CC BY
21
УДК 517.925.41 ББК 22.161.61 95
Ушхо А. Д.
Старший преподаватель кафедры теоретической физики физического факультета Адыгейского
государственного университета, тел. (8772) 59-39-08
Исследование полиномиальных дифференциальных систем на плоскости, имеющих оси симметрии S -типа
(Рецензирована)
Аннотация
Вводится понятие оси симметрии S -типа поля направлений системы дифференциальных уравнений, правые части которых представляют собой взаимно простые многочлены степени n с действительными коэффициентами. Для n = 2;3 проводится исследование этой системы на S -симметрию. Изучается вопрос о сосуществовании осей симметрии S -типа и прямых изоклин системы, отличных от осей симметрии и проходящих через начало координат. Доказывается утверждение: если эта система при n > 2 имеет n2 особых точек в конечной части фазовой плоскости и n + 1 осей симметрии N -типа при отсутствии осей симметрии S -типа или n + 1 осей симметрии S -типа при отсутствии осей симметрии N -типа, то все особые точки расположены на осях симметрии, причем начало координат 0(0;0) - особая точка.
Ключевые слова: оси симметрии, полиномиальная дифференциальная система, особая точка, взаимно простые многочлены.
Ushkho A.D.
Senior Lecturer of Theoretical Physics Department at Physics Faculty of Adyghe State University,
ph. (8772) 59-39-08
Plane polynomial differential systems with the S -type symmetry axis
Abstract
The paper introduces the concept of S-type symmetry axis of the field lines of system of differential equations, whose right side is relatively prime polynomials with real coefficients. The author examines the question on coexistence of the axes of S-type symmetry and straight-line isoclines of the system, differing from the axes of
symmetry and passing through the origin of coordinates. It is proved that if the system for n > 2 has the n of singular points in the finite part of the phase plane and n + 1 of axes of N-type symmetry in the absence of S-type symmetry axes or n + 1 axis of S-type symmetry in the absence of the axes of N-type symmetry, then all singular points are located on the symmetry axes, and the origin of coordinates 0(0;0) is a singular point.
Key words: symmetry axes, polynomial differential system, singular point, coprime polynomials.
В статье [1] было введено понятие оси симметрии N-типа и проведено исследование на данный тип симметрии системы дифференциальных уравнений
dx = рп ( y), d- = Qn ( y), (3)
где Pn и Qn - взаимно простые многочлены с действительными коэффициентами, в случаях n = 2;3 .
Настоящая работа является в некотором смысле продолжением упомянутой статьи [1], поэтому для удобства изложения будем придерживаться порядка нумерации формул, теорем, следствий, замечаний, утверждений и определений, имеющихся в ней.
Определение 2. Пусть преобразование
х = х + ку, у = -кх + у (*)
переводит систему (3) в систему
| = Р (,у), I = в. (х, у). (4).
Прямую у = кх назовем осью симметрии £ -типа поля направлений систе-
мы (3), если
Р. (х,-у ) = Р.(x, уX в. (x, у Ь ув«-1((, уК 6.-1 (х~у Ь 6.-1 ( у X
где в, (х, у) - многочлены степени /(/ = ., п -1), Р (х, у) - многочлен степени . .
Теорема 12. Если прямая у = кх - ось симметрии £ -типа векторного поля, определяемого системой (3), то эта прямая является инвариантной для системы (3), то есть имеет место равенство
в. (х кх) = к Р.(x, кх) .
Доказательство. Прежде всего, заметим, что случаю к = ~ соответствуют тождества:
Р. у ) = хР.-1(x, у ^ Р.-1(- x, у ) = Р.-1(x, уК 0.(- x, у ) = 0.(x, у^
а значит х = 0 не только ось симметрии £ -типа, но и инвариантная прямая.
Пусть у = кх, к е ^ - ось симметрии £ -типа системы (3). В результате преобразования (*) система (3) перейдет в систему (4), где
Р.(x, у) = Р.(^ у)+кв.(x, у)> в.(x, у) = -кР.(^ у) + б.(х у) (5)
В равенствах (5) х и у следует заменить по формулам:
х ку кх у ....
х = —,-----------------^—, у = ~1-+ ~^- (51)
к2 +1 к2 +1 к2 +1 к2 +1
Согласно определению 2 в (х,0) = 0, т.е.
.
- кР. (х, кх) + в. (х, кх )= 0.
Из последнего тождества следует требуемое равенство
в.(х,кх) = к (52)
Р.(х, кх )= к. (52)
Следствие 3. Если у = кх - ось симметрии £ -типа поля направлений системы (3), то имеет место тождество
<2п(^ у )=(у - кхК-1(х у) + кР.(х у),
.-1
где Р.-1(x,у)= Егпх1у1 .
,+] =0
Найдем коэффициентные условия того, что система (3) при . = 3 имеет в качестве оси симметрии £ -типа прямую у = кх .
Согласно следствию 3 система (3) при . = 3 запишется в виде
Шх = Р3(х у ^ =(у - кхК ( у)+ кР3 (x, у). (53)
ш т
Сделаем в системе (53) преобразование (*) и потребуем, чтобы прямая у = 0 была осью симметрии £ -типа. В результате получим следующие ограничения на коэффициенты:
Г01 = Г10к, Г11к2 - 2(02 - Г20 ^ - Г11 = 0 а01 = («10 - Г00 ^,
(01 - «11 )к2 + (10 + 2а02-2а20 ^ + «11 = 0 (54)
(Г02 - «12 ) + (Г11 - 2«21 +3«03 )) + (Г20 - 3«30 + 2«12 )) + «21 = 0,
(20 - «30 )к3 + (- Г11 + «21 )к2 + (02 - «12 )) + «03 = 0.
Теорема 13. Прямая у = кх является осью симметрии £ -типа поля направлений системы дифференциальных уравнений (3) тогда и только тогда, когда она имеет вид
Шх 2 2 3 2 2 3
— = «00 + «10х + «01 у + «20х + «11ху + «02у + «30х + «21 ху + «12ху + «03у ,
ж
йі
(у - кх)(гш + (ох + ^у + г20х2 + гпху + г02у2)+ (55)
+ к (а00 + а10 х + а01 у + а20 х2 + ап ху + а02 у2 + а30 х3 + а21х2 у + а12 ху2 + а03 у3),
причем коэффициенты в (55) удовлетворяют системе (54).
Рассмотрим случай двух осей симметрии £ -типа кубической дифференциальной системы. Если система (3) при . = 3 имеет две оси симметрии £ -типа: у = к1 х,
у = к 2 х, то согласно следствию 3 имеют место равенства
°3{x, у)- к1 Р3(^ у )=(у - к1х)^2(x, у) (56)
°3 (x, у ) - к2Р3 (x, у )=(у - к2х)£2 (x, у ) . (57)
Разрешив систему (56), (57) относительно Р3 и в3, получаем следующие соотношения:
Р3(x, у) = Т~Г[у - к1х^ (x,у )-(у - к2х))2 (( у)], (58)
к2 к1
03 (X, у ) = г \ (у - к1 х))2 ( у ) - к1 (у - к2х))2 ( у )] . (59)
к2 - к1
Учитывая (58) и (59), а также замену переменной Шт = —Ш—, систему (3) при
к2 - к1
. = 3 можно переписать в виде
Шх
(у - к1х)р2 ( у )-(у - к2х) ( у ), ат
йу = к2 (у - к1х)^2 ( у ) - к1 (у - к2хК ( у ) •
ат
(60)
Если система (60) имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии £ -типа, то, очевидно, к1 • к2 =-1 (если к 1= 0, то к2 =^ ). Обозначим к1 через к, тогда
к2 = -1 ( * 0) и системе (60) можно придать вид 2к
= к (у - кх ))2 (x, у)-(х + ку ))2 (x, у),
ту (61)
= -(у - кх)р2 (х, у)- к(х + ку £ (х, у).
ат
Система (61) получена умножением обеих частей уравнений системы (60) на к , но при этом мы оставили прежнее обозначение времени т .
2 2
Здесь Я2 (х, у )= Е г1}-х'у] , £2 (х, у)= Е *цхг у1 . Применяя к системе (61) пре-
г+1=0 г+1=0
образование () и учитывая, что прямые х = 0 и у = 0 - оси симметрии £ -типа, убеждаемся в выполнении следующих условий на коэффициенты системы (61):
Г10 = Г01 = *10 = *01 = 0 , Г11к - 2(Г02 - Г20 )Х - Г11 = 0 , *11к - 2(*02 - *20 )Х - *11 = 0 .
Тем самым доказана
Теорема 14. Две прямые у = кх и х = -ку являются осями симметрии £ -типа системы (3) при . = 3 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид
= к{у - кх)(г00 + г20х2 + Г11 ху + г02у2 )- (х + ку ')00 + *20х2 + *11 ху + *02у' (
Ш (62)
-у = -(у - кх)(( + Г20х2 + Г11ху + Г02у2 )- к(х + )у )(*00 + *20х2 + *11 ху + *02у' ( причем выполняются условия
Г11к 2 - 2(Г02 - Г20 )Х - Г11 = 0 , (63)
*11к - 2(*02 - *20 )Х - *11 = 0. (64)
Пусть далее система (3) при . = 3 имеет три оси симметрии £ -типа, тогда система (60), кроме прямых у = к1 х и у = к2 х, имеет еще третью ось симметрии £ -
типа у = к 3 х. Согласно следствию 3 имеет место равенство
£2(х у )=(у - к3х)т1(х у) + К2(x, у). (65)
С учетом (65) перепишем систему (60) в виде
Шх = (у2 -к1 )Х2(x,у)- (у -к2хХу - к3х)((x,у),
Шт (66)
= (к2 - к1 (у^2 (x, у ( - к1 (у - к2 х (у - к3 х )Т1 (x, у ( .
ат
где Т1 (х, у ) = /00 + ^0 х + t01 у , к2 и к3 определены по формулам (26) [1]
2
^2(х у (= Е гух' у ^ , к1 е
г+1=0
0;4* 1 и [-^/э
л/3 у ^л/3
Последовательно применяя преобразования х = х + кгу , у = -кгх + у (г = 1,2,3) к системе (66) и учитывая после каждого преобразования, что прямая у = 0 - ось симметрии £ -типа поля направлений получаемой в результате указанных преобразований системы, убедимся в выполнении условий
^10 ^01 0, Г01 Г10к1 , Г11 0, Г02 Г20 ^ 0, Ї00 ( 2 )Гі0 ' (67) Рассматривая (67), приходим к выводу, что имеет место
Теорема 15. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 3 имеет три оси симметрии £ -типа: у = к1 х, у = к2 х, у = к3 х тогда и только тогда, когда эта система имеет вид
= 2(к12 + ^ [/*00 + г10 (х + к1У)+г20 (х2 + У2)]+
+ гю [ - к^>/з )у-(к1 + л/з к^л/3 )у-(к1 -л/3 )],
(68)
^У = 2(к12 + 1)у [г00 + г10 (х + к1У)+ г20 (х2 + У2 )] +
1
І I ^ ^
При этом к1 є
+ г10к1 [ - к^л/з )у-(к1 + л/з Щ + ^л/з )у-(к1 -л/3 )]. ' 1 Л ( 1 "
1
0;
и
к 2 и к3 определены по формулам (29).
’л/3 J ^
Замечание 4. Обе части уравнений системы (66) предварительно мы разделили на
! ^ \ и обозначение переменной т оставили без изменения. Кроме этого, в сис-
2(1 - ^л/3)
теме (68) г11 • г20 Ф 0, ибо в противном случае либо правые части уравнений системы
(68) имеют общий многочлен, либо эта система вырождается в квадратичную систему.
Рассмотрим теперь случай четырех осей симметрии £ -типа системы (3) при п = 3 .
Пусть к1 = tgф1, к2 = tgф2, к3 = tgф3, к4 = tgф4, где 0 <^1 <ф2 <фъ <ф4 < п.
п
Не уменьшая общности, примем 0 < (р1 < —, т.е. 0 < к1 < 1. Тогда в силу работы [2]
п
имеют место соотношения (р2 - (р1 = (р3 -ф2 = ср4 -ф3 = —.
Отметим, что при к1 = 0 имеют место равенства к 2 = 1, к 3 = ^ (х = 0 - ось
симметрии £ -типа), к4 =-1. Поэтому мы будем полагать, что к1 е (0;1). Тогда
*2 = ^ , к, =-1, *4 = ^ . («)
2 1 - к х 3 к, 4 1 + к1 V '
В предположении, что система (3) при п = 3 имеет четыре оси симметрии £ -типа, эту систему можно привести к виду
Щ- = (Х2 - к1 )Х£2 (X, У )'+ (У - к1ХХУ - к3Х)У - к4Х)t00 ,
Ш (69)
= (Х2 - к1 )у£2 Х У ) + к2 (У - к1Х)Х - к3Х)Х - к4Х)t00 ,
Ш
І+} =0
Последовательно применяя преобразования х = х + к{у , у = -кгу + у, / = 1;2, к системе (69) и учитывая после каждого такого преобразования, что прямые х = 0 и у = 0 являются осями симметрии £ -типа поля направлений получаемой системы, убеждаемся в выполнении условий
«10 = £ 01 = 0, «„ = , «02 = «20-2+т, > 00 е Я \ {0}. (70)
к1 к1 +1
Таким образом, справедлива
Теорема 16. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 3 имеет четыре оси симметрии «-типа: у = к1 х, у = к2х, у = к3х, у = к4х, где к1 е (0;1), к2, к3, к 4 заданы по формулам (* *), тогда и только тогда, когда эта система имеет вид
= ( - к1 Я«00 + «20х2 + «11 ху +«0272 ]+ ( - к1 хХу - к3х)(у - к4х^
М (71)
^ = (У2 - к1 ))[«00 + «20х2 + «11 ху + «02у 2 ]+ к2 (у - к1х)(у - к3х)(у - к4хХХ00 , ш
причем выполняются условия (70).
Теорема 17. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 3 имеет четыре оси симметрии «-типа: у = 0, у = х, у = - х, х = 0 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид
Г «00 + «20 у + у 2 ) + ^00у 2 _ , Му - у «00 + «20 у + у 2 ) + ^00х2 _ , (72)
где г00 е Я \ {0}.
Далее рассмотрим вопрос об условиях «-симметрии квадратичной системы. Так как квадратичная система имеет лишь одну или три оси симметрии «-типа, то сначала рассмотрим случай одной оси симметрии.
Замечание 5. Теоремы 4 и 5, доказанные в случае осей симметрии N -типа системы (3) в работе [1], остаются в силе и в случае осей симметрии «-типа. Более того, оценка числа осей симметрии N -типа, данная в работе [2], также справедлива по отношению к оси симметрии « -типа.
Теорема 18. Прямая у = кх является осью симметрии «-типа поля направлений системы дифференциальных уравнений (3) при п = 2 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид
Шх 2 2
— =а00+аюх + а(Лу + а20х + «„ху + а02у ,
М (73)
Ш- = (у - кх)у0 + г10х + ГлуХ+ к(а00 +а10х + уу + а20х2 + а11 ху + а02у2), и при этом выполняются условия
Г01 = Г10к , а01 = (а10 - Г00 )Х , (74)
2(а02 - а20 )Х + а11 у1 - к 2 Х+ (к 2 + ^10 = 0 . (75)
Пусть система (3) при п = 2 имеет три оси симметрии «-типа: у = к1 х,
у = к2 х , у = к3х , где к2 и к3 удовлетворяют равенствам (26) [1]. Тогда по необхо-
димости эта система имеет вид
Мх
— = ( - кг )х^ (у у)- (у - к2 х )(у - кзх )ґ00 , м (76)
йу = (2 - к1 )уКг (х, У ) - к1 (у - к2 х )(у - к3 х К, , м
где І00 Є ^ \ {°Ь К1 (Х У у= Г00 + Г10х + Г01У •
Определим условия на коэффициенты системы (76), для этого последовательно осуществим преобразования х = х + кіу, у = -кіх + у ( = 1,2,3). После каждого такого преобразования будем требовать, чтобы прямая у = 0 была осью симметрии £ -типа поля направлений получаемой системы.
Теорема 19. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 2 имеет три оси
симметрии S -типа: y = кІ x, y = к2 x, y = k3 x, где кІ є
І
0;л/3 г ив
к3 заданы по формулам (26) [1], тогда и только тогда, когда эта система имеет вид
и
^;V3
k2 и
^ = (2 - k1 )Х(Г00 + Г10Х + ) - ^0 (У - k2Х)У - k3Х) ,
— (77>
= 2 - k1 )х(00 + Г10Х + Г01У Х - k1^0 (У - k2Х)У - k3ХХ ,
—t
причем
r01 = r10k1 , r10 (У1 — k2 Х + 100 ( + k2k3 Х = 0 , 100 G R \ i0} • (78)
Замечание 6. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 2 имеет три оси симметрии S -типа: у = 0, у = >/3х , у = -л/3х в том и только в том случае, когда эта система имеет вид
— х( - 2t00х) + t00 (3х — у ) d (79)
-—у = y(r0^V3 - 2t00Х )
где 100 G R \ {0}.
Утверждение 2. Существуют полиномиальные дифференциальные системы (3), обладающие как осями симметрии N -типа, так и осями симметрии S -типа.
—Х
Пример 1. Поле направлений системы дифференциальных уравнений — = -2ху,
dt
— = у2 - х 2 имеет три оси симметрии N -типа: у = 0, у = л/3х , у = -л/3х и столь-dt
с 1 1 п
ко же осей симметрии S -типа: у = —;= х , у = —■== х , х = 0 .
\3 л/3
Пример 2. Векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений —— = х(у ( - х2), —у = у (х2 - у2) имеет четыре оси симметрии S -типа: у = 0,
х = 0, у = х, у = - х и столько же осей симметрии N -типа: у = (Л +1) х,
у = -(л/2 +1) х, у = (л/2 -1) х, у = -(л/2 -1) х •
Замечание 7. Ранее доказанную теорему 5 [1] о том, что дифференциальная система (3) при п = 2т (.п є N) не может иметь четного числа осей симметрии, следует понимать в том смысле, что эта система не может иметь четного числа осей симметрии N -типа и четного числа осей симметрии £ -типа.
В этой связи можно отметить, что справедливо
Утверждение 3. Существуют системы вида (3), которые при п = 2т (пп є N) имеют четное число осей симметрии, причем половина из них - оси симметрии N -типа, а другая половина - оси симметрии £ -типа.
Пример 3. Поле направлений системы дифференциальных уравнений Мх л 2 2 Му ЛГ
— = 1 - х + у , — = ху имеет одну ось симметрии N -типа х = 0 и одну ось сим-
М М
метрии £ -типа у = 0 . Впрочем, никаких других осей симметрии данная система не имеет. Это следует из того, что никакая прямая у = кх, к є Я \ {0} не является изоклиной. Но, как нами ранее доказано, любая ось симметрии, будь то N -типа или £ -типа, является изоклиной.
Нетрудно также проверить, что данная система имеет только два состояния равновесия: (1;0), (-1;0), и они являются простыми седлами.
Теорема 20. Пусть правые части уравнений системы дифференциальных уравнений (3) при п = 3 содержат хотя бы один линейный или квадратичный член. Если эта система имеет три оси симметрии N -типа (£ -типа), то она не имеет осей симметрии £ -типа (N -типа).
Доказательство. Для определенности будем считать, что кубическая система дифференциальных уравнений имеет три оси симметрии N -типа, а также оси симметрии £ -типа. Тогда, в силу заявленной симметрии, осей симметрии £ -типа у системы (3) будет так же три. Иначе говоря, через начало координат кубической системы дифференциальных уравнений проходят шесть прямых изоклин (любая ось симметрии
— прямая изоклина). Но это противоречит теореме 3.1 [3], согласно которой через особую точку 0(0;0) проходят не более пяти прямых изоклин.
Следствие 4. Если кубическая система дифференциальных уравнений имеет не менее трех осей симметрии (не важно, какого типа), причем правые части уравнений этой системы содержат хотя бы один некубический член, то она не имеет прямых изоклин, проходящих через начало координат и отличных от указанных осей симметрии.
Пример 4. Поле направлений системы дифференциальных уравнений Мх / „ „ 2 2\ Му / „ „ 2 2\ „ 2 2
— = у 3 - 2х + х + у ), — = -х^- 3 - 2х + х + у )+ 3х - у имеет три оси симмет-Мі Мі
рии N -типа: у = 0, у = 43х, у = -43х. Кроме этих трех прямых, данная система не имеет прямых изоклин, проходящих через точку покоя 0(0;0).
Пример 5. Система дифференциальных уравнений — = у( + х2 - у2),
Мі
— = -х (2у2 - 2х2 -1) имеет две оси симметрии N -типа: у = 0 , х = 0 и столько же Мі
осей симметрии £ -типа: у = х, у = -х . Никаких других прямых изоклин, проходящих через состояние равновесия 0(0;0), система не имеет.
Теорема 21. Пусть правые части уравнений системы дифференциальных уравнений (3) при п = 2 содержат хотя бы один линейный член. Если эта система имеет три оси симметрии N -типа (£ -типа), то она не имеет осей симметрии £ -типа (N -типа).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Теорема 22. Пусть квадратичная система дифференциальных уравнений имеет две оси симметрии при условии, что правые части уравнений этой системы содержат хотя бы один неквадратичный член. Тогда обе оси симметрии являются либо изоклинами нуля, либо изоклинами бесконечности.
Доказательство. Повернем координатные оси так, чтобы ось абсцисс совместилась с осью симметрии £ -типа (N -типа). Тогда прямая у = 0 - изоклина нуля (изоклина бесконечности), а прямая х = 0 - ось симметрии N -типа (£ -типа). По теореме 1 [1] (по теореме 12) х = 0 - изоклина нуля (изоклина бесконечности). Теорема доказана.
Мх
Пример 6. Векторное поле системы дифференциальных уравнений — = ху,
М.
= 1 - х2 + у2 имеет две оси симметрии: х = 0 - ось симметрии £ -типа, у = 0 -
ось симметрии N -типа. Других осей симметрии данная система не имеет. Обоснуем это утверждение. Если квадратичная система имеет не менее трех прямых изоклин, то, по крайней мере, на двух из них эта система индуцирует различные направления (см. Т. 2.4 [3]). Так как все оси симметрии являются изоклинами и проходят через точку 0(0;0), то 0(0;0) - особая точка. Но в нашем случае это не так. Попутно заметим, что особыми точками системы являются (-1;0), (1;0) - центры.
Отметим, что система, приведенная в примере 3, также удовлетворяет условиям теоремы 22.
Из теорем 21 и 22 следует
Утверждение 4. Если квадратичная система дифференциальных уравнений имеет не менее двух осей симметрии при условии, что правые части уравнений этой системы содержат хотя бы один неквадратичный член, то она не имеет прямых изоклин, проходящих через начало координат 0(0;0) и отличных от указанных осей симметрии.
Пример 7. Поле направлений системы дифференциальных уравнений
— = х(1 - 2х) + 3х2 - у2, — = у(1 - 2х) имеет три оси симметрии £ -типа: у = 0,
М М
у = 43х , у = -43х. Через начало координат 0(0;0) не проходит ни одна прямая изоклина этой системы, отличная от указанных осей симметрии.
Теорема 23. Если поле направлений дифференциальной системы (3) имеет максимальное (конечное) число осей симметрии N -типа и такое же число осей симметрии £ -типа, то правые части уравнений этой системы суть взаимно простые однородные многочлены п -ной степени.
Доказательство. Пусть система (3) имеет п +1 осей симметрии N -типа и столько же осей симметрии £ -типа. Тогда общее число осей симметрии £ -типа сис-
темы (3) равно 2п + 2, т.е. через начало координат 0(0;0) проходят не менее 2п + 2 прямых изоклин. Если бы правые части уравнений системы (3) содержали хотя бы один одночлен размерности т (1 < т < п), то число прямых изоклин системы, проходящих через точку 0(0;0), согласно теореме 3.1 [3] не превосходило бы 2т +1, но 2т +1 < 2п + 2. Теорема доказана.
Примеры 1 и 2 иллюстрируют утверждение последней теоремы.
Теперь сформулируем теоремы об особых точках полиномиальных систем, имеющих оси симметрии.
Теорема 24. Пусть при п - нечетном (п > 3) система дифференциальных уравнений (3) имеет п2 особых точек в конечной части фазовой плоскости, а поле ее направлений симметрично относительно п +1 осей симметрии N -типа (осей симметрии £ -типа нет) или относительно п +1 осей симметрии £ -типа (осей симметрии N -типа нет). Тогда все особые точки системы расположены на осях симметрии, причем 0(0;0) - состояние равновесия системы.
Доказательство. Пусть Ь - одна из осей симметрии системы (3). Тогда эта прямая, как изоклина системы, проходит через п особых точек. Так как п - нечетное, то 0(0;0) - особая точка системы. Общее число особых точек системы, принадлежащих
п +1 осям симметрии, равно (п + 1)п - п = п2. Следовательно, система не имеет состояний равновесия, расположенных вне осей симметрии. Теорема доказана.
Утверждение 5. В условиях теоремы 24 на всех осях системы (3) не может быть индуцировано одно и то же направление поля (3).
В самом деле, если предположить противное, то согласно работе [3] найдется линейное невырожденное преобразование, переводящее все п + 1 оси симметрии либо в изоклину бесконечности, либо в изоклину нуля. Это означает, что в полученной таким образом системе правая часть одного из двух дифференциальных уравнений представляет собой произведение п + 1 линейных множителей (т. е. многочлен степени п + 1 ). Линейное преобразование, примененное к полиномиальной системе дифференциальных уравнений, не увеличивает степень многочлена.
дх
ду
-х
Мі
Пример 8. Поле направлений дифференциальной системы — = у(4 + х2 - 4у2), -х( - 4х2 + у2) симметрично относительно четырех осей симметрии N - типа:
у = 0, х = 0, у = х, у = - х, а сама система имеет девять состояний равновесия:
0(0;0), А(0;1), Я(0;-1), С(1;0), Я(-1;0), Е
22
22
н
22
р
л/3 л/3 у у л/3 л/3
22
Легко видеть, что все указанные состояния равновесия
расположены на осях симметрии, кроме того, в силу [3] система не имеет прямых изоклин, отличных от осей симметрии N -типа и проходящих через начало координат. Следовательно, мы находимся в условиях теоремы 24. Заметим также, что
О, Е, G, Н, р - центры, а остальные состояния равновесия - простые седла.
Утверждение 6. Любая простая особая точка системы (3), расположенная на оси симметрии £ -типа, является либо седлом, либо узлом.
Доказательство аналогично доказательству следствия 1 [1].
Пример 9. Прямая у = 0 является осью симметрии £ - типа поля направле-
дх 2з ду Д 2\ ~
ний системы — = х + у - х , ^^ = у ^1 + у ). о(0;0) - неустойчивый простой вы-
рожденный узел, (±1;0) - простые седла.
Пример 10. Прямая у = 0 является осью симметрии £ - типа поля направлений системы — = - х + у2 + х3, — = у( + у2). 0(0;0) - простое седло, (±1;0) -
простые узлы.
Теорема 25. Пусть при п - четном (п > 2) система дифференциальных уравнений (3) имеет п2 состояний равновесия в конечной части фазовой плоскости, а ее поле направлений симметрично относительно п +1 осей симметрии N -типа (осей симметрии £ -типа нет) или относительно п +1 осей симметрии £ -типа (осей симметрии N -типа нет). Тогда все состояния равновесия системы (3) расположены на осях симметрии, причем 0(0;0) - состояние равновесия системы (3).
Доказательство. Любая ось симметрии, как прямая изоклина, проходит через п состояний равновесия. При этом система не может индуцировать одно и то же направление ее поля на всех п +1 осях симметрии (это доказывается так же, как и утверждение 5). Следовательно, согласно [3] 0(0;0) - состояние равновесия системы (3). Итак, общее число состояний равновесия системы (3), расположенных на п +1 осях симметрии, равно (п + 1)п - п = п2. Так как система (3) не может иметь более п2 состояний равновесия в конечной части фазовой плоскости, то налицо справедливость утверждения настоящей теоремы.
Следствие 5. В условиях теоремы 25 все п состояний равновесия системы (3), принадлежащие произвольной оси симметрии этой системы, лежат на одной полупрямой относительно начала координат.
Пример 11. Поле направлений дифференциальной системы
= 2х(1 - х) + 3х2 - у2, д- = 2у(1 - х) симметрично относительно трех осей симметрии £ - типа: у = 0, у = 43х, у = -43х. Четыре состояния равновесия (0;0),
(- 2,0), ^), (1,-73) расположены на осях симметрии. Согласно [3] не существует других прямых изоклин кроме трех данных осей симметрии, проходящих через начало координат, а следовательно, нет у системы осей симметрии N -типа.
Нетрудно заметить, что особые точки системы образуют невыпуклый четырехугольник, причем 0(0;0) - простой неустойчивый узел. Согласно работе [4] остальные особые точки - простые седла.
Две последние теоремы позволяют сформулировать следующее
Утверждение 7. Пусть система дифференциальных уравнений (3) при п > 2 имеет п 2 особых точек в конечной части фазовой плоскости, а поле ее направлений симметрично относительно п +1 осей симметрии N -типа (осей симметрии £ -типа нет) или относительно п +1 (осей симметрии £ -типа нет). Тогда все состояния равновесия системы (3) расположены на осях симметрии.
Теорема 26. Пусть £ - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке О(0;0), а система (3) при п четном имеет п2 состояний равновесия и п + 1 осей симметрии N -типа (осей симметрии £ -типа нет) или п +1 осей симметрии £ -типа (осей симметрии N -типа нет). Оси симметрии пересекаются с окружностью С в 2п + 2 точках. Среди этих точек рассмотрим три произвольные точки М1, М2,
М3 такие, что: 1) [ОМ2) - биссектриса ^М1ОМ3; 2) /МхОМ3 = ХМ2ОМ3 = П .
п +1
Тогда либо на луче [ОМ2 ) расположены п состояний равновесия, а на каждом из лучей [ОМ,) и [ОМ 3) - одно состояние равновесия, либо на луче [ОМ 2) расположено одно состояние равновесия, а на каждом из лучей [ОМ1) и [ОМ3) - п состояний равновесия.
Доказательство. Предположим, что условие теоремы выполняется, а заключение неверно. Тогда:
1) либо на всех трех лучах по одной особой точке;
2) либо на каждом из трех лучей расположены п особых точек.
Доказательство проведем для случая 1), так как в случае 2) рассуждения
аналогичны.
Не уменьшая общности, считаем, что возрастанию индекса М соответствует движение вдоль окружности (: в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Обозначим через М1 диаметрально противоположную точке М1 точку на окружности С . Тогда согласно следствию 5 на луче [ОМ1) расположены п особых точек системы (3). В силу того, что система (3) имеет п +1 осей симметрии, с учетом [2] приходим к выводу: на лучах [ОМп), [ОМп-2), ..., [ОМ 2) система (3) имеет п особых точек, что противоречит нашему предположению.
В случае 2) приходим к тому, что на луче [ОМ2 ) система имеет одно состояние равновесия. Теорема доказана.
Утверждение 8. В условиях утверждения 7 система дифференциальных уравнений (3) не имеет предельных циклов.
Примечания:
1. Тлячев В.Б., Ушхо АД., Ушхо Д.С. Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости // Известия Саратовского университета. Сер. «Математика.
Механика. Информатика». 2010. Т. 10, № 2. С. 41-49.
2. . . // -
ского госуниверситета. 1955. Т. XVII. С. 27-34.
3. . . -
. , 2007. 93 .
4. . . -
нения // Известия высших учебных заведений. 1960. № 2(15). С. 3-18.
