CC BY
11
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Новосёлов Б.В. Некоторые пути совершенствования систем наведения и стабилизации / Вопросы оборонной техники. Сер. 9. Специальные системы управления следящие приводы и их элементы, 1998 - Вып. 2 (222) - С. 5-8.
2. Житников Ю.З., Житников Б.Ю. Многошпиндельные гайковёрты нового класса /Вопросы оборонной техники. Сер. 9. Специальные системы управления, следящие приводы и их элементы. - 1998. Вып. 2 (222) - С. 59-63
УДК 621.865.8
УПРАВЛЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫМИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ АДАПТИВНЫМИ
МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
А. Н. Иванов
В работе выведены алгоритмы управления многосвязной, неуравновешенной механической системой, учитывающие перекрестные связи и действующие возмущения. Полученная система управления по каждому каналу позволяет подавить влияние перекрестных связей и действующих возмущений, расчленить многосвязную, неуравновешенную систему на ряд независимых подсистем (каналов).
The paper gives the algorithms of controlling a multiply connected unbalanced system taking into account the cross connections and the disturbances taking place. The control system created for each channel makes it possible to suppress the influence of cross connections and occurring disturbances, to break up the multiply connected unbalanced system into a number of independent subsystems (channels).
В настоящей работе решаются вопросы теории управления многосвязными механическими системами, обладающими свойствами адаптивности. Рассмотрена структурная схема управления, позволяющая многосвязную систему свести к сумме независимых подсистем по каждой степени свободы. Впервые вопросы декомпозиции многосвязной системы были рассмотрены в работах [1, 2].
Не умаляя общности, в качестве многосвязной механической системы рассмотрена динамика силового четырехзвенного манипулятора.
Предложенная схема управления манипулятором позволяет при сохранении устойчивости системы неограниченно увеличивать коэффициент усиления замкнутой системы по каждому каналу управления, что теоретически обеспечивает полную независимость каждого отдельного канала управления от влияния перекрестных связей, параметров манипулятора и действующих на него возмущений.
Упрощенная схема силового манипулятора приведена на рис. 1.
На рисунке приведены следующие обозначения:
OqXqYoZo - неподвижная система координат, оси OXo,OYo которой лежат в горизонтальной плоскости, ось OZo направлена вверх и совпадает с вертикальной осью вращения кабины силового манипулятора;
Рисунок 1 - Кинетодинамическая схема силового манипулятора
О0Х^^1 - система координат связана с кабиной оператора, оси ОдХ^ОдУ^ расположены в горизонтальной плоскости, ось ОoZj совпадает с осью ОoZo;
ф - угол вращения кабины вокруг оси ОoZj;
а, в , у, 5 - углы отклонения звеньев манипулятора О А, АВ, ВБ, Б Б относительно горизонтальной плоскости;
Ма, Мф , Мр , Му, М5 - управляющие моменты сил;
Р^, Рр - силы тяжести кабины и груза;
С^, Ср - центры масс кабины и груза;
О, А, В, Б - оси вращения звеньев манипулятора.
На рис.1 не показаны силы тяжести звеньев
манипулятора. Это допущение не носит принципиального значения, т.к. они учитываются при определении сил тяжестей груза и кабины. Опускаем вывод дифференциальных уравнений, которые достаточно полно получены в работе [3].
В данной статье рассмотрена работа манипулятора в режиме подъема груза. В линейной постановке система линейных дифференциальных уравнений в скалярной форме может быть записана в следующем виде:
] + ] - ] + X V*] = - М1
1Ь]'
(1)
V = 1
где ] = 1, 2, 3, 4...
Ч] : Ч1 = а, Ч2 = в , Чз = У, Ч4 = 8 - обобщенные координаты,
Ч] : Ч1 = а, Ч2 = в , Чз = У, Ч4 = 8 - обобщенные скорости,
Ч] : Ч1 = а, Ч2 = в , Чз = У, Ч4 = 8 - обобщенные ускорения,
а 11 < а22 , азз , &44 - обобщенные моменты инерции манипулятора, приведенные соответственно к осям О, А, В, Б, ] = 1, 2, з, 4.
обобщенные коэффициенты вязкого трения
относительно соответствующих осей, ]=1, 2, з, 4.
С] - обобщенные коэффициенты жесткости, вызванные неуравновешенностью масс манипулятора, упругими свойствами токоподводов, зубьев редукторов и т. д., ] = 1, 2, з, 4.
X арЧ]v|v#]:а12Ч 12+а1зЧ 1з+ а14Ч14 = а12{5+а1зУ+а14> У = 1
а21 Ч 21+а2з Ч 2з+ а24Ч 24 = а21а+ а2з^+ а24 8, аз1 Чз1+аз2Чз2+аз4Ч з4 = аз1а+ аз2в + аз4 8 >
а41 Ч41+а42Ч42+а4зЧ 4з = а41а+ а42 ¡3 + а4з у
(2)
- слагаемые, характеризующие перекрестные связи между каналами управления манипулятора,
а^ - обобщенные моменты инерции, вызванные взаимовлиянием каналов управления, приведенные к соответствующим осям О, А, В, Б, ] ,
М
Ч] 3
управляющие моменты электродвигателя,
приведенные к осям О,А,В,Б, ] = 1,2,з, 4...
I] - передаточные числа редукторов, ] = 1, 2, з, 4.
(в дальнейшем будет полагаться I] = г ),
Мь] - обобщенные возмущающие моменты, вызванные
различного рода факторами (сухое трение, упругие люфты, неуравновешенность масс, несоосность и т. д.), ] = 1, 2, з, 4.
Сделаем следующее допущение. Слагаемые
з
X а]"VЧ]] для каждого канала управления явля-V = 1
ются возмущающими моментами, которые перенесем в правые части, объединив их с возмущающими моментами М^ , после чего уравнения (1) приобретут вид
а]] + № - С]Ч] = МЧ]1 - М*ь] , ] = 1, 2, з, 4., (з)
где М*Ь] = Мь] + X а]V Ч]V , ^] .
V = 1
Типовая функциональная схема электропривода с нагрузкой изображена на рис. 2.
Рисунок 2 - Функциональная схема управления
На рис. 2 введены следующие обозначения: Ц -
управляющее напряжение, ЭД - электродвигатель, Ред -редуктор, ОУ - объект управления.
Дифференциальные уравнения, описывающие механические и электрические процессы в электроприводе имеют вид
ТэМЧ] + Мч] = Т и, ] = 1, 2, з, 4-, (4)
где Тэ - электромеханическая постоянная электродвигателя; Я - омическое сопротивление якорной цепи; Км , Ко - паспортные параметры ЭД; О] = Ч]г -
угловая скорость ЭД.
Решая совместно уравнения (з) и (4), получим
Тэ] + (] + Тэ^> Ч + (^+:КММЯт"- - СТэ)Ч] - СТэЧ]= КМг
Я-Ц- (ТэМ ь] + М*Ь]>, ] = 1, 2, з, 4.
(5)
з
з
з
Введя следующие обозначения:
a„ +
a2j = Ж
2j Ta
, a
= Ц R + КмКп i 2 - С ^T э R
1 RTa3
э JJ
ao, = - Ф/т, u* = u- IF"(M*hi + TBM*bjJ),
ческим характеристикам моделей, если е^ < < и также,
что выполняются неравенства (11).
Степень приближения динамических характеристик системы и эталонных моделей оценивается величиной функционала
^э ajj
bo, = JTM~., J = 1, 2, 3, 4...
0J RT3 aj.
КмM
КмM
(6)
G(U*j) = 2[%(t) - qj(t)Y , J = 1, 2, 3, 4.
X, ...
(12)
где Xj = const.
(7)
Управляющие напряжения и*у определяются путем
минимизации О(и*у) . Дифференциальные законы уп-Необходимо построить процесс управления каждым равления принимаются в виде
qj+a2JqJ + aiJqJ + aoJqJ = boJU*j>j = 1 2 3 4
каналом манипулятора так, чтобы выходные динамические характеристики соответствовали характеристикам эталонных моделей, движения которых описываются уравнениями
+ Гу9^ + г^дэj + rQjqЭj = р ljqщ + ,
j = 1, 2, 3, 4... , (8)
где г2у, Г1 ] , г0у , р 1 j , рQj - параметры, определяющие характер и продолжительность процесса возвращения изображающей точки в окрестность <, если
dU*
- J = Kj(qsJ - qJ), J = 1 2- 3 4. ,
dt
(13)
окажется
|qJ (t) - q^ (t)\>CJ , J = 1, 2, 3, 4. ,
(9)
Зу - постоянные числа, характеризующие заданную точность,
, дщ - обобщенные координаты и скорости,
описывающие заданные оператором программные траектории.
Задачу синтеза алгоритмов управления сформулируем так, что для каждой степени свободы была задана
где Kj = -XyboJ = const > 0 .
Интегрируя уравнения (8) и (13) при нулевых начальных значениях, получим следующие алгоритмы управления:
U*J = Kj(q3j - j , J = 1, 2, 3, 4. , t
q = roj J( qnj- qj) dt+r1j(qnj- qj) - j. (14)
o
При определении ускорений q3j предполагается, что астатизм эталонных моделей равен двум, т.е. poj = roj, р 1j = г, и сделана следующая замена переменных:
1э]
qj, qэj = qj •
Структурная схема управления у-м каналом силового манипулятора изображена на рис. 3, где Р = -
программная траектория движения qnJ(t) при t > символ дифференцирования.
nJ
Функция qnj(t) непрерывная, ограниченная дифферен-
nJ
цируемая функция. Управляющие напряжения и*у в
форме обратных связей должны обеспечивать по каждой
степени свободы с некоторого момента времени ? = с д| г-ц |
необходимой точностью отслеживание назначенной траектории, т.е.
|qnj( t) - qj (t)\i°j, t > to, j = 1, 2, 3, 4.
(10)
Пусть числовые параметры моделей таковы, что
^ (^ - (0|<е , у = 1, 2, 3, 4. . (11)
Тогда динамические характеристики системы по каждой степени свободы будут практически идентичны динами-
Рисунок 3-Структурная схема управления j-м каналом
имеем
Используя алгоритмы управления (14) и изображенную на рис. з структурную схему, получаем технически реализуемую схему замкнутой системы управления ]-м каналом силового манипулятора (рис.4).
Рисунок 5 - Структурная схема управления ]-м каналом (звеном) манипулятора
На схеме введены следующие обозначения: Кп у - крутизна сигнала датчика угла;
КУ С 1 р + К и р
- передаточная функция преобразую-
Рисунок 4 - Функциональная схема управления ]-м каналом (звеном манипулятора
На рис.4 введены следующие обозначения: ПУ - пульт управления;
и„, - напряжение, подаваемое на датчик моментов
гироскопического датчика угла;
ГДУ - гироскопический датчик угла; ДУ - индукционный датчик угла;
и£,] - напряжение, снимаемое с выходной обмотки
датчика угла;
ПК - преобразующий контур; Щ] - суммарное напряжение; У - электронный усилитель; Ц - напряжение на входе ЭД; Лк - акселерометр; Тг - тахогенератор.
Структурная схема замкнутой системы управления ]-м каналом манипулятора по углу приведена на рис. 5.
щего контура ПК;
где КуС1 - коэффициент усиления первого усилителя; Ки - коэффициент усиления интегратора; КуJ - коэффициент усиления усилителя У; Кл - крутизна выходного усиленного сигнала акселератора;
Ктг - крутизна выходного усиленного сигнала тахогенератора;
А] = рз + а2]р2 + аХ]р + а0] .
Передаточная функция разомкнутой системы управления ]-м каналом по углу имеет вид
К.Кр у( Ки + КУС1 р>
Жр](р> = ___ - ]_рУ - - И. „2У С 1 „. - ,] = 1, 2, з, 4... .(15)
р [ А] (р > + К] (Кр + ктгр >]
]ч а
Передаточная функция замкнутой системы управления ]-м каналом по углу выглядит так:
] > =
К/КВ У( КИ + КУС1р >
А]( р>р + К [ кар з + ктгр2 + Кр УКУС 1р + КВ У КИ ]
] = 1, 2, з, 4... .
(16)
Передаточная функция замкнутой системы управления ]-м каналом по моменту определяется по формуле
] > =
ь * 0] ( Т эр + 1 >р
(17)
А]( р>р + К [ К/ з + ктгр2 + Кр УКУС 1р + КР У КИ ]
Ь0Я
где ^ = ~к~1
Тэ а]]
, ]= 1, 2, з, 4...
В общем виде динамика ]-го канала силового манипулятора описывается уравнением
(А] (р >р + К [ карз + КТГр2 + КР УКУС1р + КР У КИ ]> =
= К]КРУ(КИ + КУС1р>Чп] - ь*0](Тэр + 1 >рМЬ* .
] = 1, 2, з, 4... . (18)
Степень полинома А](р>р на единицу выше степени
полинома К] [Карз + Ктгр2 + Кр УКУС1р + Кр УКИ ] . Поэтому для рассматриваемой системы установлено, что
всегда существует такое значение коэффициента К] в
контуре управляющей функции, при котором система (18) асимптотически устойчива. Система не теряет устойчивости при неограниченном увеличении К] и при
К] ^ го степень ее устойчивости оказывается равной
степени устойчивости эталонной модели.
Характеристическое уравнение замкнутой модели выглядит так:
р4 + (а2] + К]Ка > рз + (ау + к]ктг > р2 +
+ (а0] + к]кв У КУС1 >р + ККр У КИ = 0 ] = 1, 2, з, 4... .
Неравенство
вязкости и т.д.) модели. Это хорошо видно из дифференциальных уравнений (18) при К] ^го
А. (р >р
W(P,гo> = Иш -1- = 0, ] = 1, 2, з, 4. . (2з)
К.
К, ^ го з
Из уравнения (18) также следует, что влияние перекрестных связей, а следовательно и возмущающих моментов подавляется. Действительно,
(19)
Иш Ь* 0] ( Тэ р + 1 > рМь ]
К] ^го
К,.
= 0, ] = 1, 2, з, 4. . (24)
(а0] + КквУКУС1>[(а2] + Кка>(а1 ] + к]ктг> -- (а0] + ККвУКУС1>] > КквУки(а2] + ККа>2 • (20)
где К]Крукус1 > а0] , ] = 1, 2, з, 4... выражает условие асимптотической устойчивости замкнутой системы по критерию Гурвица. При К] ^го неравенство (20) переходит в неравенство
КТГКус 1 > КаКи , ] = 1, 2, з, 4. , (21)
которое выражает условие асимптотической устойчивости эталонной модели.
Г1]Г2] > г0] '
_ Кр УКУС1 „ _ КТГ „ _ Кр УКИ . ,
где г1 ■ = -, г2. = -, г0. = -, ] = 1,
1 к 2 к 0 К
а а а
2, з, 4. .
При К] ^го полюса передаточной функции (16)
стремятся к соответствующим полюсам передаточной функции эталонной модели
В асимптотике при К] ^ го получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику независимых друг от друга каналов управления силовым манипулятором.
(Карз + КТГр2 + КР У КУС1р + КР УКИ >Ч] = = кп у( КИ + КУС1р > ЧП] (25)
(рз + Г2]р2 + Г]р + Г0]>Ч] = (Р0] + Р 1]р>ЧП] , (26)
где г
Кр УКУС 1 г = КТГ г = Кр УКИ
1] к
2 к' 0] к,.
а а а
Р0] = г0], Р1] = г1],3 = 1, 2, з, 4- .
Для анализа влияния перекрестных связей на устойчивость силового манипулятора рассмотрим, например, систему двух дифференциальных уравнений, описывающих работу двух каналов управления.
[А1 (р >р + К1 Бх (р >]а = -р (р >рз в,
[ А2 (р >р + К2^2(р >]в = -Р (р > рза,
(27)
щ(р, го> = Иш Щ(р, К> = -г о/ + г 1/р
К] ^го
] рз + ] + г1 ]р + ^ 7 = 1, 2, з, 4. . (22)
Четвертый полюс передаточной функции (16) удаляется в бесконечность по отрицательной полуоси.
Из равенства (22) следует, что в асимптотике переходный процесс в управляемой модели точно совпадает с
эталонным переходным процессом, т.е. Чэ](0 ^ Чп](0 .
В этом проявляется свойство параметрической адаптивности системы стабильно сохранять динамические характеристики независимо от изменения параметров объекта управления (моментов инерции, коэффициентов
где
В1 (р > = Ка 1рз + КТГ1р2 + КР У1КУС11р + КР У1КИ1> В2 (р > = Ка2рз + КТГ2р2 + КР У2КУС12р + КР У2КИ2 ,
Р (р > = ь*01 (Тэр + 1 > а12, Р2(р > = ь*02( Тэр + 1 > а21.
Разрешая уравнения (27) относительно а и в, получаем
или
{[Ax (p )p + Kl Bx (p )][Ä2 (p )p + K2B2(p)] -- Dx(p )D1 (p )P6 }a = 0,
{[Ä2(p)p + K2B2(p)][Ai(p)p + KiBi(p)] - (28) -Di(p )D1 (p )P6 }ß = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид
[Ai (p )p + Kl Bi (p )][Ä2 (p )p + K2B2(p )] -- Di (p )Di (p )P6 = 0 (29)
i
-¡¡¡-Ai (p )p + Bi (p) —A2 (p )p + B2(p)
K
Di(p)D (p) 6
6
Ki K2
P6. (30)
Правая часть в равенстве (30) характеризует влияние перекрестных связей одного канала управления на другой. Причем их влияние уменьшается обратно пропорционально увеличению произведения коэффициентов усиления К и К) и при К ^ ж, К) ^ ж
стремится к нулю не нарушая устойчивости каждого канала.
В этом случае характеристическое уравнение системы распадается на два независимых характеристических уравнения
параметров объекта управления (моменты инерции, коэффициенты вязкого трения, моменты неуравновешенности, постоянная времени электродвигателя и т.д.).
В заключение следует отметить, что в данной работе впервые перекрестные связи по каждому каналу управления переведены в разряд возмущающих факторов.1 Это позволило определить алгоритмы управления, учитывающие все возмущающие факторы, в том числе и перекрестные связи.
Показано, что в этом случае при увеличении коэффициентов усиления Ку устойчивость системы управления
каждым отдельным каналом не нарушается, действие перекрестных связей стремится к нулю, уменьшается, в пределе стремясь к нулю, влияние параметров электродвигателя и объекта управления.
Следовательно, многосвязная система управления манипулятором распадается на независимые друг от друга каналы управления, практически не зависящие от действия возмущающих факторов, параметров электродвигателя и объекта управления.
В работе учтено влияние неуравновешенных масс манипулятора. Конечное значение коэффициента усиления по каждому каналу не должно быть меньше величины
K
j
j min K K
KD УЛУС!
, j = i, 2, 3, 4.
Bi (p) = 0, B2 (p) = 0,
(3i)
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
не зависящих от перекрестных связей.
В реальных условиях коэффициенты усиления Ку
имеют конечные величины. Так, например, математическое моделирование показало, что при подъеме груза массы 1000 кг и суммарной длине звеньев, равной 9 м, коэффициент усиления составил 105. При увеличении Ку устойчивость системы по каждому каналу не нарушается, влияние перекрестных связей и прочих возмущающих факторов практически отсутствовало, в том числе
1. Крутько П.Д, Оптимизация многомерных динамических систем по критерию минимума момента ускорения // Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1994. - №1.- С.32-47.
2. Крутько П.Д., Лакота H.A. Параметрически адаптивные алгоритмы управления многомерными механическими системами. Стабилизация программных траекторий движения //Проблемы машиностроения и надежность машин. - 1998. - №2. - С. 88-96.
3. Можегов H.A., Иванов A.H., Охотников Ю.К. Математическая модель силового манипулятора машины //Вопросы оборонной техники. Сер.9. Специальные системы, следящие приводы и их элементы. - 1998. - Вып.2 (222). -С.37-41.
или
1.Замечание рецензента. Отнесение перекрестных связей к возмущениям давно и широко используется для декомпозиции систем. См., например, работу Потапенко Е. М. Робастное управление роботом//Техническая кибернетика. - 1993. - №3. - С.183-189, а также библиографию данной статьи.
