Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Истигечева, А.А. Мицель

Модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью

Рассматриваются модификации моделей типа ARCH (авторегрессионная условная гетероскедастичность) и их статистические характеристики. Изучается возможность построения оценок параметров волатильности в данных моделях.

Введение

В 2003 году американец Роберт Энгле получил Нобелевскую премию за разработку метода анализа экономических временных рядов на основе математической модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью (ARCH). Данная модель позволяет прогнозировать тенденции изменения финансовых индексов, таких как ВВП, потребительские цены, процентные ставки, биржевые курсы и др., как на ближайший день, так и на неделю и даже год вперед.

Экономические данные обычно представлены в виде временных рядов, то есть последовательности наблюдений в хронологическом порядке. Например, величины ВВП за различные годы, цены на товар в различные дни месяца и т. д. Такие ряды можно представить в виде суммы двух компонентов, один из которых изменяется случайным образом, а другой подчиняется определенному закону.

На финансовых рынках случайные отклонения величины от постоянного значения с течением времени (так называемая волатильность) особенно важны, поскольку стоимость акций, опционов и других финансовых инструментов зависит от уровня их рисков. Колебания могут значительно меняться во времени: периоды сильных изменений сменяются периодами незначительных отклонений. Несмотря на меняющуюся волатильность, экономисты применяли статистические методы, в которых предполагалось, что волатильность постоянна.

Но в 1982 году Роберт Энгле [1] обнаружил, что авторегрессионная гетероскедастическая (то есть предполагающая изменение во времени) модель очень точно описывает множество временных рядов, встречающихся в экономике. Его метод сегодня стоит на вооружении финансовых аналитиков, использующих ARCH для оценки стоимости активов и рисков портфельных инвестиций.

В статье рассматриваются одномерные и многомерные параметризации ARCH-моделей, изучаются их статистические характеристики и исследуется возможность оценивания параметров волатильности в указанных моделях.

Постановка задачи

Пусть

^ = -

значение цены акций или обменного курса в момент времени п , тогда

^ = ln ^ .

В классе рассматриваемых моделей величина нормированных цен определяется как

= ^ + ... + Уп ,

где

^п = Ч п

^ л

Для описания эволюции величин у = ^ выбирается условно-гауссовская модель, в которой

У = апеп ■

Величины е = (еп ^ являются последовательностью независимых нормально распределенных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е. еп ~ N10(0,1), моделирующих случайность, неопределенность. Величины стп называются волатильностью или изменчивостью. Термин «волатильность» используется, как правило, для обозначения степени вариабельности, разброса переменной, при этом стп являются _1 -измеримыми неотрицательными случайными величинами. Здесь_1 = _1,_2,...) —

предыстория процесса , тогда |ЧП_1 ~ N(0, ст^) (волатильность ст^ часто называют условной по предыстории дисперсией).

Модели

1. ARCH-модель. В ARCH^-модели, предложенной Р. Энгле, предполагается, что дисперсия является линейной функцией квадратов предшествующих значений наблюдаемой величины:

р

2 ^ 2 ап =«0 -\ . (1)

\ =1

Для того чтобы эта величина оставалась положительной с вероятностью единица, требуется «0 > 0, 0\ > 0 .

В рамках ARCH-модели стало возможным объяснить такой феномен финансовых временных рядов, как кластерность, который состоит в том, что большие (малые) значения уп

влекут за собой большие (малые) последующие значения, но непредсказуемого знака. Из (1)

2 "22 видно, что величины а^ являются функциями от предшествующих значенийуп-i,...,yn-р .

Таким образом, суть модели ARCH состоит в том, что если абсолютная величина уп является большой, то это приводит к повышению условной дисперсии в последующие периоды. В свою очередь при высокой условной дисперсии более вероятно появление больших (по абсолютной величине) значений уп. Наоборот, если значения уп в течение нескольких периодов близки к нулю, то это приводит к понижению условной дисперсии в последующие периоды практически до уровня «0 . В свою очередь при низкой условной дисперсии более вероятны появления малых (по абсолютной величине) значений уп. Таким образом, ARCH-процесс характеризуется инерционностью условной дисперсии (кластеризацией волатильности) [2]. Эффект кластеризации волатильности отмечен для многих высокочастотных рядов, таких как изменение цен акций, валютных курсов, доходности спекулятивных активов.

Самая простая ARCH-модель при р = 1, ARCH(1), выглядит так:

Уп =апеп, ап =«0 + «1Уп-1, п = 1.....U , (2)

где еп ~ NI D(0,1). Параметр «0 должен быть неотрицательным, чтобы для всех п было ап > 0 .

Существенно, что уп |Чп-1 ~ N(0, а^) означает, что yn является мартингальной разностью

и при условии строгой стационарности имеет симметричную безусловную плотность. Чтобы показать, что процесс является белым шумом с нулевым средним, нам нужно найти его дисперсию. Модель (2) может быть записана как негауссовская авторегрессия [3]:

^ ^ О О О

Уп = ап + (Уп - ап) = «0 + «1Уп-1 + Лп , где лп = &П (еП -1) . Поскольку Лп является мартингал-разностью, то

Е У ) = ^ при «1 е [0,1). (3)

л ' 1 - а1

Еще одно свойство ARCH-процессов состоит в том, что безусловное распределение уп имеет более высокий куртозис (более тяжелые хвосты и острую вершину), чем нормальное распределение. Покажем это:

Jn4 = ЕаПЕеП = ЗЕаЩ = 3Е («0 + с^П-1 J

Еу4 = ЕаПЕеП = ЗЕаЩ = ЗЕ («0 + «уП-1 J =

( 2 2 2 4 \ 3«0 (1 ^ «1 J 2 4

«0 + 2«0«1 ЕУп -1 + «1 ЕУп -1 ) = -Г- + 3«1 ЕУтл -1

' 1 - «1

поскольку

л

E« >jsL

x4e

2 =

0

, x 2

3 x x e 2 d—

= A jf x2 A Jk 0

3/2

"2 d^ =

4 3N/k

2 4K

= 3.

x

2

2

2

x

e

2

Отсюда, в предположении 0 < a1 < 1 и 3a., < 1 , находим стационарное решение

= 3«0 С1 + 01) (4)

Уп (1 -о1 )(1 - 3а2). (4)

Из (3) и (4) следует, что коэффициент эксцесса у ARCH(1) равен

к = -Му - 3 = AaL.

(Eyn )2 1 - 3о2

Положительность коэффициента К свидетельствует о том, что плотность «установившегося» распределения величин в окрестности среднего значения «вытянута» вверх тем сильнее, чем больше a^ (для нормального распределения К = 0). Причем при 3a2 > 1 четвертый момент распределения не существует (эксцесс равен бесконечности). Это свойство ARCH-процессов хорошо соответствует финансовым временным рядам, которые обычно характеризуются тяжелыми хвостами.

Эффективные оценки можно получить, используя метод последовательного анализа [4], предварительно представив ARCH-процесс в виде авторегрессии. Достоинство этого метода состоит в том, что оценивание параметров осуществляется с априорно заданной точностью. В работах [3,5] предлагается строить оценки методом максимального правдоподобия.

Успех условно-гауссовской модели ARCH(p), давшей объяснение целому ряду феноменов в поведении финансовых индексов (кластерность, тяжелые хвосты плотности распределения величин yn ), породил множество различных ее обобщений, преследующих цель дать возможные объяснения ряду других феноменов, обнаруживаемых методами статистического анализа.

2. GARCH-модель. Исторически одним из первых обобщений модели ARCH(p) стала обобщенная ARCH-модель, или GARCH, предложенная Т. Боллерслевом [6]. Эта модель характеризуется двумя параметрами р и ч и обозначается GARCH(p,q). В этой модели, как и ARCH^-модели, = стпеп , но относительно формирования волатильности стп предполагается, что

р ч

стП = a0 + S ачП - + S P стП-j, i=1 j=1

при этом a0 > 0, a > 0, Pj > 0 .

Основным преимуществом GARCH(р,q)-моделей перед ARCH(р)-моделью является то, что при подгонке статистических данных моделям ARCH(p) часто приходится обращаться к слишком большим значениям р , в то время как при подгонке GARCH(р,q)-моделям можно ограничиваться лишь небольшими значениями р и ч .

В простейшем варианте GARCH(1,1) имеем

стП =а0 +а1УП-1 +р1°П -1. (5)

Как и в модели ARCH, ст^ служит условной дисперсией процесса |4n ^ ~ N (0, ст^) . Рассчитаем безусловную дисперсию GARCH-процесса, предполагая, что он стационарен. Для этого возьмем математические ожидания от обеих частей уравнения (5):

E (оП )= 00 + S OiE y -i )+ S PjE (ст2-j ),

i=1 j=1

а2 =«о + i а^2 + i Pj а2 \ =1 j=1

а2 = а°

i-i ^-i p

\=i j=1

p ц

Для того чтобы дисперсия была конечной, требуется ia+iPj < 1 ■ В частности, для

i=1 j =1

модели GARCH(1,1) требуется а + P1 < 1 ■ GARCH-процесс (как и его частный случай ARCH-процесс) имеет более высокий куртозис, чем нормальное распределение. Стандартным методом оценивания для моделей GARCH является метод максимального правдоподобия. Оценки, полученные этим методом, являются состоятельными и асимптотически эффективными [3].

Модель GARCH(1,1) очень хорошо зарекомендовала себя на практике, и многие специалисты по эконометрике относятся к ней как к образцу сравнения.

Дальнейший анализ финансовых временных рядов позволил сделать вывод о том, что поведение финансовых индексов характеризуется таким феноменом, как отрицательная кор-релированность величин yn-1 и ап, проявляющаяся в том, что эмпирическая ковариация Cov (yn-1, an ) < 0 . Благодаря предложенному экономическому объяснению, этот феномен получил название «эффект рычага» (левередж-эффект). Так, практики хорошо знают, что когда волатильность мала, то цены стремятся к тому, чтобы их рост или падение длились как можно дольше. Аналогично, если волатильность велика, то цены ведут себя таким образом, что они как бы замедляют свой рост или падение, стремясь повернуть движение в противоположном направлении [2]. Называемый также эффектом асимметрии, этот феномен нельзя

объяснить в рамках моделей ARCH и GARCH, поскольку в них волатильность а2 , будучи

2 П зависимой от квадратов предшествующих величин у2 , не чувствительна к знаку величин

— , и тем самым значения yn — = А и yn — = -А приводят к одному и тому же значению будущей волатильности .

Это дало толчок к развитию разного рода асимметричных по моделей.

3. EGARCH-модель. Для объяснения обнаруженного эффекта Нельсоном [7] была предложена модель EGARCH(p,q) (Exponential GARCH(p,q)), в которой логарифм условной дисперсии определяется с помощью некоторой функции g(-) стандартизированных ошибок:

p ц

ln аП = а° + i ai9 (n-i )+ i pj ln аП-j . i =1 j =1

Описанный выше левередж-эффект учтен через данную функцию, которая зависит как от абсолютной величины, так и от знака en :

g (n ) = 0en + у(К| - ^ К I).

Поскольку - = an-ien- , а an- > 0, то знаки -i и an-i совпадают, и, следовательно, если en-i = А > 0 , то соответствующий вклад в а^ определяется величиной А(6 + у), но если en- = -А < 0 , то вклад будет равен А(-6 + у) . Таким образом, в EGARCH а^ зависит и от величины и от знака , в результате данная модель асимметрично реагирует на неожиданные падения и подъемы рынка.

4. Многомерные модели волатильности. Часто из экономической теории следует, что финансовые временные ряды должны быть взаимосвязаны, в том числе и через волатиль-ность: краткосрочные и долгосрочные процентные ставки; валютные курсы двух валют, выраженные в одной и той же третьей валюте; курсы акций фирм, зависящих от одного и того же рынка, и т.п. Кроме того, условные взаимные ковариации таких финансовых показателей могут меняться со временем. Ковариация между финансовыми активами играет существенную роль в моделях поиска оптимального инвестиционного портфеля. С этой точки зрения многомерные модели авторегрессионной условной гетероскедастичности являются естественным расширением одномерных моделей.

и

Общее определение многомерного ARCH-процесса не представляет никакой теоретической сложности: рассматривается m -мерный наблюдаемый случайный вектор x , m -мерный вектор его условного математического ожидания, условная ковариационная матрица размерностью m Xm [3]. В современной литературе предложено множество подобных моделей разной степени сложности. Оценивание многомерной ARCH-модели, однако, сопряжено со значительными трудностями. В частности, эти трудности связаны с необходимостью максимизации по большому количеству неизвестных параметров. Поэтому в прикладных исследованиях отдается предпочтение многомерным моделям волатильности, в которых количество параметров мало. В то же время для таких компактных моделей (например, для факторных моделей волатильности) может не существовать явной формулы для функции правдоподобия, что создает дополнительные трудности при оценивании.

5. Модели стохастической волатильности. В рассмотренных моделях с авторегрессионной гетероскедастичностью условная дисперсия однозначно определяется предысторией. Это не оставляет места для случайных влияний на волатильность, помимо влияний самого процесса. Однако авторегрессионная гетероскедастичность может возникнуть по-другому. Примером является модель авторегрессионной стохастической волатильности, в которой логарифм условной дисперсии описывается авторегрессионным процессом. Принципиальным отличием таких моделей от моделей типа ARCH является то, что волатильность зависит не только от прошлых наблюдений, но и от некоторых ненаблюдаемых компонентов [8].

Во всех предыдущих моделях источник случайности был один, он задавался гауссовской последовательностью независимых величин е = (еп ) . Модели стохастической волатильности характеризуются наличием двух источников случайности — е = (еп ) и v = (vn ) , которые в простейшем случае предполагаются независимыми и стандартными гауссовскими последовательностями, определяющими поведение последовательности y = (yn ) . Модель авторегрессионной стохастической волатильности первого порядка имеет следующий вид:

Уп = стпеп ; СТП = еПл ; Ч =а0 + аЧ-1 + Vn .

Рассмотрим свойства этой модели. Поскольку vn — гауссовская последовательность, то Ч является стандартной гауссовской авторегрессией. Она будет стационарна при < 1 . Найдем второй и четвертый моменты , для того чтобы вычислить коэффициент эксцесса.

ЕуП = ЕстП Ее2 = ЕстП; ЕуП = 3ЕстП

тогда

м

(ЕУП) (ЕстП) (ЕстП)

ЕуЛ ЕстП -(ЕстП) Dct2

К = ЕУп - 3 = 3-^-'— = 3 п > 0.

i) (Ест2

Это говорит о том, что модель стохастической волатильности имеет более тяжелые хвосты, чем соответствующее нормальное распределение.

Эта модель по структуре проще, чем ARCH-модели, и лучше обоснована теоретически с точки зрения финансовых моделей, однако ее широкому использованию мешает сложность эффективного оценивания. Проблема состоит в том, что для нее, в отличие от моделей типа ARCH, невозможно в явном виде выписать функцию правдоподобия. Таким образом, в случае применения модели стохастической волатильности возникает дилемма: либо использовать алгоритмы, которые дают состоятельные, но неэффективные оценки, например метод моментов, либо применять алгоритмы, требующие сложных расчетов, например алгоритмы, использующие метод Монте-Карло для интегрирования многомерной плотности. Различные способы оценивания параметров стохастической волатильности и их практическая реализация представлены в обзорах [3,8].

Заключение

Предположение о гауссовском распределении величин еп является произвольным, и следует рассмотреть другие типы распределений. Хотя ДРОИ-модели могут давать тяжелые хвосты, присутствие в финансовых данных безусловных распределений с очень тяжелыми хвостами приводит к необходимости использовать модели, основанные на распределениях с более тяжелыми хвостами, чем у нормального распределения. Альтернативой является

t -распределение Стьюдента, поскольку это распределение при малых степенях свободы имеет большой куртозис (при этом количество степеней свободы рассматривается как неизвестный параметр). Можно использовать также обобщенное распределение ошибок [3]. Вторая альтернатива состоит в использовании устойчивых законов Парето, иначе а -устойчивые законы, законов Леви или Парето — Леви (эти законы могут рассматриваться как обобщение нормального закона). Их распределение, так же как и эмпирические данные, имеет, с одной стороны, пикообразные вершины, с другой — тяжелые хвосты [9, 10].

Обзор литературы позволяет выделить некоторые устойчивые закономерности, характеризующие отдачу финансовых активов:

— кластерность волатильности: волатильность обладает инерцией, ее уровень предсказуем. Модели авторегрессионной условной гетероскедастичности адекватно отражают инертность и предсказуемость динамики условного второго момента;

— плотность условного распределения отдачи финансовых активов характеризуется более тяжелыми хвостами и большей вытянутостью в области среднего значения, чем плотность нормального распределения. Это наблюдение является существенным при выборе метода оценивания параметров ARCH-модели. Причиной выраженной ненормальности условных распределений являются выбросы, или хвостовые события, — ошибки прогнозов, многократно превосходящие стандартное отклонение. Хвостовые события часто связаны с бумами, па-никами, резкими изменениями политики Центрального банка, реакцией рынка на политические известия;

— левередж-эффект. Отдача акций отрицательно коррелирует с изменениями волатильности. Отрицательные и положительные ошибки прогноза имеют различное воздействие на условную дисперсию.

Проверка концепции ARCH показала ее большие возможности при объяснении статистических особенностей временных рядов, возникающих на валютных и иных финансовых рынках. Также ARCH-модели нашли применение в анализе волатильности цен и доходнос-тей спекулятивных активов.

Литература

1. Engle R.F. Autoregressive conditional Heteroscedasticity with estimates of the variance of the United Kingdom inflation / R.F. Engle // Econometrica. - 1982. - V. 50. - P. 9871007.

2. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели / А.Н. Ширяев. -М. : Фазис, 1998. - 512 с.

3. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатиль-ность / Н. Шепард // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1996. - Т. 3, вып. 6. - С. 764-826.

4. Konev V.V. Guaranteed estimation of parameters in stochastic volatility models / V.V. Konev // 26th International congress of actuaries. - 1998. - V. 7. - P. 121-135.

5. Лоскутов А.Ю. К проблеме описания финансовых временных рядов. III. ARCH-моде-ли на финансовом рынке России / А.Ю. Лоскутов, А. А. Бредихин // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, вып. 3. - С. 1-12.

6. Bollerslev T. Generalised autoregressive conditional heteroscedasticity / T. Bollerslev / / Econometrics. - 1986. - V. 51. - P. 307-327.

7. Nelson D.B. Conditional heteroscedasticity in asset pricing: a new approach / D.B. Nelson // Econometrica. - 1990. - V. 59. - P. 347-370.

8. Jacquier E. Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models / E. Jacquier, N.G. Polson, P.E. Rossi // Journal of Business and Economic Statistics. - 1994. - V. 12, №2 4. - P. 395-397.

9. Гамровски Б. Финансовые модели, использующие устойчивые законы / Б. Гамровски, С. Рачев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1995. - Т. 2, вып. 4. -С. 556-604.

10. Konev V.V. Guaranteed parameter estimation in a first - order autoregressive process with infinite variance / V.V. Konev, A. Le Breton // The Annals of Probability. - 1998. - V. 17, № 17. - P. 946-962.