CC BY
6
УДК 517.55
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРАТНО - КРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ ПО ДОПУСТИМЫМ МЕРАМ
ЗИНОВЬЕВ Б.С., канд. физ. - мат. наук.
Пусть Б - полная, кратно-круговая, содержащая свой центр (начало координат), ограниченная область в
С [1, 2, 3]. На подмножествах множества |Б| зададим
конечную (ст - конечную) меру [4], с. 35) так, чтобы |Б| превратилось в пространство с мерой [4], с. 77) и все открытые подмножества |Б| были измеримыми [5-7].
Область Б представима в виде
Б = и 1ФИ
0 <©,<2^ = 1,..,п}.
Обозначим через А2(Б) совокупность функций f(z) , голоморфных в области Б^е Н(Б)) и таких, что норма
11Б
(2га)1
1— Г а2 Г м2^
.1 ; 1 1 г
1Б1 Аи
< ж
(1)
Интеграл (1) понимается, при необходимости, как несобственный. При этом мера ц на Б задается равенством
, ,, ас ас ас1 ас п ац = а2л—,— л... л—
С С С1 С п
где л - знак внешнего умножения.
Введем в пространстве А2 (Б) внутреннее произведение
(^) = МБ =72^Г^(2)
(2п1) Ь
так, что (£,£) = 1
Определение. Конечное или счетное множество функций {фу е А2 (Б), у = 0,1,2...} называется ортонормированным в Б по мере 2 (о.н.с.ф.), если
(, Фц) =ст- =
= 0, ^=4 У =
где ст - символ Кронекера.
Определение. Пусть {фу е А2(Б),у = 0,1,...} -о.н.с.ф. по мере 2 и А2(Б). Величины
аV = Фv )Б = (2 1.)п Г а2 Г )Фv (С^ называются
(2п1) Б АН ^
коэффициентами Фурье и ряд
I аvФv (z) =Х (£,Фv )БФv (z) называется рядом Фурье
v=0 v=0
функции f(z) относительно системы {ф^ и меры 2.
Пусть ^,v = 0,1,2... - произвольные числа. Найдем величину (см. [8], с. 80 )
М^ =
f КФл
-II bv-
а „ -
-1К1 ,
где av = (f,фv). Отсюда следует, что Мк достигает максимума при ^ = аи имеем неравенство Бесселя
ж 2
!К1 <П2.
v=0
Предложение 1. Пусть {фч, (z) е А2(Б)} - о.н.с.ф. по заданной мере 2 , последовательность чисел {Ь^
такова, что:
1. Ик
< ж.
v=0
2. Ряд Б^) = 1 Ьч,фч, (z) равномерно сходится
v=0
внутри Б .
Тогда в интеграле ^)||2 возможно почленное интегрирование, т.е.
1^)|Г =
I КФч
v=0
= 1 <ж,S(z) е А2 (Б).
v=0
Для доказательства оценим разность
ж ж Л ж
IbvФv(z),IЬцфц^)
v=0
(
ц=0
N
v=0
N
I bvФv (z) - I bvФv ^),1 bvФv (z)
v=0
(ж N Л
Л
v=0 2
I bvФv(z),I bvФv (z)
Vv=N+1 v=0
<
2
v=0
2
2
2
Е ) 'Е )
<=N+1 Б v=0
2 N 2
=1 1% (г )| ,-Е Г 1 o,N к»,
v=0
N+Р
так как если г№ = Е bvФv (г), то Нш г
Р1ВД
v=N+1
равномерно внутри Б . Поэтому для г е Б0 Б0 с Б, имеем
1МБ0 = р-И ^0 < р11швд11 Гмр1Б =
Р1ВД 2
= Е КI2,
v=N+1
т.е. ||%||в < Е lbv| 1 1ВД.
v=N+1
Более общим является
Предложение 2. ([8], с.83) Пусть {ф^, (г)е Л, (Б)} о.н.с.ф. по мере X , числа {bv},таковы, что:
ВД ВД
1 ЕlbvГ <ВДЕ|cvГ <вд-
v=0
v=0
2. Ряды Е bvФv(z ),Е CvФv(z) равномерно
сходятся внутри Б .
(
Тогда величину
V
можно
Е bvФv (2)Е сцФц (2)
v=0 ц=0 ,
находить почленным интегрированием. Доказательство предложения 2 аналогично доказательству предложения 1. Для этого оценим разность
( Вд N Л N _ 2
Е bvФv(z) Е с^Д2) -Е bv cv
v=0 ц=0 )
v=0 N
Л
Вд NN
Е bvФv (2)- Е bvФv (2)' Е с^ (2)
v=0
v=0 N
ц=0
Е bvФv(z)Е с^Фц(2)
v=N+1 ц=0
ВД 2 N 2
< Е ) Е (г) <
v=N+1 ц=0
* Е КI2 -Е Ы21 0^
v=N+1 ц=0
(
Поэтому
1 ВД.
У
Е ) Е ) =Е bv cv.
^=0 |а=0 )б v=0
Сформулируем четыре определения «допустимой» меры и найдем некоторые связи между ними. Определение 1. Меру X называют А-допустимой, если для любых целых неотрицательных чисел (к1;...,кп ) = к выполняется неравенство [5, 6]
Тв|18ир |с|к=ШБх| с|к.
Определение 2. Меру X называют С-допустимой для совокупности функций {Г}, если для любого связного компакта К с Б существует постоянная С(К), такая, что для г е К,Г е {Г}
Г (2 ))< С (К )|| Г| б
Определение 3. Меру X называют О-допустимой для совокупности функций {Г}, если в интеграле (1)
допускается почленное интегрирование для {Г}.
1
2 Л ^
Л С
мера Лебега на Б ,
Поскольку ^ =-d
(21 )П
где du - элемент объема, то для меры Лебега dX = пnd 2 на |Б| будем рассматривать также
заданные на Б меры dц = ЬгдеЬ > 0 в Б , Ь е С(Б), Ь -весовая функция.
Определение 4. Меру dц = Ьdu,гдеЬ > 0 в Б , Ь е С(Б), называют весовой или В-допустимой мерой
[9].
Для полных кратно-круговых областей Б,
содержащих свой центр (начало координат),
ортонормированные системы обычно ищутся в виде мономов
В
Фv (2) = Ч = Ь ортонормированности по X в Б , имеем
v1 vn 2 1 2 п
V1,...,VnZ'1 •••'ьп •
силу
их
(
ь,2 =
л
(2П)п ^ М М С
(2П1) Б ^
'и
( Л
= Цс|" dX
)
Поэтому коэффициенты Фурье а^, находятся по формуле
^^(Пг 1 М^ с
(2п1) |Б| А,„, ^
а„ =
dC
АН
Известно, что для областей Б , описанных выше, любая голоморфная в Б функция Г(г) представима
равномерно и абсолютно сходящимся внутри Б кратным степенным рядом
ВД ВД ВД
Г (2)=Е с,zV=Еа v к ^=Еа vФv (2)
v=0 v=0 v=0
Где а^(Г,Фv), который может быть преобразован в ряд Фурье, причем
^ г„ г dC
сv = а v bv =
^ 1 dX | Г г ^.
(2п1 )П |Б| ^
Ан
Предложение 3. Заданная на |Б| мера X является О-допустимой для пространства функций {лX(Б)}..
Пусть f е А2(Б) и f = I аvФv (z) ,
v=0
где Фv (z) = bvzv,v = (v1,...,vп). Данный ряд, как преобразованный из степенного, также равномерно сходится внутри Б . В силу неравенства Бесселя для
ж
|2 ,||,Ч|2
f е A^ (D) имеем неравенство I|av| <|
< œ.
v=0
Поэтому по предложению 1 мера 2 является
0-допустимой для пространства {а2 (Б)}..
Предложение 4 (см. [10]). А-допустимая мера является 0-допустимой для пространства голоморфных функций {Н(Б)}.
Доказательство. Представим функцию f(z) е Н(Б) в области Б степенным рядом f(z) = ! саzа . Для того,
a>0
чтобы можно было почленно интегрировать в интеграле (1), достаточно (см. [4], с. 115), чтобы сходился числовой ряд
II a al2 = 1
I lca Г №2a d2<œ' где
a>0 |d|
аа = (f,фа) . Это эквивалентно (по теореме Абеля )
абсолютной сходимости в единичном полицилиндре
( Л
П(0,1) степенного ряда I |са |2 2а а2 , что, в
а>° ^ Б )
свою очередь, эквивалентно ([3], с.30) выполнению
неравенства lim ||a||lc( llall—œ \
|2
f|Z|2a d2< 1,
DI
где a =a +a2 +... + an. Последнее неравенство эквивалентно следующему ([6], с. 7):
,,lÍm Ч|ca |2vraisup |Ç|2a <1.
Ilall—œ V |d|
По условию А-допустимости имеем lim ЩCal2d2(D),da(D) = mDx|Z|2a
liai—' 9D
или
,11т Щса|2а2(Б) < 1.
Это неравенство выполняется в силу сходимости ряда
1 са zа в Б и теоремы 5.13 из [3, с.30].
а>0
ж
Поскольку для f е Н(Б) I|а^ =|^||0 (выполняется
v=0
равенство Парсеваля (см. п. 2)), то для А-допустимой меры
2 Щ|Б <ж и Н(Б) = А2(Б).
Предложение 5. Мера Лебега аи является С-допустимой мерой для f е {а2(Б)} .
Доказательство. Рассмотрим полицилиндр
П^0,г) = {z:|zJ - z0| < r,j = 1,...,п}с Б. Функцию f(z)
представим в П^0,г) степенным рядом f(z) = Ica(z-z0)a , равномерно и абсолютно
a>0
сходящимся в П. Поэтому возможно почленное интегрирование (по мере Лебега) в интеграле (1) и
мп =ц^2аи = -1- Г а|с|2 Г |м|2|>
п (21) |п| А|С. ^
>nnr2n|f(z0)|2
т.е.
|f(z„)2 <-i
2п II 11п '
Пусть К - произвольный компакт из Б и z0 е К . Будем вписывать в Б полицилиндры вида П^0,г), где z0 е К, для которых
мм <-пНи п < С(П)М0.
Функция С(П) = п /2г п является непрерывной на
компакте К и поэтому достигает максимума на К (при минимуме г ). Этот максимум и будет искомой величиной С(К) такой, что
< С(К)|М||0 < ж, где z е КМ е А20(Б).
Предложение 6. Весовая мера ац = Ьаи является С -
допустимой для М е {А2(Б)}.
Для доказательства следует применить теорему о среднем для Ь в ограниченной области Б . Предложение 7. Мера Лебега, В и С - допустимые меры
для М е А2(Б) являются 0-допустимыми. Это следует из предложения 3.
Предложение 8. 0-допустимая мера 2 является и С-
допустимой для М е {А2(Б)}.
Доказательство как в предложении 5. Предложение 9. (см. [11]). Мера ац = Ьаи локально
интегрируема в Б относительно меры Лебега, непрерывная и положительная в Б\М, где М -
компакт из Б , является С-допустимой для М е {А^Б)}.
Отметим, что не каждая мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега, является С-допустимой.
Предложение 10. (ср. [11]). Пространство А2(Б) с С-
допустимой мерой 2 является гильбертовым пространством с внутренним произведением (2) и нормой (1).
Для этого ряда справедливо
IcPv (z)cpv (Z) = K(z, Z)
(3)
v=0
Предложение 11. Если {фч,(z)} -о.н.с.ф. из А2(Б) по С-допустимой мере , то ряд (3) сходится абсолютно и равномерно внутри области в = Бz х Б^ с С2п.
2
Доказательство. Пусть точка г0 е К с Б . Учитывая ортонормированность системы {ф^,} и С-допустимость меры X, имеем
N 1
Е1 фv М2 = ¿г 1 dX1
Ы А|Г
v=0
Ефv (г0)
v=0
> С(К)
N _
ЕФv (20)
v=0 ( N
С
Еф (г0)1
Vv=0
Отсюда следует, что для любого Ы, при т 0 е К
N 2
ЕК(20) < С(К).
Пусть г е К2 с Б2, Се К ^ с Б^. Тогда, в силу неравенства Буняковского - Шварца, имеем для любого N
^=0
N _Л2 ( N N
Еф (z)фv (о| < Е|фv (г)|2 Е|фv (о|
Vv=0
/
V N
|Е
Av=0
Л
т.е.
< С2(К),
Еф (z)Фv (С)| < С(К)
v=0
и по теореме Вейерштрасса ряд сходится абсолютно и равномерно на компакте Кг х К^ с в . Поскольку для
любого компакта К с в существует компакт Кг х КК , то теорем доказана.
Определение. Сумма ряда (3) - функция К(г, О называется ядром (кернфункцией) Бергмана ортонорми-рованной системы функций {фv (г)} е ЛX(Б) по мере X .
Предложение 12. Кернфункция К(г, О голоморфна по т
и антиголоморфна по ^ в О, причем К(г,0 = К(г, О. Предложение 13. При фиксированном С, е Б^
кернфункция К(г, О принадлежит пространству А2 (Б) по т для О-допустимой меры. Доказательство. Найдем
К «1:=^ 1 |К(г, ^=
(2п1 Г Б
Ан
ВД вд 1 dz
: ЕЕ Фv (Офц (о -—— 1dx 1 Фv (с)Фц <х>—=и
- - (2п1) Б Аи г
v=0ц=0
ВД
= ЕФ (0| = К С)<ВД
v=0
вд _ 2
ЕФ (о|2 =|К(г, О|[ .
Отметим, что при фиксированном С, е Б ряд (3), определяющий ядро Бергмана К(г,0, можно понимать
как ряд Фурье функции К(г,О при аv =фv (О, т.е.
а„ =
( К (г' ^ Фv) = 7Гi^ 1 dX1 К ( Ск(г)
(2п1) Б АН
г
т. е
= Фv (О. ряд кернфункции К(г,0 есть частный случай разложения функции в ряд Фурье.
Равномерная и абсолютная сходимость ряда кернфункции (3) имеет место и в общем случае ряда Фурье.
Предложение 14. Ряд Фурье функции Г(г)е А2(Б)
относительно о.н.с.ф. {фv е А2(Б)} по С-допустимой
мере X сходится абсолютно и равномерно внутри Б . Доказательство. Для г е Б из неравенства Буняковского - Шварца имеем
( ш Л2 ш ш 2 _
[Ек^] <ЕК I2 ЕФ (г) <||Г||2к(2,2). Отсю
Vv=0 ) v=0 v=0
да следует абсолютная сходимость ряда. Равномерная сходимость следует из неравенств
( ВД Л2 ВД 2 ВД 2
Е |аvФv(z|] < Е |аv| Е |фv(z)) <
V v=ш+1 2
v=ш+1 v=ш+1
<1 Г1Г Е К (г) , где г е К с Б
v=m+1
и равномерной сходимости внутри Б ряда (6) по С-допустимой мере.
К этому результату примыкает
Предложение 15. Пусть {фv (г)е ЛX(Б)} - о.н.с.ф. по
С-допустимой мере X. Если последовательность чисел
2
ВД
^^ такова, что Е|К| <ВД, то ряд
v=0
ВД
Еbvфv (г) = 8(г) равномерно и абсолютно сходится
v=0
внутри Б и является рядом Фурье своей суммы ад е ЛX(Б).
Доказательство. Равномерная и абсолютная сходимость доказываются, как в предложении 13. Пусть
ВД
Б(г) = ЕbVФV (г). Коэффициенты Фурье
а „ =
(S' фv)=(1Гг 1 dX1 Е ЧфДСЫС)--
(2п1 Г Б
А|сГ=0
С Поэт
= bv.
ому (г)|2 =Е|bv|2 <ВД по условию и S(г)е ЛX (Б).
v=0
2
v=0
v=0
Список литературы
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.2. - М.: Наука,1976.
2. Фукс Б.А. Введение в теорию функций многих комплексных переменных. - М.: Физматгиз, 1962.
3. Айзенберг Л.А., Зиновьев Б.С. Элементарные свойства и интегральные представления голоморфных функций многих комплексных переменных. - Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1975.
4. Халмош П. Теория меры. - М.: Физматгиз, 1953.
5. Айзенберг Л.А. Интегральные представления функций, голоморфных в п-круговых областях // Математический сборник. -1964. - Т. 65.- № 1. - С. 104-143.
6. Айзенберг Л.А. Распространение интегральных представлений с ядрами и квазиядрами Сеге для п-круговых областей // Некоторые свойства голоморфных функций комплексных переменных. - Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1973. - С. 3-34.
7. Зиновьев Б.С. Воспроизводящие ядра Бергмана для п-круговых областей, их распространение и связь с ядрами Сеге // Вопросы геометрической теории функций. - Томск, 1969. - Т. 210. - С. 23-33.
8. Фукс Б.А. Специальные главы теории функций многих комплексных переменных. - М.: Физматгиз,1963.
9. Круминг А.А. Ортогональные системы и кернфункция с весом для функций двух комплексных переменных // Ученые записки МОПИ. - 1960. - Т. ХСУ!. - Вып.6. - С. 157-170.
10. Зиновьев Б.С. Воспроизводящее свойство ядер Бергмана и Сеге для кратно-круговых областей по допустимой мере. Деп. в ВИНИТИ, 1996, №1148 - В96.
11. Аронов А.М. Ядра Бергмана по мере // Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. - Красноярск: Изд-во Красноярск. ун-та, 1980. - С. 215-220.
