CC BY
103
УДК 517.19
И. В. Бойков, О. Г. Паксялева, Л. Д. Романова
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Аннотация. Получены достаточные условия устойчивости систем параболических уравнений с коэффициентами, зависящими от времени и пространственных координат.
Ключевые слова: устойчивость, системы параболических уравнений.
Abstract. Given the sufficient conditions of stability of parabolic systems. The coefficients of parabolic systems are depended on time and space coordinates. Keywords: stability, systems of parabolic equations.
Исследованию устойчивости решений различных классов уравнений в частных производных посвящена обширная литература, подробная библиография которой приведена в [1-3]. Основным аппаратом исследования устойчивости решений линейных и нелинейных уравнений в частных производных является применение преобразования Фурье и построение обобщенных функционалов Ляпунова.
В работе [4] был предложен метод построения критериев устойчивости решений систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений параболического типа, основанный на исследовании спектров и логарифмических норм специальным образом построенных семейств линейных операторов. Недостатком этого метода является то обстоятельство, что он применим только к уравнениям, определенным во всем пространстве пространственных переменных.
В данной работе предложен другой метод исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений параболического типа. Этот метод применим к уравнениям, заданным в конечных областях. Он является распространением метода, описанного в [5], на системы уравнений в частных производных параболического типа.
Отметим, что предлагаемые ниже критерии устойчивости могут быть распространены и на некоторые другие системы дифференциальных уравнений с распределенными параметрами.
В данной работе рассматриваются системы линейных параболических уравнений, имеющие при любых начальных значениях из рассматриваемой области решения, определенные при всех значениях t е [tg,тс).
При исследовании устойчивости решений линейных параболических уравнений ограничимся рассмотрением уравнений
dui{t,х) _ац(t,х)д^1 (t,x) + ai2(t,x)Au2(t,x) + dt
+a13(t, x)u1(t, x) + a14(t, x)u2(t, x); du2(^,x) _a21 (t,x)Au1 (t,x) + a22(t,x)Au2(t,x) +
+023^, х)щ(V, х) + 024^, х)ы2^, х) (1)
в ограниченных областях й с гладкой границей Г = дQ. Здесь
и (V, х) = (и^, х), ^2(V, х)), х = (х1,х2).
Из проводимых ниже рассуждений следует, что полученные результаты распространяются на системы размерности большей двух.
Уравнение (1) имеет тривиальное решение при нулевых начальном и граничном условиях. Будем исследовать устойчивость тривиального решения при нулевом граничном условии
и (V, х)!хег =0 (2)
и при возмущении начального условия
и (¿о, х) = и1( х). (3)
Исследование устойчивости решения системы уравнений (1) при граничном значении (2) будем проводить в пространстве функций и (V, х) = (и1 (V, х), и2 (V, х)) с нормой
Iи (t) ||2= JJ(u—(t, x) + u—(t, x))dx.
Q
Умножим первое из уравнений системы (1) на щ(ґ,х), второе - на и2 (^, х) и проинтегрируем каждое из них по рассматриваемой области интегрирования. В результате получаем систему уравнений
——JJ u2 (t, x)dx = JJ a„(t, x)ui (t, x)Aui (t, x)dx +
Q Q
+JJ ai—(t, x)ui (t, x) Au— (t, x)dx +
Q
JJ °l3(t, x)u— (t, x)dx + JJ ai4(t, x)ui(t, x)u— (t, x)dx;
+
Q Q
i d JJu—(t, x)dx = JJ a—i(t , x)u— (t, x)Aui (t, x)dx -
Q
JJ a——(t , x)u— (t, x)Au— (t, x)dx +
2 dt
Q Q
+ l
Q
+JJ a—3 (t, x)ui (t, x)u— (t, x)dx + JJ a—4 (t, x)u— (t, x)dx. (4)
Q Q
Воспользуемся интегральной теоремой Остроградского - Гаусса
J J (grad u,grad v)dx + JJ vAudx = Jv—ds, (5)
Q Q Г
где п - единичная нормаль к контуру Г.
2i
Положим v(t, x) = uj(t, x)ajj(t, x).
Известно, что
grad (uj (t, x)ajj(t, x) ) = ajj(t, x)grad u(t, x) + u (t, x)grad ajj(t, x).
Так как на границе Г области й uj(t, x) = 0, то из равенства (5) следует, что
Ц ajj(t, x)uj (t, x)Auj (t, x)dx = -JJ (ajj(t, x)grad uj (t, x), grad uj (t, x) )dx -й й
- JJ (uj (t, x)grad an(t, x), grad uj (t, x)) dx. й
Следовательно, если функции ajj(t, x), aj2(t, x), a2j(t, x), a22(t, x) зависят только от t, то приходим к следующей системе:
"2~~ J J uj2 (t, x)dx = -aj j (t) J J (grad uj (t, x), grad uj (t, x) )dx -й й
-aj2 (t) J J (grad uj (t, x), grad u2 (t, x)) dx + й
+JJ aj3(t, x)uj2 (t, x)dx + JJ Oj4(t, x)uj(t, x)u2 (t, x) dx;
й й
-—J Ju- (t, x)dx = _°2і(^) J J (grad uj (t, x), grad u- (t, x) )dx -й й
—a-- (t) J J (grad u- (t, x), grad u- (t, x) - dx +
й
+
J J a-з (t, x)ui (t, x)u- (t, x)dx + JJ a-4 (t, x)u- (t, x)dx. (6)
й й
Исследуем устойчивость решения системы уравнений (6) в предположении, что функции ajj (t, x), i = 1,-, j = 1,-,3,4, не зависят от x. В результате приходим к следующей системе уравнений:
—JJui- (t, x)—x = —-aj j (t) J J (grad uj (t, x))- dx — й й
—-aj-(t) JJ (grad uj (t, x), grad u- (t, x) )dx + й
+-aj3 (t) J J u- (t, x)dx + -aj4 (t) J J uj (t, x)u- (t, x)dx;
й й
—
j JJu2 (t, x)dx = -2«2j(t )JJ (grad uj (t, x), grad u2(t, x) )x-
й й
-2a22 (t) J J (grad u2 (t, x))2 dx + 2a23 (t) J J uj (t, x)u2 (t, x)dx + й й
+2a24 (t) J J u2 (t, x)dx. (7)
й
Сложим первое и второе уравнения системы (7). В результате приходим к уравнению
j JJ (uj2 (t, x)+ uf (t, x))dx = f (t) =
й
= -2ajj(t) J J (grad uj (t, x), grad uj (t, x))dx -й
-2(aj2 (t) + a2j(t)) J J (grad uj (t, x),grad u2 (t, x))dx + й
+2( aj4 (t) + a23 (t)) J J (uj (t, x), u2 (t, x))dx + й
+2aj3(t )JJuj2(t, x)dx + 2a24(t) JJu2 (t, x)dx -й й
-2a22 (t) J J (grad u2 (t, x), grad u2 (t, x))dx. (8)
й
Преобразуем функцию f (t) следующим образом:
f (t) = -(aj2(t) + a2j(t))) (grad uj (t, x) + grad u2 (t, x) )2 dx +
й
+ (aj2(t) + a2j(t) - 2ajj(t) ) J J (grad uj (t, x) )2 dx +
й
+ (aj2(t) + a2j(t) - 2a22 (t)) (grad u2 (t, x) )2 dx +
й
+ (aj4(t) + a23(t)) J J ((t,x) + u2 (t, x))2 dx -й
-(aj4(t) + a23 (t) - 2aj3(t)) u2 (t, x)dx -
й
-(aj4(t) + a23 (t) - 2a24 (t)) u| (t, x)dx.
й
Предыдущую функцию можно представить в следующем виде: f (t ) = - (aj2(t) + a2j(t) ))(grad u j( t, x) + grad u2(t, x) )2 dx +
й
+ (а12(^) + а2\({)- 2ац(г)) 11 (grad щ (г, х) )2 —х +
а
+ ((*) + а21 (г) - 2а22 (г)) (grad и2 (г, х) )2 )х +
а
+ (4(0 + а2з(г) )) ( (г, х) + и2(г, х) )2 2х -а
-(а^(г) + а2з(г) - 2а1з(г) )) (и 2 (г, х) + и2 (г, х) | —х +
а
+ (2а24 (г) - 2а1з(г) ))и2 (г, х) —х.
а
Предположим, что выполнены следующие условия при всех значениях
г (г > г0):
012 (г) + а21 (г) > 0, а12 (г) + а21(г) - 2ап (г) < 0; а12 (г) + а21(г) - 2а22 (г) < 0, «14 (г) + а2з (г) < 0; ам(0 + а2з(г) - 2а^(0>0, а^О -а^(0 < 0. (9)
Нетрудно видеть, что условия (9) непротиворечивы.
Тогда при всех значениях г (г > ¿0)
/ (0 < Ж0, (10)
где
Л(г) = -(((0 + «2з (г) - 2«1з( г)) (и( (г, х) + и| (г, х)) —х.
а
Рассмотрим уравнение
—|||и(, х) + и22 (г, х) )х = а
= - (а14(0 + а2з ( г) - 2а1з( г))) (и2 (¿, х) + и2 ( г, х)) —х. (11)
а
Очевидно, что если при всех значениях г( г > ^) выполняется условие
-(ам(0 + а2з( 0 - 2а1з( г)) < 0, (12)
то решение уравнения (11) устойчиво при любом начальном приближении.
Замечание. Если, начиная с некоторого значения T, выполняется неравенство
-(а14(0 + а2з(г)-2а1з(г))<-а, а>0, (1з)
то решение уравнения (11) устойчиво в целом.
Так как при сделанных предположениях /(г) < /1(г), то из теоремы Чаплыгина [6, с. 5] следует, что из устойчивости (асимптотической устойчивости) решения уравнения (11) следует устойчивость (асимптотическая устойчивость ) решения уравнения (8).
Функцию / (г) можно также представить в следующем виде:
f (t) = -(2(0 + a2j(t) ))(grad uj(t, x) + grad u2(t, x) )2 dx +
й
+ (aj2(t) + a2j (t) - 2ajj(t))) ) (grad uj (t, x) )2 dx +
й
+ (aj2(t) + a2j(t) - 2a22 (t)) (grad u2 (t, x))2 dx +
й
+ (aj4(t) + a23(t)) J(uj(t,x) + u2(t,x))2 dx -й
-(aj4(t) + a23(t) - 2a24 (t)) J J ((t, x) + u^ (t, x) ) -
й
- (2a24 (t) - 2aj3(t))) ) uj2 (t, x) dx.
й
Тогда при выполнении условий
aj2 (t) + a2j(t) > 0, aj2 (t) + a2j(t) - 2an (t) < 0; aj2 (t) + a2j(t) - 2a22 (t) < 0, aj4 (t) + a23 (t) < 0;
aj4(t) + a23(t) - 2a24(t) > 0, a24(t) - a23(t) > 0 ^4)
выполняется неравенство f (t) < f2 (t), где
f2(t) = -(aj4(t) + a23(t) - 2a24 (t)) (uj (t, x) + u2 (t, x)) dx.
й
Теперь, повторяя приведенные выше рассуждения, убеждаемся, что при выполнении условий ^4) система уравнений (j) устойчива, а при выполнении условий ^4) и условия
-(aj4(t) + a23(t)-2a24(t))<-a, a>0, (j5)
она асимптотически устойчива.
Таким образом, доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (9) или (14). Тогда решение системы уравнений (1) устойчиво.
Теорема 2. Пусть выполнены условия (9) и (13) или (14) и (15). Тогда
решение системы уравнений (1) асимптотически устойчиво.
Список литературы
1. Эйдельман, С. Д. Параболические системы / С. Д. Эйдельман. - М. : Наука, 1964. - 444 с.
2. Сиразетдинов, Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметрами / Т. К. Сиразетдинов. - М. : Наука, 1987. - 232 с.
3. Шес таков, А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
4. Бойков, И. В. Об определении областей устойчивости для некоторых классов нелинейных уравнений с распределенными параметрами / И. В. Бойков // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 1. - С. 40-49.
5. Пу, Т. Нелинейная экономическая динамика / Т. Пу. - Ижевск : Издательский дом «Удмурдский университет», 2000. - 200 с.
6. Мартынюк, А. А. Устойчивость движения. Метод интегральных неравенств / А. А. Мартынюк, В. Лакшмикантам, С. Лила. - Киев : Наукова думка, 1989. - 272 с.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Паксялева Оксана Геннадьевна
аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Романова Людмила Дмитриевна доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,
Penza State University
Paksyaleva Oksana Gennadyevna Postgraduate student,
Penza State University
Romanova Lyudmila Dmitrievna Associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University
УДК 517.19 Бойков, И. В.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа / И. В. Бойков, О. Г. Паксялева, Л. Д. Романова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 20-26.
