CC BY
33
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион УДК 517.9
И. В. Бойков, В. А. Рязанцев
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Аннотация. Получены критерии устойчивости решений систем дифференциальных уравнений параболического типа с дробными производными. Исследование основано на сведении исходных систем уравнений к системам обыкновенных дифференциальных уравнений в спектральной области. Ключевые слова: устойчивость тривиального решения, параболические уравнения, дробные производные Римана - Лиувилля, логарифмическая норма.
Abstract. The authors have developed stability criteria of solutions of parabolic equations and systems of parabolic equations with Riemann-Liouville fractional partial derivatives. The investigation is based on the reduction of a given equation system to the system of ordinary differential equations in spectral space. Key words: Liapunov stability, parabolic equations, Riemann - Liouville fractional derivatives, logarithmic norm.
Введение
Проблема устойчивости решений уравнений в частных производных является актуальной как с теоретической точки зрения, так и в связи с большим количеством приложений этих уравнений в естествознании и технике. Этим проблемам посвящена обширная литература, в которой нужно отметить публикации [1-6], содержащие большую библиографию.
В данной работе исследуется устойчивость параболических уравнений с дробными производными и с коэффициентами, зависящими от времени. Получены критерии устойчивости, выраженные через логарифмические нормы матриц, полученные в результате применения преобразования Фурье по пространственным переменным. Логарифмическая норма оператора A определяется формулой [7]
A(A) = lim ^ + hAЧ 1.
w Uo h
В случае, если A - вещественная матрица, логарифмическая норма в про-
n
странстве векторов x = (xi,...,xn) с нормами ||x|| = max|, ||A|| = max "\ajk\
k=1,n j =1,n k=i
вычисляется по формуле [7, 8]:
A(A) = max
j=1, n
( n \
a ц + "V a
jr V |"jk|
k=1, k Ф j
(1)
/
Объектом исследования в данной работе являются дифференциальные уравнения в частных производных дробного порядка в смысле Римана - Лиувилля. Дробная производная порядка у> 0 в смысле Римана - Лиувилля
^^ f ^) некоторой функции f (x) определяется формулой [9]:
а»"*/(* ) =
1 й[У]+1 I / ф г(1 — {у})^1 1 (Х 4){у}
-й
где [у] - целая часть порядка дробной производной V ; {у} - дробная часть V , так что у = [у] + {у} ; Г - гамма-функция.
Несмотря на то, что метод дробных производных находит все больше применений в физике и технике (например, в термодинамике, электродинамике, физике плазмы, теории турбулентности, космофизике и т.д. [9-11]) исследование устойчивости решений уравнений в частных производных параболического типа с производными дробного порядка в настоящее время находится в начальном состоянии.
1. Критерии устойчивости
Рассмотрим задачу Коши для нелинейного двумерного дифференциального уравнения с дробными производными Римана - Лиувилля по координатным переменным:
иЫ ( 1, , Х2 ) / \ у 1 / \ , Ч у_ / \
—--- = а1 ()В 1ы (,Х1,Х2) + а2 ()В 2ы (,хь *2) +
дг
+аз(г)_В*3 _ВХ24Ы(г,Х1,Х2) + а4(г)_ВХ25 _В*6Ы(г,Х1,Х2) +
+а5(г)ы (, Х1, Х2) + g(t,ы)■; (2)
Ы (о, Х1, Х2 ) = ы0 (Х1, Х2), (3)
где 1 > 1о, а у к , к = 1,6 - фиксированные положительные числа.
Исследование устойчивости решения задачи Коши (2)-(3) будем проводить в банаховом пространстве функций / (1, Х2) с нормой, задаваемой равенством
"|1/2
00 ОО '
1 I \/(Х1, Х2 ) йХ1йХ2
—О —О
При каждом фиксированном значении 1 норма функции ы(г,Х1,Х2) определяется формулой
"1/2
Ю ОО '
¡(1, Х1, Х2 )|| =
I I Ы (г, Х1, Х2 )) йх^2
—ОО —ОО
Дадим тривиальному решению уравнения (2) начальное возмущение и будем рассматривать возмущенную задачу Коши (2)-(3). Обозначим Х = (х1,Х2) и будем считать, что решение ы(г,х) задачи (2)-(3) существует и
вместе со своей производной ды(г,х))дг суммируемо с квадратом по пространственным переменным.
Пусть ид (х) - непрерывная функция, удовлетворяющая условию |м0 (х Для прямого и обратного преобразований Фурье используем
обозначения
и (х, ю) = Ри (х, х ) = — Г Г и (х, х у((х1 +ю^2 )б/х1^Г2; 2—
—^ —^
и(х,х) = Р—1и(х,юью2 ) = 2- Г Г и(х,ю)е"/(с01Х1+Ю2Х2)£/ю1^ю2,
—^ —^
где ю = (сс>1,Ю2).
Применим к задаче (2), (3) преобразование Фурье по пространственным переменным, учитывая [9], что
Р( _В^и (х,х) = (—iCj ) и(х,ю). (4)
В результате приходим к задаче ди (х, ю)
Эх
\V3
a*, (t) + ai (t)(-/ю1) 1 + Ü2 (t)(-/Ю2) 2 +
+a3 (t)(-7Ю1 ) 3 (-7ю2 ) 4 + a4 (t)(-7Ю1 ) 6 (-7ю2 ) 5 U(t,ю) + G(t,u); (5)
U (to, ю) = Uо (ю), (6)
где G(t,u ) = F(g(t,u)) .
Справедливы равенства:
(-7Юу ) k =|юу| k (-i sgn Юj ) k =|юу| k (oos(^2) - i sin (л/ 2 )sgn Юj ) k = = |юу| k •( cos ( 7! ( sgn Юj )) )-7 sin (л (sgn Oij )))) k = = Ю| k • exp(-iVkft(sgnЮj ))) =
= |юj| k •(cos^vk/2) - i sin (77Vk¡2)sgn ю]-). (7)
Используя (7), можно представить (5) следующим образом:
Эи Э|'Ю =¥1 (t, ю)и (t, ю)-7^2 (t, ю)и (t, ю) + G (t, u), (8)
где
¥i (t,ю) = a5(t) + ai (t)|a)i |Vl cos(7V^2) + a2 (t)|ю2|V2 cos(7V2/2) + +a3(t) |ю1 |V3 |ю2 |V4 [cos(TV^2)cos(TV^2) -
-sgn(<Di)sgn(<B2)sin(rcv3/2)sin(rcv4/2)] + a4(t)Ц|v<5 |ю2f5 х x[cos(rcv5 / 2) cos(rcv 6 /2) - sgn(roi) sgn(ro2) sin(rev^ 2) sin(rcv6 /2)]; (9) ¥2 (t,ю) = ai (t) |mi f1 sgn(a>i) sin (tjv^2) + a2 (t) Ю f2 sgn^) sin (v2/2) + +аз (t) |a>i |v3 |ю2 |v4 [sgn(roi) sin(rev^2) cos(rev^2) + + sgn(ro2)cos(nv^2)sin(rev^2)] + a4(t)Ю|v® |ю2|v5 x x[sgn(roi) cos(rev^ 2) sin(rcv 6 /2) + sgn(ro2) sin(^v^ 2) cos(rcv 6 /2)].
При всяком фиксированном юе Я решение уравнения (8) может быть
г
г | [( ,5,ю)-г| 2( .?,ю)]]
представлено в следующем виде [7]:
t
J [( s,a>)-iy 2( s,ffl)]ds
U (t, ю) = et0 Очевидно,
Uо (ю) + Ji
G(x,u)dx. (i0)
0
U (t, (o)f
J [(s,a>)-iy2(s,a>)]ds
UоH|"
t J [(s,ffl)-iy 2( s,a>)]ds J ex G (x,u )di
2 J yi(s,a>)ds < 2e t0 |U0 (ю)|2 + 2
i t t J ¥i( s,a>) ds
J e T t0
|G (x, u )|d x
(ii)
Оценим каждое из двух слагаемых в правой части полученного нера-
2
венства в предположении, что при всяком фиксированном юе R и при t > to функция ¥i (t, ю) удовлетворяет неравенству
¥i(t,ю)<-у, у = const, 0<у<^. (i2)
Первое слагаемое оцениваем следующим образом:
t
2 J ¥i (s,a>)ds
2e to |U0 (ю)|2 < 2е"2у(г-г0) |u0 (ю)|2. (i3)
Для оценки второго слагаемого воспользуемся неравенством Гельдера:
i t t J ¥i( s,ffl)ds
J eX
t0
2
|G (x, u )|d x
< 2
( it 11 t —J ¥i( s,ffl)ds —J ¥i( s,ffl) ds
Je x • e x |G(x,u)|dx
2
t0
( г
< 2
| ет С т
V г
г | 5,ю) сЬ
| е т |С (т, и ) С т
го
< 2
/ V
V,
V Го
| е"у(г _т)С т | е"у(г "т)| С (т, и ))2 С т
V го
< 2
(1 _ е_К'_'о Кг г
2
/V Го
|е"у(г-т|а(т,и|2 Ст < 2 |е"у(г-т|а(т,и)|2 Ст
/ ^о
. (14)
Из неравенств (11)—(14) следует оценка
\и(г,ю)|2 < 2е"у(_о^ (ш|2 +
2 2
| е"у(г _т) С (т, и )|2 С т
V го
(15)
Проинтегрировав обе части неравенства (16) по переменным о>1, ю2:
имеем
то то (г
р(,ю) <2е"у(г-го^(ш||2 + 2 | | |е"^_т)|С(т,и|Ст
'V 'о
Пусть справедливо неравенство
У (г, и ЩкрЦиЦ, р> о.
Сю!Ю2. (16)
(17)
В интеграле в правой части неравенства (16) изменим порядок интегрирования и, воспользовавшись формулой Планшереля, получим
Р(г,ю))2 < 2е"^_о)ио (ю)2 + 2|е_т)|С(т,и) Ст<
< 2е"
_У(г _го) Ро (ю)2 + 21 _т)| g (т, и ))2 С т
<
го
2 г
< 2е
"у(г _о ) | ио (ю)2 + ^ | е"у(г _т) | и(т, ю)||2 С т
<
го э2 к
< 2е
)Ро (ю)2 + 1е_*_0|и(т,ю)||2 Ст. (18)
го
\
о
Введем функцию ф(5) = е у(х 5и(5,ю)|| и представим предыдущее
232 Г
неравенство в виде ф(х)< 2ф(о )--J ф(т)/т. Применяя неравенство Гро-
нуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, получаем неравенство
\\и (х, ю))2 < 2ехр
( 2Р2 ^ --У
(х - хо)
К И|2.
Извлекая квадратные корни из обеих частей полученного неравенства и применяя формулу Планшереля, имеем окончательно
||и (х, х )^л/2ехр
(о 2 ^
Р__У
У 2
( - х0 )
Е1.
(19)
Из неравенства (19) следует, что тривиальное решение уравнения (2) асимптотически устойчиво, если константы Р, у удовлетворяют неравенству
Р<уД/2.
(20)
Теорема 1.1. Пусть выполнены условия:
1) функции й1((),..., 05(0 непрерывны при X> (о;
2) для любых вещественных значений Ю1, Ю2 и для X> (о выполняется неравенство (12), где ^ (х, ю) определяется формулой (9);
3) функция g(х,и) непрерывна по обеим переменным и удовлетворяет
условию (17), причем справедливо неравенство (20).
Тогда тривиальное решение уравнения (2) асимптотически устойчиво.
2. Устойчивость решений системы линейных параболических уравнений с дробными производными
Рассмотрим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка относительно неизвестных функций и (X, Х1, Х2), и2 (X, Х1, Х2):
= °11 (()(-В^Щ) + 012 (х)(-К^2 щ) + 013 (х)(_ В^ и2) + + 014 (X)(В^4и2) + 015 (х)и1 + а16 (х)и2, д( = «21 (X)(-ВX-2-Ul) + 022 (X)(_ВХ222щ ) + 023 (х)(_В^23и2) + + 024 (X)( — ВХ24и2 ) + 025 (х)щ + 026 (х)и2,
Эи
(21)
с начальными условиями
и1 (хо,Х1,Х2 ) = ио1 (Х1,Х2), и2 (хо,Х1,Х2 ) = ио2 (х1,Х2 ). (22)
89
о
Обозначим х = (х}, х2). Исследование устойчивости решения задачи Коши (21)-(22) проводится в банаховом пространстве вектор-функций f (х) = ((1 (х),У2 (х)) с нормой, задаваемой равенством
= тах
к =1,2
| | \Л (х)2 ^х2
12
(23)
При каждом фиксированном значении t норма функции и (, х) определяется формулой
"|1/2
ю оо /
'(t,
и (t, х ни = тах
к =1,2
I I К (, х )|2 dxldx2
—^ —^
(24)
Замечание 1. Нижеприведенное исследование устойчивости тривиального решения может быть распространено на систему уравнений
^=«1,1 ()((D;;д и1)+аи (t)((д;2и и1)+«1,з (t)(( и2)+ +«1,4 (t)(( ^ и2) + ) (( Д^5 и1)+ +«1,6(о (^ /Л7 д^ и1)+(«1,7 () (( /Л9 ^ и2)+
+ «1,8^)((Д^1 —осД^12 и2 )+ «1,9 (t)и1 + «1,10 ()и2,
^ = «2,1 ()( (D;l2ДUl ) + (2,2 ()( (и1) + (2,3 ()( ( Д^Ч ) +
+«2,4 ()(( Дх;2,4и2 )+ «2,5^)(( Д^5 _ д;22,6и1) +
+«2,б(0 ( _ Д]2^) + «2,7^) ( Д^9 _ Д^10 и2) +
+ «2,8 (t)(Д^2,12и2 )+ «2,9 (t)и1 + «2,10 ()и2,
а в рамках настоящей работы с целью упрощения выкладок исследуется устойчивость тривиального решения более простой системы уравнений (21).
Обозначим ю = (о)1,^2). Введем матрицу В(,ю) = {Ьу(,ю)}, I,у = 1,4,
где
Ь11 = ь22 = «11 (t )Ы 11
С08[ ™П
+ «12 (ЖГ
С08
™12
+ «15 (t),
№ 4 (24), 2012 Физико-математические науки. Математика
¿J2 =-b21 =аи (t)|ю1 |Vl1 sin^-21 jsgn(roj ) + a!2 (t)|ro2|Vl2sin^jSgn(Ю2 ),
b13 = b24 = ai3 (t)|»1 Г13 cos^^] + ai4 (t)|»2f14 cos^^ ] + aj6 (t)
b14 = -b23 = a13 (t)|ro1 T13sin^-у1 )sgn(Ю1 ) + a14 (t)Ю2Г14 sin[-V± )sgn(Ю2)'
b31 = b42 = a21 (t )|Ю1 |V21 cos ^^ ] + a22 (tЖ Г22 cos ^] + a25 (t), b32 = -b41 = a21 (t)|ro1 Г21 sin ^^)sgn (ro1 )+ a22 (t)ro2 Г22 sin (-VT' )sgn (Ю2 )' b33 = b44 = a23 (tЖ Г23 cos^^jj + a24 (t)|»2f24 cos^^ ] + a26 (t)
b34 = -b43 = a23 (t)|ro1 Г23 sin ^^f )sgn (Ю1) + a24 (tЖГ* sin (—J4)sgn (Ю2 ) Теорема 2.1. Пусть выполнены условия:
1) функции aij (t) (i = 1,2, j = 1,6) непрерывны по переменной t;
2) при любых фиксированных значениях (t,ro), t > t0, <ro¿ < °° , k = 1,2, логарифмическая норма матрицы B (t, ro) удовлетворяет неравенству
A(B(t,ro))<-a(ro), a(ro)> 0, (25)
где A(B(t,ro)) вычисляется по формуле
4
A(B(t,ro)) = max bj (t,ro)+ £ |bjk (t,ro) j=1'4 ^ k=1, k * j
(26)
Тогда тривиальное решение задачи (21)-(22) устойчиво. Доказательство. Обозначим х = (*1,*2). Дадим тривиальному решению начальное возмущение и будем рассматривать задачу Коши (21)-(22). Пусть решение ы (t, х) = ((г, х), Ы2(1, х) ) задачи (21)-(22) существует и вместе
со своей производной ды/дг = (ды^дг,ды^дг) суммируемо с квадратом на
всей плоскости. Для прямого и обратного преобразований Фурье введем следующие обозначения:
Uk (t,ro) = Fu (t,x) = 2- J ... J uk (t,x)"i((1+®2x2)dx1dx2, (27)
—^ —^
ик\
(t,x) = F—1U(t,ю) = 2- j ... j uk (t,®y((x1 +®2X2)dro1dro2, (28)
—^ —^
где к = 1,2 .
Применив преобразование Фурье к системе (21), приходим к следующей системе относительно неизвестных функций и1 (х,ю), и2 (х,ю):
эи
dt
эи2
1 = au (t)(/Ю1 )V11 Ui + ai2 (t)(/®2 )Vl2 Ui + 013 (t)(/®i )Vl3 U2 +
Эt
+ a14 (t)(/®2 )V14 U2 + 015 (t)U 1+015 (t)U2, = a21 (tЖ)V21 U1 + a22 (t)(z®2f22 U1 + 023 (t)(7® )V23 U2 +
(29)
+ a24 (t)(/®2 )V24 U2 + a25 (t)U 1+ 025 (t)U2. Обозначим U(t,®) = (U^t,®),U2(t,ю))T и ||U(t,ю)|| = max|Uk(t,ю) при
к=1,2'
2
каждом фиксированном юе Я .
Введя представления и = У + 7У2, и2 = У3 + 7У4 и используя формулу (4), представим (29) в виде следующей системы уравнений относительно неизвестных функций V (х,ю), V) (х,ю), Уз (х,ю), ¥4 (х,ю):
Э¥1
"ЭГ
an (t)|®1 |V11
|Vl1 cos1 -V11
+ a12 (t)|ю2 Г
008
-V12
+ a15 (t)
¥1 +
a11 (t)|®1 |V11smI -V1i]sgn(ю1) + a12 (t)Ы
|V12 sin I -V_12 I sgn (ю2)
¥2 +
013 (t)|®1 |V13 cos|^j + 014 (t)|®2Г14 cos|^| + a15 (t)
¥3 +
a13 (t)|ю1 Г
81П
-V13
sgn(ю1) + 014 (t)ю2|
V14 I -V14
'14 sin I ^^ I sgn (ю2)
¥4; (30)
Э¥2
Эt
—a11 (t )i®1 г11 sin ^ —sgn (ю1)—
— a12 (t)|ю2Г12 sini^12 Isgn (ю2 )
¥1 +
011 (t |V11cos I ) +
+a12 (t )|ю21
IV12__J -V12
008
+ 015(t)
¥2 +
—013 (t)|ю1
81П
lVl3 sin I -V13 I sgn (ю1 )-
—014 (t)|ю1 Г
14
81П
-V14
sgn (ю2 )
¥3 +
013 (t )ю1 |V13 cos I —— I +
-V13
+a14 {t )h Г
cos
rcv14
+ a16 (t)
V
dt
a21 (t )|ю1 Г
™ 21
cos| —r^- | + a22(t
22
V4
™ 22
(31)
+ a25 (t)
V +
a21 (t )|ю1 Г21 sin ^ ) sgn (®1) + a22 (t Ж Г
'22 sin i ^22 1 sgn (co2)
V2 +
a23 (t)|c1|V23 cos|) + a24 (tЖГ cos|^
+
a26(t)
V3 +
a23 (tЖ P
23
sin
23 2
dV4 = dt
sgn (®1) + a24 (tЖ P
24 24
sin
24
sgn (ю2 )
V4; (32)
-a21 (t Ж Г
21
sin
rcv21
sgn (ю1 )-
-a22 (t)|c21
sin
v22 sin I rcv22 Isgn (c2 )
V +
a21 (t Ж1
v21 cos № 1 +
+a22 (t Ж Г
22
cos
™ 22
+ a25 (t)
V +
-a23 (t)|ю1 Г
23 23
sin
23
sgn (ю1 )-
-a24 (t)|ю1 Г
sin
rcv24
sgn (ю2 )
V3 +
a23 (tЖ Г
cos
rcv23
+a24 (t)|ю1 Г
24
cos
rcv 24
+ a26(t)
V4.
(33)
В операторном виде система (30)-(33) записывается следующим обра-
зом:
dV (t, ю)
dt
= B (t, ю) (t, ю),
(34)
где V(t,ю) = ( (t,rn),V2 (t,ю)^ (t,rn),Vj (t,ю)) .
При каждом фиксированном юе R2 норма вектор-функции V(t,ю) вычисляется по формуле ||V(t,ю) = max V (t,ю)|. Справедливы неравенства
V(t,ю)1 = max4V (t,ю))
( 12 max Vk (t,ю) < maxpk (t,ю)| = ||U(t,ю)||,
' v
k =1,4
/
k =1,2'
p(,ю) = maxpk (t,ю) <12 WZVkГ < V(t,ю).
Тем самым имеем оценку
И х , ю)1 < |и( Х , ю)^|у( х , юЦ. (35)
Пусть Я4 - пространство векторов х = ( х1, х2, хз, х4) с нормой ||х|| = шах| хЛ . Пусть, кроме того, В [а, г ]=|х е Я 4,|| х — а|| < г\. Докажем, что
и и к=1,4' I I " " J
при всяком фиксированном юе Я2 траектория У(Х,ю) решения уравнения (34) при Хд < Х не покидает шара В[0,8д ], где 8д = ||у( Хд,ю)) . Предположим противное: пусть при некотором ю = ю в момент времени Т траектория решения уравнения (34) покидает шар В[0,8д ] . Для этого значения ю = ю уравнение (34) представим следующим образом:
дУ( Х, ю)
дх
• = В( Т, ю)У( Х, ю) + Т( Х, ю)У( Х, ю),
(36)
где ¥( Х, ю) = В( Х, ю) — В( Т, ю).
Решение уравнения (36) при Х > Т может быть представлено в виде [7]
У ( Х, ю) = еВ ( Т ,ю) ( Х—Т )У (Т, ю) + ГеВ ( Т ,ю) ( Х—5 Ц5, ю) V ( 5, юЦ.
Переходя к нормам, имеем:
гВ(Т ,й)(х-Т )у(, ю)
У(х, ю»
Г еВ(Т ,ю)(х—5 Ц 5, ю)У( 5, ю)Л
. (37)
Оценим норму первого слагаемого. Так как по условиям теоремы логарифмическая норма Л(В( Х,ю)) удовлетворяет при всех юе Я2 неравенству (25), то имеем следующую оценку:
В(Т ,ю)(х—Т)
У(Т, ю)
< е"
о)(х—Т)
1У( Х, юЦ.
(38)
Для оценки второго слагаемого отметим, что из структуры оператора ¥(Х,ю) следует, что для любого как угодно малого е>0 найдется такой
промежуток времени ДТ(е,ю), что при Т < Х < Т + ДТ(е, ю) будет выполняться неравенство ||т(Х,ю)У( Х,ю)) <е||У( Х,ю)) . Поэтому
Г еВ(Т ,ю)(х—5 Ц ю)у( юЦ
х
< {||е
Т
В(Т ,ю)(Х —
< ||еВ( Т,ю) ( Х—5 1 Т
Х
—а ( ю) (Х—5
Т
¥( 5, ю)У( 5, ю)
I
II5,ю)У ( 5,ю) <еГе_а( ю) ( Х—5) ||У ( 5,ю) Ж. (39)
1
1
1
Из неравенств (37)-(39) имеем
V(t,») < e-0^)(t) IV(г,ю)) + е|е"а(ю)(~s) |V(*,сор*.
T
Введем функцию ф(*) = e а(ю)(г *) ||v(s,юЦ и представим предыдущее
t
неравенство в виде ф^)<ф(Т) + еJф(*)ds. Применяя неравенство Гронуолла -
T
Беллмана и возвращаясь к нормам, получаем неравенство
V (t, а ) < e 1>а(ю )+£](t-T ) V (T, а )||г
откуда в силу условия (25), выбора е и произвольности T следует неравенство V(t,а))1 < V(to,сс)) . Тем самым приходим к противоречию, обосновывающему справедливость для любого значения юе R2 неравенства V(t,ю) < V(to,юЦ, из которого в силу двусторонней оценки (35) следует
неравенство ||U(t,ю))2 < 2||Uo (ю)Ц2 . Проинтегрировав обе его части по переменным ю^, ю2 и воспользовавшись формулой Планшереля ||U (t, ю))^ =
= ||«(t,х^2 , приходим к неравенству ||«(t,x))2 < 2||«o(x)||2, из которого сразу
же следует неравенство ||« (t, х )Ц<-\/2||«o(x)||, означающее устойчивость тривиального решения задачи (21), (22). Теорема доказана.
3. Устойчивость решений системы нелинейных параболических уравнений с дробными производными
Исследуем устойчивость тривиального решения задачи Коши для системы нелинейных параболических уравнений с дробными производными
^ = «11 ( -^«1 ) + «12 ( -D22«1) + «13 ( -D/3«2) +
+ «14 (D^4U2 ) + «15«! + «16^2 + g1 (t,«1,U2),
< д У (40)
-Ц2 = «21 (- DX121«1) + «22 (- DX222 «1) + «23 ( - DX,23 «2) +
+ «24 ( — DX224 «2 ) + «25«1 + «26«2 + g2 (t, «1, «2 ) с начальными условиями
«1 (to,x) = «01 (x), «2 (to,x) = «02 (x). (41)
Обозначим x = (1, x2). Исследование устойчивости решения задачи Коши (4o)-(41) проводится в банаховом пространстве вектор-функций
/ (х ) = (/ (х), / (х)) с нормой, задаваемой равенством (23). При каждом фиксированном значении t норма функции и (, х) определяется формулой (24). Пусть ю = (сю, ^2); введем матрицу Р (, ю) = { ру (, ю)} , ¡, у = 1,4, где
Р11 = Р22 = «11 ю1 11 С08
^) + «12 ^СО*(^] + «15,
, .у,, . [ЯУП ^ , , , .у,, . [ЯУ12 ^ , ч
Р12 = —Р21 = Р11 Ы 81п I —2 I Э8п (ю1) + Р12 |ю2| 81п 8§П (ю2 ),
Р13 = Р24 = «13 Ы"13^|| + «14 |ю2р4 С°Э|\ + «\6, Р14 = —Р23 = «13 |ю1 Г13 *1п |^ \ ввп (ю1) + «14 |ю2 Г14 вш |\88П (ю),
| + «22 |ю2 Г22 С°Э |^Ур^ + «25,
ЯУ 21
Р31 = Р42 = «21 21 С0*
Р32 = —Р41 =«21 ИР ЯП[^у21 \в8п(ю1) + «22 КГ22 ЭШ^(ю2 ),
Р33 = Р44 = «23 |ю1 Г23 |^^ + «24 |ю2 Г24 [^ + «26,
Р34 = —Р43 = «23 |ю1 Г23 эт(^(ю) + «24 |ю2 Г24 *1п |Яу21 \*8п (ю2). Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:
1) при любых фиксированных значениях Юк, —1к = 1,2, логарифмическая норма матрицы Р (ю) удовлетворяет неравенству
Л(Р (ю))<—у, У> 0, (42)
где Л(Р(ю)) вычисляется по формуле
( 4
Л(Р (ю)) = тах I Руу (ю)+ 2 \Рук (ю)
У=1,4 ( к=1, к Ф у
Т
2) функция g(^и) = ( (t,и),g2 (^и)) непрерывна по обеим переменным и удовлетворяет условию
и(t,и)<^и||, Р>0, (43)
причем справедливо неравенство Р < у/2 .
Тогда тривиальное решение задачи (40), (41) устойчиво.
Доказательство. Дадим тривиальному решению начальное возмущение и будем рассматривать возмущенную задачу Коши (40), (41). Пусть решение и (Х, х) = ( и1 (Х, х), и2(Х, х)) задачи (40), (41) существует и вместе со своей
производной ди/дх = ( дщ/дх,д^/дх) суммируемо с квадратом по всей плоскости. Для прямого и обратного преобразований Фурье используем обозначения (27) и (28) соответственно.
Применив преобразование Фурье к системе (40), приходим к следующей системе относительно неизвестных функций и ( Х,ю), и2 ( Х,ю):
Э U1
Э;
эи2
I = an ( iю ) 1 Ui + ai2 ( ¿ю )Vl2 U + al3 ( iю )Vi3 U2 +
Эt
+ ai4 ( i&2 )Vl4 U2 + ai5Ui+ai6U2 + Gi ( t,u), = a2i ( iff>i )V21 Ui + a22 ( ^ )"22 Ui + a23 ( iK»i f23 U2 +
(44)
+ a24 ( i®2 )V24 U2 + a25U 1+a26U2 + G2 ( t,u), где Gk(t,u) = F(gk(t,u)), k = 1,2.
Обозначим U( t,ю) = (Ui(t,ю),и2(t,ю))T и ||u( t,ю)|| = max|Uk( t,ю)| при
k=1,2
2
каждом фиксированном юе R . Введя представления Ui = V + iV2, U2 = V3 + V4 и используя тождество (4), представим (44) в виде следующей системы уравнений относительно неизвестных функций V ( t,ю), V2 ( t,ю),
V3 ( t, ю), V4 ( t, ю):
dv Э;; ю=р( ю)к(, ю)+G(t, u),
(45)
где
У( х, ю) = (У1 ( х, ю),У2 ( х, ю),У3 ( х, ю),У4 ( х, ю))Т,
6(Х,и) = ( 61 ( Х,и),&2 ( х,и),63 ( Х,и),64 ( Х,и)) , Gl(Х,и) = 61 (Х,и) + ¡&2(Х,и), 62(Х,и) = 63(Х,и) + /64(Х,и).
При каждом фиксированном юе Я2 норма вектор-функции У( Х,ю) вы-формуле ||У( Х,ю) = шах|Ук(Х,ю) и справедлива оценка (35).
Решение уравнения (45) может быть представлено в виде [7]
числяется по
V( t, ю) = eP( ю) ( ; )V( t0, ю)+ J eP (ю) ( ; )G( s, юЦ.
;
о
Переходя к нормам, имеем
У (X,ю) < е^(ю)(х-хо V(хо,ю)
| еР(ю)(х - 5 ( ( 5, ю)й
(46)
Оценим норму первого слагаемого. Так как по условиям теоремы логарифмическая норма Л(Р(ю)) удовлетворяет при всех юе Я2 неравенству (42), то имеем следующую оценку:
Р(ю) ( х-хо)У(хо,ю) < е-у(х-хо)У (хо,ю)Цг (47)
Второе слагаемое в правой части неравенства (46) оценивается следующим образом:
| еР (ю)(х-5 ((5, ю)Л
1 хо
< |||еР (ю) ( х-5((5,ю) < | еР(ю) ( х-5) 1 •((5,юЦй
< |е"у(х-5)((5,ю) ¿5.
(48)
Из неравенств (46)-(48) следует неравенство
||У( X,ю) < е-у(х-хо) |У( хо,ю)) + |е-у(х-5) |((5,ю)) ¿5. (49)
хо
В силу двусторонней оценки (35) и аналогичной оценки для ((5, ю)) из неравенства (49) следует оценка
||и( X, ю)Ц<72е-у( х-хо) и ( хо, ю)Ц + >/2 |е"у( х-5 ) в( 5, и)) ¿5. (5о)
хо
Проинтегрируем неравенство (5о) с квадратом по переменным ю1, ю2 . Тогда последовательно используя неравенство (11), неравенство Гельдера и условие (43) вместе с неравенством Планшереля, получаем оценку
1ИX,ю| < 2 | | е-у(х-хо)и( хо,ю)Ц+ }е-у(х-5)С(5,и))¿5
й ю1ю2 <
X уп л у
< 4е"2у(х-хо)и(хо,ю)Ц2 + 4 | | |е"2^е"2^)(( 5,и){*
V о
й ю1 ю2 <
1
х
о
1
х
о
< 4е"у(-о) |и(о,ш) + ) |О(и) & :
у к
< 4е
„2 '
"У( "'о1 \ТТ ( ш)) + ^ Ге"У( - )|
и (ь ш) + ^ | е"у(' - и ( ш) *.
У '
'о
Введем функцию ф(5) = е у(' 5^и (я, и представим предыдущее
4р2 \
неравенство в виде ф(')< 4ф('о )н--I ф(яПрименяя неравенство Гро-
у Т
нуолла - Беллмана и возвращаясь к нормам, получаем неравенство
-у
||и(',ш)2 < 4е^ у г"0' Т('о,»)Ц2,
следовательно
- 2 V-о)
||и ( х )< 2е^ 2 ^ ||ио (х Ц.
Отсюда в силу условия Р<у/2 получаем асимптотическую устойчивость тривиального уравнения (4о). Теорема доказана.
Список литературы
1. Шестаков, А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. - М. : Наука, 199о. - 32о с.
2. Сиразетдинов, Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами / Т. К. Сиразетдинов. - М. : Наука, 1987. - 232 с.
3. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М. : Мир, 1985. - 376 с.
4. Крейн, С. Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн, М. И. Хазан // Итоги науки и техники. Математический анализ. -Т. 21. - М. : ВИНИТИ, 1983. - С. Ш-264.
5. Бойков, И. В. Об определении областей устойчивости для некоторых классов нелинейных уравнений с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 2оо1. - № 1. - С. 4о-49.
6. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2оо8. - 244 с.
7. Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. - М. : Наука, 197о. - 536 с.
8. Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. - М. : Мир, 1988. - 334 с.
9. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. / С. Г. Самко, А. А. Килбас, Маричев О. И. - Минск : Наука и техника, 1987. - 688 с.
10. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. - Ульяновск : Артишок, 2оо8. - 512 с.
11. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 272 с.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University
Рязанцев Владимир Андреевич аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Ryazantsev Vladimir Andreevich Postgraduate student, Penza State University
УДК 517.9 Бойков, И. В.
Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2о12. -№ 4 (24). - С. 84-1оо.
