Билинейные спаривания для голоморфных (q,)-форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 2011, 4(1), 128—139

УДК 517.54 : 517.862

Билинейные спаривания для голоморфных р)-форм

Ольга А. Сергеева*

Кемеровский государственный университет, Красная, 6, Кемерово, 650043,

Россия

Получена 18.05.2010, окончательный вариант 25.06.2010, принята к печати 10.07.2010 В 'работах [1, 2] начато изучение нормированных пространств голоморфных мультипликативных автоморфных форм для фуксовой группы. В данной работе исследуются билинейные спаривания в этих пространствах в связи с общей (д, р)-двойственностью форм. Получено "симметричное" билинейное спаривание, которое можно использовать и в теории однозначных автоморфных форм. На основе введенных билинейных спариваний строятся мультипликативные операторы Берса, связанные с отражением относительно квазиокружности и устанавливающие связь между двойственными пространствами голоморфных форм для общей (д, р) -двойственности. Для всех операторов получена универсальная оценка нормы.

Ключевые слова: билинейное спаривание, двойственность, мультипликативная автоморфная форма, оператор Берса.

Введение

В статье исследуется общий случай двойственности в мультипликативной теории автоморфных форм, реализуемый через билинейные спаривания двойственных форм и соответствующие им операторы Берса. Отличительной особенностью мультипликативной теории является наличие характера р =1 в задании всех изучаемых здесь объектов. В том числе изменения необходимы для нормы, билинейного спаривания, оператора Берса. Появляется новое понятие мультипликативно двойственных форм (их произведение — однозначная форма). Специально для таких форм в работе получен "симметричный" вариант билинейного спаривания, который непосредственно можно также использовать в однозначной теории. Всё это позволяет существенно расширить рамки классической теории и приводит к новым независимым от неё результатам.

1. Предварительные сведения

Пусть C — квазиокружность в C, то есть ориентируемая замкнутая жорданова кривая в C, которая является образом единичной окружности по квазиконформному отображению. Обозначим D1 = IntC, D2 = ExtC, ADj (z)|dz| — метрику Пуанкаре в Dj, j = 1, 2. Далее там, где это не может привести к путанице, будем опускать обозначение области, принимая A(z)|dz| за метрику Пуанкаре, заданную в D1 U D2.

* Okoin@yandex.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

Пусть О — отмеченная конечнопорожденная квазифуксова группа первого рода дробно-линейных преобразований С с инвариантной кривой С такая, что Б1/О — компактная риманова поверхность рода Н ^ 2.

Обозначим через Нот(О, С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из О в С* = С \{0} с естественной операцией умножения.

Определение 1. Измеримой мультипликативной автоморфной формой порядка д с характером р на (Б2) называется класс эквивалентности измеримых функций ф(г) с условием ф(Аг)А'(г)- = р(А)ф(г) для любого А € О, г € П1(П2).

Мультипликативная автоморфная форма / нулевого порядка с характером р на Б1 (Б2) называется мультипликативной функцией для р. Голоморфные мультипликативные автоморфные формы порядка д для характера р будем называть голоморфными (д, р)-формами. При этом (д, р)-форма и (д, Р)-форма считаются р-двойственными, а р)-форма и (д2,р)-форма — д-двойственными формами для д = Ц1 + д2. Формы, одновременно д- и р-двойственные, назовем формами общей двойственности или (д, р)-двойственными.

Если /1 — мультипликативная функция для р1 без нулей и полюсов на Б1 (Б2), то характер р1 называется несущественным ([3]), а сама такая функция /1 называется мультипликативной единицей для р1 .

Теорема ([3]). Для любого характера р € Нот(О,С*) существует единственный несущественный характер р1 такой, что р0 = — — нормированный характер для О, т. е.

р1

|ро(Л)| =

р (А) р1

= 1 для любого А € О. (1)

Далее также полезными окажутся следующие факты:

Лемма 1 ([4, 5]). Если Б — односвязная жорданова область, ж не принадлежит Б и А = АД задаёт метрику Пуанкаре на Б, то для любой г € Б

А(г)|г - дБ| > 4, (2)

где дБ - граница Б, |г — дБ| = М |г — г11.

г1 £ дД

Для вышеопределённых С, Б1 и Б2 ясно, что дБ1 = С = дБ2 и для любых 2 € Б1, £ € Б2 верно |г — С| < |г — С|, |С — С| < |г — С|.

Лемма 2 ([4]). Для каждого целого д ^ 2 и фиксированного г € Б2 функция -=

77-гт^-, С € Б1, голоморфна на Б1 и верна оценка

(С — г)2-

Ц а« )2--|- ^ < ^ . (3)

Отметим также, что функция —--2—, как функция двух переменных £

€ Б1,г € Б2,

(С — г)2-

симметрична и обладает свойством инвариантности относительно группы О, а именно:

7Т7-. чо = 77-^—77777—,,, ч для любых А € О, 2 < д € N.

(АС — Аг)2- (С — г)2-А'(С)-А'(г)-

Определение 2 ([5]). Измеримая на C функция ^q(z), 2 ^ q £ N, называется обобщённым коэффициентом Бельтрами для разрывной группы Г дробно-линейных преобразований C с множеством разрывности П(Г) и предельным множеством Л(Г) = C\П(Г), если ^ |л(г) = 0, ^,(Az)A'(z)1-qA'(z) = ^(z) для любых A £ Г, z £ ^(Г) и почти всюду на C верна оценка

Hz)| < KA(z)2-q, где K = const. (4)

2. Билинейные спаривания и операторы Берса в нормированных пространствах (д, р)-форм

Пусть Б = Б1 или Б = Б2, а С, Б1, Б2, С и р определены как в §1. Рассмотрим голоморфные (д, р)-формы ф на Б, для которых

\\ФК,Р,о,Р = // A(z)2-^

D/G

ФМ

fi(z)

|dz Л dz| < то, 1 < p £ R, (5)

где /1 — мультипликативная единица для несущественного характера р1 с условием (1). Они образуют замкнутое нормированное пространство Ар(Б, С, р) голоморфных (д, р)-форм, интегрируемых со степенью р. Для (д, р)-форм ф1 и ф2 из пространств Ар(Б, С, р) и Ар (Б, С, р) 11

соответственно, где —I—- = 1, определено билинейное спаривание [1, 21: р р'

(Ф1, Ф2)q,p,D,G = Ц A(z)2-2q ^f^idz Л dz. (6)

_(г)|2 2

в/с

Билинейное спаривание (6), как видно, работает только с голоморфными (д, р)-формами, имеющими общий порядок д ^ 2 и общий характер р £ Ивш^, С*).

Для случая (д, р)-двойственных форм на Б введём соответствующее билинейное спаривание:

= JJ Мд(гМгЖг)2^г Л ^ (7)

в/с

где ^ £ Ар, (Б, С, р), ф £ Ар (Б, С, -1), 1 + -1 = 1, д = + д2, - фиксированный обоб-

ч1 ч2 р р р'

щённый коэффициент Бельтрами класса С 1(Б) для д = + д2. С помощью оценки (4) и неравенства Гёльдера нетрудно установить, что интеграл (7) конечен. Покажем, что билинейное спаривание (7) корректно определено, т. е. не зависит от выбора фундаментальной области ш группы С:

Л Мч1+ч2 Л ^ =Ц ^+,2 (Аг)А'(г)1-41-42А7^х

хф(Аг)А'(г)42р(А)"2^г Л = JJ мЧ1+Ч2 (г)^(г)ф(г)2^г Л для любого А £ С.

Укажем некоторые особые свойства этого билинейного спаривания:

p

1. Билинейное спаривание (7) симметрично, т. е. (у, ф}д1 щ в а = (ф, у} в а для любых у е Ар1 (£,С,р) и ф е Ар2(Б,с, р). ' ' ' ' ' '

2. Билинейное спаривание (7) задаёт линейное соответствие между пространствами Пр (И) и ^П12 (1)^ , где Пр (И) — пространство мероморфных дифференциалов Прима ([6]) порядка для р, кратных дивизору И е на компактной римановой поверхности ^ = (П®("1 )) -пространство, сопряжённое к П1(^). Следовательно, возможно

V Р / р

применение этого билинейного спаривания в пространствах двойственных мероморфных (д, р)-форм.

3. Билинейное спаривание (7) непосредственно может быть также использовано в теории однозначных автоморфных форм.

В работе [2] на основе приведенных выше билинейных спариваний (6) и (7) получены основные мультипликативные модификации оператора Берса:

(вСоту)(*) = ъ II ,, Л(СГ^СА , < Л ¿С, * е б2, (8)

2 Л (С - г)2* /1(С )Л(г)

в

(Б^у)М = 2|| (сМ_! (^/1(с)у(СЖ Л ¿с, д = 91 + 52, * е £>2, (9)

где у — это голоморфная (д1, р)-форма на Б1 относительно группы С, т. е. у е АР1 (Б1, С, р). Кроме определяющего действия оператора Берса — обращения области определения формы относительно квазиокружности С, эти два оператора устанавливают связь между пространствами двойственных голоморфных (д, р)-форм. Оператор БС°т обращает характер формы, сохраняя её порядок:

ВСоту е Ар1 (£2, С, Р). Оператор Б^, наоборот, д-двойственно изменяет порядок формы и не влияет при этом на её характер: Б^у е Ар2 (£2, С, р), д = + д2.

42(?-1)2П

Обозначим к„ =--константу для целого д ^ 2.

д

Теорема 1 ([2]). Для произвольного характера р е Нот(С, С*) модифицированный оператор Берса Б£°т является непрерывным антилинейным отображением между пространствами р-двойственных форм: Б^°т : Ар(£1,С, р) ^ Ар(£2,С, Р), р е К, 1 ^ р < те, с нормой ||Вр°т|| ^ . Кроме того, для любых у е АР(£1,С, р) и ф е (£2,С, Р), с

11 + -Ру = 1, верно (Б^°ту, ф) 1 в с = (у, Б-°™ф) в

Теорема 2 ([2]). Для произвольного характера р е Нот(С,С*) модифицированный оператор Берса Б^ является непрерывным линейным отображением из АР1 (£1, С, р) в Ар2(£2,С,р), р е К, 1 ^ р < те, с нормой ||Б£Г^|| ^ Ккд2 (где К - константа из неравенства (4) для д = + д2), и удовлетворяет условию "самосопряжённости" относительно билинейного спаривания (7), а именно: для любых голоморфных у е АР1 (£1,С, р)

и ф е (D2, С 1), - + - = 1, верно (BCrdУ, Ф>,2,,1,В2,С = ^ В-сФ>,1,,2,В1,0.

Замечание 1. В теоремах 1 и 2 для форм на £2 используются операторы Б-С и Б—^, которые также определяются с помощью (8) и (9) соответственно, если заменить область интегрирования £1 на £2.

3. Композиция модифицированных операторов Берса

При работе с общей (д, р)-двойственностью голоморфных форм естественно рассмотреть композицию операторов Берса В°ГС оВС°т, которая двойственно меняет и функциональную (порядок), и мультипликативную характеристики формы. Однако заметим, что композиция Во уже не будет являться оператором Берса, так как её действие не связано с

инвертированием относительно кривой С области определения формы.

Пусть ф — произвольная (д1,р)-форма на Б1 = /«.¿С. Тогда действие оператора о на таких формах ф определяется по правилу

(ВОгс оВ£°»(С )= ВОгс (В£°»(С ) = 2// Л ¿г =

= ГГ М41+42(г)/1(г) ^ [Г А^^-Ч^^МЛ Л д =

= 4 // (_ - с)2ч2/1(с)Ц/ (С1 - _)2ч1 /ш/1(_) )аяЛ=

В2 В1

-1 // МЧ1+Ч2 (_М[ /А(С1)2 - 241 ^(С1)^С1 Л <1 Л ¿_,с £ Б1.

4 УУ (_ - с)242/1(С)Ш (С1 - _)2Ч1 /1(С1)

В2 В1

Теорема 3. Антилинейный оператор В°гр о В осуществляет непрерывное отображение А^1 (Б1,С, р) ^ А^2 (Б1,С, р) пространств (д, р)-двойственных голоморфных форм, определенных на Б1 = /«¿С, ^ 2, д2 ^ 2, и справедлива оценка

оВ^°т|| < К^ ^, (10)

где К — это константа из (4) для д = + д2. Кроме того, для любых голоморфных

Ф £ Ар (Б1, С, р) и ф £ Ар (Б1, С, р) на Б1 с —|—- = 1 верно равенство 41 41 р р'

(ф оВ С0тф)д1,д2,В1,С = ^^ В'0тф)ч2 ,Ч1,В2,С . (11)

Доказательство. Пусть ф £ А^1 (Б1, С, р). Голоморфность формы В°гр о В^от(ф) на Б1 следует из теорем 1, 2 и свойства голоморфности композиции. Оценим

||В!^ оВЬ°т(ф)1ч2,1,С,Р = Л(С)2 -Ч2' - с °1 Л ¿с| < 1 Л(С)2 -42 х

р .] .] | и (Л)! 4

х|/1(С )1

1 ' —" ^ 4 [Г 1МЧ1+Ч2(_)1 ( [Г А(С1)2- 241 №)1 | Л Л ¿_|

УУ |г-С12Ч21/1(01 ш |С1 -_12Ч11/1(С1)||ЙС1 ЛС1|РЛ 1

В 7

Л < |.

В последнем интеграле воспользуемся оценкой (4) для обобщённого коэффициента Бель-трами мЧ1+Ч2 с константой К. Затем, применяя теорему Фубини для обращения порядка интегрирования и свойства инвариантности функций Л, ф, /1, а также функции двух пере-

менных (г — £)2, £ е £1, г е £2, относительно группы С, получаем:

||Б-С о БС°т(у)|д2,1,с,Р < Т

К П Л(С1 )2-2® |у(С1)|

1/1(С1)|

II Л(с )2-92

ЧВ2

Л(г)2-?1-?2 Л ¿г|

|г _ С|2® |г — С'|2®

К Л ¿С|

№ л ¿С1| = К Е

Лес

Л(АС1)

2-2'1

|А'(С')|2'1-2

|у(АС1 )||А' (С1 Г |р(А)||/'(АС')||р'(А)|-

||л(АС)2-'2|А'(С)|2-'2(// |Л(

■Ш1 В2

Л(Аг)

2-^1-92

(г)|'1+'2-2

Хи-<г) |А+'2ита I'2]-4Л ¿4 не Л ¿с |

| Аз — -С |2 '21 Аг — -С' | 2 '1

| ¿С' Л ¿С' |.

Ввиду того, что £2 инвариантно относительно С, после замены переменных интегрирования полученное выражение примет вид

К /уЛ(С')2-2'1 |у(С')| ^ 4.1.1 |/' (С')| ^

Лес

Л(С)

2-'2

Л(Ш1)

ЧВ2

Л(г)2-'1-'2|Лг Л ¿г|

|г — С|2® |г- С' |2' 1

х|< Л ¿с|

Л(С)2-'2 К л ¿С|

| Л 1 к [[ Л(С')2-2* |у(С')| № Л ^ = т^ |/'(С')|

Ш1

Л( )

2-'1- '2

В2

|г — С'|2 '1

|С — г|2 '2

|Лг Л ¿г|

№ л ¿С'|.

(12)

Последнее равенство обусловлено применением теоремы Фубини к двум внутренним интегралам.

Докажем как вспомогательный факт, что для каждого целого я ^ 2 и фиксированного С е верна оценка

Лв2 (г)2-' |Лг Л ¿г|

|г — С |2 ' 2

< к'Лв1 (С)'.

(13)

Действительно, так как для каждого фиксированного А е О область 4(^2) С £2 односвязна и не содержит те, то, взяв ограничение Л с большей области на подмножества, получаем

в2

ЛВ2 (г)2-' |Лг Л ¿г|

|г — С |2 ' 2

Е

Лес

Л(Ш2)

< 4 '-2 ]Г Лес

Л(Ш2)

< 4 '

|г — 5А(^2)|'-2 |Лг Л ¿г|

к—О2' 2

< 4

Е Л(Ы2)

Лео

Лл(ы2)(г)2 ' М-г Л ¿г|

|г — С |2' 2

|г — С|'-2 |Лг Л ¿г|

|г — С |2 ' 2

<

<

-2 I I |г — С|-'-2 Л | ^ 4 '-2

|г — С |

-'-2 Л ¿г|

в2

|0-с|>|с-с |

4

| |

_,-2= е 4!<!:')2ПЛв1 (О' = ЦЛВ1 (С)'.

2

И>|С-С|

я |С — С |

9

я

х

х

X

X

X

'

X

X

X

2

2

2

Продолжим оценку нормы композиции Б°гр оБ^°т. Воспользуемся методом доказательства оценки (13), а именно: в силу аддитивности интеграла рассмотрим ограничение среднего интеграла в (12) с большей области Б2 на её односвязные, конечные подмножества А(о>2) С Б2, А € С. Применяя также саму оценку (13) и неравенства (2),(3), получим:

||Б^ оБ^ЫИ®,^Р <

92

Л

А(С1)2 - 291 Ь(С1)1

1/1(С1)|

Е

1_Аес

А(Ш2)

Аа(^2}(^)2 - 91 |г - С1|291

А(С1)2-91 ИС0| |/1(С1)|

№ Л ¿С11

Таким образом, доказано ||Б°гр о Б^°т(^>)||92д,с,Р < Кк91 к92||у>||91 д,с,Р, из чего получаем (10), а также ограниченность и непрерывность антилинейного оператора Б°гр о Б

Равенство (11) является следствием теоремы 2 и определяющих свойств оператора Б □

х

2

4. Модифицированный оператор Берса для общей (д, р)-двойственности голоморфных форм

Пусть Б — открытое множество в С с не менее чем тремя граничными точками, конформно эквивалентное единичному кругу Д; Г — отмеченная разрывная группа конформных преобразований множества Б на себя такая, что Б/Г = ^ — отмеченная компактная риманова поверхность рода д ^ 2.

В §2 введено билинейное спаривание (7) для пространств (д, р)-двойственных голоморфных форм на Б, которое предполагает двойственность спариваемых форм не только по порядку, но и по характеру. Рассмотрим ещё один вариант билинейного спаривания для д-двойственных форм на Б, для которого условие р-двойственности заменяется другим.

Пусть € Ар (Б, Г, р„), ф € Ар (Б, Г,р^,), —\---. = 1, такие что в представлениях

Ч1 Ч2 р р'

Фаркаша-Кра р^ = ро,^р1,^ и р^ = ро,^,р^ для нормированных составляющих выполняется

- 1 ' ' ' ' ро,^ 1

условие: ро,^ро> = 1, или, эквивалентно, —— = 1.

ро>

Замечание 2. В частности, такими формами могут быть (д, р)-двойственные формы на Б, если нормированный характер ро для р удовлетворяет условию р^ = 1.

Для таких форм ^ и ф на Б при условии, что 2 ^ д2 — € М, билинейное спаривание может быть задано в виде

А(г)-291 М92-91 (*0

[Ф^.^.г = //У . ,91 7 Ф(*М*Ь¿г Л ¿г, (14)

в/г

где - 91 — фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса С 1(Б) для целого = д2 — ^ 2 с условием

|м92- 911 ^ К1А2 -92+91 почти всюду на С (К1 — константа для </ = д2 — д1), (15)

/'> и /' ^ — единицы для несущественных характеров р'^ и р' ^ соответственно. Интеграл в (14) конечен, что следует из оценки (15) и неравенства Гёльдера

р ■ ■ ^

Р

|*(С)у(С) < / I |х(С)Г¿V \ /1 |у(С)Г ¿V ) , р + 1 = 1, (16)

в /в \ в

2 Л у(г)

для случая, когда мера «V = Л(^)2--- и функции х(г) = Л(г) '1 , у(г)

_ 2

Л(г)-'2 фМ. 7'>

Если ш — фундаментальная область для Г в £, то для любого А е Г имеем

Л(г)-2'1 ^'1(г) ф(г)у^Л ¿г = // Л(Аг)-2'1 р'> (АК,(А) х

/'> (г)/'^(г) 4 /гч'2 77 |А'(г)|2'1 /'^ (Аг)/',^(Аг)

. М'2-'1 (Аг)А/(г)'-'2+'1 А'(г)ф(Аг)А'(г)'2у(Аг) А'(г)'1 г^ л ■ р^ (А)р^^ 2 *

Л(г)-2'1 М'2-'1 (г)

ф(г)у(г)-¿г Л ¿г. Л(ш)

Поэтому интеграл в (14) не зависит от выбора фундаментальной области ш.

В соответствии с новым билинейным спариванием (14) определим оператор Берса по правилу: для голоморфной (д',р)-формы у на £' положим

г

Л(С )-2'1 М'2-'1 (С)

(Б'у)(г) = 2 II ТТ^^^Ту(С^ Л ¿С, г е £2, (17)

(С — г)2'2 /'(С )/'(г)

в1

где С, £', £2, С, /',Р'2-'1 определены, как и выше.

Установим, что после действия оператора Б' получаем (я2, р)-форму Б'у на £2 и, таким образом, формы у и Б'у являются (я, р)-двойственными. Действительно, для любых £ е £' и А е С найдется е £' такая, что С = А£', и имеем равенства

^ у^м"=А'ы' ц Л—А'/й =§2« л «=

в1

аыЦ Л((АС')-2: Гг'у^ УАМ Л ¿сг

^ 77 (АС' — Аг)2'2 /'(Аг) /'(АС')^ в1

1-:-^-г-' '

2—'1 -'

Л(С')-2'1 |А/(С')|2'1 М'2-'1 (С')А'(С')'2-'1 -'А'(С'Г у(С') А'(С'Г р(А) г |]/(. )|2 х (С' — г)2'2А'(С')'2 /'(г)р'(А) /Щ р^А) 2| (Ш|

х<' Л ¿С! = р(А) Г/ Л(5')-2'\^-'1 (С') ^ Л ¿С! = ^(Б'у)(г).

р'(А) р'(А) 77 (С' — г)2'2/'(г) /'(С') 2 ^ ^ р(А^С^Д; в1

Докажем, что для голоморфной формы у на £' форма Б'у будет голоморфной на £2. Для этого сначала докажем голоморфность произведения

(Б'у)(г) /'(г) = 2// )Л ¿С (18)

в1

для г € . При этом, используя теорему Римана и обычные свойства инвариантности, можно предположить, что ^ = Д = € С : |г| < 1|, Б2 = Д* = С \ (Д и дД). В этом случае имеем

|(В 1 ^(г) /1(г)|

<Ж)

/1(С)

А(С)-291 М92-91 (С) <Ж) ¿С Л ¿с

(С - г)292 /1(С) 2

К Л ¿СI 2

^ К

= К

<

А(С)

-291

1С - ¿I2®

К2-91 (С)| X

А(С)

-291

|С - ^

А(С)

2-92 + 91

<Ж )

/1(С)

К Л <| 2

А(С)

2-91-92

|С - г|292

<Ж)

/1(С)

К Л ¿С|

где К1 — константа из оценки (4) для д = д2 -

Функция /1 голоморфна и однозначна в Д (она становится мультипликативной для нормированного характера при проектировании на Д/С). В силу ограниченности ш и того,

что для любой ^ € Д существует € ш с условием достигает своего максимума п в Д. Отсюда

/ (С) = / (Ы

/1

, заключаем, что модуль

А(С)

2-91-92

|С - ¿|292

<Ж)

/1(С)

К Л ¿С|

^ п

А(С)

2-91-92

К Л ¿С|

|С - ¿|292 2

Применяя к последнему выражению оценки - г| ^ - дД |, |£ - ^ - дД| для любых

1 4 11 С € Д, г € Д*; и ^-^ < 4А(С) = --¡-^, С € Д, ,--т? -4А^(г), г €

Ш2 С Д*, получаем

К - дД|

1 -к |2

|г - дДр |г - дш2|

х

2

2

№/1">К "*■// |С - АД^ГГдД|92 ^^ < 42«2,К1А„2^Ц А(с)

2* ' А

|С - дД|92 - дД|92 2

А

_ 2* 1 ^ Л ^| = 4292П^1АШ2 (г)9^ ¿0^(1 - г2)91 -2йг = 4 2 92пК^ (г)

2-91 X

- 1

г € Ш2 С Д*. Так как АШ2 (г)92 ограничена на любом компакте К С Д*, К П Ш2 = 0, то интеграл в (18) сходится абсолютно и равномерно по параметру г на любом компакте К С Д*. Кроме того, подынтегральная функция в (18) при любом фиксированном £ € Д аналитична

й й „О А(С )-291 М92-91 (С) Ш

по г и вместе со своей производной по г, равной 2д2-—-—- , является непре-

(С - г)292+1 /1(С)' Р

рывной по совокупности переменных (£, г) € Дх Д*. Поэтому (18) определяет голоморфную форму (В 1 у>)(г) /1(г) для г € Д* и, следовательно, для г € Б2.

Покажем теперь, что множитель ——, г € ^2, не влияет на сходимость интеграла

ЛМ

в (17), а значит, из доказанной голоморфности произведения (В^у>)(г) /1(г) следует голоморфность формы (В^у>)(г), г € Б2. Для этого сначала зафиксируем некоторую локально конечную фундаментальную область ш € ^2. Тогда для любой ¿о € ш всегда найдётся окрестность и (¿о), целиком содержащаяся в ш и такая, что функция /1(2:) в этой окрестности отграничена от нуля и бесконечности, т. е. существуют константы т и М,

п

X

0 < т < М < те такие, что

т < |/'(г)| < М для всех г е и(го). (19)

Действительно, если предположить, что для любой окрестности и (го) точки го и для любого т > 0 существует г е и (го), для которой |/'(г)| < т, то существует последовательность точек гп е ш такая, что гп ^ го, п ^ те, и /'(гп) ^ 0, п ^ те. Но в силу непрерывности функции /' получаем, что /'(го) = 0. А это противоречит отсутствию нулей у функции /'. Аналогично доказывается, что /' отграничена от те на ш. Таким образом, /' локально на ш отграничена от нуля и бесконечности. Пусть теперь го е £2 - произвольная точка на £2. По свойствам фундаментальной области существуют преобразование Т е С и точка го е ш такие, что го = Т(го). Рассмотрим окрестность точки го в виде V(го) = Т(и(го)), где и (го) - окрестность точки го, в которой выполняется условие (19). Для каждой г е V (го) существует г' е и(го) такое, что г = Т(г'). Следовательно, /'(г) = р(Т)/'(г'). Так как 0 < т < |/'(г')| < М < те и 0 < |р(Т)| < те для каждого фиксированного Т, то /'(г) отграничена от 0 (и от те). В силу произвольности гго значения /'(г) отграничены от 0 (и

от те) в некоторой окрестности любой точки г из £2. Поэтому ——— (и /'(г)) локально

/'(г)

на £2 принимает конечные значения, следовательно, после умножения обеих частей в (18)

на , , получим интеграл, определяющий голоморфную мультипликативную форму Б' у /' (г)

(умножение на локально ограниченную аналитическую функцию не нарушает голоморфности). Предположив, что ш' и ш2 — локально конечные фундаментальные области для С в £' и £2 соответственно, оценим норму ||Б'у||'2 р с 1. Ввиду свойства (15) имеем

||Б' уН*! = Л(г)2-р'21/' (г)|р

р

// ЖТ^-^уО»¿С Л ¿С У (С — г)2'2/'(С)/'(г) 2 ' '

| ¿г Л ¿г | 2 <

< Кр [[ Л(г)2-Р'2 ^Ы^ [Г Л(С)2-'2-'1 |у(С)| ИС Л ¿С|У|& Л ¿г| <

< K'JJ Л(г) |/'(г)^У |С — г|2'2 |/'(С)||/'(г)| 2 I 2 <

"2 Чв1 7

< КР П Л( )2-Р'2 ( [Г Л(С)2-'2-Р'1 |у(С)|Р ИС Л ¿С| )( [[ Л(С)2-'2 ИС Л ¿с| У-' Иг Л ¿г|

< К'1/ Л(г) Ш |С — г|2'2 |/'(С)|Р — г|2'2 2 ) •

Ш2 Хв1 7 Хв1 7

В последнем неравенстве воспользовались неравенством Гёльдера (16). Далее, последовательно применяя интегральную оценку (3), неравенство (2), инвариантность подынтегральных функций относительно группы С и теорему Фубини, получаем:

|БС у.^ < КГ (к'. )Р-' Ц ЛЫ2-® (// Л<< -—^Г ^) ^ =

= КР(к )Р-^ П Л(г)2-'2 ( П Л(АС)2-'2-р'1 |А'(С)|2 |у(АС)|Р|ро(А)| Р ИС Л ¿С|)х = ) Ак" ^ I// |АС — Аг|2'2 |А'(г) |—'2 |/'(АС) |р 2 Г

х Иг Л ¿г| = Кр(, П Л(г)2-'2 ( Г Г Л(С)2-'2-р'1 |у(С)|Р |¿С Л ¿С|)х

х 2 = К'(к'2) А^Н |А'(г)|-'^У |С — Аг|2'2 |/'(С)|Р 2 Г

=кр(к,2г-Ч!^/М ъИЖт|А'с)|2х

)2-92-Р91 |,л(Л )|Р

хК Л ¿С| = КР(, ^-1 /7 А(С)2-92-р91 |у(С)|р/ /у А(г)2-92 Л Л ¿С| =

х 2 = К (к92) ]] |/1(С)|Р Ш |С - г|292 2)2 =

Ш1 ^2 7

= (К1^92/^рТ^^ х ^ = (К1к92ЛМ^р,^

Если N э - д2 ^ 2, то оператор перехода от голоморфных (д1,р)-форм ^ на к голоморфным (д2, Р )-формам на Б2 определяется в виде

(В2р)(*) = 2 // (А(С)-)22992^9;(()) <ЖК Л ¿С, г € Б2, (20)

2 Л/ (С - г)292/1(С)/1(г)

где р91-92 — фиксированный обобщённый коэффициент Бельтрами класса С 1(Б1) для целого с = - ^2 ^ 2 со свойством

|м91-921 < К2А2-91+92 почти всюду на С (К2 - константа для с = - д2). (21)

Доказательство того, что ^ является голоморфной (д2, р)-формой на ^2, проводится аналогично случаю оператора В 1. Кроме того, также имеем

ЦВ2 И|р2,р,с, Р =11 А(г)2-Р921/1 (г)

// ЖТ^^Ш^ Л ¿С

Л (С - г)292/1(С)/1(гУ^2 ' '

—, \ р ,

р

Л <

2

< Кр /V а(2)2-р92^ыр // А(С)2-91-92|<Ж)| К Л ¿С| л <

< К^] а(2) |/1(2)^У |С - г|292|/1(С)||/1(г)| 2 2 <

< (К2^92 )Р|М1Р1,р,С,р.

Таким образом, доказана

Теорема 4. Для произвольного характера р € Нот(С,С*) модифицированные операторы Берса: В 1 для случая N э д2 - ^ 2 и В2С для случая N э - д2 ^ 2 являются антилинейными непрерывными отображениями из пространства Ар (Б1,С, р) в «(д, р)-двойственное» пространство Ар2(Б2,С, 1) с нормами ||В^|| < К1к92, ||В21| < К2к92 соот-42(92-1)2п

ветственно, где к92 = -, К1 из (15), К2 из (21).

42

Автор поддержан грантом ФЦП, № 02.740.11.0457.

Список литературы

[1] О.А.Сергеева, Банаховы пространства мультипликативных автоморфных форм, Вестник НГУ, 5(2005), №4, 45-63.

[2] О.А.Сергеева, Модифицированные операторы Берса и двойственность голоморфных мультипликативных автоморфных форм, Сиб. матем. журн, 50(2009), №4, 902-914.

р

р

[3] H.M.Farkas, I.Kra, Riemann Surfaces, Graduate Texts in Mathematics, №71, Springer-Verlag, 1992.

[4] L.Bers, A non-standard integral equation with applications to quasiconformal mappings, Acta Math., 116(1966), 115-134.

[5] И.Кра, Автоморфные формы и клейновы группы, М., Мир, 1975.

[6] В.В.Чуешев, Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности, Ч. 2, Кемерово, КемГУ, 2003.

The Bilinear Pairings for the Holomorphic (q, p)-Forms

Olga A. Sergeeva

Study was started in [1,2] of the normed spaces of multiplicative holomorphic automorphic forms for a Fuchsian group. In the present article bilinear pairings for general duality of the (q, p)-forms are considered. The symmetric variant of bilinear pairing which can be used in the theory of single-valued automorphic forms is received. On the basis of the entered bilinear pairings the modified integral Bers operators corresponding to them are investigated,. These operators relate to a reflection in some quasicircle and also are connected to the general duality of (q, p)-forms. Under study the universal norm estimates for all operators is received.

Keywords: bilinear pairing, duality, multiplicative automorphic form, Bers operator.