Операторы и функционалы в нормированныхпространствах форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

The numerical algorithm of implementation of thermo-mechanical model of the dynamics of Elastic-plastic material

Christina Sergeevna Svobodina, graduate student ICM SB RAS

In this paper a range of questions are considered related to the construction and numerical implementation of a mathematical model of elastic-plastic deformation of materials under intense external disturbances. A simplified thermodynamically correct model of elastically compressible plastic medium is proposed. Based on the method of splitting into physical processes and spatial variables efficient numerical algorithm is constructed for geometrically linear version of the model.

Key words: elasticity, plasticity, thermodynamics, finite strains, shock wave, splitting method.

УДК 517.54: 517.862

ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ В НОРМИРОВАННЫХПРОСТРАНСТВАХ (q, р) - ФОРМ

Ольга Алексеевна Сергеева, к.ф.-м.н., доцент

Тел.: 8 904 3755223, e-mail: Okoin@yandex.ru Кемеровский государственный университет, кафедра математического анализа

http://www.math.kemsu.ru/kma

В статье приведен обзор основных результатов, полученных в теории мультипликативных автоморфных форм ((q,p)-форм) на компактной римановой поверхности, со ссылками на опубликованные работы, где можно найти их подробные доказательства. В качестве демонстрации техники работы с такими формами, последние теоремы о вложении в пространствах (q,p)-форм приводятся с доказательством.

Ключевые слова: Интегральные операторы, билинейные спаривания, характеры, мульт

ипликативные автоморфные формы, двойственность, ряд Пуанкаре.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, № 12-01-31256 мол_а.

Введение

В работах [1]-[7] было начато изучение нормированных пространств мультипликативных автоморфных форм. В этих пространствах были введены нормы, билинейные

спаривания, функционалы и операторы, действующие на мультипликативных автоморфных формах ((q, р) — формах). Классические результаты теории однозначных автоморфных форм были получены в работах Л. Берса, И. Кра [8] и соответствовали случаю тривиального характера р = 1.

Отличительной чертой более общего мультипликативного случая является наличие нетривиального характера р ^ 1 в задании всех изучаемых здесь объектов [9], [10]. Характер проявляет себя как дополнительный сомножитель в условии O.A. Сергеева инвариантности автоморфных форм относительно группы кон-

формных преобразований комплексной плоскости C, унифор-мизирующей в плоской области D с C компактную риманову поверхность рода h > 2 . С появлением этого дополнительного компонента, определяющего мультипликативный

случай, сразу возникает необходимость в соответствующем изменении основных элементов функционального анализа в пространствах автоморфных форм. Кроме того, появляется новое важное понятие мультипликативно двойственных форм (их произведение — однозначная форма).

Всё это порождает новое направление в теории автоморфных форм. Некоторые классические операторы получают обобщение на мультипликативный случай. При этом появляются и новые возможности. Так, например, введённые здесь операторы двойственности не только, подобно своему классическому предшественнику - оператору Берса, осуществляют отражение области определения голоморфных форм относительно квазиокружности, но и устанавливают связь между двойственными пространствами этих форм, что расширяет область их приложения. Специально для мультипликативно двойственных форм вводится симметричный вариант билинейного спаривания, который непосредственно может быть также использован в теории однозначных функций и дифференциалов.

Цель данной статьи - сделать обзор основных полученных результатов при изучении пространств мультипликативных автоморфных форм. Приводятся свойства операторов и функционалов, устанавливающих связь между пространствами:

1) измеримых и голоморфных (д, р) — форм;

2) двойственных (д, р) — форм;

3) форм для тривиальной группы О = id и мультипликативных форм для произвольной группы О, изоморфной фуксовой группе первого рода;

4) (д, р) — форм для специальных классов характеров;

5) (д, р) — форм для различных порядков суммирования;

6) (д, р) — форм для различных порядков автоморфности;

7) голоморфных (д, р) — интегралов Эйхлера и голоморфных (д, р) — форм.

С доказательством, демонстрирующим технику работы с мультипликативными автоморфными формами, рассмотрим теоремы вложения для пространств (д, р) — форм.

п. 1. Нормы и билинейные спаривания в пространствах (д, р) — форм

Пусть Э с С — открытое множество, конформно эквивалентное единичному кругу А; О — конечнопорожденная разрывная группа конформных преобразований Э на себя такая, что Э / О = Г — компактная риманова поверхность рода И > 2; Нот (О, С *) — группа характеров р из О в С * = С \{0} с операцией умножения.

Определение 1. Измеримой (голоморфной) мультипликативной автоморфной формой порядка автоморфности д с характером р на Г (или кратко (д, р) — формой) называется однозначная измеримая(голоморфная) функция р на Э с условием

р{Аг)Л'(г)д = р(Л)р(2), А е О, 2 е Э, Э/О = Г.

В частности, форма / нулевого порядка автоморфности с характером р на Э называется мультипликативной функцией для р . Если /1 — мультипликативная функция для р1 без нулей и полюсов на Э, то характер р1 называется несущественным, а сама такая функция /1 называется мультипликативной единицей для р1 [9-10].

Определение 2. (д, р) — форма и (д, —) — форма являются р — двойственными, а

р

(д1, р) — форма и (д2, р) — форма — д — двойственными формами для д = д1 + д2. Формы одновременно д — и р — двойственные называются (д, р) — двойственными формами.

Для целого д > 2, вещественного р > 1 и характера ре Нот (О, С *) (д, р) - формы р на Э, для которых

р

д,р,р,О

Цч г )2-рд

э / о

р(г)

/(г)

ёг л ёг

< ^.

(1)

образуют банахово пространство Ьрр(Э, О) [1]. Здесь /1 - мультипликативная единица для несущественной составляющей р1 характера р в разложении Фаркаша-Кра [9], [10], Л(г) - коэффициент метрики Пуанкаре [8]. При любом р голоморфные формы в Ьрчр(Э, О) образуют замкнутое подпространство Арр(Э, О) .

Зафиксируем обобщенный коэффициент Бельтрами уд класса С(Э) для д[8], т. е. непрерывную на Э функцию Уд со свойствами:

1) 2)

уд (Аг) А (г )1-д А'( г) = уд (г), г е Э, Ае О,

уд (г) < К • Л(г)2 д почти всюду на С .

Тогда на множестве (д, р) - форм, интегрируемых со степенью р, можно также задать другую норму по правилу:

V,(г )р( г) р

И Л(г)

2(1-р)

Э / О

У1( г)

ёг л ёг

< да .

(2)

у

Используя свойства У,, нетрудно установить оценку:

< К •

где К — константа из оценки обобщенного коэффициента Бельтрами уд: < К •Л2'9.

В отличие от нормы (1), при дополнительных условиях на нули функции уд [4], норма (2) может быть также использована для мероморфных (д, р) - форм, интегрируемых со степенью р.

У( г )

Формы у , для которых

д,р,с

= Бир^ Л(г)

/( г)

< да, образуют банахово про-

странство ^дд р(Э, О) ограниченных (д, р) - форм [1].

Если О = ¡ё, то в обозначениях рассмотренных выше пространств символ О будем опускать [6].

Для форм р1 е Ц (Э, О) и р2 е Ьрр(Э,О), с условием — + — = 1, определено

р р

билинейное спаривание [1], [2], [3]:

(р1,р2 ) = ГГ Л(г)2-2д р1(г)р2(г)

>д,р,Э,О

2 Я Л(г)

2 Но " (г)|

ёг л ё г .

(3)

которое работает только с (д, р) - формами, имеющими общий порядок д и общий характер р .

Для случая (д, р) - двойственных форм ре Ьр (Э, О) и у е Ьр 1( Э, О) вводится

д2 —

р

другое билинейное спаривание [2], [3]:

р

У= 2 (^ Л ёг ' (4)

Ь 2' ' 2 Э / О

где ¡л — фиксированный обобщенный коэффициент Бельтрами класса С(Э) для q = q1 + д2, 2 < q е N.

Билинейное спаривание (4) симметрично и непосредственно может быть также использовано в теории мультипликативных мероморфных [4] и однозначных авто-морфных форм.

Теорема 1 [1].Пусть р = р1 — несущественный, 1 < р <<х> и — + — = 1. Тогда

Р Р

билинейное спаривание (3) задаёт антилинейный топологический изоморфизм между Арр (Э, О) и пространством, сопряжённым к Арр( Э, О). Кроме того, если

у е Ар (Э, О) и линейный функционал I на Арр (Э, О) соответствуют друг другу

-1ц

при этом изоморфизме, то вернонеравенство cq ||у|| qPlP>G < Irl <IMI qPlp'o ' где ||Г|| —

норма линейного функционала I, а c = ——1.

q —1

Лемма 1 [4]. Пусть v и vq2 — два обобщенных коэффициента Бельтрами для q1 и q2 соответственно. Тогда

vq (z) ■ vq (z) V (z) = qi ;( / , z e D ,(5) Ä( z)

тоже обобщенный коэффициент Бельтрами для q = q1 + q2 на Э. Кроме того, таким способом можно получить любой обобщенный коэффициент Бельтрами для

q = ql + q2 ■

1 1 * Теорема 2 [4]. Пусть 1 < р <да,—I--= 1, ре Нот (О, С ) и А = (а1 ••• а5) — це-

Р р

лый дивизор на Э. Тогда симметричное билинейное спаривание (4) задаёт линейное соответствие между пространством 0,р р( Д О; А) — мероморфных р) - форм, кратных дивизору А на Э и интегрируемых со степенью р, и пространством

v р4 у J

, сопряженным к Qp 11 D, G;—|.

q2>v A J

Кроме того, для голоморфнойр e App(D,G; A), кратной дивизору A, и меро-

f f 1 ЛЛ

q2

p

v v A J J

морфной у eQF 1 D, G; — | (q, p) — двойственных форм справедлива оценка

K

М q

Ч

2

' ql,q2,Э,О

где коэффициенты Бельтрами /л9 + ^ и V (в задании билинейного спаривания (4) и нормы (2) в пространстве мероморфных (д, р) - форм соответственно) связаны формулой (5), причём Vqг (ai) = 0, для всех ai е Э, I = 1,..., 5, а К1 - константа из оценки V„ .

11

п. 2. Оператор проектирования в измеримых (д, р) — форм на голоморфные

Измеримые и голоморфные р) — формы связаны друг с другом с помощью оператора в , заданного по формуле:

ОЫ)г) = Эщр"К™ (г, ^Ур(ОйС л ^ ,

для всех г е Э, при которых интеграл абсолютно сходится. Здесь р1 — несущественная составляющая характера р в разложении Фаркаша-Кра [9], [10];

г,-1;

Кд,р1(г,С) =-2-кЭ(г,£)Ч fl(г)fl(Z), где кЭ (г,С) — кернфункция Бергмана, определённая формулой кд (г, £) = [(1 - г^)2 ] для (г,£) е А х А и требованием конформной инвариантности выражения кЭ (г, л йС, .

Теорема 3 [6]. Для целого д > 2 оператор вчр является ограниченным линейным отображением пространства Ьр (Э, О) в Аррр (Э, О) ,1 < р < да, обладающим свойствами:

1) норма ||в,р||<с,, где с,

2д -1

Т-т;

2) для всех ре ЬрАЭ, О), уе Ьр р( Э, О), где — + — = 1, выполняется свойст-

р р

во

самосопряжённости оператора вч :

УУд ,р,Э ,О =(р, в, ,рУ)д,р,Э,О ;

3) для несущественного характера р = р1 и ре Арп(Э, О) верно вчррр = р. п. 3. Операторы двойственности (д, р) - форм

Пусть с— квазиокружность в С , Э1 = ¡Шс, Э2 = Ех№ ; Л(г)|'г| — метрика Пуанкаре, заданная в Э1 и Э2; О — отмеченная конечнопорожденная квазифуксова группа

первого рода дробно-линейных преобразований С с инвариантной кривой с такая, что Э1 / О — компактная риманова поверхность рода И > 2 .

Для ре Ар1р (Э1, О) определены операторы двойственности:

(Б-р)) = 1 ГГЖ)2-2;_рО ^л К, г е Э2 V с ^ 2 П(С-г)2д ЛШ(г) 2

(в^'р)) =1 ^Ш!д = д1 + д2, г е Э2.

Ус А 2 ^(С-г)2 f1(Z) ч2, 2

Кроме обращения области определения формы относительно квазиокружности с, эти два оператора устанавливают связь между пространствами двойственных голоморфных

(д, р) - форм. Оператор В|!от обращает характер формы, сохраняя её порядок: Вь°тре Ар 1 (Э2, О). Оператор ВО^, наоборот, — д-двойственно изменяет поря-

'2' ^ / ' —с

«1 —

р

док формы и не влияет при этом на её характер: Во^'р е Ар р(Э2, О), д = д1 + д2.

42(д-1)2^

Обозначим кд =--константу для целого д > 2 .

д

Теорема 4 [2, 3]. Для произвольного характера ре Нот (О, С *) интегральный оператор двойственности в|!от является непрерывным антилинейным отображением

между пространствами р - двойственных форм: В^ош : Арр (Д, О) ^ Ар 1 (Д2, О) ,

ч —

р

р е Я,1 <р < да, с нормой

ВЬот

< К •

Кроме того, для любых голоморфных р - двойственных форм р е Арр (Д1, О) и

у/ е Ар\ (Д,О), — + — = 1, верно Р р

(к>, и)0=рв-^Уч • (6)

р

Теорема 5 [2, 3]. Для произвольного характера ре Нот (О, С *) интегральный оператор двойственности ВО'- является непрерывным линейным отображением из Ар,р(Д,О) в Арр(Д,О),р е Я,1 <р <да, с нормой В°сы < КкЧг (где К — константа из оценки обобщенного коэффициента Бельтрами: цч < КА- для ч = ч1 + ч2).

Кроме того, для любых голоморфных р- двойственных форм ре Ар р(Д, О) и

у е Ар 1 (Д,О), — + -1 = 1, верно

Р Р

(во-'ру) =р, во:- И ДО • (7)

Формулы (6) и (7) устанавливают свойство «самосопряжённости» операторов В^°т и В°сы относительно билинейных спариваний (3) и (4) соответственно в р - двойственных пространствах. Следующая теорема показывает сопряжённость операторов

~ т~> Ьош т~> о'- ~

двойственности Вс и Вс друг с другом в ^-двойственных пространствах мультипликативных голоморфных автоморфных форм и устанавливает связь между билинейными спариваниями (3) и (4) в этих пространствах.

Теорема 6 [5, 7]. Для произвольного характера ре Нот (О, С *) и ч-двойственных голоморфных форм ре Ар р(Д,О) и у/е Ар'р(Д,О), — + — = 1, спра-

41,р Чг,Р р р

ведливо равенство:

к'-рЛ^а=р, в-7у мл,о (8)

п. 4. Мультипликативный ряд Пуанкаре

Для функции р, голоморфной на Д определим мультипликативный ряд Пуанкаре ( р - ряд Пуанкаре) по формуле

ч

к р)г) = V Р(Аг)А'(*)

для всех г, для которых правая часть сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах множества Д.

Теорема 7 [6]. Для целого ч > 2 р является непрерывным линейным отображением пространства А^ (Д) в А (Д, О) с нормой ®чр < 1, а в случае несущественного характера р = р1 отображение @ч будет даже сюръективно. Кроме того, для любого у е Арр (Д, О), где р1 — несущественный характер, 1 < р < да , существу-

2ч -1

ет такое ре ApPi(Д), что У = ®ч,Р1Р и Мд р1р <сд-И^ро, сч = ч -!

Ч 1

Используя теоремы о линейном функционале, заданном билинейным спариванием (3), об операторе проектирования в и о сопряжённости (8) операторов двойствен-

пЬош г>огй

ности Вс и Вс друг с другом, доказана:

Теорема 8 [7]. Для целого д > 2 и несущественного характера р = р1 интеграль-

\ ~ оЬош г>огй ~

ные операторы двойственности Вс и Вс «коммутируют» с линейным отображением

09р1о- : (Э;) ^ А1я р (Э;, О), определяющим ряд Пуанкаре на Э;, а именно:

1 ((сЬОт о ®9.ЛЛ ))

(

\

0 1 о в^0т

д— Э V р1

ре А 1 (Э2,О) для всех ре А'Щ);

р1

2. (В0Г' о0^)р = (0м оВОгй)р е А^,д(Э2,О) для всехре А^(Д),

д1 + д2 = д > 2.

п. 5. Вложения в пространствах (д, р) - форм по порядку суммирования Теорема 9. Для целого д > 1, произвольного характера ре Нот (О, С *) и р > 1 имеют место непрерывные вложения

Аддар( Э, О) с АрЭ, О) с Ар(Э, О).

д,р

1

д,р *

Доказательство. Пусть с — локально-конечная фундаментальная область группы Ов Э. Тогда её площадь £(ю) ограничена:

0 < £ (с) = 2 ЦЛ( г)2

ёг л ёг

< да.

Возьмём р е Арр(Э,О) и 1 < р < да . Тогда

< да и имеем

р

9,р,р,о

ЯЛ( г)2-р9

с

( \ Бир^ Л(г)

р( г)

/( г)

ёг л ёг

< Бир

Л(г)-

др

р(г)

Л( г)

р(г)

М г )

ЦЛ( г)2

ёг л ёг

¡¡Л( г)2 |ёг л ёг

с

р 8 (с)

д,р,да

2

■ < да.

Следовательно, р е Ар (Э, О), а значит А9 (Э, О) с Ар (Э, О) . Непрерывность

вложения также следует из оценки

< р • р1

1д,р,р,О IIГ 11д,р,да \1

£ (с)

Возьмём теперь р е Арр(Э, О), где 1 < р < да. Тогда

9,P,P,О

< да и, используя не-

равенство Гёльдера, получаем оценки:

9,р,1,О

ЛЛ(г)2-9 рё!'г л ёЦ = ЛЛ(г)

М г )

Л(г)-

р(г)

Л

/( г)

ёг л ёг

<

<

¡¡Л( г )2Л( гУ

р( г)

А( г)

л:

ёг л ёг

ЯЛ( г )2

V

р-1

ёг л ёг

Щ,р,р,О

р-1

'8(с)} р

< да.

Из последнего заключаем, что р также принадлежит пространству А^ (Э, О) и вложение Адрр(Э,О) с А^р(Э,О) непрерывно.Теорема 9 доказана.

'О

р

р

р

а?

2

2

д

с

с

р

р

ш

с

п. 6. Вложения в пространствах (ч, р) - форм по порядку автоморфности

Здесь ограничимся частным случаем, когда Д = А = {ы е С : |г| < 1} — единичный диск (это необходимо, чтобы воспользоваться специальной оценкой А).

Теорема 10. Для любого г > —, где 1 < р <да и любого характера

р

р е Нот (О, С *) имеет место непрерывное вложение

Арр(А, О) с А^ ,р(А). Доказательство. Рассмотрим к (г,£) — кернфункцию Бергмана, определенную

формулой к(ы, = - , г е А, £ е А, и требованием конформной инвариант-

ности выражения к(а . При заданныхри гдокажем следующее тождество с участием этой функции:

пр-1( рг -1) или, равносильно,

А(г)р =ЦЛ(02~рг\к(2,С)\а

рп жг)рг = ачсгр 1 - <[2"'¡-с а -с

г е А.

г е А .

(9)

Для этого воспользуемся заменой переменной ^ = С(—) = —=", где г— фикси-

1 + ы—

рована из А, а — — новая переменная. Тогда

(-I I2)

+ г— + —

Ж)2-рг =(1 -щ2 )-2

1 -

*гр

1 - ы

Отсюда получаем

' — + г 4 ч 1 + г—,

ы— + Ы

-— а ё—

- -чЧрг-2

1 - Ы

(1 + г—)2

г

-— а -—

— + г

v1 + г— уу

2 2 2 2 1 + г — - г - —

\рг-

12 V

11 + Ы—

V у

ы— + г

2

V

- рг

1 + г—

11 + Ы—

V у

1 - Ы

1 + Ы—

-2 рг

нжа-рг 1 - 2 рКа -с\=ц

2 1 + Ы 2 2 2 — - г - —

1 + Ы— 2

\рг

-2

1 - Ы

1 + г—

-2 рг

Ш

1 + г—

-— а -—

я 1

+ Ы—

-2( рг - 2)+ 2 рг - 4

2| 12 | |2 I 12

1 + Ы — - Ы - —

Чр (л I 12 I 12 ||2 | 12 Л

1 + Ы — - Ы - —

(Г

1 - Ы

-— а -—

Я

(-I—2)

А 1 - Ы

-— а -—

= Ж г)рг - —

г-2

-— А -—

= 2пА( г)рг |(1 - '2 )-22'-' = А( г) рг,

о р -1

и тождество (9) доказано.

А

2

2

2

4

А

А

2

2

А

А

Пусть теперь ре Арр(А,О), с — локально-конечная фундаментальная область группы Ов А. Используя (9), получаем

2

прг-1( рг -1)

2

9,р,р,О ,„.рг-1

прг-1(рг -1)

¡¡Л( г)

2-рг

р(г)

2

прг-1(рг -1)

ЯЛ( г )

2-р (д+г)

р(г)

fl( г )

Л(г)

ЯЛ( г )

2-р(д+г)

р(г)

М г)

/( г)

ёг л ёг

Л

ёг л ёг

рг

\\Л(С)2-рг\к(гХ)\р\ёС л ёС\ \

А У

ёг л ёг

Последовательно применяя свойства конформной инвариантности функций Л(£), к(г,^) и теорему Фубини, получаем равенства:

прг-1(рг -1)'р9,р,р,О = р ( Л(АС)2-рг Л

АЛ( г )

2-р(д+г)

р(г)

М г)

ЕЯ

V АеОА -1(с)

\А\С)\

рг-2

■|к(Аг, АС)рг|А'(г)рг|А'(0|Р\ё£ л ёС

ёг л ёг

ПЙ г)

2 - р( д+г)

р г )

М г )

¡¡Л(С)2-рг|к(Аг,0|рг|А'(г)р'\ёС л ёс\ |<

ёг л ёг

ХНЛ(СГрг ЦЛ(г)

2-р(д+г)

р(г)

Л( г )

|к(Аг,0|рг|А'(г)рг\ёг л ёг| \ё£ л ёС

■■ЫСГ *I Т^ЛА^р^ |к(Аг,ОГ|А'(г)Г|ёг л ёЦ |к л ёЛ

Гс ,Тс |А'(г)р(9+г)-2 |У1 (Аг)>1(А)|-р 1 М 1 ^ Ч

¡¡Л(С)2-рг ||Л(г)2-р(9+г)

А

V '

р(г)

М г)

л

|к(г,£)\р'\ёг л ёг

ё^ л ё £

Так как для любых г е А и С е А верна оценка

Пк (=¡т^ г 4'

то последнее выражение можно оценить снизу и, следовательно:

2| И

р

9,р,р°

тср (рг -1) (4п)р

ЛЛ^)2-рг\ё£л ёС\ЦЛ( г)

2-р (9+г)

р( г)

М. г)

р -I М

ёг л ёг\ = - 11Ц+г,р,р

(4п)рг '

где 8 = ¡¡Л(£)2- р*\ё£ л ё^, причем 0 < 8 < 8(с) < да , так как 0 < Л (О"рг < 1 для С е со

с 2

и 8(с) = 2||Л(^)2л ё¡^1 — площадь локально-конечной фундаментальной области

с . Следовательно, доказана оценка

р

\д+г ,р,р

<

22 рМж

(рг -1)8

р

9,р,рО '

(10)

р

р

с

р

ш

р

с

с

р

р

р

а?

А

с

с

Заметим также, что когда О = ¡— , условие автоморфности формы тривиально, поэтому новый порядок ч+гформы р фактически участвует только в задании нормы в

пространстве Ар+( (А) . Таким образом, имеет место вложение 3 : Арр (А, О) с Ар+ (А). При этом оператор вложения 3, действующий из Арр(А, О) в Ар+( р(А) по формуле 3р = р, очевидно, является линейным, а также в силу (10) непрерывным .Теорема 10 доказана.

п. 7. Вложение в пространство голоморных (ч, р) - интегралов Эйхлера

Пусть О— группа дробно-линейных преобразований А открытого множества

Д с С вида А(г) = + Ь , где а,Ь,с, — еС, г е Д и а—-Ьс = 1. Для любых А е О и сг + —

целого чопределим оператор, действующий на функциях / : А(Д) ^ С по формуле

(р./)) = • ре Нот (О, С').

р( А)

Тогда условие автоморфности (ч, р) - формы р будет иметь вид

А* рР = р, для любого А е О. (11)

Множество голоморфных форм, удовлетворяющих (11), будем обозначать Ач (Д, О). Зафиксируем целое ч -1.

Определение 3. Мультипликативная голоморфная функция Е на Д для характера р называется голоморфным (ч, р) - интегралом Эйхлера на Д относительно группы

д2 ч-1Е

О, если существует форма р е Ач р(Д,О) такая, что р = 2ч-1 .

д 2 ч-1

Лемма 2. Для оператора дифференцирования —--— и любого дробно-линейного

дг2ч-1

отображения А е О справедливо равенство

дгч-1 д2ч-1 -о А, = А о

дЫ 2ч-1~ А1-чР АчР 0 дЫ 2ч-1 . (12)

Доказательство. Пусть / — мероморфная или голоморфная мультипликативная функция для характера р на Д. Покажем, что обе части равенства (12) переводят / в одну и ту же функцию. Это достаточно будет показать для голоморфных функций / на Д.

Заметим, что прямым вычислением для любого дробно-линейного преобразования А е О устанавливается тождество

(АС-Аы )2 = (С- ы)2 А'(ОА'(ы). (13)

Пусть г0 произвольная точка из Д,а с с Д — маленькая окружность с центром в г0, ориентированная по часовой стрелке. Тогда из интегральной формулы Коши получаем

( з2ч-1 Л

А* о

V ч,р дг2ч-1 у

(/)(Ы0)=( --)) )=/ "-1) (А(Ы)))А'( г0)ч

Р( А)

Г(2ч-1)! Г /(О 2п А{с)(С- А,)2' %

А'(г0)

ч

Р( А)

Сделав замену в полученном интеграле, для любой точки ^ е А(с) найдем точку С1 е с такую, что £ = А(С1) . Применяя тождество (13), приходим к равенствам

г

д2ч

1 Л

Л* о-

ч д'Р дг24у

(/)(¡о) _

(2д -1)!

2П

I

/ (Л£)

Л(С)(Л^1 - Л*о)29

а ( л^)

Л'( ¡о)

ч о

р Л)

(2ч-1)! г/(ЛZ1)Л'(Z)1-Ч (2ч-1)! г{¿-ьЛс!)

2т

г Л

р(Л)(£ - ¡о) у

(Л*-чр/)-1)( ¡о)

2П

¿Л Г:

г

(С - Го)

Л

2ч

д24-1 * дГ^Ч-Г о Л1-чр^1 )(го)-

Лемма 2 доказана.

Пусть П2ч-2 — векторное пространство полиномов от одного комплексного переменного г степени < 2ч - 2.

д2ч-1Г

Лемма 3. Для голоморфной функции Г на Б производная 2ч-1 е Лч р(Б,О) тогда и только тогда, когда для каждого Л е С (2ч-1)—я производная по г функции Ф(г) _ (Л1*- рГ) - Г(г) равна нулю, то есть функция Ф(г) принадлежит П2ч-2.

Доказательство. Обозначим

д2ч-1Г

дг2ч

1 (ф(г)) _ ((Лч,рГ)(Г) - Г(Г)2 _ I о Л-чр (Г)(Г) -

зуя лемму 2:

д2'-1 (Ф Л д2ч-1

— _ р и найдем искомую производную, исполь-

дгч-1 Л™ ч д^-1(Г(¡)) _

(

д2ч

1

ч,Р дГ 2ч-1 V и/. у

(Г)(г) -р(г) _ Лч р

V v

ч& 2ч Г (д2ч-1гЛЛ

дг2ч-

дг2ч-1

(г) -р(г) _ (л*,р()(г) -р(г).

УУ

Очевидно, что найденная производная равна нулю тогда и только тогда, когда выполняется условие автоморфности (11) формы р, а значит, ре Лчр(Б,О) .

Лемма 3 доказана.

Из леммы 3 заключаем, что Г будет (ч, р) - интегралом Эйхлера тогда и только тогда, когда

РЛ _ Л1- рГ - Г е П2ч-2 для любого Л е О.

(14)

Пространство (ч, р) - интегралов Эйхлера будем обозначать Зчр( Б, О). Из рассмотренных лемм и определения 3 следует, что линейный оператор (2 ч- 1)-кратного

дифференцирования

д 2 ч-1

дг2ч-1

переводит (ч, р) - интегралы Эйхлерав автоморфные фор-

мы порядка чдля характера р . Таким образом, получено следствие:

Следствие. Для целого ч > 1 и характера ре Нот (О, С *) имеем линейное отображение

д 2ч-1

т: Зч,р( Б О) ^ Лч,р( Б О). Докажем следующую теорему вложения:

Теорема 11. Для целого ч > 1 и характера ре Нот (О, С *) имеет место вложение

1-ч,р

(Б, О) сЗч,р(Д О).

О

Доказательство. Если F е A1-qp(D, G), то PA = A* pF - F = 0 для всех A e G. Таким образом, элементы из A1-qp(D, G) представляют (q, p) - интегралы Эйхлера с нулевым полиномом PA в (14).Теорема 11 доказана. Литература.

1. Сергеева О.А. Банаховы пространства мультипликативных автоморфных форм // Вестник НГУ. 2005. Т. 5. Вып. 4. С. 45-63.

2. Сергеева О.А. Модифицированные операторы Берса и двойственность голоморфных мультипликативных автоморфных форм // Сибирский математический журнал. 2009. Т. 50. № 4. С. 902-914.

3. Сергеева О.А. Билинейные спаривания для голоморфных (q, p) — форм // Журнал СФУ. 2011. Т. 4. № 1. С. 128-139.

4. Сергеева О.А. Интегральный оператор Берса в нормированных пространствах меро-морфных (q, p) - форм // Вестник КемГУ. 2011. № 3/1 (47). C. 216-223.

5. Сергеева О. А. Сопряженность операторов Берса в двойственных пространствах мультипликативных автоморфных форм // Международная школа-семинар «Ломоносовские чтения на Алтае»: сб. науч. статей. 2012. Ч. 1. С. 353-359.

6. Сергеева О.А. Интегральный оператор проектирования и ряд Пуанкаре для голоморфных (q, p) - форм // Вестник КемГУ. 2013. №2 (54). C. 91-97.

7. Сергеева О.А. Ряд Пуанкаре и операторы двойственности для мультипликативных автоморфных форм // Вестник НГУ. 2013. № 3. С. 103-112.

8. КраИ. Автоморфные формы и клейновы группы. - М.: Мир, 1975. - 296 с.

9. Farkas H.M., Kra I. Riemann Surfaces // Graduate Texts in Mathematics.- SpringerVerlag, 1992. № 71. -366 p.

10. Чуешев В.В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. - Кемерово: КемГУ, 2003. Ч. 2. -248 с.

The operators and functionals in the normedspaces (q,p) -forms

Olga Alexeevna Sergeeva, Candidate of Physics and Mathematics Kemerovo State University, chair of Mathematical Analysis

In article is provided a review of the main results received in the theory of multiplicative automorphic forms ((q,p)-forms) on a compact Riemann surface with links to the published works where it is possible to find their detailed proofs. The embedding theorems in spaces of (q,p) -forms are provided with the proof for demonstration of technique of work with such forms.

Keywords: the integral operators, bilinear pairings, characters, multiplicative automorphic forms, duality, series Poincare.

УДК 330.43. 330.34

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ АДАПТОМЕТРИИ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Елена Валентиновна Смирнова, д.ф.-м.н., проф. Тел.: 963 1908807, e-mail: seleval2008@yandex.ru

Никита Олегович Богданов, аспирант Тел.: 913 1 706226, e-mail: 9131706226@mail.ru Сибирский федеральный университет http://www.sfu-kras.ru