Отметим, что при получении передаточных функций (5), (6) использованы преобразования Лапласа ( р = ] ю - комплексная переменная) [5].

Задача исследования заключается в разработке метода определения динамических реакций, возникающих в точках взаимодействия с объектом защиты (т. В1, В2) упругих элементов, а также между упругими элементами и опорными поверхностями (т. А1 и А2).

Преобразуем передаточную функцию (5) к виду:

Щ(р) =

У1

к1

1

ГЛ, 2 х 2 , 1 [(¡с -МаЪ)р2]

[(Ма2 + ¡с2 )р2 + к1 ]- т^-;; J

^ ' и (МЪ2 + ¡с2 )р2 + к2

(8)

Используя выражение (8), можно построить структурную схему, как показано на рисунке 2, а, которая затем преобразуется в схему, представленную на рисунке 2, б.

Структурная схема на рисунке 2, б содержит обратную отрицательную связь, что в физическом смысле можно рассматривать как некоторую пружину, называемую в работе [6] обобщенной.

№ 3(15) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 75

2013

а б

Рисунок 2 - Структурная схема, соответствующая расчетной схеме на рисунке 1, с положительной (а) и отрицательной (б) обратной связью

Приведенная жесткость к обобщенной пружины может быть найдена с учетом уравнения (8) в виде:

k [(Mb2 + Ic2 ) p 2 + к2 ] - [(Ic2 - Mab ) p2 ]2

^(p}= (M^ • (j

Из числителя формулы (9) можно записать частотное уравнение:

- p4 (ic2 - Mab) + к (Mb2 + Ic2 )p2 + кк = 0 (10)

или

- p4 + p2 *■ M' +Ic[2 ) + к к2 ц = 0. (10')

(ic2 - Mab) (Ic2 - Mab)

Введем p = j ю, тогда выражение (10') преобразуется к виду:

.2 , г„2

,2 )2 + kM 2 +Ic' )Ю2 к1к2 = 0, (11) (Ic2 - Mab) (Ic2 - Mabj

откуда

2(Ic2 - Mab)2 ^

2 _ kMbl±Z£!) + + k2 (Mb2 + Ic2 )2 + 4(Ic2 - Mab) kk

■ ,2 -'-2

4(Ic2 - Mab)

(12)

Из решения уравнения (11) следует, что числитель формулы (9) будет иметь как минимум одну частоту, на которой к = 0. Это значит, что звено с передаточной функцией 1

—-2\ 2 (см. рисунок 2, а) может образовать цепь из последовательно соединенных

(Ma2 + Ic2)

+ 1с )р

1

элементов к] и 7---7Т~Г, что формирует передаточную функцию вида:

{Ма + 1с )р

№:(р) = Ь = М2 +'1с2 )р2- ^

отражающую на частоте, определяемой по формуле (12), движение частного вида по коорди-

76 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

нате у . Если смещение точки вх принять в виде у = ^ (р)2х, то динамическая реакция в точке А определится по формуле:

(М2 + ¡с2 )р2 + к2]к • кх2х

Яа(Р)=■

А

(13)

Упругий элемент к (пружина) в данном случае может рассматриваться как виброзащитное устройство (ВЗУ), не содержащее инерционных элементов (по определению). Отметим, что в данной схеме кинематическое воздействие ^ с учетом коэффициента жесткости пружины к образует внешнее воздействие, эквивалентное силовому возмущению, равному

к 2 х , т. е. при определенных условиях кинематическое возмущение из т. А1 может быть перемещено в т. В1 с учетом параметра жесткости к. Такая постановка вопроса получила, в частности, достаточно детальное отражение в работе [5]. В свою очередь, зная Я^ и 2Х, можно ввести в рассмотрение передаточную функцию при входном сигнале в виде «силового фактора» кх2х и выходном сигнале в виде реакции Я^ , тогда

^ (р) = -А- = к1 2 1

ЯА (мъ2 + 1с2 )р2 + к 2 к

(14)

Из выражения (14) следует, что динамическая реакция в т. А1 дважды будет достигать максимума, поскольку из характеристического уравнения А = 0 (7) можно найти две частоты резонанса. Кроме того, при частоте динамического гашения колебаний по координате у

к

(МЪ2 + ¡с2)'

(15)

возможен режим, при котором динамическая реакция будет равна нулю. При этом стати -ческий компонент общей реакции имеет положительно значение. Такой режим называется режимом динамического гашения, т. е. равенство динамической реакции нулю совпадает с режимом динамического гашения, при котором координата движения у становится неподвижной.

Если рассмотреть структурную схему на рисунке 2, б, то режим динамического гашения соответствует увеличению значения обратной отрицательной связи до Так как обратная связь (см. рисунок 2, б) соответствует в физическом плане обобщенной пружине, то ее приведенная жесткость (ее можно называть и динамической жесткостью [1, 5]) определится выражением (9).

При к ^да формируется режим, который соответствует частоте из уравнения (15), тогда у ^ о. Это вполне согласуется с правилами преобразования соединений звеньев с использованием обратной связи.

Поскольку найдено значение кпр^ через выражение (9), то можно определить реакцию в т. В1:

Я = кпр, у = к

[(МЪ2 + ¡с2) р2

пр1

21к1 =

к [(мъ2 + ¡с2) р2 + к ] - (¡с2 -МаЪ) р4}

. (16)

Используя выражение (16), можно определить передаточную функцию при входной силе

о

№ 3(15) ЛЛИ О ИЗВЕСТИЯ Транссиба 77

=2013 ■

kz и выходном сигнале в виде динамической реакции R :

RBl _ k [M2 + Ic2)p2 + k2 }-(lc2 - Mab)2 p4

A

WBi(p) = = ■ k1 z1

При переходе к координате y2 воспользуемся передаточной функцией (6) и найдем, что

p2 (ic2 - Mab)

W(p) = = k1 z

^Ma^+Ic^jp^+K

[(мь2+ic2)p2+k2i-fc;-Mabj2p4.

LK ' 21 Ma + Ic )p + k

(18)

Структурная схема системы по передаточной функции (18) приведена на рисунке 3, а, б. Схемы отличаются структурами, точнее, отображением пружины к2 в тех или иных цепях ( к2 может быть помещен в прямой или обратной цепи связи).

Используя структурную схему на рисунке 3, б, определим приведенную жесткость кпр упругого элемента (или обобщенной пружины):

кПр2 (p ) =

k [(Ma2 + Ic2) p2 + k ] - [ сIc2 - Mab)2 ], (Ma2 + Ic2) p2 + k

(19)

(Ic2 - Mab) p4

(Ma2 + Ic2 )p2 + k

i+)

(Mb2 + Ic2 )p2 + k2

p2(Ic2 -Mab) (Ma2 + Ic2 )p2 + k1

kz.

1z1

(Ic 2 - Mab )2 p 4

(Ma 2 + Ic 2 )p 2 + k

о—

1 (Mb2 + Ic2 )p2 + k2 I

♦

p 2 (Ic 2 - Mab ) k]Z

(Ma 2 + Ic 2 )p 2 + k,

б

Рисунок 3 - Структурные схемы, соответствующие расчетной схеме на рисунке 1, с положительной (а) и отрицательной (б) обратной связью

Приведенная жесткость достигает больших значений на частоте

к

с2 =-к--(20)

Сдин2 Ма2 + ¡с2' ( )

что обеспечивает режим динамического гашения и у2 ^ о. Вместе с тем числитель формулы (19) может рассматриваться как частотное уравнение

- р4 (¡с2 -МаЬ)2 + к (Ма2 + ¡с2 )р2 + кхк2 = 0, корни которого при подстановке р = ] ю принимают вид:

к (ма2+¡с2)

2 (¡с2 - МаЬ )2 2 (/с2 - МаЬ )2

2

Щ,2 = ■

(21)

(22)

1

а

78 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

Один из корней уравнения (21), определяемый из (22), приводит кпр^ к нулевому значению. При этом система в целом становится по отношению к внешнему воздействию цепью, состоящей из последовательно соединенных звеньев, а передаточная функция такой цепи имеет вид:

р )Посл = тЬ =

р2 (¡с2 -МаЬ)

к г Ма2 + 1е2) р2 + к ](МЬ2 + 1с2) р2'

(23)

что отражает частные случаи динамических взаимодействий в системе, представленной на рисунке 3, б. Что касается входного силового воздействия в системе, структурная схема которого приведена на рисунке 3, б, то можно дать определение эквивалентной силы в виде:

О = кг,

г^экв 1 1

р2 (1с2 - МаЬ )2 (Ма2 + 1с2) р2 + к

(24)

Отметим, что силовое возмущение 0ЭКВ, будучи приложенным к координате у2, (т. е. к элементу с массой (мЬ2 + 1с2)), позволяет получать частотные характеристики, что и сила к^г, приложенная к элементу с массой (Ма2 + 1с2) (по координате У1).

Динамическая реакция в точке А2 (контакт упругого элемента к2 с опорной поверхностью) определяется по выражению:

(р) = к2У2 = к2^2(ркг)21 =

к2 (¡с2 -МаЬ)р2

Л„

(25)

При этом передаточная функция при входном воздействии и выходном принимает вид:

ШК (р) = =Ль =

ЯЛ2 къ

(¡с2 - МаЬ) р2к2

Л

(26)

В свою очередь динамическая реакция Ящ2, приложенная к объекту защиты в точке В2,

определяется так:

_ (к Г(Ма2 + ¡с2) р2 + к ] - (¡с2 - МаЬ)2 р4 ) х (¡с2 - МаЬ ) р2к1г1

Ящ = кпРгУ2 = ^-Г/Л , .-. '-; (27)

[(Ма2 + ¡с2) р2 + к ] Л

4 =

к2 (¡с2 -МаЬ)р2 (¡с2 -МаЬ)2 р4(¡с2 -МаЬ)р7

к\ 2\ -

[(Ма2 + ¡с 2)р2 + к ]Л

Найдем передаточную функцию при «входе кг и выходе ЯБ

Я к Г(Ма2 + ¡с2) р2 + к ]-(¡с2 - МаЬ )2 р4 (р) = = --^--

КБг Г) Л

°2эке Л

После ряда преобразований получим:

Я

(р)=к^ кг

(т2 [(Ма2 + ¡с2 )р2 + к ]-(/с2 - МаЬ)2 р4 }х (¡с2 - МаЬ)р

Л [(Ма2 + ¡с2 )р2 + к ]

(28)

(29)

№ 3(15) 2013

ИЗВЕСТИЯ Транссиба

о

2

2

Интересным обстоятельством в выражении (29') является то, что при парциальной соб-

динамическая реакция Яв принимает бесконечно боль-

к

о. 2

ственной частоте со =

парц Ма1 + С

шое значение, а поскольку Яв является одновременно и обратной связью, то такой режим соответствует динамическому гашению колебаний по координате у2.

При определении передаточной функции использовалась схема на рисунке 3, б и соотношения между силовыми факторами, определяемые выражением (24).

Динамические реакции в точках А] и А2 соответственно определяются выражениями (13) и (25):

Ял = -1 М2 + /с2 )р2 + к2 ]• к1

ЯА = к2 (/с2 - МаЬ)р2к*1, 2 А 7

(30)

(31)

из которых следует, что при внешнем кинематическом воздействии г 1 реакции на опорной поверхности не равны между собой и разнесены на расстоянии (^ + /2). Это позволяет отметить такое обстоятельство, как формирование по отношению к опорной поверхности вполне определенного момента сил, который может заставить опорную поверхность совершать воз-вратно-качательные движения.

В свою очередь в точках объекта защиты В1 и В2 также действуют динамические реакции

Яв1 и Яв2, определяемые соответственно выражениями (16) и (28):

А

к1

4

[(МЬ2 + /с2) -( /с2- МаЬ )2 р

Р

2

к -

^ =

к2к (/с2 - МаЬ)р2 _ (1е2-МаЬ[^^^(1с2-МаЬ)р

[(Ма2 + /с2 )р2 + £ ]д

к1

[(/с2 - МаЬ)р2 ]>

.4

_ (/с2 - МаЬ )2 р1

2

(32)

(33)

Сравнение Яв и ^^ показывает, что динамические реакции, возникающие при действии силы к1г1, вызывают колебательное движение твердого тела, которое является суммой двух движений: поступательного движения, связанного с движением центра масс, и вращательного движения твердого тела вокруг центра масс. При этом на твердое тело будет действовать упругий момент сил, что может быть отдельно рассмотрено в системе координат у

и ф. Вместе с тем знание динамических реакций Яв^ и Яв дает возможность определить силовые возмущения, возникающие на объекте защиты в виде твердого тела.

Расчетную схему на рисунке 1, а, представляющую собой твердое тело с двумя степенями свободы, можно, в соответствии с уравнениями (3), (4), изобразить как систему с двумя

степенями свободы обычного вида. При этом полагается, что объект защиты состоит из двух

2 2 2 2 „ материальных точек с массами (Ма + 1с ) и (МЬ + 1с ), связанными между собой невесомым

жестким стержнем длиной (/1 + /2). Расчетная схема с учетом обсуждаемых особенностей и

выражений (3), (4) имеет вид, показанный на рисунке 4.

2

о

о

80 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

z-

Ma2 + Ic2

1

>

У2

т. A

-—

Рисунок 4 - Расчетная схема исходной системы, приведенной на рисунке 1, а в виде двух материальных точек, соединенных невесомым стержнем

С учетом того, что механическая система может рассматриваться состоящей из нескольких типовых элементов, свойства каждого из которых могут описываться передаточными функциями усилительного звена, а также дифференцирующих звеньев первого и второго порядков, как это предлагается в работе [6], расчетную схему можно преобразовать к виду, представленному на рисунке 5.

Для схемы на рисунке 5 массоинерционные элементы Mab и Ic2 обладают кинетической энергией в относительном движении(у2 - у\) и могут рассматриваться как некоторые

виртуальные типовые звенья с передаточными функциями дифференцирующего звена второго порядка. В данной схеме эти звенья физически не реализуются как отдельные элементы, но выполняют свои определенные функции. Последнее можно рассматривать как потенциальную возможность создания соответствующих математических и физических эквивалентных моделей колебательных систем с твердым телом. На рисунке 5 показано, что расчетная схема на рисунке 1, а может быть трансформирована в цепную систему с двумя степенями свободы (координаты yi и У2) массоинерционными элементами Ma и

Mb, где a = ■

U

I

Рисунок 5 - Расчетная схема, соответствующая схеме на рисунке 4, с введенными условностями обозначения типовых звеньев структурной теории

(Jc2)

, b = —1— . При этом звенья (-Mab) и

А + ^2 А + 12

являются такими же звеньями, выполняющими функции соединения элементов системы, как и пружины к1 и к2.

Если составить выражения для кинетической и потенциальной энергии, то обычным путем, как и для расчетной схемы на рисунке 1, а, можно составить уравнения движения и структурные схемы (рисунок 6, а, б).

При этом структурная схема на рисунке 6, а соответствует расчетной схеме, представленной на рисунке 5, где массоинерционные элементы обозначены через Map2 и Mbp2. Что касается структурной схемы на рисунке 6, б, то она отличается от схемы на рисунке 6, а тем, что вместо массоинерционного звена Map2 используются звенья (Ma2 + +Mab)p2 и (Mb2 + Mab)p2.

В обеих структурных схемах характеристическое уравнение имеет один и тот же вид, соответствующий выражению (7):

A0 = (Map2 + Jc2p2 -Mabp2 + k) * (Mbp2 + Jc2p2 -Mabp2 + k2) - [Jc2 -Mab)p2 ]2 = = [(JC2 -Mab)p2]2 = [((Ma2p2 + Jc2)p2 + kx]x[((Mb2 + Jc2)p2 + k2]-[(jc2 -Mab)p2 J2.

2

№ 3(15) ЛЛ А ИЗВЕСТИЯ Транссиба 81

=2013 ■

Интерпретации характеристического уравнения нашли применение в построении структурных схем на рисунке 3, а, б, где преобразование структурных схем используется для выделения цепей обратных связей, определяющих динамические реакции.

ki

У

1

Map2 + (Jc2 - Mab) p2 + k1

М

k

Map2 + (Jc2 - Mab)p2 + k1

-Q-

У

(Jc 2 - Mab)p2

(Jc 2 - Mab)p 2

а

(Jc 2 - Mab)p 2

(Jc 2 - Mab)p2

—o

Mbp2 + (Jc2 - Mab) p2 + k2

(Mb2 p 2 + Jc 2) p 2 + k 2

б

Рисунок 6 - Структурные схемы, соответствующие эквивалентной расчетной схеме на рисунке 5, массоинерционный элемент имеет вид Map2 (а) и (Map+ Map)2 (б)

Используя технологию определения приведенных жесткостей обобщенных пружин (как комплексных сопротивлений в теории цепей), можно записать последовательность преобразований, полагая, что схема построения имеет вид, показанный на рисунке 7, а, б. При этом кинематическое воздействие z приведено к эквивалентному силовому фактору (см. рисунок 7, б), имеющему вид:

p2( Jc2 - Mab)

0экв = ki Z1

(Ma2 + Jc2) p2 + k

(35)

Определение Я^ и Я^ не вызывает особых затруднений и производится на основе использования формул, которые могут быть представлены выражениями:

— , ,, Mbp2 + k9

Rai = У А = ki Zi p 2-

A

RA _ У2k2 _ k2k1 Z1

(/c2 - Mb)/

(36)

(37)

Что касается динамической реакции в т. щ, то она может быть обозначена ЯМа, поскольку связана с эквивалентным представлением расчетной схемы на рисунке 7, а.

Z

1

Z

1

1

2

0

82 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

к1г1

Ма У

(¡с2 - МаЬ)

МЬ

л

& эк

и

МЬ

(¡с2 - МаЬ)

У2

У 2

т. А

к2 т.Л2

Ма

У1

т.А

Ч:

'■к121 Щ к1

т.А

а б

Рисунок 7 - Принципиальные схемы для определения ЯА1, ЯМа (а) и ЯА2, Ямь (б)

^Ма

(МЬр2 + к2 + /с2 р2 - /с2 р2 + МаЬр2 -

1 МЬр2 ;(/с2 - МаЬ)р2 + к

- МаЬр2) • (/с2 - МаЬ)р

У =

(38)

{к- ^ -МаЬ)р2 -¿22;МЬР;к|[У"

что совпадает с определением к по структурной схеме на рисунке 2, б при условии

1 _1_

(Ма2 + /с2)р2 "~МаГ+МаЬ-МаЬ+7с2)р2

__ 1_

Мар2 + (./с2 - МаЬ)р2

( 38')

Если из уравнения (38') часть знаменателя (/с 2 - МаЬ)р2 перенести в цепь обратной связи на рисунке 2, б, то выражение (38) может быть получено из структурной схемы на рисунке 2, б. Таким образом, упрощенный подход, основанный на использовании расчетной схемы на рисунке 7, а, дает такой же результат.

В свою очередь при определении динамической реакции ямь может быть использована расчетная схема на рисунке 7, б:

КМЬ =\к2

что приводится аналогично к виду:

(Мар2 + к ) (¡с2 -МаЬ) р2 { _ Мар2 + к + ¡с2 -МаЬ ' У2'

(39)

к +(Лс2 - МаЬ ) р2

(/с2 - МаЬ ) р2

[(Ма2 + /с2) р2 + к

У-

(40)

Таким образом, динамические реакции в системах с твердым телом могут быть найдены на основании общей методики построения приведенных жесткостей с последующим использованием координат перемещения. Структурные интерпретации расчетных схем механических колебательных систем, как было показано выше, могут быть использованы для определения динамических реакций, которые «привязаны» к определенным точкам (т. А или т. В).

к

2

г.

1

№.?!15) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 83

Однако структурные схемы могут быть развернуты по отношению к различным массоинер-ционным элементам. В частности, можно отметить, что выбор массоинерционного элемента предопределяется значением динамической реакции. В этом отношении структурные схемы эквивалентных систем (см. рисунки 6, а, б и 7, б) показательны в том смысле, что динамические реакции могут быть найдены на виртуальных элементах, а это может оказаться неудобным для конкретных расчетов, хотя эквивалентные расчетные схемы вполне адекватны по математическим моделям. Поэтому при определении динамических реакций в координатах У1 и y2, связанных с точками крепления упругих элементов (это относится и к набору типовых элементов), предпочтение должно быть отдано вариантам отображения свойств массои-нерционных элементов, учитывающих сложный характер движения твердого тела.

На основе проведенных исследований можно сделать ряд выводов.

1. Динамические реакции в механической колебательной системе, содержащей твердое тело, могут определяться в системе координат y и y , связанных с представлениями о возможностях описания движения твердого тела как системы, состоящей из двух материальных точек с массами (Ma2 + Ic2) и (Mb2 + Ic2), соединенных невесомым жестким стержнем длиной

li + h-

2. Метод определения динамических реакций от действия гармонических внешних воздействий основан на определении параметров обратной связи (отрицательной или положительной), сформированной таким образом, чтобы в прямой цепи структурной схемы было

выделено звено соответственно с передаточными функциями _1_ и _1 .

(Mb2 + Ic2 )p2 (Ma2 + Ic2 )p2

3. Динамические реакции в точках контакта с опорными поверхностями, а также динамические реакции, прикладываемые к материальным точкам с виртуальными массами (Ma2 + Ic2) и (Mb2 + Ic2), отличаются друг от друга.

4. Определение реакций RBi и RBi, т. е. динамических реакций, приложенных к твердому телу в точках крепления упругих элементов к и к объекту защиты, позволяет оценить возможность движения твердого тела и возникающие при этом силовые факторы, которые могут быть приведены к центру масс.

5. Аналогично определение реакций Ra и Ra2 в точках крепления упругих элементов к и к с опорной поверхностью позволяют определить динамические усилия, передаваемые на основание, которые также могут быть приведены к некоторой силе и моменту сил относительно выбранной точки.

6. Предлагаемый метод позволяет механическую колебательную систему с твердым телом представить эквивалентной в динамическом отношении системой из двух точечных масс Ma и Mb , совершающих движение в структуре цепного типа. Особенностью такой системы является то обстоятельство, что упомянутые приведенные звенья соединяются между собой двумя типовыми элементами Ic2 и — Mab. Эти элементы характеризуются кинетиче-

i.

ской энергией в относительном движении -

У 2 — У I. Разные знаки перед Ic2 и — Mab го-

V /

ворят о том, что создаваемые ими силы направлены в противоположные стороны. В этом случае роль упомянутых элементов по существу соответствует действию некоторых специфичных пружин.

7. Используя схемы эквивалентного приведения системы с твердым телом к системам цепного типа с материальными точками, можно также получить выражения для определения динамических реакций.

8. Предлагаемые исследования позволяют предположить, что в механических колебательных системах помимо обычных массоинерционных, упругих и демпфирующих элементов физически существуют (и могут быть реализованы в конкретных конструктивных формах) типовые элементарные звенья с передаточными функциями звена дифференцирования второго порядка (при этом передаточные функции могут иметь разные знаки).

84 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

Исследования проведены по гранту в рамках федеральной целевой программы «Научные и педагогические кадры инновационной России» на 2012 - 2013 гг. (мероприятие 1.3.2 -естественные науки) № 14.132.21.1362.

Список литературы

1. Фролов, К. В. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 6. Защита машин и оборудования от вибрации [Текст] / К. В. Фролов. - М.: Машиностроение, 1986. - 457 с.

2. Елисеев, С. В. Изменение динамических свойств механических колебательных систем при выделении сочленений звеньев [Текст] / С. В. Елисеев, С. В. Белокобыльский, П. А. Лонцих // Наука и образование: электронное научное издание. - 2012. - № 4.

3. Рычажные связи в механических цепях. Динамические аспекты. [Текст] / С. В. Белокобыльский, С. В. Елисеев и др. // Системы. Методы. Технологии / Братский гос. ун-т. -Братск, 2012. - № 2. - С. 7 - 16.

4. Хоменко, А. П. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем [Текст] / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев, Ю. В. Ермошенко // Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2012. - 274 с.

5. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник и др. // Иркутский гос. ун-т. - Иркутск, 2008. - 523 с.

6. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем [Текст] / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. - Новосибирск: Наука. 2011. - 394 с.

УДК 620.193.75

Ю. В. Демин, Г. В. Иванов

АНАЛИЗ КОРРОЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ИЗМЕНЕНИЯХ В ЗАЗЕМЛЯЮЩЕМ УСТРОЙСТВЕ ТЯГОВЫХ ПОДСТАНЦИЙ

Рассмотрены коррозионные процессы при различных конструктивных изменениях заземляющей системы тяговой подстанции: строительство новых кабельных линий, расширение территории подстанции и т.д. Проведен расчет коррозионных процессов заземляющей системы, состоящей из трех электродов: сталь в бетоне, металлическая сетка в грунте, стальной вертикальный электрод в грунте. Представлены результаты расчетов, выполнен анализ коррозионных процессов при различных условиях.

По условиям электробезопасности все электросетевые конструкции (силовые кабели, железобетонные опоры и фундаменты, железобетонные стойки под оборудование на подстанциях, трубопроводы, искусственные заземлители и др.) должны быть заземлены, они в итоге образуют заземляющие системы (ЗС).

В процессе эксплуатации электроустановок часто наблюдаются изменения их заземляющих систем, обусловленные расширением подстанции (строительство новых открытых распределительных устройств - ОРУ), прокладкой дополнительных естественных заземли-телей (кабелей, трубопроводов, строительство воздушных линий электропередачи и т. п.). Это приводит к изменению коррозионной ситуации на электроустановке, например, к резкому увеличению анодных токов в дефектах алюминиевых оболочек кабелей, и, следовательно, к сокращению срока их службы.

В соответствии с известными положениями теории многоэлектродных электрохимических систем проанализируем режимы работы электродов при изменении их длины и удельного сопротивления грунта [ 1, 2].

Расчеты выполним с помощью графоаналитического метода [3] на примере системы из

№.?!15) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 85