Прогнозирование волатильности как способ управления финансовыми рисками Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

40 (424) - 2010

Управление финансами

прогнозирование волатильности

как способ управления финансовыми рисками

л. П. ЯНОВСКИЙ, доктор экономических наук, профессор кафедры экономики агропромышленного комплекса Е-mail: [email protected] Воронежский государственный аграрный университет

Е. А. ЛЕБЕДЯНСКАЯ, аспирант кафедры математики и математических методов экономики Е-mail: [email protected] Институт менеджмента, маркетинга и финансов, г. Воронеж

В статье отмечается, что принятие инвестиционных решений в условиях нестабильности на рынках финансовых активов является одной из актуальных проблем инвесторов. Важным способом управления финансовыми рисками служит прогнозирование волатильности. Рассмотрены различные модели прогнозирования волатильности, а также предложен метод, учитывающий важность направления изменения волатильности, который позволяет спрогнозировать не только ее величину, но и динамику (рост или спад).

Ключевые слова: волатильность, модели прогнозирования, генетические алгоритмы, финансовые активы.

Одним из способов управления финансовыми рисками при принятии инвестиционных решений в условиях нестабильности на рынках финансовых активов является прогнозирование волатильности как меры изменчивости неопределенности цены актива. Трейдеры заинтересованы в рациональном подходе к проблемам риска. Им необходимо оптимальное соотношение между ожидаемым возвратом и риском, особенно когда ситуация на

финансовых и фондовых рынках нестабильна и характеризуется высокой изменчивостью значений различных показателей (курсов валют, акций, биржевых индексов, ставок по кредитам и т. д.), т. е. имеет место гетероскедастичность. Поэтому одной из актуальных проблем инвесторов является построение моделей, способных контролировать волатильность.

В настоящее время предложено довольно много моделей прогнозирования волатильности. Впервые в 1982 г. Р. Энгл разработал авторегрессионную модель условной гетероскедастичности (ARCH-модель), на основе которой стало возможно предсказывать изменение волатильности [11]. В 1986 г. Т. Боллерслев предложил обобщенную авторегрессионную модель гетероскедастичности (GARCH-модель) [7]. Позднее в работах Д. Нельсона [16], Э. Сентана [17], Р. Энгла [12], Л. Глостена, Р. Джаганатана, Д. Ранкла [13], А. Лаубша [15], Э. Даала, Дж. Ли [9] были описаны различные модификации ARCH, GARCH-моделей: EGARCH, QGARCH, NGARCH, GJR-GARCH, AGARCH

и др. Из современных авторов следует отметить В. Давниса, В. Тинякову [1] и А. Нагина [5], в работах которых использована ARCH-модель в условиях адаптивного моделирования. В работе Д. Матвеева [4] описана обобщенная GARCH-мо-дель и ее модификации, модель GJR, GJR-t. А также в исследованиях А. Субботина [6], О. Дука [2], М. Капорина [8] и других многочисленных российских и зарубежных авторов описывают различные модели прогнозирования волатильности на рынках финансовых активов.

Все перечисленные работы ориентированы на количественное прогнозирование волатильности, но описанные в них модели не учитывают прогноза динамики волатильности, что является непременным условием качественного прогноза при принятии инвестиционных решений в условиях риска и нестабильности. Поэтому цель данной работы — спрогнозировать не только величину волатильности, но и ее тенденцию (рост или спад), исследуя закономерности динамики показателя за предыдущие периоды. Авторами были рассмотрены модели GARCH, NGARCH, EGARCH, QGARCH, GJR-GARCH, FIGARCH.

1. GARCH-модель (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic model), предложенная в 1986 г. Т. Боллерслевом, — обобщенная авторегрессионная модель гетероскедастичности, которая предполагает, что на текущую изменчивость дисперсии влияют как предыдущие изменения показателей, так и предыдущие оценки дисперсии (так называемые «старые новости») [7]. Согласно данной модели (GARCH p, q) расчет дисперсии производится по следующей формуле:

(L) = £a,L; в( L) = £p,L.

(1)

a(

2. NGARCH-модель (Nonlinear Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic model) — нелинейная обобщенная авторегрессионная модель гетероскедастичности, предложенная в 1993 г. Р. Энглом и В. Нг [12]:

£,2 = ®+Z а, (st- )2 +Z Р,ст?-, , (2) 1=1 1=1

где ст , — прогнозируемое значение дисперсии (волатильности) на период t; ю — коэффициент задержки (лага) или базовая волатильность,

а,, в, 9, — весовые коэффициенты модели. е — отклонение расчетного от фактического значения моделируемого показателя на период t- i;

, — фактическое значение дисперсии (вола-тильности) на период t-i.

3. EGARCH-модель (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic model) — экспоненциальная обобщенная авторегрессионная модель гетероскедастичности, предложенная в 1991 г. Д. Нельсоном [16]:

ln 6,2 = ®+Z а, g (z-t)ln <

(3)

где ст 2 — прогнозируемое значение дисперсии (волатильности) на период ,; ш — коэффициент задержки (лага) или базовая волатильность;

а;Р;. — весовые коэффициенты модели; е,_(. — отклонение расчетного от фактического значения моделируемого показателя на период г- V;

= ^ 2 ~ N(0,1); ст2,_;. — фактическое значение дисперсии (волатильности) на период

Модель (1) также может быть представлена в виде:

ст 2 = а + а(1)е2 + Р(£)ст(2,

где Ь — лаговый оператор, для которого определены следующие равенства:

где ст 2 — прогнозируемое значение дисперсии (волатильности) на период t; ю — коэффициент задержки (лага) или базовая волатильность;

а,, в,, 9,, — весовые коэффициенты модели.

g (z't_i) = 9 Z _t+\(| Zt _t\-E [Z,-,|]); е

^ = -L±, ^t ~ N(0,1);

--,

-2t-i — фактическое значение дисперсии (вола-тильности) на период t-,.

4. QGARCH-модель (Quadratic Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic model) — квадратичная обобщенная авторегрессионная модель гетероскедастичности, предложенная в 1995 г. Э. Сентана [17]:

°2 = К + as,2_i + рст,2_1 + фSt _i; где ст,2 — прогнозируемое значение дисперсии (во-латильности) на период t; К, а, в, Ф — коэффициенты модели; е — отклонение расчетного от фактического значения моделируемого показателя на период t-,;

-2t-i — фактическое значение дисперсии (вола-тильности) на период t-,.

5. GJR-GARCH-модель (Glosten-Jagannathan-

2

¡=1

¡=1

Runkle GARCH (GJR-GARCH), предложенная в 1993 г. Л. Глостеном, Р. Джаганатаном, Д. Ранклом [13]:

°2 = K + as2_1 + Sct^ + фе.У, ,

где ст ? — прогнозируемое значение дисперсии (во-латильности) на период t; К, a, 8, ф — коэффициенты модели; et-i — отклонение расчетного от фактического значения моделируемого показателя на период t-i;

ст2(;. — фактическое значение дисперсии (вола-тильности) на период t—i.

I_1 = 0, если е/_1 > 0;

I_1 = 1, если е/_1 < 0.

6. FIGARCH (p, d, m) — модель (Fractionally Integrated GARCH) задает условную вариацию и допускает наличие долгосрочной памяти в рядах волатильности [8]. В общем виде модель может быть представлена как:

а? = ю /[1 - p(i)i+{1 - [1 - p(i)]-1 (1 - L)d ф(1)}8?, (6)

где ю — базовая волатильность; L — лаговый оператор;

st—отклонение расчетного от фактического значения моделируемого показателя на период t. Для лагового оператора L определены следующие равенства:

p m

Р(1) = £р,£;ф(1) = ]Гф,.£.

1=1 1=1

Для нахождения коэффициентов моделей (1) — (6) существуют различные методы. Например, метод наим еньших квадратов (МНК) (7):

Q = 18?

^ min,

(7)

где S¿ = (ст2 -ст,2) — погрешность прогнозана период —

ст 2 — прогнозируемоезначениедисперсии(во-латильности) lía период/; ctj — фактическое значение дисперсии (вола-тильности) на период i.

Однако, используя данный метод (МНК) (7) длярешения задачи,не ^штываемнаправления изменения волатильности. Хотя этот фактор для многих задач принятия решения является более ваяшым,чем точность прогноза вабсолютном значении. Исходя из этого, целевую функцию потерь модели Q можно запи сать в виде (8):

0=2 а - ц)£82+1- GM ^ min, (8)

i=2 i=2

л 2

где ст.+1 — прогнозируемое значение дисперсии (волатильности) на период /+1;

ст,+ — фактическое значение дисперсии (волатильности) на период i+1;

ц — коэффициент приоритетности прогноза динамики волатильности по сравнению с точностью прогноза по абсолютной величине;

8,+1 = (¿2+1 -ст?+1); =

GM = siga [(й?+1 -62)(ст2,+1 -ст2,)]

-1, 1, 0,

(й2+1 -й,2)(ст2,+1 -ст2,) < о,

(6?+1 -ст2)(^2,+1 -а2,) > 0, (й2+1 -62)(ст2,+1 -ст2,) = о.

Решение задачи (8) стандартными методами типа ветвей и границ, динамического или линейного программирования крайне затруднено. Поэтому для нахождения решения задачи (8) был применен метод, который использует генетические алгоритмы.

Генетические алгоритмы (ГА) — это стохастические, эвристические оптимизационные методы, впервые предложенные в 1975 г. Д. Г. Холландом [14]. Идея генетических алгоритмов заимствована у живой природы и состоит в организации эволюционного процесса, конечной целью которого является получение решения в сложной задаче оптимизации.

Общая схема генетических алгоритмов может быть записана следующим образом:

— формирование начальной популяции;

— оценкаособейпопуляции;

— отбор (селекция);

— скрещивание;

— мутация;

— формирование новой популяции;

— если популяция не сошлась, то 2. Иначе — останов [3].

Рассмотрим подробнее все этапы алгоритма.

Формирование начальной популяции. Стандартный генетический алгоритм начинает свою работу с формирования начальной популяции 10—конечного набора допустимых решений задачи. Для решения поставленной задачи за начальную популяцию принималось решение, найденное МНК,размерпопуляции т = 20.

Оценка особей популяции. Чтобы оптимизировать какую-либо структуру с использованием ГА, нужно задать меру качества для каждого индивида в пространстве поиска. Для этой цели используется функция приспособленности / В задачах максимизации целевая функция часто сама выступает в качестве функции приспособленности. Для задач минимизации целевую функцию следует инвертировать. В нашем случае в качестве функции

приспособленности выбиралась инвертированная целевая функция (8).

Отбор (селекция). На каждом шаге эволюции с помощью вероятностного оператора селекции (отбора) выбираются два решения-родителя для их последующего скрещивания. Среди операторов селекции наиболее распространенными являются два вероятностных оператора пропорциональной и турнирной селекции. В некоторых случаях также применяется отбор усечением.

Для решения задачи был выбран простейший пропорциональный отбор (Proportional selection). При пропорциональной селекции вероятность на k-м шаге выбрать решение i в качестве одного из родителей задается формулой:

г /

P{i - выбрано} =

^ f (j)

в предположении, что f (i) > 0 для всех i е Ik (здесь Ik — популяция на k-м шаге). Простейший пропорциональный отбор — рулетка — отбирает особей с помощью n «запусков» рулетки. Колесо рулетки содержит по одному сектору для каждого i-го члена популяции. Размер i-го сектора пропорционален соответствующей величине P (i). При таком отборе члены популяции с более высокой приспособленностью с большей вероятностью будут чаще выбираться, чем особи с низкой приспособленностью.

Скрещивание. Как только два решения-родителя выбраны, к ним применяется вероятностный оператор скрещивания (crossover), который строит на их основе новые (1 или 2) решения-потомки. Отобранные особи подвергаются кроссоверу (иногда называемому рекомбинацией) с заданной вероятностью Pc. Если каждая пара родителей порождает двух потомков, для воспроизводства популяции необходимо скрестить m/2 пары. Для каждой пары с вероятностью Рс применяется кроссовер. Соответственно с вероятностью 1—Рс кроссовер не происходит. И тогда неизмененные особи переходят на следующую стадию (мутации). Существует большое количество разновидностей оператора скрещивания: одноточечный кроссовер, двухточечный кроссовер, равномерный кроссовер и др. Для решения поставленной задачи был применен простейший одноточечный кроссовер. Вероятность скрещивая Рс полагалась равной 0,8. Работу одноточечного кроссовера можно описать следующим образом. Сначала случайным образом выбирается одна из возможных точек разрыва. Например, точка разрыва— участок между соседними битами в строке. Обе родительские структуры разрываются на два сегмента по этой точке. Затем соответствующие сегменты

различных родителей склеиваются, и получаются два генотипа потомков. Пример работы одноточечного кроссовера представлен на рис. 1.

Мутация. После того как закончится стадия кроссовера, потомки могут подвергаться случайным модификациям, называемым мутациями. В данной работе для решения поставленной задачи применялась одноточечная мутация с вероятностью Рт = 0,2. Например, в каждой хромосоме, которая подвергается мутации, каждый бит с вероятностью Рт = 0,2 изменяется на противоположный. Пример действия мутации представлен на рис. 2.

Формирование нового поколения. После скрещивания и мутации особей необходимо решить вопрос о том, какие из новых особей войдут в следующее поколение, а какие — нет, и что делать с их предками. Простейший принцип, используемый в работе, заключается в следующем: в новое поколение после каждого скрещивания включаются две лучших особи из четверки родителей и их потомков, в качестве критерия используется функция приспособленности описанная выше.

Останов алгоритма. Работа ГА представляет собой итерационный процесс, который продолжается до тех пор, пока не пройдет заданное число поколений (в работе это число N = 100) или не выполнится какой-либо иной критерий останова. В работе критериями останова алгоритма являлось длительное отсутствие прогресса в смысле улучшения значения средней (или лучшей) приспособленности популяции, малая разница между лучшим и худшим значением приспособленности для текущей популяции.

Для реализации данного алгоритма был выбран пакет прикладных программ МайаЬ.

Приведем пример. Взяты дневные данные стоимости акций компаний Сбербанка России, Газпрома, Роснефти, Сургутнефтегаза с 01.09.2008 по

Родитель 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1

Родитель 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1

Потомок 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1

Потомок 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1

Рис. 1. Пример работы одноточечного кроссовера

1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1

Рис. 2.Пример действиямутации

0312.2009. Для рассматриваемых временных рядов, используя т = 100 данных за предыдущие периоды, были построены парные линейные регрессионные модели. С помощью построенных регрессионных моделей были подготовлены данные для прогнозирования волатильности: текущие значения квадратов остатков е(2 и дисперсии ст2. Для моделей (1) — (6) были взяты q = 1, р = 1; для модели (8) п = 110, ^

= 0,9 (отдаем приоритетность прогноза динамики волатильности). GARCH, NGARCH, EGARCH, QGARCH, GJR-GARCH, FIGARCH-модели, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности, построенные, используя 110 данных квадратов остатков и дисперсий, полученные на период с 03.02.2009 по 13.07.2009, представлены в табл. 1—6. Прогноз

Таблица 1

GARCH-модели прогнозирования волатильности, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности

компания Модель прогнозирования волатильности

Сбербанк России ст, = 0,926 - 0,015е(2-1 + 0,566ст2-1

Роснефть ст, = 1,094 -0,0278;- + 1,015ст,2-1

Газпром ст, = 2,893 -0,00382- + 0,910ст(2_1

Сургутнефтегаз ст,2 = -0,016 -0,00682- + 1,024ст,2_1

Таблица 2

NGARCH-модели прогнозирования волатильности, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности

компания Модель прогнозирования волатильности

Сбербанк России ст,2 = 0,026-0,001(8,2-1 - 0,349ст,2-1) + 1,003ст,-1

Роснефть ст, = 5,819-0,002(8,2-1 - 0,626ст,2-1) + 0,902ст,2-1

Газпром ст, = 2,339 - 0,003(8,- - 0,673ст,-1) + 0,972ст,2-1

Сургутнефтегаз ст, = 0,955-0,035(8,- - 0,122ст,2-1) + 1,916ст,-1

Таблица 3

EGARCH-модели прогнозирования волатильности, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности

компания Модели прогнозирования волатильности

Сбербанк России 8 1п ст2 = 0,023-0,0002—^ -0,059[ 8,-1 - Е( 8,-1 )] + 0,9821пст,1

ст,-1 ст,-1 ст,-1

Роснефть 8 1п ст, = 0,022 - 0,0002—^-0,059[ 8,-1 - Е( 8,-1 )] + 0,9821пст,21

ст,-1 ст,-1 ст,-1

Газпром 1п ст, = 0,812-0,109 -8-1 -0,114[ 8,-1 - Е ( 8,-1 )] + 0,7991пст,2-1

ст,-1 ст,-1 ст,-1

Сургутнефтегаз 1п ст, = 0,130-0,014^ -0,246[ 8,-1 - Е ( 8,-1 )] + 0,3551пст,-1

ст,-1 ст-1 ст-1

Таблица 4

QGARCH-модели прогнозирования волатильности, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности

компания Модель прогнозирования волатильности

Сбербанк России ст, =-0,424 - 0,0018,-1 + 1,169ст,-1 - 0,0028,-1

Роснефть ст, = 5,842 - 0,0028,2-1 + 0,902ст,2-1 - 0,0118,-1

Газпром ст, =-1,915 + 0,0078,-1 +1,011 ст,-1 - 0,0228,-1

Сургутнефтегаз ст, =-0,812 - 0,0048,- + 1,511ст,2-1 - 0,0058,-1

Таблица 5

GJR-GARCH-модели прогнозирования волатильности, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности

компания Модель прогнозирования волатильности

Сбербанк России ст,2 = 0,057 - 0,0018,2-1 + 1,002ст(2-1 - 0,04б8,2-1/,-1

Роснефть ст,2 = 5,814 -0,003е,2_1 + 0,802ст,2-1 + 0,0028,2-1/,-1

Газпром ст, = 3,206 - 0,020е,2_1 + 0,908ст,2_1 + 0,018е(2_1/,_1

Сургутнефтегаз ст2 = 0,066 _ 0,00бе2_1 + 1,108ст2_1 _ 0,003е2_1/, _1

Таблица 6

FIGARCH-модели прогнозирования волатильности, полученные методом (8), учитывающим важность направления изменения волатильности

компания Модель прогнозирования волатильности

Сбербанк России ст2 = 0,687 + 0,738ст2_1 _ 0,011(1 _ Г)0"0^

Роснефть ст2 = 0,573 + 0,999ст2_1 + 0,017(1 - Г)0'0^

Газпром ст2 = 1,176 + 0,977ст2_1 + 0,008(1-X )0>0182_1

Сургутнефтегаз ст2 = _0,212 + 1,184ст2_1 + 0,012(1 )0-01е2_1

волатильности по моделям делался на следующие 100 наблюдений, т. е. на период с 14.07.2009 по 01. 12.2009. Качественные результаты прогноза представлены в табл. 7.

Из полученных результатов можно сделать вывод, что для Сбербанка России с наибольшей вероятностью 68 % спрогнозировать динамику волатильности удается, используя FIGARCH-мо-дель и метод (8), учитывающий важность направления изменения волатильности. Для Роснефти с наибольшей вероятностью 66 % спрогнозировать динамику волатильности удается, используя FIGARCH-модель и метод (8), учитывающий важность направления изменения волатильности. Для Газпрома с наибольшей вероятностью 79 %

спрогнозировать динамику волатильности удается, используя NGARCH-модель, QGARCH-модель и метод (8), учитывающий важность направления изменения волатильности. Для Сургутнефтегаза с наибольшей вероятностью 83 % спрогнозировать динамику волатильности удается, используя NGARCH-модель и метод (8), учитывающий важность направления изменения волатильности.

Таким образом, для вышеперечисленных компаний в рассматриваемый промежуток времени NGARCH-, QGARCH-, FIGARCH-модели позволяют с наибольшей вероятностью успеха спрогнозировать не только величину, но и динамику во-латильности. Кроме того, полученные результаты подтверждают эффективность применения метода

Таблица 7

Вероятности прогнозирования динамики волатильности, %

Модель Метод сбербанк россии роснефть Газпром сургутнефтегаз

GARCH-модель МНК (7) 60 56 67 59

Метод (8) 66 62 68 63

NGARCH-модель МНК (7) 59 57 75 78

Метод (8) 60 62 79 83

EGARCH-модель МНК (7) 56 53 65 55

Метод (8) 63 55 66 55

QGARCH-модель МНК (7) 59 57 69 54

Метод (8) 59 57 79 58

GJR-GARCH-модель МНК (7) 60 55 60 55

Метод (8) 64 57 64 62

FIGARCH-модель МНК (7) 60 56 67 59

Метод (8) 68 66 75 65

(8), учитывающего важность направления изменения волатильности, по сравнению с обычным, ранее применяемым (МНК) при прогнозировании не только величины, но и динамики волатильности для принятия рационального инвестиционного решения в условиях риска и неопределенности на рынках финансовых активов.

Список литературы

1. Давнис В. В., Тинякова В. И. Адаптивные модели: анализ и прогноз в экономических системах. Воронеж: ВГУ. 2006. 380 с.

2. Дука О. С. Анализ доходности и волатильности финансовых активов с использованием моделей ARIMA-(E) GARCH и ARFIMA-FIGARCH. М.: МГУ им. Ломоносова. 2006. 204-206 с.

3. Каширина И. Л. Введение в эволюционное моделирование: учеб. пособие. Воронеж: ВГУ. 2006. 38 с.

4. Матвеев Д. А. Сравнение GARCH-моделей с различными распределениями для моделирования волатильности финансовых индексов. Челябинск: ЮУГУ. 2009.

5. Нагин А. А Адаптивные модели в задачах анализа и прогнозирования стоимости финансовых активов. Воронеж: ВГУ. 2006. 163 с.

6. Субботин А. В. Управление инвестиционным портфелем на основе индикаторов рыночной волатильности. М: ГУ - ВШЭ. 2009. 194 с.

7. Bollerslev T. Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedasticity // Journal of Econometrics. 1986. № 31.

8. Caporin M. Stationarity, Memory and Parameter Estimation of FIGARCH Models. Italy. Venezia: Universita Ca' Foscari Venezia Dipartimento di Scienze Economiche. 2003.

9. Daal E. and Yu. J. Volatility clustering, leverage effects, and jump dynamics in the US and emerging Asian equity markets // Journal of Banking & Finance. 2007. № 31.

10. Drake Adrian E., Marks Robert E. Genetic Algorithms in Economics and Finance: Forecasting Stock Market Prices and Foreign Exchange. Australia. Sydney: University of Stuttgart. University of New South Wales. 2006.

11. Engle R. F. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation // Econometrica. 1982. № 50.

12. Engle R. F. and Ng V. K. Measuring and testing the impact of news on volatility // Journal of Finance. 1993.

13. Glosten L. R, Jagannathan R., Runkle D. On the relation between expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. // Journal of Finance. № 48. 1993.

14. Holland John H. Genetic Algorithms. Scientific American. 1992, pp 44-50.

15. Laubsch Alan J. Risk Management: A Practical Guide. Risk Metrics Group.

16. Nelson D. Conditional Heteroskedasticity in asset returns: a new approach // Econometrica. 1991. № 2.

17. Sentana E. Quadratic ARCH models // Review of economic studies 1995. № 62.