CC BY
129
Проблемы экономики и менеджмента
МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
Л.Г. Саетова
студент, кафедра интеллектуальных информационных технологий в экономике, ФГБОУВПО «Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова»
ОСНОВНЫЕ МОДИФИКАЦИИ ARCH МОДЕЛИ
Аннотация. В статье рассматриваются модели авторегрессионной условной гетероскедастичности. Приведено описание трех видов моделей этого семейства.
Ключевые слова: авторегрессионная условная гетероскедастичность, волантильность.
L.G. Saetova, Kalashnikov Izhevsk State Technical University
THE MAIN MODIFICATIONS ARCH MODEL
Abstract. The article considers the Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model. The following describes three kinds of models of this famil.
Keywords: autoregressive conditional heteroscedasticity, volatility.
При анализе временных рядов в эконометрике широко используется модели авторегрессионной условной гетероскедастичности (Autoregressive Conditional Heteroscedastic - ARCH Models), которая была предложена Робертом Энгле в 1982 году, и её модификации [1]. В основном они применяются для моделирования волантильности доходностей финансовых активов.
ARCH модель
Обозначим за y = (yn )n> случайный процесс, который является условногауссовской моделью, где yn = crnsn, а величины о n обозначают волантильность (обозначает степень разброса переменной) и s = (sn )n>1 - последовательность
независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону распределения.
Предложенная Энглем модель ARCH(p), представляет условную дисперсию как линейную функцию квадратов прошлых значений наблюдаемой величины:
p
О2 = «0 + ^«гУ1-г , (1)
i=1
где о2п - условная дисперсия,yn i - прошлые значения, а0,« - параметры, при этом «о > 0,« > 0,i = 1,...,p
По данному уравнению можно сказать, что дисперсии о2п могут быть предсказаны по прошлым значениям y^,...,y2n_ . Причем большие значения абсолютной величины yj_p приводят к большим значениям условной дисперсии о2п в
№ 6 (34) - 2014
61
Проблемы экономики и менеджмента
последующем y2n_p периоде, что дает более высокую вероятность появления больших
значений величины yn в текущем периоде. Наоборот, если значения yLn_p малы, то это
~ ~ 2 2 служит причиной понижения условной дисперсии an в последующем yn_p периоде, и
увеличивает вероятность появления малых значений yn в текущем периоде. В этом и заключается смысл модели ARCH и объясняется «эффект кластерности» [1].
Недостатком модели является то, что величины ai должны быть неотрицательны, чтобы условная дисперсия всегда была положительна, но при большом количестве лагов, это условие может быть нарушено.
GARCH модель
В обобщенной модели ARCH (Generalized ARCH - GARCH модель), представленной Тимом Боллерслевом в 1986 году, отсутствует недостаток ARCH модели [2]. GARCH модель включает в себя значения предыдущих условных дисперсий, что позволяет избежать длинолаговой структуры ARCH (p), то есть вместо больших значений p в ARCH модели в GARCH модели используются небольшие значения p и q. Данная модель определяет условную дисперсию как линейную комбинацию p предыдущих квадратов остатков из уравнения условной средней и q лагов предыдущих значений условной дисперсии [3]:
.2
' n- j ’
a2 = a0 + У aiy2i + У В a
i =1 j=1
гдеа0, ai, В. - параметры, при чем a0 > 0, а1 > О, В ,■ > 0.
(2)
0 ^ i 1 f-У j ИСД^СНУХЧ./ 1 IViV! 1Ло
Уравнение показывает, что значение условной дисперсии в текущем периоде является функцией от константы [3]. В модели условная дисперсия зависит от
размера остатков, а не их знака, то есть показатели волантильности цен активов являются нечувствительными к знаку изменения цен активов [2]. В то же время, волантильность и доходность активов имеют отрицательную корреляцию. Таким образом, при увеличении цены активов обеспечивается рост доходности по ним и волантильность падает, и, наоборот, с уменьшением цен и снижением доходности волантильность растет. Возникает так называемый эффект рычага (эффект асимметрии), который не объясняется ни в ARCH, ни в GARCH моделях.
EGARCH модель
В 1991 году Д. Нельсоном была предложена модель экспонициальной GARCH (exponential GARCH (p.q) - EGARCH (p,q)) [2], которая объясняет эффект асимметрии и описывает временную зависимость волантильности через авторегрессионную зависимость логарифма. В модели EGARCH логарифм условной дисперсии находится с помощью функции стандартизованных ошибок g(•) :
ln a2 = a0 + У ag (£n—1) + У Вln a2—j, (3)
i=1 j=1
где функция g(•) зависит от абсолютной величины и знака sn и определяется
62
№ 6 (34) - 2014
Проблемы экономики и менеджмента
следующим образом:
g(sn) = ten + r(\е„\ -Е\sn^. (4)
Применение логарифма не дает получить отрицательную условную дисперсию о2п, включая при этом отрицательные значения остатков. В EGARCH модели условная
дисперсия о2п зависит от величины и знака уп, поэтому модель несимметрично реагирует на повышение и понижение курсов активов.
Заключение
Разработанная Р. Энглом модель с авторегрессионной условной гетероскедастичностью, учитывающая зависимость условной дисперсии ошибок от истории процесса, получила дальнейшее теоретическое развитие, что привело к возникновению иных вариантов моделей данного типа, которые учитывают те или иные особенности. К числу таких относятся модель EGARCH, модель учитывающая эффект рычага - TARCH, логарифмическая модель LARCH, нелинейная модель NARCH, модель авторегрессионной условной плотности ARCHD, обобщенная ARCH в среднем значении - GARCH-M, абсолютная GARCH модель - AGARCH [1, 3]. Все модели предназначены для моделирования волантильности.
Список литературы:
1. Истигечева Е.В. Модели с авторегрессионной условной гетероскедас-тичностью [Электронный ресурс] / Истигечева Е.В., Мицель А.А.. URL.: http://www.tusur.ru/filearchive/reports-magazine/2006-5/15-21.pdf.
2. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа: учебное пособие / В.И. Малюгин. - М.: Дело, 2003. - 320 с.
3. Уотшем Т.Дж. Количественные методы в финансах: учеб. пособие для вузов / Т.Дж. Уотшем, К. Паррамоу; пер. с англ. под ред. М.Р. Ефимовой. - М.: Финансы: ЮНИТИ, 1999. - 527 с.
№ 6 (34) - 2014
63
