Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рассматривается задача, аналогичная задаче (2)-(3) с заменой в ней оператора на опера-

тор А^ р „. Рассматривается также уравнение вида (4) с заменой в нем оператора А+ на оператор

(q)

A

(q)

+, p, v

, p, v

Существование регуляризатора таких задач при ^ = 0 известно (см. [10]). Затем при всех

р = 1, 2,3,... и ^ е [0; 1] доказываются коэрцитивные априорные оценки, аналогичные оценкам (5) и (6). С помощью продолжения по параметру ^ устанавливается существование регуляризатора для задач, аналогичных задачам (2)-(3) и (4) при ^ = 1. Затем с использованием коэрцитивных априорных оценок и предельного перехода при р ^ показывается существование регуляризатора задач (2)-(3) и (4).

Теорема 4 доказывается аналогично теореме 3.

Библиографический список

1. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН. - 1951. - Т. 77, № 2. -С. 181-183.

2. Олейник, О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / О. А. Олейник // Докл. АН. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 885-887.

3. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1966. - 292 с.

4. Рукавишников, В. А. О коэрцитивности Rv-обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В. А. Рукавишников, А. Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

5. Антонцев, С. Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С. Н. Антонцев, С. И. Шмарёв // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

6. Вишик, М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области /

УДК 517.917

ОСИ СИММЕТРИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо*, Д.С. Ушхо

Адыгейский государственный университет, Майкоп, кафедра теоретической физики, * кафедра информатики E-mail: tlyachev@adygnet.ru

Вводится понятие оси симметрии N-типа. Доказывается, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами n-й степени в правых частях, не может иметь четного числа осей симметрии N-типа при n = 2m, m <g N. Для случая n = 2,3 проведено полное исследование данной системы на N-симметрию. В зависимости от числа осей симметрии N-типа найдены специальные формы записи квадратичных и кубичных систем, которые позволяют упростить качественное исследование таких систем.

Ключевые слова: полиномиальная система дифференциальных уравнений, ось симметрии, изоклины, центр, фокус.

М. И. Вишик, В. В. Грушин // Мат. сб. - 1969. - Т. 80 (112), вып. 4. - С. 455-491.

7. Глушко, В. П. Теоремы разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П. Глушко // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 1978. -№ 2. - С. 49-68.

8. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Докл. АН. -1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

9. Баев, А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Докл. АН. -2008. - Т. 422, № 6. - С. 727-728.

10. Баев А.Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. - Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2008. - 240 с.

Symmetry Axes of Planar Polynomial Differential Systems

V.B. Tlyachev, A.D. Ushkho*, D.S. Ushkho

Adyghe State University, Maykop, Chair of Theoretical Physics, * Chair of Informatics E-mail: tlyachev@adygnet.ru

The notion of N-type axis of symmetry is introduced. It is proved that the vector field defined by system of the differential equations with norder polynomials in a right hand, cannot have even number of axes of symmetry N-type at n = 2m, m e N. For n = 2,3 full research of the given system on N-symmetry is carried out. Depending on the number of axes of N-type symmetry special forms of presenting of square and cubic systems, which allowto simplify qualitative research of such systems, are discovered.

Key words: polynomial differential systems, axis of symmetry, isoclines, center, focus.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] изучено дифференциальное уравнение

dy Y

(1)

dx X(x, y) '

где Y(x, y) и X(x, y) — аналитические в окрестности начала координат функции, разложения которых в ряды

X(x, y) = Pn (x, y) + Pn+1 (x, y) + . . . , Y (x, y) = Qn (x, y) + Qn+1 (x, y) + ... начинаются с членов не ниже первого порядка, при условии, что характеристическое уравнение

Qn(cos sin cos ^ + Pn(cos sin sin ^ = 0 (2)

не имеет действительных корней.

Отсутствие действительных корней уравнения (2), как известно [2], является достаточным условием того, что ни одна интегральная кривая уравнения (1) не входит в начало координат с определенным угловым коэффициентом, т.е. 0(0,0) — особая точка типа центра или фокуса. Именно в связи с проблемой различения центра и фокуса автором работы [1] исследуется вопрос о существовании осей симметрии поля направлений дифференциального уравнения (1), проходящих через начало координат. В [1] доказана теорема 1, которая утверждает, что существование проходящей через начало координат оси симметрии поля направлений дифференциального уравнения (1) гарантирует наличие центра в начале координат 0(0,0), разумеется, при выполнении условия отсутствия действительных корней уравнения (2). Очевидно, что это утверждение представляет собой не что иное, как принцип симметрии, примененный к уравнению (1). В качестве примера в работе [1] приводятся условия наличия осей симметрии у квадратичного дифференциального уравнения:

dy x + C20x2 + Cil xy + C02 y2

¿X у + &20Х2 + бцху + 602У2 '

В предлагаемой статье изучаются условия существования осей симметрии системы двух дифференциальных уравнений, правые части которой являются многочленами второй или третьей степени. В дальнейшем будем называть такие системы квадратичными и кубичными, соответственно, так как это принято в качественной теории дифференциальных уравнений. При этом, в отличие от [1], мы не требуем, чтобы начало координат было только особой точкой второй группы, т.е. центром или фокусом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

¿Х = Рп(х,у), ¿У = ^ (х,у), (3)

где Рп и Qn — взаимно простые многочлены степени п(п > 2) с действительными коэффициентами. Определение 1. Пусть преобразование

X = х + ^у, у = — + у (4)

переводит систему (3) в систему

¿Х = Рп(Х,у ), ¿у = Qn (Х,у), (5)

где Рп(Х,у) = Рп((Х — &у)/(Р + 1), (&Х + у)(Р + 1)), Qn(Х,у) = Qn((X — + 1), (&Х + у)(р + 1)).

Тогда прямую у = ^х будем называть осью симметрии N-типа поля направлений системы (3), если имеют место одновременно следующие три тождества

Рп (X, у) = урп- 1(Х,у), Qn (X, —у) = Qn (X, у ), рп- 1(х, —у) = Рп- 1 (X, 27).

Теорема 1. Если прямая у = кх — ось симметрии N-типа векторного поля, определяемого системой (3), то эта прямая является изоклиной системы (3), причем

^п(х,кх) - 1 (к е К).

-Рп (х, кх) к

Доказательство. Прежде всего, заметим, что в случае к = 0, согласно определению 1, Рп(х,у) — уРп_ 1 (х, у), где Рп_ 1(х,у), — многочлен степени п — 1 и прямая у = 0 — изоклина бесконечности.

Пусть к = 0. В результате преобразования (4) система (3) перейдет в систему (5), где

Рп (х, у) — Рп (х, у) + к^п (х, у), (х, у) — —кРп (х, у) + (х, у), (6)

а х и у следует заменить по формулам:

х — ку кх + у

х = к^ГГ' у = ^П'

Так как по условию прямая у = кх — ось симметрии N-типа системы (3), то Рп (х, 0) — 0. Поэтому из первого равенства (6) получим тождество

Рп (х, кх) + к^п (х, кх) — 0,

из которого следует требуемое равенство ^п(х, кх)/Рп(х, кх) — —1/к. Теорема доказана. □

Замечание 1. Любую ось симметрии ^типа системы (3) пересекают траектории этой системы под прямым углом (разумеется, в точках, отличных от особых).

Следствие 1. Любая простая особая точка системы (3), расположенная на ее оси симметрии ^типа, является центром или седлом.

В самом деле, простая особая точка системы (3) может быть либо центром, либо фокусом, либо узлом, либо седлом [2]. Очевидно, случай фокуса исключается, так как спиралевидная траектория не может быть расположена симметрично относительно прямой, проходящей через особую точку типа «фокус». Исключается также случай особой точки типа «узел». Сошлемся на монографию [2], согласно которой всегда можно указать цикл без контакта такой, что он окружает узел и расположен в его достаточно малой окрестности, а все траектории, пересекающие цикл, стремятся к узлу при £ ^ +го или при £ ^ —го. Вместе с тем, согласно замечанию 1, в сколь угодно малой проколотой окрестности особой точки траектории пересекают ось симметрии N-типа под прямым углом, а значит, особая точка не может быть узлом.

Пусть далее система (3) имеет две оси симметрии N-типа у = к1 х, у = к2х, к1 = к2, к1 , к2 е К. Тогда согласно теореме 1 выполняются условия:

Рп(х,к1х) + к1 ^п(х, к1 х) — 0, (7)

Рп(х,к2х) + к2^п(х, к2х) — 0. (8)

Из (7) и (8) следуют тождества

Рп(х, у) + к1 фп(х, у) — (у — к1 х)Яп-1(х, у), (9)

Рп(х,у) + к2 ^п(х,у) — (у — к2 х)£п-1 (х, у), (10)

где

п 1 п 1

Дп-1 (х,у)= ^ Г^ хгу^, ^п-1(х,у)= ^ хУ. (11)

г+^=0 ¿+.7=0

Разрешив систему (9), (10) относительно Рп и и переходя к новой переменной ¿т = ¿£/(к2 — к1) приведем систему (3) к виду

¿х

¿т = к2 (у — к1 х)Дп-1(х,у) — к1 (у — к2х)^п-1(х,у), Математика 43

dy

— = -(y - kix)Rn-i(x,y) + (y - k2x)S„-i(x,y). (12)

Рассмотрим случай, когда оси симметрии N-типа y = k1x и y = k2x взаимно перпендикулярны. Очевидно, что тогда k2k1 = —1 и, полагая k1 = k, систему (12) перепишем в виде

dx

— = (y - kx)Rn-i(x, y) + k(x + ky)Sn-i(x, y), dy

— = k(y - kx)Rn-i(x, y) - (x + ky)Sn-i(x, y). (13)

Здесь d^ = -dr/k, k = 0. Если к системе (13) применить преобразование (4) и замену времени dn = (k2 + 1)d^, то она преобразуется в систему

dx = y Rn-i (x, y), = -xSn-i (x, y), (14)

где

Rn-1(x, y) = Rn-i(x, y), Sn-i(x, y ) = Sn-i(x, y), x = x2 ky, y = kx + y.

k2 + 1 k2 + 1

Таким образом, доказана

Теорема 2. £сли система (3) имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии N-типа, то подходящим линейным преобразованием (4) эту систему можно привести к виду (14), где

Rn-i (x, -у) = Rn-i(x,y), Sn-i (x, -у) = Sn-i (x,y),

Rn-i (-x, y) = Rn-i(x,y), Sn-i (-x, y) = Sn-i (x,y). (15)

Воспользуемся системой (14) и условиями (15) для получения явного вида функций (11) в системе (13) при n = 3. Тогда

R2 (x, y) = Г00 + rio x + roiy + Г20 x2 + rii xy + r02y2, (16)

S2(x, y) = S00 + Si0x + S0iy + S20x2 + siixy + S02y2. (17)

Заменяя в выражениях (16) и (17) x и y по формулам (4), а затем, используя условия (15), можно убедиться в выполнении ограничений на коэффициенты:

ri0 = r0i = S0i = Si0 = 0, riik2 - 2(Г02 - Г20)k - rii = 0, siik2 - 2(s02 - S20)k - sii = 0. (18) Исследуем систему (18).

Если rii = sii =0 и (r02 -r20)2 + (s02 - s20)2 > 0, то координатные прямые y = 0 и x = 0 являются осями симметрии N-типа системы (3) при n = 3. При этом система (3) имеет вид

dx dy

"Г- = УR00, ~ТГ = -xS00, dt dt

где R00 = Г00 + r20x2 + Г02y2, S00 = S00 + S20x2 + S02y2.

Если rii =0 и sii = s02 - s20 = 0, то осями симметрии N-типа системы (3) являются прямые y = kx и y = -x/k, где k — корень уравнения riik2 - 2(r02 - r20)k - rii = 0. При этом система (3) имеет вид

dx

— = (y - kx)(R00 + rii xy) + k(x + ky)S00, dy

— = k(y - kx)(R00 + riixy) - (x + ky)S00. (19)

Если sii =0 и rii = r02 - r20 = 0, то прямые y = kx и y = -x/k являются осями симметрии N-типа системы (3), где k — корень следующего уравнения:

Siik2 - 2(S02 - S20)k - sii =0. (20)

При этом система (3) имеет вид

¿х

— = (у — кх)Лоо + к(х + ку)(5оо + вц ху), ¿у

— = к(у — кх)Доо — (х + ку)(50о + вц ху). (21)

Если г11 в11 =0 и (го2 — г2о)/г11 = (во2 — в2о)/в11, то осями симметрии N-типа системы (3) при п = 3 являются прямые у = кх и у = —х/к, где к — корень уравнения (20). При этом система (3) имеет вид

— = (у — кх)Л + к(х + ку)(^оо + в11 ху),

= к(у — кх)Л — (х + ку)(5оо + 511 ху), (22)

где

5 , 2 , , Г11 (во2 — 52оЬ 2 я = Гоо + Г2ох + Гцху + Г2о Г--у

V 511 /

Г11 (во2 — 52о) \у2 511

Если г11 = вц =0 и го2 = г2о = 0, во2 = в2о = 0, то осями симметрии N-типа системы (3) при п = 3 являются прямые у = кх и х = — ку, к е К, а система (3) имеет вид

¿х

— = (у — кх)Лоо + к(х + ку)£оо, ¿у

— = к(у — кх)Доо — (х + ку)^оо. (23)

Таким образом, доказана

Теорема 3. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 3 имеет две оси симметрии N-типа у = кх и х = —ку тогда и только тогда, когда она имеет вид одной из систем (19), (20)-(23) с соответствующими ограничениями на коэффициенты.

Теорема 4. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 2т, т е N и наличии в правых частях уравнений этой системы хотя бы одного одночлена размерности 2т не может иметь ровно двух осей симметрии N-типа.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы система (3) имеет ровно две оси симметрии ^типа. Не умаляя общности, рассмотрим систему

= №ш-1(х,у), = —х^2Ш-1(х,у), (24)

где

2ш — 1 2ш — 1

^2ш-1 (х,у)= £ Г- хг у-7, ^2Ш-1(х,у)= ^ % ху. (25)

г+7=о г+7 =о

В силу симметрии поля направлений системы (24) относительно прямых х = 0 и у = 0 при п = 2т должны быть выполнены условия (15).

Каждое слагаемое степени 2т — 1 в правых частях равенств (25) содержит х или у в нечетной степени. Поэтому согласно условиям (15) при п = 2т все одночлены размерности 2т — 1 в правых частях равенств (25) отсутствуют. Пришли к противоречию с тем, что правые части уравнений системы (24) содержат хотя бы один одночлен размерности 2т. Теорема доказана. □

Следствие 2. Если правые части уравнений квадратичной дифференциальной системы содержат хотя бы один квадратичный член, то эта система не может иметь в точности две оси симметрии N-типа.

Согласно работе [1] система (3) в случае (Рп,^п) = 1 имеет не более п + 1 осей симметрии ^типа. Поэтому справедливо

Утверждение 1. Если векторное поле системы (3) имеет более п +1 осей симметрии N-типа, то число таких осей симметрии бесконечно много, а система (3) вырождается в систему = у,

¿у= —х.

Теорема 5. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 2т, т е N не может иметь четного числа осей симметрии N-типа, если правые части уравнений этой системы содержат хотя бы один одночлен размерности 2т.

В самом деле, пусть число осей симметрии ^типа поля направлений системы (3) при п = 2т,т е N равно 21, где 1 < I < [(п + 1)/2]. Не уменьшая общности, считаем, что осью симметрии N-типа является прямая у = 0 (этого всегда можно добиться с помощью преобразования (4)). Очевидно, любую из 21 осей симметрии ^типа можно получить поворотом прямой у = 0 на угол, кратный углу ^ = п/21 [1]. Следовательно, среди осей симметрии векторного поля системы (3) непременно находится и прямая х = 0. Это означает, что система (3) имеет вид системы (24). В остальном рассуждения совпадают с теми, которые проведены при доказательстве предыдущей теоремы 4.

Далее рассмотрим случай трех осей симметрии N-типа векторного поля системы (3) при п = 3.

Введем обозначения: = tg ^, = tg , &з = tg , причем 0 < ^ < < ^з < п. Тогда согласно работе [1] справедливо равенство — = — = п/3.

Воспользовавшись тригонометрическим равенством tg(а — в) = ^ а — tg в)/(1 + tg а tg в) легко получить соотношения для и :

ki + л/3 , ki — л/3

-, кз =-= .

1 — kiV3 1 +

к2 = , кз = . (26)

Так как к3 < 0, то из (26) по необходимости следует, что ki е [0; 1/л/3) U (1/л/3; л/3), разумеется, при к1 > 0.

Заметим, что при к1 = 1/л/3(^1_ = п/6) имеем к2 = = п/2) и к3 = — 1/л/3(^3 = 5п/6).

Пусть система (12) при n = 3 имеет, наряду с прямыми y = k1 x и y = к2x, ось симметрии N-типа y = к3x. Тогда по теореме 1 имеет место тождество

[R2(x,y)(k2 — к3 )(y — ki x) + S2 (x,y)(k3 — ki)(y — k2x)] = 0. (27)

y=k3x

Из (27) получаем, что

S2(x, y) = (y — k3x)Ti(x, y) + R2(x, y). (28)

Здесь

2

R¡(x,y) = Vijxy, Ti (x, y) = too + ti0x + toiy.

i+j=0

С учетом (28) система (12) при n = 3 запишется в виде dx

— = (к2 — ki)yR¡(x,y) — ki (y — k2x)(y — k3x)Ti (x,y),

dy = — (k2 — ki)xR2(x,y) + (y — k2 x)(y — k3 x)Ti (x,y). (29)

Последовательно применяя к системе (29) преобразования x = x + kiy, у = —kix + y (i = 1, 2, 3) и учитывая после каждого преобразования, что прямая y = 0 — ось симметрии N-типа поля направлений, получаемых в результате указанных преобразований систем, убеждаемся в выполнении следующих условий на коэффициенты:

tio = toi = 0, Vii = 0, V02 = V20 = 0,

t00(k2k3 + 1) t00(k2k3 + 1)ki , тур* /QA'I

Vio = --J--J-, Voi = -:-:-, too € R\{0}, (30)

k2 — ki k2 — ki

kiе [0; 73) n(;i; v5

С учетом (30) придадим системе (29) вид

dx

— = (k2 — ki)yT — ki (y — k2x)(y — k3x)too,

dy

— = -(&2 - kl)xT + (y - k2x)(y - k3x)too, (31)

dT

где

Г too (k2 k3 + . , n . ,2 , 2Л1

T = ^roo +--k _ k-(x + kiy)+ r2o(x + y )J

k2 - ki

и k2,k3 задаются формулами (26). Таким образом, доказана

Теорема 6. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 3 имеет три оси симметрии N-типа y = k1 x, y = k2x, y = k3x, где k1 e |0; П ^; V3^, k2 и k3 определяются по формулам (26), тогда и только тогда, когда эта система имеет вид (31).

Замечание 2. too = 0, так как в противном случае правые части уравнений системы (31) не будут взаимно простыми, а также r2o = 0 (в противном случае система (31) вырождается в квадратичную). Рассмотрим теперь случай четырех осей симметрии N-типа системы (3) при n = 3. Пусть y = k1 x, y = k2x, y = k3x, y = k4x — оси симметрии N-типа системы (3), причем k1 = tg k2 = tg ^2, k3 = tg ^3, k4 = tg , 0 < < ^2 < ^3 < < П.

Не уменьшая общности, считаем, что 0 < < п/4, то есть 0 < k1 < 1. В силу работы [1] - = - = - = п/4.

Полагая, что четыре указанные прямые являются осями симметрии N-типа системы (3), ее можно привести к виду

dx

— = (k2 - k^yRn- 1 (x, y) - k1 K234T„_3(x, y),

dT

^ = -(k2 - k1 )xRn-1(x, y) + K234Tn-3(x, y), (32)

где

K234 = (y - k2x)(y - k3x)(y - k4x),

n —1 n—3

Rn-1(x,y)= rijxy, Tn-3(x,y)= tijx'yj.

i+j=o i+j=o

Применяя к системе (32) последовательно преобразования x = x + ky, y = -kx + y, i = 1, 2, каждый раз учитывая, что векторное поле получаемых систем симметрично относительно прямых x = 0 и y = 0, убеждаемся, что при n = 3 и k1 e (0; 1) имеют место ограничения на коэффициенты:

гю = ro1 = 0, 2(ro2 - r2o)k1 + Гц (1 - k2) = 0,

2(ro2 - r2o)k2 + rn(1 - ) + too(k2 + k3 + k3k2 - k4) = 0,

где too e R\{0}.

Таким образом, имеет место

Теорема 7. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 3 имеет четыре оси симметрии N-типа y = k1 x, y = k2x, y = k3x, y = k4x тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

dx

— = (k2 - k1 )y(Roo + Г11 xy) - k1 tooK234, dy

"dt = -(k2 - k1 )x(Roo + Г11 xy) + tooK234, (33)

где k1 e (0; 1), k2 = (1 + k1)/(1 - k1), k3 = -1/k1, k4 = (k1 - 1)/(1 +

2(ro2 - r2o)k1 + Г11 (1 - k2) = 0, (34)

2(ro2 - r2o)k2 + Г11 (1 - k2)+ too(k2 + k3 + k3 - k4) = 0, too e R\{0}. (35)

Замечание 3. В системе (33) по необходимости выполняется условие (ro2 - r2o)r11 = 0, так как в противном случае из (34) и (35) следует равенство too = 0, и правые части уравнений этой системы не взаимно простые.

Теорема 8. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 3 имеет четыре оси симметрии N-типа y = 0, x = 0, y = x, y = — x тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

dX = yRoo, dt = —x[Roo — too (y2 — x2)], (36)

где too e R\{0}, ro2 = r2o + too-

Для системы (36) в силу неравенства too = 0 автоматически выполняется условие ro2 — r2o = 0. Далее, полагая, что прямая y = kx — ось симметрии N-типа векторного поля системы (3) при n = 3, в соответствии с теоремой 1 придадим системе (3) вид

ddx = (y— kx)R2 (x,y) — kQ3 (x,y), ddt = Qs(x,y)' (37)

где

23

r2 (x,y)= rij xiyj' Q3 (x,y)= bijxi yj -

i+j=o i+j=o

Применив к системе (37) преобразование (4) и считая прямую y = 0 осью симметрии N-типа для полученной системы, можно легко убедиться в выполнении следующих ограничений на коэффициенты:

roí = rio k, гцк2 — 2(ro2 — r2o)k — щ = 0, boi = (bio + roo)k,

riok3 + biik2 + (2b2o — 2bo2 + rio)k — bn = 0,

(bi2 + ro2)k3 + (rii — 3bo3 + 2b2i )k2 + (r2o — 2bi2 + 3b3o)k — b2i = 0,

(b3o + r2o)k3 — (rii + b2i )k2 + (ro2 + bi2 )k — bo3 = 0. (38)

Теорема 9. Прямая y = kx является осью симметрии N-типа системы дифференциальных уравнений (3) при n = 3 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

dx = (y — kx)(roo + riox + roi y + r2o x2 + riixy + ro2 y2) — kBi, ddt = Bi,

где Bi = boo + biox + boi y + b2ox2 + bnxy + bo2y2 + b3ox3 + b2ix2y + bi2xy2 + bo3y3, k e R и выполняются условия (38).

Рассмотрим вопрос об осях симметрии N-типа квадратичной системы. Согласно теореме 5 и работе [1] квадратичная система может иметь либо одну ось симметрии, либо три оси симметрии N-типа.

Пусть система (3) при n = 2 имеет ось симметрии N-типа y = kx. Тогда согласно теореме 1 эта система имеет вид

dt = (y — kx)Ri (x,y) — kQ2 (x,y), ^ = Q2(x,y), (39)

2

где Ri(x,y)= roo + riox + roiy, Q2(x, y) = E b¿jxiyj.

i+j=o

Применим к системе (39) преобразование (4) и, считая прямую y = 0 осью симметрии N-типа векторного поля полученной системы, убедимся в выполнении следующих ограничений на коэффициенты:

roi = riok, boi = (roo + bio)k, riok3 + bnk2 + (2b2o — 2bo2 + rio)k — bn = 0. (40)

Теорема 10. Прямая y = kx является осью симметрии N-типа поля направлений системы (3) при n = 2 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

ddx = (y — kx)(roo + rio x + roi y) — kB2, ^t = B2, где B2 = boo + biox + boiy + b2ox2 + biixy + bo2y2 и коэффициенты удовлетворяют системе (40).

Пусть далее система (3) при n = 2 имеет три оси симметрии N-типа: y = k1 x, y = k2x, y = k3x, где k1 e [0;1^V3^(1^v/3^V/3], k2 и k3 определены по формулам (26). Тогда система (12) при n = 2 по теореме 1 может быть приведена к виду

dx

— = (k2 - k1 )y(roo + r1ox + ro1 y) - k1(y - k2x)(y - k3x)too, dy

dT = -(k2 - k1)x(roo + r1ox + ro1 y) + (y - k2x)(y - k3x)too, (41)

где too e R\{0}.

Последовательно применяя к системе (41) преобразования x = x + k¿y, y = -k'x + y (i = 1, 2,3) и учитывая после каждого преобразования, что прямая у = 0 — ось симметрии N-типа поля направлений получаемых в результате указанных преобразований систем, убеждаемся в выполнении следующих условий на коэффициенты системы (41):

ro1 = r1ok1, ro1 - r1ok2 + too(1 + k2k3) = 0, (k2 - k1)(ro1 - rWk3) + too(k3 - k1 )(1 + k2k3) = 0.

Учитывая полученные ограничения на коэффициенты, а также формулы (26), запишем систему (41) в виде

^ = yK1 - k1 K2, ^ = -xK1 - K2, (42)

где d^ = [(k2 + 1)dT]/(1 - 3k2), K = [(V3 + 3k1)roo - 2too(x + k1y)], K = too[(1 - k^y -- (k1 + V3)x][(1 + k^\/3)y - (k1 - V3)x]/(k2 + 1).

Теорема 11. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 2 имеет три оси симметрии N-типа: y = k1 x, y = k2x, y = k3x, где k2 и k3 определяются по формулам (26), тогда и только тогда, когда она имеет вид (42), причем k1 e [0; 1/\/3) U(1/\/3; \/3), too e R\{0}.

В заключение отметим, что в работе [3] проведено исследование на симметрию дифференциального уравнения

3

x + J] Cij x' yj dy i+j=2

dx 3

y + bijxi yj

i+j=2

(43)

Как видно, начало координат уравнения (43) является особой точкой типа «центр» или «фокус». В целях их различения в точке 0(0; 0) в [3, 4] найдены условия симметрии. Отметим, что в работах [1, 3, 4] не используется термин «ось симметрии N-типа», введенный нами в настоящей работе и который позволяет записать в более удобной форме полиномиальные системы, что упрощает их последующее качественное исследование.

Библиографический список

1. Сибирский, К. С. Принцип симметрии и проблема центра / К. С. Сибирский // Учен. записки Кишинев. ун-та. - 1955. - Т. 17. - С. 27-34.

2. Андронов, А. А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. А. Леон-тович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. - М.: Наука, 1966. -568 с.

3. Сибирский, К. С. Условия симметрии поля на-

правлений некоторого дифференциального уравнения / К. С. Сибирский, И. И. Плешкан // Учен. записки Кишинев. ун-та. - 1957. - Т. 29. - С. 11-14.

4. Сибирский, К. С. Центры с симметрией поля направлений дифференциального уравнения / К. С. Сибирский // Изв. АН Молд. ССР. - 1963. - № 1. -С. 79-83.