CC BY
20
УДК 517.54: 517.862
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРОЕКТИРОВАНИЯ И РЯД ПУАНКАРЕ ДЛЯ ГОЛОМОРФНЫХ (q, р) - ФОРМ
О. А. Сергеева
THE INTEGRAL OPERATOR OF PROJECTION AND POINCARE SERIES FOR HOLOMORPHIC (q, p) - FORMS
O. A. Sergeeva
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 12-01-31256 мол_а.
Рассматриваются пространства интегрируемых мультипликативных автоморфных форм на плоской области D и на компактной римановой поверхности D/G, где группа G изоморфна фуксовой группе 1 рода. Исследуются оператор проектирования измеримых форм на голоморфные и оператор, задающий р — ряд Пуанкаре и переводящий формы для тривиальной группы в формы для произвольной группы G. Получены универсальные оценки норм этих операторов, формула воспроизведения, свойства самосопряженности и сюръективности.
the paper addresses the spaces of multiplícate integrable automorphic forms on the plane domain D and on the compact Riemann surface D/G, where the group G is isomorphic to Fuchsian group of the first kind. The paper investigates the operator of projection of measurable forms onto holomorphic ones and the operator determining Poincare p-series and translating forms for trivial group into forms for any group G. Universal estimates of norms of these operators, the reproduction formula, the self-conjugation and surjection properties were received.
Ключевые слова: мультипликативные интегрируемые автоморфные формы, оператор проектирования, ряд Пуанкаре, характеры.
Keywords: мultiplicative integrable automorphic forms, operator of projection, Poincare series, characters.
1. Предварительные сведения
Пусть D — ограниченное открытое множество в С с не менее чем тремя граничными точками, конформно эквивалентное единичному кругу
А = {z є С : |z| < l} G — отмеченная конечнопорож-
денная разрывная группа конформных преобразований множества D на себя такая, что D/G = F — отмеченная компактная риманова поверхность рода g > 2
Пусть Л = XD задает метрику Пуанкаре на D по правилу: для конформного отображения f : А ^ D
ЛD (f (z))\f ' (z)\ = ЛА (Zl Z
где Â& (z) = •
1
1 -\z\
■ — коэффициент метрики Пуан-
каре в единичном круге А. Известно [1, с. 38], что для любого конформного преобразования А множества Б справедливо равенство
ЛА(Б) (Аг)\А (2)\ = ЛБ (2\ 2 е Б.
Обозначим через Нот(0, С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из О в
С = С \ {0} с естественной операцией умножения.
Определение. Измеримой (голоморфной) мультипликативной автоморфной формой порядка q с характером р на ¥ (^, р) - формой) называется однозначная измеримая (голоморфная) функция р на Б с условием:
р(А2)А (2)4 = р(А)р(г), А е 0,2 е Б.
Мультипликативная автоморфная форма / нулевого порядка с характером р называется мультипликативной функцией для р. Если /1 — мультипликативная функция для р1 без нулей и полюсов на Б, то характер р1 называется несущественным [2, с. 129; 3, с. 23], а сама такая функция _/] называется мультипликативной единицей для р1.
Ключевая роль в развитии мультипликативной теории измеримых автоморфных форм принадлежит разложению Фаркаша-Кра [2, с. 130; 3, с. 30]: для
произвольного характера ре Нот(0, С *) существует и единственно представление в виде р = р0 • р1, где р0 — нормированный характер, то
есть р( А) = 1 для любого А е О, а рх — несущественный характер с мультипликативной единицей /.
Для целого q > 2, ре Нот(0, С *) и 1 < р е Я рассмотрим измеримые (д, р) — формы р на Б с условием
p
q ,p,g, p
îî M z)2-pq
D / G
ç( z)
fl( z)
\dz л dz|
< œ,
где _/] — мультипликативная единица для несущественной составляющей р1 характера р. Такие формы
p
образуют банахово пространство ^р(Б,О) р — интегрируемых (р, р) — форм [4, с. 73].
(р, р) — Формы /, для которых
Ч,Р,'
= зир г
Л( 2)-
/( 2)
/1( 2)
< да
образуют банахово пространство I? (О,в) ограниченных (д, р) — форм [4, с. 73].
О / в
—2. Р(2М2)
1/1(2 )Г
й2 л С2.
К
.,р, А( О)
(А2, А() А'( 2) «АЧО =
= К... „(2,С)|р,(А)| ;
".,р,о
для 2 є О имеет место оценка
Ял<^>
2— .
К.РО(2 ,о
" д ,Рі,о
/1Ю
|с<^ л СС |
< с.л(2)д\/і(2)|,с. =
При любом р голоморфные формы в Ьррр(О,в) образуют замкнутое подпространство
А.р(О,в). Если в={ісІ}, то в обозначениях рассматриваемых пространств символ в будем опускать. Для (q,р) — форм рє ир0,в)
у/ є и (О, в), где-------1 = 1, определено били, р----------------------р'
нейное спаривание [4, с. 73]:
для 2 є О и р є Арр (О, в), где 1 < р < да, р1 — несущественный характер для в, справедлива форму-
ла воспроизведения:
1к
)2—2. | .,Рі,°
р( 2) = \\л(С)2
(2,ОІ -
—2—р (С)СС л сс. (2)
2. Интегральный оператор проектирования
Рассмотрим на Б х Б мультипликативную функцию двух переменных
КрБ (2,0 =
= КЧБ (2,О/ (2 )!ЖХ 2 е Б, Се Б, (1)
однозначная составляющая которой - функция Кр, Б — также как и в классическом случае (для
р = 1) имеет явный вид:
К,б (2,0 = 12Р—(¡¿У,
где кБ (2, С) — кернфункция Бергмана, определённая
формулой кА (2,^) = [(1 — <)2 ] , 2 е А, С е А и требованием конформной инвариантности выражения кБ (2,0^2 Л dZ. Мультипликативная единица / в формуле (1) отвечает за мультипликативный характер
фунКДии КрБ.
С учётом известных свойств функций Кр Б и / [1, с. 64; 2, с. 129; 3, с. 23] получаем лемму.
Б \/Ю\
Доказательство. Так как / (2) - мультипликативная голоморфная функция для р1 и при фиксированном С (как функция от ъ) Кр Б (•, О е Ар (Б) [1, с. 64], то функция КррБ (,0 голоморфна по ъ
как произведение двух голоморфных функций.
Первые два свойства проверяются непосредственным преобразованием:
КрО (С, 2) =
(2д — 1)пд—1і 2
кв (С, 2 ) ./(С) /1( 2) =
(2 д — 1)пд—1і 2
кв ( 2,0 / 2 ) АЮ = — Кд ( 2,0
Пусть А : О ^ О - конформное преобразование области О из в. Тогда
К.,р1,а(о)(А2, АО =
= (2 . — 1)п.—1і = 2
= (2 . — 1)п?—1і = 2
к (А2, АС) ./1( А2) /х( АО =
X А'(2)-.А'Ю /2)Р1(А)/1(^)Р1(А) =
" . ,Р1,0 ^
= К.РО (2,С)А'(2)—.А'(С)'. |Р1(А)|2.
Отсюда
К
. ,Р1, А (О)
= К. рГ, ( 2
(А2, АО А '(2).А '(СУ =
р(2,С)\р,(А)|2.
Свойство 3 получается из соответствующего свойства для однозначной формы К Б (2, С) :
Лемма. Мультипликативная функция
КррБ (2, С), определённая на Б х Б по формуле (1), голоморфна по первой координате (как функция от 2 е Б при фиксированном С е Б) и удовлетворяет следующим условиям:
Кр,р,Б (С, 2) = —Кр,р,Б(2,С); для всех 2 е Б, С е Б и любого конформного преобразования А е О множества Б на себя
К
( 2 ,С)
/1( 2) /АО
., О
\ёС л ё^\ =
= ¡¡Л(02—.\Кд,о(2,С)\ёС л сф с.л(2)..
О
Докажем свойство 4. Пусть р є Арр (О, в). То
гда ре ар (Б О) Действительно, так как / —
/1 р
мультипликативная голоморфная функция без нулей,
О
2
О
то — — голоморфная форма (как отношение голо-
fi
морфной формы к голоморфной функции, нигде не обращающейся в нуль). Кроме того,
— (Az)=—^ = f, f,( Az)
= —(z1 A'(z 1 —q p,( A1 = — (2 )a.(, ) —, f,( z )p,( A) f,w
По свойству воспроизведения для однозначных автоморфных форм из Ap (D, G) [1, с. 65] имеем:
— (z) = Л Л(С)2-2qKq D (z,Z) — (Z)dz a dZ,
J1 D f
или
—z) = jjl(Z)2-2q Kq,PlJD (z,Z)fz) —(Z)dZA dZ =
JDJ Z1(z)f1(Z) f,(Z)
= ff Ж)2—2q Kq,pi,D (z2Z) — (Z)dZ A dz, z e D.
D |fi(Z)|2
Лемма доказана.
Замечание. Когда это не может привести к путанице, в обозначениях функций KqD и Kq^D будем
(ßq.pPX2 )= JJ
T(Z)2-2 q —
^) 2 Kр (Z,ZMZ)dz л dz
|/i(Z)|
(3)
для всех 2 е Б, при которых интеграл абсолютно сходится. Здесь р0 и р1 — нормированный и несущественный характеры соответственно.
Теорема 1. Для целого р > 2 оператор Рч р является ограниченным линейным отображением пространства Хррр(Б,О) в Ар р(Б,О), 1 < р < го,
обладающим свойствами:
2р — 1
1) норма
IK-
< Cq . ГДе Cq =■ л
1 q -1
2) для всех р е !р,р (ДО), / е Щ р ( Д О), 1 1 1
где-----1---= 1, выполняется свойство самосопря-
р р'
женности оператора Рч р :
(вР,рР,/)р,р,О = р вР,р/)р,р,О; (4)
3) в случае несущественного характера р = р1
для краткости опускать индексы р и Б (или один из отображение Рч р является проекцией пространства них).
Для измеримой мультипликативной формы р с ^р,р\ (Б,О) на Ар,д (Б,О) , то есть для любого
характером P = Po P, на D определим оператор — e App (D, G) верно равенство ßq — = —, ß p следующим образом:
IK А
JJ
qlq .p.G,p
T( z )2-pq
JJ *(z)
2 - pq
Доказательство. Пусть ре ЬРчр(Б, О), где
1 < р < го. Тогда если О локально-конечная фунда ментальная область для О в Б, то имеем:
Рр,рР(2) р
fi( z)
я
KZ)2~2 q -
^ 2 Kp1(z,ZMZ)dZ л dz
|/i(Z)|
|dz л dz| =
|dz л dz| <
Я
4 z)
2 - pq
\ 2 - 2 q
p
U( jp JJ^ZZ^lKpi(z'Z)|k(Z)|dZ л dZ| d л di\
|/l(z^ ^ D |/l(Z)|
<
¡Jä(z)2-pq jjA(Z)
О
TZ)
2 - q
K p,(z ,Z)|
-|dZ л dZ\
JJ
V
ч 2 - q ( p + 1)
/i(Z)p+1 /i( z )|
|/i(Z)|/i(z)|'
л
Kpi(z,Z)||^(Z)p|dZ л dZ \dz л dz|.
Последнее неравенство получается из неравенства Гёльдера:
( ^p (
для
\x(Z )y (Z )|da I ¿Я Iх (Z )\P d<J jj \y (Z )\P dc
V D ) D v D
случая, когда мера da = Ä(Z)2 q^dZ A dZ| и функции:
p'A+-L = i,
X (Z) = T(Z)- >(Z)-
K pi( z .Z)
/i(Z) p/i(z)
K p,( z ,Z)p' \p' f (z) p'
/i(Z)p /i(zу
Вестник КемГУ 2013 № 2 (54) Т. 1 | 93
D
О
D
О
p
X
D
p
Последовательно применяя свойство 3 леммы, свойства инвариантности функций Я, К ,р, / и теорему Фубини для измеримых функций, получаем:
р Я(2)2—р ( Я(Г)2-р(р+1) Л
\Ря,р<Р
< cP
JJ^W Kp(z’f)lИо1"\d( ЛdC\ dл *1
= c‘
JJ w у Я
A<AC)2-q<p+1)|A'<C)|2~q<p+1) \kp<Az,AC)\
|/i< AC)| p+1 Pi< A)|
-< p+i)
pi< A)|2
x |A'<z)|q|A'<C)|'
И AQl P\A '<C)|q |p< A )|P
__ 1L 2 < z) 2 - q
-\dC л dZ \dz л dz\ = cp' ff , <z) , У
1 'J 1 q JJ |/i<z)\£G pi
i< A )|
ff 2<AZ)2 ^ IT \K pi < Az, AC)\\A '< z )|q |p<AC)|p|dA ^л dAZ \dz Л dz[ a3iU \/i<AO\P + ' p ................. 'J
= c P
2< z )2 - q|A '< z )|q
= ^ ^ i rr z )- ’ IA < z j
“ Cq yG pi<A)|JJ |/i<z)|
Я
2<C)
2 - q < p + i)
|/iZ)|
______ K
p+i I Pi
<Az ,C)\pZ)|p|dZ л dС
)2 - q < p+i) p+i
2< z )2 - q|A '< z )|q
* І*Л dl1 = C’Jg |PA|Ji /с)г M p |Ji z|/i< z)|z K P< Az'C)|dz Л dz JdC Л dZ
= Cqp
2<C)
У |p,(A) if |Л<С)|
2-q< p+i)
Шp Jj
V
Ж Az)2-q|A'< z )|
2-q
CO
= cp
JJ
2<C)
2-q< p+i)
|/i<C)|'
HC)|pI JJ
I /< Az )|| p< A)|
2-q
- |A'<z)q |Kp <Az, C)||dz Л dz| ¡dC л dC
p| ^_2<z) j/
< Cqp
JJ-
|/i<C)|'
VC m z)
|^C)|p|dC л dC
\ _____________
|Kp <C, z)||dz л dz\ |dC л dC
<
= cp
q lr llq,p,G,p
Если p = го, то также применяя свойство 3 леммы, получаем:
q ,р,<
= sup
zeD
2< z ) - q ггл<С)2
УК z) j /i<C)
Kp<z,CMC)dC л dC
2 Pi
<
< SUP zeD i^vJJ
2<z)-q jjA<C)
d
2-2q
I./Kz)| » |/i<C)|2
|Kp<z,C)||^<C)||dC лdC|!
<
< SUPC
eD
2<C)-q |/i <C)|
■|p<C)| [• sup
zeD
UzYq JJ4^|K,p<zC)|dCл dd< c
/<z)| j |/i<C)|
q ^llq,p,w"
p
X
i
x
X
x
CO
p
p
O)
p
O)
Таким образом, получили, что для всех 1 < p < го верна оценка
КА,PG.P < С«1 \4,р.С.р-
Отсюда ||в,р| = sup а „ в;^тА< с, ■
Поэтому по теореме Фубини в РА сходится
абсолютно для почти всех z е D ■ Используя обычные свойства инвариантности можно предположить, что D = А ■ При фиксированном С е А значение
кд (•, С) ограничено и отграничено от нуля, а / (2) - мультипликативная голоморфная функция без нулей и полюсов. Поэтому интеграл в определении оператора Рч р абсолютно сходится при всех 2. Так как интеграл
>р1(2,С)}р(С)селСС , 2єО ,
А |/1(С)Г
также сходится абсолютно, то форма в РР голоморфна.
Пусть ре 1рдр( Б, О) . Тогда для А е О и тельно действия группы О имеем равенства:
2 е Б в силу инвариантности множества Б относи-
(в.,рР)(А2 ) А'(2). = А'(2). Л Л(^)2 Г К р1( А2 Х)р(£) ёС л СС =
о і/кої
= А'( 2). иЛ( А Сі)22' к р1( А2, А£)р( АС,) с (А^) л С (АС) = о | У1( А
„Ж1)2 - -. ИУ-)Г К Р1( 2 ,^1)1 р1( А)1 р(^1 )Р(А) | А'(^1)|2 ^ л ^
О |/1(^1)|2|Р1(А)|2 А^). А'(Ї1У 1 1 1 1
= Р(А)Л ЛЮ 2 Кр1 (2,С)р(С)ёС л ёС =р(А),рр)(2).
о їжої
Отсюда по определению в рє А р( О, в). раниченной линейной проекцией ^страдстм
^рД О, в) на А.Рр1 (О, в).
Таким образом, показали, что оператор вч р является ограниченным линейным отображением пространства Ьрд р (О, в) в пространство Ар р(О, в) с нормой, не
Доказательство свойства самосопряженности оператора вр проводится непосредственными преобразованиями, используя свойства билинейного спа-прев°сх°дящей Ср . Если же Ре AqPр1(Б,О) , где ривания. Пусть ре ¿рр(Б,О), р1 — несущественный характер для О, то согласно формуле воспроизведения (2) имеем в рр = р. Следовательно, в этом случае оператор вч р является ог-
р є П (О, в), где------------1---= 1, тогда имеем:
р р'
,2—2.
гг-^-----1 гг
У |/1( 2 )|2 ^ 1/1 (^ )|
^ Г! -(АО2—2 .|А '(Ор2. К р1( А2, АС) А'(2). р( АС)\А '(ОГ ? ^ л ^
Л(Г )2—2. —
^ ) 2 К р1( 2, С )р(С) ёС л с с
/ ( 2 )ё2 л ё2
Я
л( 2)
/(2)
|/ (2)| VІҐвА--!^,) |/1(АО| р1(А)|
р1( А )|
Р( А)
х ё2 л с2 = У----------------------ГГ
¿-і
1 ГГЛ( г)2-2. А'( 2 )
Аєв р(А) „ |/(2)
ГГ
Ж)
2—2.
л(0
у—гг
Аєв р(А) У |/1(^)Г
-р(С)
гг
V '
1/1(01
Кй( А2,Ор(СЖл сс
2 р
ё2 л =
У
\9
\
Л( 7 ) . А'( 7 ) —
1 Кр (А2,С)/(2с л с2 сс л сс =
V" 1/1(2 )1 1 У
X — гг
л(0
-р(С)
ІІ
Л( А2 )2—2 .|А'( 2 )|2—2 .А'(2).
АҐо р(А) У |/1(0|
X сс л сс = (( Л(^) 2
У икс)2
|/1( А2 )|2 р1( А )|—
к р (А2 ,о/(А^АМ- & л а
р(А)
р(С)
Л( 2 )2 — 2 . _____
-------— Кр (2, С)/(2)ё2 л
цАІ) 1/1( 2 )1
ёС л ёС =
И
Л(0
2 — 2 .
\Г(С)\
-р(С)
¡5
л (2)2—29
У , Кр (С, 2)/(2)с2 л с2
|/1( 2 )Г Р1^, Ж( )
. ,р/.
л
йС л ёС =
гг /ю|: Р(с)(Рд р/)(^)АС л= (р, в, р/\
Теорема 1 доказана.
СО
.
О
У
3. Мультипликативный ряд Пуанкаре
Для функции р, голоморфной на В, определим мультипликативный ряд Пуанкаре (р — ряд Пуанкаре) функции р по формуле
(0 ,,р) )) =£Р( Аг) А'(г)' (5)
v дРЛ £о р(а)
для всех г, для которых правая часть сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах множества В.
Теорема 2. Для целого q > 2 0р р является непрерывным линейным отображением пространства
А!р(В) в 4,р(В,О) с нормой ||0ч,р||- 1 , а в случае несущественного характера р = р1 0р р будет даже сюръективно. Кроме того, для любого / е Арр (В, О) , где р1 — несущественный характер, 1 < р < да, существует такое р е Ар (В), что
У = 0рР и
< с .. ,
д,р,р Ч\\т llq.pi,О,р’
2д -1 q -1 '
Доказательство. Пусть рє Агд р(В). Оценим норму:
Г q,pрl, „о ,1
|| М(х)
2 - q
|ёх л ёх| =
!!
2- q
Е
р( Ах) А’( х)4
<
Е!!
АєО ш
= ЕГГ-
М х)2-4 р(Ах)| А'(х)|",
|.№)| РР А)
р( А)
•|^Х л оХ| =
|ёх л ёх| <
х) А( М( |А'(х) 2-4 р(Ах)| А'( х) І іАх л ёАх
/1(Ах)| р,(А) -1 Р( А) |А'(х) 2
Е!!
а^оА (ш)
!!Л( х)
М( х)
|/1( х )|
|р(х)| ёх л ёх =
р( х)
/Д г)
Отсюда получаем, что 0 р
Ч ,рт
< да.
< 1.
циент метрики Пуанкаре Л и мультипликативная единица /1 ограничены и отграничены от нуля. Следовательно,
х <
Е !Г р(Ах >ИА'(х>1 '\ёх л ё
АҐО о! \р (А )| 1
< Е ,, |р( Ах )|А '(х )14 у л Ух]
АТО о \р (А )| 1 1
< да .
Пусть К - компактное подмножество в В. Выберем конечное число таких элементов А1,..., Ам
N
группы О, что к с и А (®0). Из последнего нера-
]=1
венства вытекает, что мультипликативный ряд Пуанкаре сходится в Ё на А(о0) при любом А е О (
1} — пространство функций, интегрируемых по Лебегу). Поэтому р — ряд Пуанкаре сходится также в Ё
на К. А так как из Ё — сходимости голоморфных функций следует равномерная сходимость на компакте К из В, то заключаем, что 0р рр будет голоморфна в В.
Для доказательства принадлежности 0ч,рРе А1,р(В, О), осталось показать, что это
(Ч, Р) — форма для О на В. Пусть В е О, 2 е В. Тогда имеем:
(0 Ч,рр)Вх )В '(г)Ч =
р(А (Вх ))А '(Вг )Ч В '(г)Ч =
Р( А) =
= у р(АВг )(АВ )'(г)Ч =
= ¿О р(АВ)р(В)— 1 =
__уррр_^ р( В) = (0 Ч,рр)) р( В).
АеО р( А )
Следовательно, 0р рр — это (р, р) — форма на Б.
Пусть теперь р = р1 — несущественный характер. Чтобы доказать сюръективность отображения 0 Ч и что любая форма / е Аррр (В, О) является р— рядом
= Е
р£ А1Л В),
Проведенные выше оценки нормы |0 Ч Рр|
показывают также, что р — ряд Пуанкаре функции р сходится равномерно на компактных подмножествах множества В. Действительно, пусть О0 — компактное подмножество фундаментальной области СО. На компакте СО0 и локально-конечной области СО коэффи-
Пуанкаре некоторой функции Ч р !■> рассмотрим характеристическую функцию X фундаментальной области СО . Для любой формы ¡Л е ЬРЧр (В, О) имеем:
Рч.р, Л = 0 Ч,р, (вч,^ ХЛ ) ) где вчрЛе Ар(В, О),
хл е Ц,р(В),вчр (хл) е Ар,р1 (В).
Из сюръективности отображения вч в случае
несущественного характера для любого / е Ар (В, О) существует такой
СО
СО
Л е ЁРЧ р (В,О), что вч рЛ = /. Следовательно, существует также р = вч (ХЛ) е Арр (В) такой, что 0^р = / и сюръективность отображения 0 Ч р доказана.
Ч,Н1
Используя оценку \\вр,рЛ\\ЧРО,р ^ СЛ4р,р,О,р и тождественность оператора вч на голоморфных
формах из Арр (В, О), получаем:
Литература
И = 1К .p^HI
= \р,р,(в„п HI
<
q .Pi. p <
МАТЕМАТИКА |
IK.p ^1
\\q .Pi.G. p
< С7|l^qp,^
q Pi.G. p = С,
qW^q pi‘ II q .pi .G. p
Теорема 2 доказана.
q
q.Pi.G.p '
Замечание. Как видно из доказательства теоремы, отображение 0р р позволяет также однозначной голоморфной функции ( ч = 0, р = 1) на В поставить в соответствие мультипликативную голоморфную ( ч , р) — форму относительно группы О Ф id .
1. Кра. И. Автоморфные формы и клейновы группы / И. Кра - М.: Мир. i975.
2. Farcas. H. M. Riemann Surfaces / H. M. Farcas. I. Kra // Graduate Texts in Mathematics. - Vol. 7i. -
New York: Springer-Verlag. i992.
3. Чуешев. В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной ри-мановой поверхности / В. В. Чуешев. - Кемерово. 2003. - Ч. 2.
4. Сергеева. О. А. Банаховы пространства мультипликативных автоморфных форм / О. А. Сергеева //
Вестник НГУ. - 2005. - Т. 5. - Вып. 4.
Информация об авторе:
Сергеева Ольга Алексеевна - кандидат физико-математических наук. доцент кафедры математического анализа КемГУ. 8-904-375-52-23. 8(384-2)54-33-90. okoin@yandex.ru.
Olga A. Sergeeva - Candidate of Physics and Mathematics. Assistant Professor at the Department of Mathematical Analysis. Kemerovo State University.
