О некоторых краевых задачах в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений с вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ничных условиях / А. А. Шкаликов // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. - 1983. - № 9. - С. 190-229.

4. Gasymov, M. G. О кратной полноте системы собственных и присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов / M. G. Gasymov, A. M. Magerramov // Докл. АН Азерб. ССР. - 1974. - Т. 30, № 12. - С. 9-12.

5. Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М.В. Келдыш // Докл. АН СССР. - 1951.

- Т. 77, № 1. - С. 11-14.

6. Хромов, А. П. Конечномерные возмущения вольтер-ровых операторов: дис. ...д-ра физ.-мат. наук / Хромов А. П. - Новосибирск, 1973. - 242 с.

7. Шкаликов, А. А. О полноте собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального оператора с нерегулярными краевыми условиями / А. А. Шкаликов // Функц. анализ. - 1976. - Т. 10, № 4. - С. 69-80.

8. Хромов А. П. О порождающих функциях вольтерро-вых операторов / А. П. Хромов // Мат. сборник. - 1977.

- Т. 102(144), № 3. - С. 457-472.

9. Freiling, G. Zur Vollständigkeit des Systems der Eigenfunktionen und Hauptfunktionen irregulärer Operator-bUschel / G. Freiling// Math. Z. - 1984. -V. 188, № 1. - P. 55-68.

10. Тихомиров, С. А. Конечномерные возмущения интегральных вольтерровых операторов в пространстве вектор-функций: дис. . . . канд. физ.-мат. наук / Тихомиров С. А. - Саратов, 1987. - 126 с.

11. Вагабов, А. И. Разложения в ряды Фурье по главным функциям дифференциальных операторов и их применения: дис. . . . д-ра физ.-мат. наук / Вагабов А. И.

- М., 1988. - 201 с.

12. Вагабов, А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов / А. И. Вагабов. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та, 1994. - 160 с.

13. Рыхлов, В. С. О полноте собственных функций одного класса пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами / В. С. Рыхлов // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 6. - С. 42-53.

14. Рыхлов, В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков обыкновенных диференциальных операторов / В. С. Рыхлов // Математика. Механика: Сб. науч.тр. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. - Вып. 3.

- С. 114-117.

15. Рыхлов, В. С. О кратной неполноте собственных функций пучков дифференциальных операторов, корни характеристического уравнения которых лежат на одном луче / В. С. Рыхлов // Докл. РАЕН. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2004. - № 4. -С. 72-79.

УДК 517.956

О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

П.В. Садчиков, А.Д. Баев

Воронежский государственный университет, кафедра уравнений в частных производных и теорий вероятностей

E-mail: [email protected], [email protected]

Рассматриваются краевые задачи в полупространстве для одного класса псевдодифференциальных уравнений. Установлены коэрцитивные априорные оценки и теоремы о существовании решений таких краевых задач.

Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, априорная оценка, псевдодифференциальный оператор, краевая задача.

Аbout Some Boundary Problems in the Semispace for a Class of Pseudo-Differential Equations with Degeneracy

P.V. Sadchikov, A.D. Baev

Voronezh State University

Chair of the Equations in Partial Derivatives and Probability Theory E-mail: [email protected], [email protected]

Boundary problems in the halfspace for one class of the pseudodifferential equations are considered. The coercetive a priori estimations and theorems of the existence of solutions for these problems are established.

Key words: degenerating elliptic equation, a priori estimation, pseudo-differential operator, boundary problem.

Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений относятся к неклассическим задачам математической физики. Одна из главных трудностей, возникающих в теории вырождающихся эллиптических уравнений, связана с влиянием младших (в смысле теории регулярных эллиптических уравнений) членов на постановку краевых задач и их разрешимость.

Фундаментальные результаты для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка принадлежат М.В. Келдышу [1]. Полученные им результаты затем развивались и обобщались О. А. Олейник [2] и М.М. Смирновым [3]. Некоторые краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка были исследованы в работах В. А. Рукавишникова, А. Г. Ере-клинцева [4], С.Н. Антонцева, С. И. Шмарева [5]. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка при «степенном» характере вырождения рассматривались в работах М. И. Вишика, В. В. Грушина [6], а при произвольном порядке вырождения — в работах В. П. Глуш-ко [7], А. Д. Баева [8, 9].

В настоящей работе исследуется вопрос о существовании решений краевых задач в полупространстве для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений. Частными случаями таких уравнений являются вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения, содержащие невырожденную производную по переменной t первого порядка. Установлены априорные оценки решений краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных уравнений. Разработан новый метод исследования таких краевых задач, основанный на свойствах нового класса псевдодифференциальных операторов с переменным символом, построенных по специальному интегральному преобразованию Fa.

Рассмотрим функцию a (t), для которой a (+0) = a' (+0) = 0, a (t) > 0 при t > 0, a (t) = const для t > d при некотором d > 0. Здесь и в дальнейшем t е R+. Следуя работе [8], рассмотрим интегральное преобразование:

/ d \

(()](П)= J U(t)eXP / ' (1)

определенное, например, на функциях u(t) е Cq° (R+). Это преобразование связано с преобразованием Фурье следующим равенством: Fa [u (t)] (n) = FT[ua (т)], где ua(т) = \Ja(t) u(t)),

d

t = (т) — функция, обратная к функции т = ^ (t) = f цр). Для преобразования Fa справедлив

аналог равенства Парсеваля ||Fa [u](n)||L2(Ri) = л/2П||u||L2(R i+) , что дает возможность расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств L2 (R1) и L2 (R+), а также рассмотреть это преобразование на некоторых классах обобщенных функций. Для расширенного таким образом преобразования Fa сохраним старое обозначение, обозначив через F—1 обратное к Fa преобразование, отображающее L2 (R1) на L2 (R+). Легко показать, что на

функциях u (t) е C0°° (R+) выполняются соотношения Fa |^Dj)tuJ (n) = njFa [u] (n), j = 1, 2,..., где

Da,t = i VOW & VOW .

а ч ,

Следуя работе [8], определим пространства ), (Л+).

Определение 1. Пространство Иза (Л+) (з — действительное) состоит из тех функций локально интегрируемых в Ь2 (Л+) функций V (х,£) (х е Лп-1, £ е для которых конечна норма

V

I raiYnrin и о j е ±ь , ь е ± L+J

l2,a = / (1 + 1С|2 + n2)s |FaF*^ [v (x,t)]|2 dCdn, с е Rn-1, n е R1

Здесь и в дальнейшем ^Х^ = ^ ^Х2^2 .. .

Определение 2. Пространство ИзаА (Л+) (з > 0, д > 1) состоит из функций V (х,£) е И3,а (Л+ для которых конечна норма

v

I II s,a,q

[s/q] s-ql 2

Ё F-ixFe-1[(l + |С|2 + n2) 2 FaF*^[dtv]] 1=0

Здесь и в дальнейшем dt = dt, s — целая часть

t dt , | q | ^ " "" " q ' n —

Определение 3. Пространство И3 (Лп 1) (з — действительное число) состоит из всех локально интегрируемых в Ь2(ЛП-1) функций д(х), для которых конечна норма

||g|\s = Fs—1x [(1+ 1С |2) 2 F^ [g]]

L2 (Rn-1)

2

L2(Rn)

Пусть выполнено следующее условие:

Условие 1. Существует число v е (0,1] такое, что \а/(t)a-v(t)| < c < œ при всех t е [0, +œ). Кроме того, a (t) е Cœ [0, +œ).

Можно показать, что такое число v существует, если a (+0) = a/ (+0) = 0.

С помощью преобразования (1) и преобразования Фурье Fx^ç определим весовой псевдодифференциальный оператор по формуле K(q) (t,Dx, Da,t) v = F-F— :[A (t,£,n) FaFx^ç [v (x,t)]].

Предположим, что символ весового псевдодифференциального оператора A (t, C, п) удовлетворяет следующему условию:

Условие 2. Функция A (t, £,п) е Cœ (R++1) удовлетворяет неравенствам

( д\k dj ( 2 0\ 2(q-j+^k)

(a^) дп7 A (t,C,n)|< Cjk (1 + ICI2 + П2) , j =0,1,...,

где постоянные cjk > 0 не зависят от t е R+, C е Rn-1, п е R1, 5 е [0; 1). Обозначим класс функций A (t, C, п), удовлетворяющих условию 2, через Sq s. Такой класс символов A(t, C, п) при 5 = 0 был исследован в [9].

Рассмотрим операторы A±q)(t, Dx, Da,t,dt)v(x,t) = K±q) (t,Dx,Da,t)v - |f, где K£q)(t,Dx,Da,t) -весовые псевдодифференциальные операторы с символами A±(t, C, п), которые удовлетворяют условию 2 при q > 1, а также следующему условию:

Условие 3. Функции A±(t,C,п) е Cœ(R++1 ) и при всех t е (0;+œ), (C,п) е Rn справедливы оценки ±Re A±(t, C, п) > c(1 + |C|2 + п2)2 с некоторой константой c > 0. Рассмотрим в R+ задачу вида

A-q)(t,Dx,Da,t ,dt)v(x,t) = f, (2)

v(x, +0) = g(x). (3)

Наряду с задачей (2)-(3), рассмотрим уравнение

A+q)(t,Dx,Da,t ,dt)v(x,t) = f. (4)

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть s > 0, q > 1 — действительные числа, выполнены условия 1-3. Тогда для любого решения v(x,t) задачи (2)-(3), принадлежащего пространству Hs+q)a,q(R+ ), справедлива априорная оценка

llvL+q,a,q < C1 (||f L,a,q + IML+q + 11v M (Д+ ) ^ (5)

а для любого решения v(x,t) уравнения (4), принадлежащего пространству Hs+q)a,q(R+ ), справедлива априорная оценка

||vL+q,a,q < C1(Mf L,a,q + 11 v 11L2 ( Д+) ), (6)

с постоянными c1 > 0, c2 > 0, не зависящими от v, f, g.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть f(x,t) е Hs,a,q (R+ ), g(x) е е Hs+2q(Rn-1). Тогда существует оператор R—: HS)a,q (R+) —Hs+q)a,q (R+) такой, что функция R—f (x,t) удовлетворяет условию (3) и справедливо равенство

A-q) R— = I + T— R—,

где I — единичный оператор, а порядок оператора Т_ б шкале пространств (Л+)

не превосходит q — 1. Пусть / (х, £) е (Л+), тогда существует оператор :

(Л+) ^ (Л+) такой, что Я+ = I + Т+ я+, причем порядок оператора Т+ в

шкале пространств (Л+ )не превосходит q — 1.

Оператор называется правым регуляризатором задачи (2)-(3), а оператор Л+ называется правым регуляризатором уравнения (4). Если справедливы априорные оценки (5) и (6), то правые регу-ляризаторы являются и левыми.

Наряду с задачей (2)-(3), рассмотрим задачу

А- (г, Бх, Ба,гМх, I) - дv(x, г) = /(х, г), (7)

v(x, +0) = д(х). (8)

Рассмотрим также уравнение

А^ (г, Бх, Б а , г ) v(x, г) + дv(x, г) = / (х, г). (9)

Здесь д > 0 некоторое число. Доказаны следующие утверждения:

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и Ие д > д0 > 0, где д0 — достаточно большое число. Тогда для любого решения v(x,t) задачи (7)-(8), принадлежащего пространству И3+д,а,д (Я+), справедлива априорная оценка

< 01 Ив>а,9 + Н^Нв'2 )'

а для любого решения v(x,t) уравнения (9), принадлежащего пространству И3+д,а,д(Я+), справедлива априорная оценка \М\3+д а < с2 \\/\\3 а с постоянными с1 > 0, с2 > 0, не зависящими от

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда, если /(х, г) е И3, а, я(Я+), д(х) е е И3+2 (Яп-1), то существует единственное решение задачи (7)-(8), принадлежащее пространству И3+ч, а , д(Я+). Если /(х, г) е И3, а , д(Я+), то существует единственное решение уравнения (9), принадлежащее пространству И3+ч, а , д(Я+).

Доказательство теорем 1-4 основано на свойствах весовых псевдодифференциальных операторов с символом из класса $0 г• Сформулируем эти свойства в виде теорем. Доказательство этих теорем проводится методами, изложенными в работе [10].

Теорема 5. Пусть Р(г, Бх,Ба,г) и Q(t, Бх, Ба,г) — весовые псевдодифференциальные операторы с символами р(г,£,п) и д(г, п), принадлежащими соответственно классам и (т1 и т2 — действительные числа), 6 е [0,1). Тогда для любого N > 0 существует такое Н1 > 0 и такой символ Тм1 (г, п) е ^, что справедливо равенство

N

Р (г, Бх, Б а, г )Q(t, Бх, Б а, г) - яз (г, Бх, Ба , г) =Т^ (г, Бх ,Ба , г),

¿=1

где Т^1 (г,Бх,Ба>г) — весовой псевдодифференциальный оператор с символом Тм1 (г,£,ц); Я; (г, Бх, Ба,г) — весовой псевдодифференциальный оператор с символом т; (г, п) = ;дпр(г, п) х

X (а(г)дг)пд(г,с,п).

Теорема 6. Пусть р(г, п) е $0*5, т — действительное число, 6 е [0,1). Тогда весовой псевдодифференциальный оператор Р(г,Бх, Ба,г) для любого действительного э есть ограниченный оператор из Из+т,а(Я+) в Из;а(Я+).

Теорема 7. Пусть символ А(г,£,п) весового псевдодифференциального оператора К(а)(г, Бх, Ба, г) принадлежит классу а е Я1,6 е [0,1). Пусть v(x,t) е И3+а>а(Я+), др^(х,г) е

е И3+0-,0(Я+), р =1, 2,... Пусть выполнено условие 1. Тогда для оператора

Ир,а = дрК(г, Бх, Ба,г) - К^ (г, Бх, Ба,г)др (10)

р

р-1

д1 V

с константой с > 0,

з+а+ё(р-¿),а }

справедлива оценка \\Мр,аvНза < с ^ д^ + ^

' у=0 3+а-1,а ;=о

не зависящей от V.

Теорема 8. Пусть д > 1, 5 > 0 — действительные числа, v(x,t) е И3+(р+1)д,а,д(Я+). Пусть символ А(г,С,п) весового псевдодифференциального оператора К(а) (г,Бх, Ба,г) принадлежит классу $0 г, 6 е [0,1). Пусть выполнено условие 1 при а = 5 + д. Тогда для оператора Мр,д, определенного

в (10) при a = q, справедлива оценка ||Mp, qv||s a < c ||v||s+pq+q-1+§ a q с постоянной c > 0, не зависящей от v.

Теорема 9. Пусть q > 1, a — действительные числа, v(x,t) е a , q(R+ ). Пусть символ À(t, С, п) весового псевдодифференциального оператора принадлежит классу SO §, a е R1, S е [0,1). Тогда при выполнении условия 1 справедливо равенство

lim K(a) (t,Dx,Da >(x,t) = lim K(0, D, 0)v(x,t) = lim [À(0, С, 0)F^* [v(x,t)]].

t^+0 ' t^+0 t^+0 ц

Теорема 10. Пусть выполнено условие 1 и символ À(t, С, п) весового псевдодифференциального оператора K(a) (t,Dx,Da,t) принадлежит классу S^ §, a е R1 ,S е [0,1). Пусть при всех С е Rn-1, п е Я1 функция À(t, С, п) является ограниченной функцией по переменной t на множестве R+. Пусть функция v(x,t) такова, что функция DN tv(x, t) при всех x е Rn-1 принадлежит, как функция переменной t пространству L2(R+) при некотором N > max{a + 1,1}. Пусть lim tv(x, t) = 0 при всех x е Rn-1, j = 0,1,2,..., N — 1. Тогда при всех x е Rn-1 справедливо

t^+œ '

равенство lim K(a)(t,Dx,Da t)v(x,t)=0.

t^+œ '

Определение 4. Будем говорить, что функция a(t, y, С, п) принадлежит классу Sm ' a ' §, m е R1, S е [0,1), если а(^,С,п) является бесконечно дифференцируемой по переменным t е R+, y е R+, п е R1 и на компактных подмножествах множества R+ x R+ имеет место при всех j, = 0,1, 2,... оценка

|(a(W(a(y)dy)kdpa(t, y, С, п)| < jp(1 + |С| + |п|)m_p+§(k+j)

с константами Cjkp > 0, не зависящими от t, y, п и С е Rn-1. Рассмотрим оператор вида

Au(x,t) = [a(t, y,С,[u(x,y)]], (11)

где Fay^n(Fay1^) — прямое (обратное) весовое преобразование, переводящее y в п (п в t). Справедлива следующая теорема.

Теорема 11. Пусть A — оператор вида (11), причем a(t, y, С, п) е Sm ' a ' §, m е R1,S е [0,1). Тогда найдется такой символ p(t, С, п) е Sm§, что A = P(t, Dx, Da ' t), где P(t, Dx, Da ' t) — весовой

' _ d

псевдодифференциальный оператор с символом p(t, С, п). Причем p(t, С,п) = л/a(t) ехр(гп / Отру) x

t

d

x A( ,1 exp(—¿п / a(p) ))• При этом справедливо соотношение

/a(y) t

N _1 \ 1

- £ j (а(У)ду)jдП)|y= e S^(П)

при любых N = 1, 2,... .

Теорема 12. Пусть P (t,Dx , Da,t ) — весовой псевдодифференциальный оператор с символом p(t,C,n) e S'm5, m e R1, S e [0,1). Пусть Rep(t,C,n) > C(1 + ICI + InI)m для всех С e Rn_1, n e R1 , t e K с R+, где K — произвольное компактное множество. Тогда для любого s e R1 и u(t) e Cq°(K) справедливо неравенство

Re (P(t, Dx, Da>i)u(x, t), u(x, t)) > c0 |H|ll ,a - C1 IMI^

с некоторыми константами c0 > 0 и c1 > 0.

Это неравенство является аналогом неравенства Гординга для весовых псевдодифференциальных операторов.

Изложим кратко схему доказательства теоремы 1.

Наряду с операторами A±]q)(t,Dx, D0't, dt), рассмотрим операторы

(t, С, Da't, dt)и(С, t) = K±q) (t, С, Da't)и(С, t) — , (12)

где K±q) (t, С, Da't) u = F-1[À± (t, С, п) Fa [u]].

Наряду с пространством Hs,a (R+), рассмотрим пространство Hs,a (-R+) (s — действительное

s,a у-1 )

число), норма в котором является равенством ||u||sa|ç| = { f ("l + ICI2 + П2) |Fa[u]|2 dn} 2 .Обозначим

' ' r1 ^ '

\\и\\ - \\и\\ь2(П1+)-

Теорема 1 вытекает из совокупности следующих лемм.

Лемма 1. Пусть выполнено условие 1. Пусть функции А±(£,С, п) удовлетворяют условиям 2 и 3. Пусть д > 1 — действительное число. Тогда для любой функции и(£) е 60ю (Л+) и любого 5о е Д1 справедливо неравенство

(1 + ICI2)q ||u|2 < c )||2 t (1 + ICI2)2 |u(0)|2 + ||uH2o,a,|i^ ,

(13)

где постоянная с > 0 не зависит от С е Дп-1 и функции и(£). Здесь 60°(Д+) — пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций с носителем в Д+.

Доказательство. Умножим почленно равенство (12) скалярно в Ь2(Д+) на функцию ±(1 + |С| )2и(£), получим равенство

± ( (1 + ICI2)2Re(K±(t,C,De>t)u,u) - Re ( |t,u) ) = ±(1 + |C|2)2Re(A±q)(t,C,De>t,&)u,u). (14)

Здесь (и, V) — скалярное произведение в Ь2 (Д+). Используя теорему 12, получим оценку

±Re(K±J (t, C, )u,u) > co ||u||2^^ - ci ||u"2

«о,а,|{| '

где 50 е Д1 — любое число, с0 > 0, с1 > 0 — константы, не зависящие от С и функции и(£). Используя неравенство Коши - Буняковского, получим неравенство

(15)

(1 + ICI2)2 (A± (t, C, Da,t)u,u) < е(1 + Icr)q ||uf + - A± (t,C,De>t)u

i(q).

2чя ii II2

1

i(q).

(16)

для любого £ > 0.

Воспользовавшись равенством Ив (дц;— — 1 |и(0)|2, неравенствами (15), (16) в равенстве (14) и выбирая £ > 0 достаточно малым, получим утверждение леммы 1.

Лемма 2. При выполш справедливо неравенство

Лемма 2. При выполнении условий леммы 1 для любой функции и(£) е 60ю (Д+) и любого £ > 0

2

mu,iÎI <£

du

+ c(e)

A±q)u

T (1 + ICI2)2 Iu(0)IM + ci ||u"2

So,a,|ç| •

(17)

Здесь постоянная c(e) > 0 не зависит от C, u, а постоянная ci > 0 не зависит от е, C, u; s0 е R1 — любое число.

Доказательство. Умножим скалярно в L2(R+ ) тождество (12) на функцию ±F—1[(1 + ICI + + InI)q Fe[u]]=A±(C,De>t )u. Получим равенство

Re (K±q) (t, C, D«,t)u, A±(C, Da,t)u) - Re A±(C, D«,t)u) = Re (A±q) (t, C, D«,t, dt)u, A±(C, D«,t)u).

(18)

С помощью теорем 9 и 10 получим равенство

Re ( |U, Л±(C, Da,t)u j = t2(1 + ICI2)2 Iu(0)I - Re (M±2u, A±u),

(19)

где M±2 — коммутатор операторов Jt и A±(C, Da,t). Математика

2

2

2

Используя теорему 5, получим равенство

Ие (К(о) (*, С, )и, Л^С, Да» = = Ке (к(о)(*,С,Да,*)Л2 (С, )и, Л2 (£,Д«,0и) + Ие (к (¿,С,Да,*К Л2 (£,ДМ)и) ,

(о) 1

где Кх (¿,£,Да,0 — коммутатор операторов ;(£,С,Да,0 и Л2(£,Да>г). В силу теоремы 5 оператор

3 о_х

Кх(£,С, Да,г) — есть весовой псевдодифференциальный оператор с символом из класса 5 . Используя в последнем равенстве теорему 12, получим оценку

Re (t,C,D«,t)u, Л±(C,D«,t)u) > c ||u|

2

q,a,|ç|

C1 ||u|U,a,|Ç|

(Kl (t,C,D«>t)u, Л2(C,Da,t)u)

с некоторыми константами с > 0 и сх > 0 для любого з0 £ Д1.

Применяя эту оценку и равенство (19) в равенстве (18), получим оценку

2

lU||q,a,|Ç| < c

(A iq) (t, С, , dt)u, Л ±(С, )u) T (1 + ICI2)2 |u(0)|2 +

+

_i_ q q \

(М±§ u, Л2u) + (Ki(t,C,Da,t)u, Л2(C,Da,t)u) J.

Используя теоремы 6, 7 и неравенство Коши - Буняковского, получим неравенство

(M±2u,Л2u) < e(||du||2 + ||u|2>e>|i|) + c(e) ||u|

(20)

(21)

для любого £ > 0.

Используя теоремы 5, 6 и неравенство Коши - Буняковского, получим оценку

(Ki(i,C,Da>t)u, Л2 (C,Da,t)u

< £ ||u|2,a,|Ç| + c(e) ||u|2

(22)

Применяя оценки (21), (22) в правой части неравенства (20) и выбирая £ > 0 достаточно малым, получим неравенство (17).

Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда для любой функции и(£) £ 60° (Д+) справедлива оценка

2 < c(^A±q)(t, С, Da,t,ôt)u| T (1 + ICI2)2 |u(0)|2 + ||u|eo>e>|i|),

где константа c > 0 не зависит от С, u,. Здесь s0 е R1 — любое число. Доказательство. Из (12) с помощью теоремы 6 получим оценку

(23)

надг < c( A±q)(t,c,Da,t,dt)u

+ ||u|

q,a,|ç|

).

Применяя в правой части этого неравенства лемму 2 и выбирая £ > 0 достаточно малым, получим оценку (23).

Из оценок (13), (17) и (23) вытекает справедливость теоремы 1 при з = 0 для функций

■и(ж,£) £ 60°°(Д+).

Так как множество 60Ю(Д+) плотно в пространстве Н0)а>0 (Д+), то получаем справедливость теоремы 1 для функций г>(ж,£) £ Но,а,о (Д+). Справедливость теоремы 1 при з > 0 доказывается стандартными методами (см. [10]).

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.

Изложим кратко схему доказательства теоремы 3. Наряду с операторами А^(£, Дх, ), рас-

смотрим операторы А^ (£, Дх, Да,г, д^) вида

ДХ, , ^Мж, *) = -Л2Г0 (ДХ, > + (*, Дх, Да> + (1 - ^ - д^

где Л2Г0(Dx, Da,t)v = [(1 + ICI + |nI)2roFx^çFa[v]],p = 1, 2, 3,... ; ^ е [0; 1], 2ro - натуральное

число, 2r0 > q.

2

2

Рассматривается задача, аналогичная задаче (2)-(3) с заменой в ней оператора А(5) на опера-

тор )р Рассматривается также уравнение вида (4) с заменой в нем оператора на оператор

(q)

A

(q) +, p ,

, p , ^

Существование регуляризатора таких задач при д = 0 известно (см. [10]). Затем при всех

р = 1, 2,3,... и д е [0; 1] доказываются коэрцитивные априорные оценки, аналогичные оценкам (5) и (6). С помощью продолжения по параметру д устанавливается существование регуляризатора для задач, аналогичных задачам (2)-(3) и (4) при д = 1. Затем с использованием коэрцитивных априорных оценок и предельного перехода при р ^ показывается существование регуляризатора задач (2)-(3) и (4).

Теорема 4 доказывается аналогично теореме 3.

Библиографический список

1. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН. - 1951. - Т. 77, № 2. -С. 181-183.

2. Олейник, О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / О. А. Олейник // Докл. АН. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 885-887.

3. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1966. - 292 с.

4. Рукавишников, В. А. О коэрцитивности Rv-обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В. А. Рукавишников, А. Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

5. Антонцев, С. Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С. Н. Антонцев, С. И. Шмарёв // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

6. Вишик, М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области /

УДК 517.917

ОСИ СИММЕТРИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо*, Д.С. Ушхо

Адыгейский государственный университет, Майкоп, кафедра теоретической физики, * кафедра информатики E-mail: [email protected]

Вводится понятие оси симметрии N-типа. Доказывается, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами n-й степени в правых частях, не может иметь четного числа осей симметрии N-типа при n = 2m, m <g N. Для случая n = 2,3 проведено полное исследование данной системы на N-симметрию. В зависимости от числа осей симметрии N-типа найдены специальные формы записи квадратичных и кубичных систем, которые позволяют упростить качественное исследование таких систем.

Ключевые слова: полиномиальная система дифференциальных уравнений, ось симметрии, изоклины, центр, фокус.

М. И. Вишик, В. В. Грушин // Мат. сб. - 1969. - Т. 80 (112), вып. 4. - С. 455-491.

7. Глушко, В. П. Теоремы разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П. Глушко // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 1978. -№ 2. - С. 49-68.

8. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Докл. АН. -1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

9. Баев, А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Докл. АН. -2008. - Т. 422, № 6. - С. 727-728.

10. Баев А.Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. - Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2008. - 240 с.

Symmetry Axes of Planar Polynomial Differential Systems

V.B. Tlyachev, A.D. Ushkho*, D.S. Ushkho

Adyghe State University, Maykop, Chair of Theoretical Physics, * Chair of Informatics E-mail: [email protected]

The notion of N-type axis of symmetry is introduced. It is proved that the vector field defined by system of the differential equations with norder polynomials in a right hand, cannot have even number of axes of symmetry N-type at n = 2m, m e N. For n = 2,3 full research of the given system on N-symmetry is carried out. Depending on the number of axes of N-type symmetry special forms of presenting of square and cubic systems, which allowto simplify qualitative research of such systems, are discovered.

Key words: polynomial differential systems, axis of symmetry, isoclines, center, focus.