CC BY
17
Вестник КемГУ № З/і 2011 Комплексный анализ
Фі І [г,Г] = Фо = фк |[Г,Г] над и([мс]) х ик П и (здесь фк и фі определяются аналогично как фі над и1, над ик и иі соответственно). Далее, фк(А'), фк(В')
— линейные комбинации от ' ,цк с голоморфными коэффициентами на и([мс]) х ик. Поэтому координаты , П' будут линейными комбинациями от ',пк с голоморфными коэффициентами на и([мо]) х ик П и. Таким образом, получим, что матрицы перехода Тк,І голоморфны на
Тд (Г) х (и П ик)
для всех к,1 = 1,..., 2д. Следовательно, такие карты 0(иІ, {А', В'}д=і), I = 1,..., 2д задают структуру голоморфного векторного расслоения на О над Тд(Г) х (Нот(Г, С*)\1). Теорема доказана.
Теорема 4.2. Векторные расслоения Ганнин-га О = У([м] р) Н 1(ГМ, р) и Прима НР над Тд х [51 ]2д\1 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга О над Тд х [51]2д\1 равно прямой сумме двух
вещественно-аналитических комплексных векторных подрасслоений ранга д — 1 для любого
д > 2.
Доказательство. Имеем включения
[51]2д\1 С Нот(Г, С*)\(Ьд и 1д) С Нот(Г, С*)\1,
что сразу следует из теоремы Еагкав-Кга [5, с.130], по которой любой нормированный несущественный характер будет тривиальным. На [51]2д\1 есть естественная вещественно-аналитическая структура, согласованная с комплексно-аналитической структурой на Нот(Г, С*)\(Ьд и ід). Поэтому голоморфные векторные расслоения О и НР над
Tg х Нот(Г, C*)\(Lg U Lg), ограниченные на Tg х [S 1]2g\1, будут вещественно-аналитическими комплексными векторными расслоениями [3; 4], а послойный C-линейный изоморфизм p будет также вещественно-аналитическим изоморфизмом расслоений G и HP над Tg х [S 1]2g\1.
Второе утверждение следует из теорем 3.1, 3.3, и 4.1, а также из теоремы 3.1.3 [3, с. 140]. Теорема доказана.
Литература
[1] Appell, P. Sur les integrates de fonctions a multiplicateurs et leur application an developpement des fonctions abeliennes en series trigonometriques / P. Appell // Acta Math. - 1890. - Vol. 13: 3/4. -P. 1 - 174.
[2] Чуешев, В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности. / В. В.Чуешев. — Кемерово: КемГУ, 2005.
[3] Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч. 2. / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.
[4] Gunning, R. C. On the period classes of Prym differential / R. C. Gunning // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 319. - P. 153 - 171.
[5] Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - Vol. 71, New-York: Springer, 1992.
6. Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties/ C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - Vol. 107. - P. 255 - 286.
УДК 517.54: 517.862
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР БЕРСА В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ МЕРОМОРФНЫХ ^,р)-ФОРМ О. А. Сергеева THE INTEGRAL BERS OPERATOR IN THE NORMED SPACES OF MEROMORPHIC
(q,p)-FORMS О. А. Sergeeva
В пространствах мультипликативных мероморфных автоморфных форм для произвольного характера вводятся интегральная норма, билинейное спаривание и интегральный оператор Берса. Получены аналог неравенства Шварца для билинейного спаривания, универсальная оценка нормы и свойство самосопряженности для интегрального оператора Берса в случае мероморфных (q, р)-форм.
In spaces of multiplicative meromorphic automorphic forms the integral norm, bilinear pairing and the integral Bers operator for any character are entered. Under study an universal estimation of norm, selfadjointness for Bers operator in case of meromorphic (q, p) - forms and an analog of an inequality of Schwarz are received.
Ключевые слова: интегральный оператор Берса, мультипликативная мероморфная автоморфная форма, билинейное спаривание, двойственность.
Keywords: Integral Bers operator, multiplicative meromorphic automorphic form, bilinear pairing, duality.
Работа поддержана грантом ФЦП № 02.740. 11. 0457.
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
1. Предварительные сведения
и почти всюду на С верна оценка
Пусть Б - ограниченное открытое множество в С, конформно эквивалентное единичному кругу Д; О - отмеченная конечнопорожденная разрывная группа конформных преобразований множества Б на себя, такая, что Б/О = Г - отмеченная компактная риманова поверхность рода Н > 2.
Пусть Л = Лп задаёт метрику Пуанкаре на Б по правилу: для конформного отображения / : Д ^ Б Лп(/(г))\/'(г)\ = ЛА(г), г Є Д, где
ЛА(г) =
коэффициент метрики Пуанкаре
в единичном круге Д. Известно [1], что для любого конформного преобразования множества Б справедливо равество Хл(о) (Аг)\А'(г)\ = Хп(г), г € Б.
Обозначим через Нот(О,С*) группу всех одномерных комплексных характеров ( гомоморфизмов) р из О в С* = С\{0} с естественной операцией умножения.
Определение 1. Измеримой (мероморфной, голоморфной) мультипликативной автоморфной формой порядка д с характером р на Г ((д, реформой) называется однозначная измеримая (ме-роморфная, голоморфная) функция ф на Б с условием:
ф(Аг)А'(г)4 = р(А)ф(г), А € О, г € Б,Б/О = Г.
При этом (д, р)-форма и (д,1)- форма считаются р-двойственными, а (дх, р)-форма и (д2, р)-форма - д-двойственными формами для д = дх + д2. Формы одновременно д- и р-двойственные называются (д, р)-двойственными формами.
Мультипликативная автоморфная форма / нулевого порядка с характером р называется мультипликативной функцией для р. Если / - мультипликативная функция для р\ без нулей и полюсов на Б, то характер рх называется несущественным ([2, 3]), а сама такая функция / называется мультипликативной единицей для рх.
Ключевая роль в развитии мультипликативной теории измеримых автоморфных форм принадлежит разложению Фаркаша-Кра ([2, 3]): для произвольного характера р € Нот(О, С*) существует и единственно представление в виде р = р0 ■ р\, где р0 - нормированный характер, т. е. \ро(А)\ = 1 для любого А € О, а рх - несущественный характер с мультипликативной единицей /ь
Определение 2.([1]) Измеримая на С функция ь'д(г), 2 < д € N называется обобщённым коэффициентом Бельтрами для разрывной группы О преобразований С с множеством разрывности &(О), если
ь'д(Аг)А'(г)1 9А'(г) = ид(г), А Є О, г Є &(О),
\мо)=о, л(о) = С \ ад,
\^д(г)\ < КЛ(г)2 д, где К = еонві. (1)
Замечание 1. При д = 2 обобщенные коэффициенты Бельтрами являются обычными коэффициентами Бельтрами, возникающими в теории квазиконформных отображений.
Лемма 1.([1]) Если ф € С^(Б,О) , т. е. ф -измеримая ограниченная автоморфная форма, то Х(г)2-2д ■ ф(г) является обобщенным коэффициентом Бельтрами для д, у которого коэффициент К из оценки (1) равен
К
вир {Л(г) 9\^(г)\} < то.
геП
Кроме того, любой обобщенный коэффициент Бельтрами получается таким способом из измеримой ограниченной автоморфной формы.
Отсюда получаем важную в последующем лемму Лемма 2. Пусть Vд1 и Vд2 - два обобщенных коэффициента Бельтрами для д1 и д2 соответственно. Тогда
Рд(г)
Vql(г) • Vq2(г)
Л(г)2 ’
гБ
(2)
тоже обобщенный коэффициент Бельтрами для д = д1 + д2 на Б. Кроме того, таким способом можно получить любой обобщенный коэффициент Бельтрами для д = д1 + д2.
2. Нормы в пространствах голоморфных и мероморфных (д, р)-форм
В работах [4, 5, 6] рассмотрены нормированные пространства АР,р(Б, О) голоморфных (д, р)-форм ф, интегрируемых со степенью р, с нормой
ІІФІІ0
//ад2-™
п/о
ф(г)
/1(г)
\3,г л вг\ < то (3)
для некоторого р, 1 < р Є К, где /і - мультипликативная единица для несущественного характера р1 в разложении Фаркаша-Кра р = р0р1,
\Р0(А)\ = 1А Є О.
Для голоморфных (д, р)-форм ф на Б, интегрируемых со степенью р, зададим другую норму по правилу:
И^211-
Р)
п/о
/1(г)
\в,г Л вл\ < то,
(4)
где ь'д - фиксированный обобщенный коэффициент Бельтрами класса С (Б) для д.
Выражение, стоящее под знаком интеграла в (4), инвариантно относительно преобразований из
2
Р
Р
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
группы О:
Х(Аг)2(1-р) ^(Аг)ф(Аг) Х(Аг) Шг)
= Х(г)2(1-р)\А'(г)\-2(1-р) х
\З(Аг) Л З(Аг)
(г) А'(г)4 1А'(г) 1 ф(г)А'(г) др(А)
І1(г)Р1(А)
= Х(г)2
р) ^(г)ф(г) р Р1(А)Р0(А)
І1(г) Р1(А)
х\А' (г) ^\Зг Л Зг\ =
Р
\Зг Л Зг\ =
= Х(г)2(1-Р)
(г)ф(г)
І1(г)
\Зг Л Зг\.
\\Ф\\Р1 < к -ИР,
\\ф\\р = Ц Х(г)2(1-р) в/о
= Ц Х(г)2(1-р)^(г)\р в/о
< Кр Л Х(г)2(1-р)Х(г)(2-д)р в/о
ф(г)
(г)ф(г)
І1(г) ф(г)
І1 (г) ф(г) Р
І1(г)
\Зг Л Зг\ = \Зг Л Зг\ < \Зг Л Зг\ =
= к Х(г
в/о
і1(г)
\Зг Л Зг\ = Кр\\ф\\р0.
в/о
\І1(г
которое работает только с голоморфными (д, реформами, имеющими общий порядок д и общий характер р.
Для случая (д, р)-двойственных форм на Б рассмотрим соответствующее билинейное спаривание:
ф)
ді,д2,В,0 2
JJ цд(г)ф(г)ф(г)Зг Л Зг, (7)
в/о
Следовательно, ||ф||1 не зависит от выбора конкретной фундаментальной области ш для О в Б, реализующей на плоскости компактную риманову поверхность Б/О = Г. Ясно, что при фиксированном ь,д, непрерывном в Б, выражение для ||ф||1 удовлетворяет всем аксиомам нормы.
Нетрудно установить, что для голоморфных (д, р)-форм ф на Б
где рд - фиксированный обобщенный коэффициент Бельтрами класса С (Б) для д = д1 + д2.
Теорема 1. Пусть 1 < р < то и 1 + 1 = 1. Тогда симметричное билинейное спаривание (7) задает линейное отображение между пространствами 0.ргр(Б,О; А) и (&р I (Б, О; А)) , где
К, 1 (Б,О; А)
пространство, сопряженное
к і (Б, О; А), А - произвольный дивизор на Б.
д2
(5)
Кроме того, если ф Є Арг р (Б, О; (а,1 - ... - а3)) р І ^
и ф Є Пр ! Б,О■
Y д2, р V 5 ’ V аі---аз
ді,р ' то
где К - константа из оценки обобщенного коэффициента Бельтрами ид: \^д\ < КХ2-д. Действительно:
(ф,ф)
ді,д2,В,0
< кНфНо -
(8)
где коэффициенты Бельтрами /лд1 +д2 и Vд1 (в заданим билинейного спаривания (7) и нормы (4) в пространстве мероморфных (д, р)-форм соответственно) связаны формулой (2), причем vд2 (аі)=0, аі Є Б, і = 1,..., в, а К1 - константа из оценки vдl.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидно следует из задания билинейного спаривания (7). Докажем оценку (8):
(ф, ф)
Если дополнительно потребовать, чтобы
ь,д(щ) =0, а € Б, г = 1,..., в, (6)
то (4) будет задавать норму и для мероморфных (д, р)-форм, кратных дивизору ( 1 ) (имею-
ді,д2,В,0 1
в/о
JJ І1ді+д2 (г)ф(г)ф(г)Зг Л Зг
в/о
< 1 Ц \^ді+д2 (г)\\ф(г)\\ф(г)\\Зг Л Зг\
1 ('(' Ы (г)\\^2 (г).\ф(г)\\ф(г)\\Зг л Зг\ <
^ а 1 •. . . ■ а3 ^
щих в качестве возможных особенностей только простые полюса в точках а,1,... ,ае) и интегрируемых со степенью р. Пространство таких форм будем обозначать Щ,р (б, О; (.
Для голоморфных форм ф1 € Арр(Б,О) и Ф2 € Ард р(Б, О), с условием р + 1 = 1, определено билинейное спаривание [4, 5]:
(Ф1,Ф2)д,р,о,в = 2 [[ Нг)2-'2д ф1(')ф‘2(2г') Лг Л Зг,
2 П Х(г)2 в/о
К1 || Х(г)2-ді Vд2 (г в/о
Х(г
ф(г)
І1(г)
\Ф(г) І1(г)\ \Зг Л Зг\.
Воспользуемся неравенством Гёльдера:
J! \и (г) у (г)\^ <
в/о
і і
<
Ц\и (г)\РЗа\ - Ц \У (г\р' За
в/о
в/о
р
X
X
р
V
*
р
1
р
р
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
p + pi = І, для случая, когда мера da = A(z)2\dz А dz\ и функции U(z) = A(z)-qi , у(z) =
Ф(z) fi(z). Получим
qi,q2,P,G
<
- Kr{ II A(z)2 A(z)-qi \dz А dz\) x
p/G i
x p/ A(z)2 ^(z) fi(z) \dz А dz\J =
2-pqi
p/G
y(z)
x II A(z)2(1-p)
p/G
= Ki 2
fi(z) u42 (z^(z)
i
fi(z)
\dz А dz\ I x
\dz А dz\
IQ • imii
Api (Z)2-q \dZ А dZ\ 4q-22n І
\Z - z\2q 2 - q \z - C\q.
т-> •• 7 42(я-1')2п
Введем кд = ---------— — константу для целого
д > 2. 4
Так как фундаментальная область ш2 для группы О в всегда может быть выбрана односвязной и не содержащей то (без ограничения общности можно считать, что то € дш), то, ввиду свойства (9) метрики Пуанкаре и интегральной оценки (10), получаем:
pi
Api (Z)2-q \dZ А dZ\ \Z - z\2q 2
- kqAP2 (z)q (ІІ)
для ^ € Ш2 С ^2, д € Ъ, д > 2. Отметим также, что функция д= (£—г)21, как функция двух переменных £ € В\,х € В2, симметрична и обладает свойством инвариантности относительно группы О:
З. Модифицированный оператор Берса BCd в пространстве мероморф-ных (q, р)-форм
Пусть C - квазиокружность в C, то есть ориентируемая замкнутая жорданова кривая в C, которая является образом единичной окружности по квазиконформному отображению. Обозначим Dp = IntC, D2 = ExtC, Ap. (z)\dz\ - метрику Пуанкаре в Dj, j = І, 2. Далее там, где это не может привести к путанице, будем опускать обозначение области, принимая A(z)\dz\ за метрику Пуанкаре, заданную в Dp U D2.
Пусть G - отмеченная конечнопорожден-ная квазифуксова группа первого рода дробнолинейных преобразований C с инвариантной кривой C, такая, что Dp/G - компактная риманова поверхность рода h > 2.
Для дальнейших оценок по норме рассматриваемых пространств полезными оказываются следующие факты:
Лемма 3.([1, 7]) Если D - односвязная жор-данова область, ж не принадлежит D и A = Ap задаёт метрику Пуанкаре на D, то для любой z Є D
A(z)\z - dD\> 4, (9)
где dD - граница D, \z - dD\ = inf \z - zp\.
zi Є dP
Для вышеопределенных C, Dp и D2 ясно, что dDp = C = dD2 и для любых Z Є Dp,z Є D2 верно \z - C\- \z - Z\, \Z - C\- \z - Z\.
Лемма 4.([7]) Для каждого целого q > 2
и фиксированного z Є D2 функция quz = (z—z)2q, Z Є Dp, голоморфна на Dp и верна оценка
(АС - Лг)21 (С, - г)21 А'(^)д А'(г}1
для любых А € О, 2 < д € N.
Докажем теперь, что для каждого целого д > 2 и фиксированного С € также верна оценка
p2
Ap2 (z)2 q \dz А dz\ \z - Z\2q 2
- kq Api (Z )q. (І2)
Действительно, так как для любого фиксированного А є О область А(и2) с В2 односвязна и не содержит то, то, взяв ограничение А с большей области на подмножества, получим:
Ао2 (г)2-<1 \3х Л
p2
Е
AeG
A(W2 )
\z - Z\2q 2
AA(^2)(z)2-q \dz А dz\ \z - Z\2q 2
<
- 4q-2
AeG
A(w2 )
\z - dA(iM2)\q 2 \dz А dz\
\z=Z2q 2
<
4q
2
Z A(^2L
AEG
\z - C\q 2 \dz А dz\ \z - Z\2q 2
4q
-211 \z - z\-q-2 \dz А dz\
<
<
p2
4q
2
\z - Z\
_ 2 \dz А dz\
= 4q
2
|z—Z|>|Z—C|
. 2 \dz А dz\ 4q-22n І
\z\ q ------^1 =
|z|>Z-C|
q \Z - C\q
<
(І0)
42(д-1)2п
<------д----АВ1 (С )д = кд ХВ1 (С )д.
В работе [5] в пространстве голоморфных (д, р)-форм был введен и изучен модифицированный оператор Берса БСЛ, который отражает область определения голоморфных форм от-
p
p
p
p
p
І
І
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
носительно квазиокружности С и при этом ц-двойственно меняет порядок формы, но не изменяет её характер:
(В?^(;) = 2 Ц у((Ж л *
(13)
где г € В2, у € ЛРЧ1 ,р(Вр,О), рч - фиксированный обобщенный коэффициент Бельтрами класса С(В1) для ц = щ + Ц2.
Оператор определяется аналогично для
форм на В2 путем замены в (13) Вр на В2.
Рассмотрим оператор В^ в пространстве
^‘р1,р (В1 ,О’(аг•1 а )) с дополнительным условием на обобщенный коэффициент Бельтрами в его задании.
Теорема 2. Пусть рч - фиксированный обобщенный коэффициент Бельтрами класса С(Вр и В2) для ц = щ + Ц2, щ > 2, Ц2 > 2, с условием
то её образ - форма В^у будет голоморфной (ц2, р)-формой на В2 = С \ Вх. Действительно, в силу инвариантности Вр относительно действия группы О имеем:
В°(Гау)(Лг)Л'(г)^2 =
= -Л'(г)Я2 ([ ^д1+Ч2 (^')^х(Лг) у(л)Л(Лг17 =
= 2Л (г) ]] [С - Лг)2*Ж) У(СЖ Л * =
^1
= - Л'(7)Я2 ([ ^41 + 42 (ЛС!)/1(Лг)
2 ( ) Л (ЛЬ - Лг)2Ч2Ь(ЛСО
П1
ху(АСі)\А,(Сі)\2ССі А ССі
- А'(гГ
У,1+,2 (Сі )А'(СіУ1+^ (Сі - г)2,2 А'(Сі)42 А'(г)Ч-2
/і(г)рі(А) у(Сі)р(А) ■Іі(Сі)рі(А) А'(Сі)41
= 2 Р(А)
Пі
рЧ1+Ч2 (С)/і(г) (С - г)2,2/і(()
у(С Ж А СС =
V,(г) = "" {%^М ,г € В,
Р(А)(В °с<у)(г).
Докажем, что для мероморфной формы у на где иі, и2 - обобщенные коэффициенты Бельтра- Ві ф°рма В°г<і(<у) будет голоморфной на В2. Для ми для ці и д2 соответственно, причем ь,,1 (щ) = этого сначала докажем голоморфность частного = 0,щ € Ві, і = 1,. .., в.
Тогда для произвольного характера р модифицированный оператор Берса
(ВСТау)(г) = і [[у,і+,2 (С) у(С)
ш 2 .и (С - г)2,2 /і(С) .о.
(В °сГау)(г) = -
V, (С )їі (г)
(С - ї)2,2Іі(С)
о,
У(СЖ А ёС,
г € В2, у € ПРр1,р{ Ві,а;
аі • ... • щ
для г € В2. При этом, используя теорему Римана и обычные свойства инвариантности, можно предположить, что Вх = Д = |г € С : \г\ < 1| ,
В2 = Д* = С \ (Д и дД). В этом случае имеем оценку:
является ограниченным линейным отображением из Щир (Ви°( ОГ^ТТТТО^^ в APq2,P(В2,О), р € К, 1 < р < то, цх > 2,ц2 > 2, с нормой
||Вс^|| < К2кЧ2 ( К2 - константа из оценки ^Ч2)
(В СТЛу)(г)
Іі(г)
< к
<
\Р,1+,2 (С^ \С - г\2,2
у(С)
Іі (С)
<
ЧС)
2-41-42
К - г\2,2
у(С)
/і(С)
и удовлетворяет условию самосопряженности относительно билинейного спаривания (7), а именно: для любых у € {вх, О] а_^ 1 • а ^ и
Ф € ЛрР1,1 (В2.О), 1 + Р = 1, верно
<*• В-Ф),1.,2.о„а = (В?‘у, <Ф),2.,1 Л.а ■ (14)
Замечание 2. В задании интегрального оператора В°сТЛ и билинейного спаривания (7) используется один и тот же обобщенный коэффициент Бельтрами р,, ц = ці + ц2.
Доказательство. Если у является мероморфной (ці, р)-формой на Ві, кратной дивизору
где К - константа из оценки (1) для ц = цр + Ц2.
Функция голоморфна и однозначна в Д (она становится мультипликативной для нормированного характера при проектировании на Д/О). В силу ограниченности ш и того, что для любой
С € Д существует Сі € ш с условием
І (Ї)
% (їі)
заключаем, что модуль
своего максимума п в Д. Отсюда:
достигает
ж)
2-д1-д2
\С - г\2,2
у(С)
/і(С)
№ А с% \
<
< п
2-,1 -,2
сс А СС \
\С - г\2,2
х
1
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
Применяя к последнему выражению оценки |С - *1 > К - дД\, \С - г\ > \г - дД\, С € Д,
г € Д*
1
\( — 8А\
< ЩС)
< 4Л-2(*), г € ш2 С Д*, получаем
(В^ у)(г)
/1(г)
<
< пК
Л(С)
2 — 91—92
\с - дД\92\г - дД\92
<
< 4292пКЛШ2 (г)921! Л(()2—91 \1С А ^\
А
2п 1
--4292пКЛШ2 (г)92 J 30 J г(1 - т2)91—23,г
о о
4292пКЛШ2 (г)92
41 -1
, г € ш2 С Д*.
Так как ЛШ2 (г)92 ограничена на любом компакте Q С Д*, Q П ш2 = 0, то интеграл в (15) сходится абсолютно и равномерно по параметру г на любом компакте Q С Д*. Кроме того, подынтегральная функция в (15) при любом фиксированном С € Д аналитична по г и вместе со своей производной по г, равной 2д2(—+2Утт , яв-
ляется непрерывной по совокупности переменных (С,г) € Д х Д*. Поэтому (15) определяет голоморфную форму для г € Д* и, следова-
тельно, для г € ^2.
Покажем теперь, что множитель /1(г), г € В2, не влияет на сходимость интеграла в (13), а значит, из доказанной голоморфности
частного следует голоморфность фор-
мы (В^лу)(г), г € Б2. Для этого сначала зафиксируем некоторую локально конечную фундаментальную область ш € В2. Тогда для любой г0 € ш всегда найдётся окрестность и (го), цели-
ком содержащаяся в ш и такая, что функция /1(г) в этой окрестности отграничена от нуля и бесконечности, т. е. существуют константы т и М, 0 < т < М < ж, такие, что
т < \/1(г)\ < М для всех г € и (го). (16)
Действительно, если предположить, что для любой окрестности и (го) точки го и для любого т > 0 существует г € и (го), для которой \/1(г)\ < т, то существует последовательность точек гп € ш, такая, что гп ^ го, п ^ ж, и /1 (гп) ^ 0, п ^ ж. Но, в силу непрерывности функции /1, получаем, что /1(го) = 0. А это противоречит отсутствию нулей у функции /1 . Аналогично доказывается, что /1 отграничена от ж на ш. Таким образом, /1 локально на ш отграничена от нуля и бесконечности. Пусть теперь го € В2 - произвольная точка на ^2. По свойствам фундаментальной области существуют преобразование Т € О и точка го € ш, такие, что го = Т(го). Рассмотрим окрестность точки го в виде V (го) = Т (и (го)), где и (го) - окрестность точки го, в которой выполняется условие (16). Для каждой г € V(го) существует г € и(го), такое, что г = Т(г1). Следовательно, /-(г) = р(Т)/1(г'). Так как 0 <т < \/1(г')\ <
< М < ж и 0 < \р(Т) < ж для каждого фиксированного Т, то /-(г) отграничена от 0 (и от ж). В силу произвольности го значения /-(г) отграничены от 0 (и от ж) в некоторой окрестности любой точки г из В2. Поэтому /-(г) (и лщ) локально на В2 принимает конечные значения и, следовательно, после умножения обеих частей в (15) на /1(г) получим интеграл, определяющий голоморфную мультипликативную форму В‘С<1'у (умножение на локально ограниченную аналитическую функцию не нарушает голоморфности).
Оценим норму формы В°0Глу в пространстве голоморфных (42,р)-форм, интегрируемых со степенью р на В2:
и
п
\\В °сЫу\\Р0 = Л(г)2—р92
В0СЫ у(г)
/1(г)
\3г А 3г\ =
Л(г)
2—Р92
\/1(г)
М91+92 (С)/1(г) у(С) 3С А 3С
(С - г)292 /1(С) 2
\3г А 3г\ <
,т.\ Р
<11 Л(г)2:рд21 [[\»91+92(С)т(г)\ш 3^ \3г А3г\ =
\/1(г)\Р ч ^2 Ч^1
=II Л(г>2—ю( и
\С - г\292 \/1(С)\ 2
К (С)\\^92(С^ \у(С~)\ №а_3с\
К - г\292Л(С)2 Ш)\ 2
гт,\ Р
\3г А 3г\ <
< крцII А
Ш2 Ч^1 7
Р
Р
Р
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
В последнем неравенстве воспользовались функций и (С )= ,У (С ) =_1 212
оценкой (1) для обобщённого коэффициента Бель- (С-г)р «-*)
трами ь,д2. Затем, последовательно применяя нера- = -
венство Гёльдера для меры Са = Л(()2 92 и (12)“ ПюЛуЧаЄМ-
іів^іі; < ц І[ ц;)-92 Ц |с _ ^
2ч2—, где р + 1 = 1, и неравенства (11),
*(С)2-92ЧС)-2р^Ч1 (С)1р М(С)1р К а ЗСI
тс )|р 2
X, ,, ЧСГ9_ ЖАа1) % А з;|<
|С _ г\292 2
< к2кч-1 / Ч;)2-Р92 *(;)(р-1)92
О
КС)2-92-2р уЧ1 (С)^ ИС)^ К А с!С|
К _ ^ Ш)|р 2
|(С; А dz| =
кркр-1
II*;)- £ II
\(ЛС)2-92-2рА'(С^-2р К (АС)|р |А'(С)|(1-91)р|А'(С)|р.
ІАеаЛ-г(ш1)
АС _ Л;\292 |А'(С)|-92 А'^^-92
МА)|р|А'(С)Гг НА)— № А С%|
= кркр-1 11 \(г)2-92
Иі(Л( ^ЫЛ)—
Е
С; А dz| =
\(лс)2-92-2рК (лс)|р шс)|р К а <|
1АеаЛ-г(и1)
кркр-і^г И х(;)2 92
2 92 АҐа'' А'Ш^
АС _ Л;\292 А'^)-92 иі(ЛС^ЫЛ)^ 2
КС)2-92-2рК (С)|р| м(С)|р С а Сс|
|С _ Л;^ Ж)|р 2
Лео
92-2р ^1 (С МС) р ГГ \(г)2-92 С; А dz|
МС) .1.1 К _ Л;\292 А'^)-92 2 ]-<^2
С; А сЩ = С; А dz| =
С А сСС | =
= Кк-1
ЧС)
< кркрІ I \(с)2-92-2р+92
92-2р ^1 (С )м(С ) р [[ 2 9 - 2 (); С; А dz|
Л(С) .и О2 1 ; 2 >£5 (О 2
С а сс | <
V91 (С МС )
МС)
К А СС| = (к2к92 )р МР-
Таким образом, доказали, что ||ВС|| < к2к92. цей для его несущественной составляющей р- яв-Докажем равенство (14). Так как в случае об- ляется -1 ([2]), то, с помощью теоремы Фубини, ратного характера Р мультипликативной едини- имеем равенства:
Мв-ёф)
И9-+92 (С МС )(в-гё Ф)(С )2 СС А с;-
-II „-+,2 « МС)(// "р (;)Ф^ > > А <*) 2.СС А,« =
О2
М91+92 (С)м(С) (
Е
М9-+92 (Л;)Л'(;)1-91-92Л'(;)
МС) \АО М (Л; _ АС )292 Л'(;)-92 Л'(С )-92
УЛЄ0Л--(Ш2)
Ф(Л;)Л'(;)91 X
хр(Л)^гж2С;А і ї*А = Е ро(Л)
Р1 ( ) ) Лео
М91+92 (С)м(С) .
І1 (С )Л'(С )-92
X
X
р
Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ
(Г MLdz л ,й) i,i( л dZ =
\JJ (z - AC)2® 2 2 Ц Ц
= И „,+,2 E P0(A} jj ff:
W2 ^ Wl
^(C)A'(C)q2 l l
(z " / " W" VAeG
W2
ACy^ 2 dC л dC) 2 dz A dz = JJ Pqi+q2 (zWz)/i(z)[J2 P0(A) x
Mqi+,2(AC)A’(C)1-qiA(C) v(AC)A(C)qip(A)-1
x rqi+q2^ у vy —^rv V v7 xorv ;----------dC A dn-dz л dz =
11 fi(AC)pi(A)-1 (z - AC)2q2 2 C 2
Wl
()l() f f Mqi+q2 (C )P(C) /l (z) 1JCaJ^1J aJ-Mqi+q2 (zW(z)\JJ z - с )2q2 /(C) 2 ^ A 2 A =
W2 Di 7
= JJ Mqi+q2 W(z)(B%dV)(z)l2dz A Jz = (B0Jdy, ^)q2iqliD2,Q ■
W2
Литература Т. V. - Вып. 4. - С. 45 - 63.
f1l т_ т, . Р п „ [5] Сергеева, О. А. Модифицированные
111 Кра, И. Автоморфные формы и клеиновы ^ .
,Т! т, лт лГ ,aV операторы Берса и двойственность гологруппы / И. Кра. - М.: Мир, 1975. yr F F
морфных мультипликативных автоморфных
[2] Чуешев, В. В. Мультипликативные функ- форм / О. А. Сергеева // Сибирский математи-ции и дифференциалы Прима на переменной ком- Ческий ЖурНаЛ — 2009 — Т 50 № 4 — С 902 — пактной римановой поверхности / В. В. Чуешев. 914
- Кемер0в0: КемГу. - 2003. - Ч. 2. [6] Сергеева, О. А. Билинейные спаривания
[3] Farkas, Н. М. Riemann Surfaces/ Н. М. для голоморфных (q, р)-форм / О. А. Сергеева //
Farkas, I. Kra // Graduate Texts in Mathematics. Журнал СФУ. - 2011. - Т. 4, № 1. - С. 128 - 139.
- Vol. 71. - New-York: Springer-Verlag, 1992. [7] Bers, L. A non-standard integral
[4] Сергеева, О. А. Банаховы простран- equation with applications to quasiconformal
ства мультипликативных автоморфных mappings / L. Bers//Acta Mathematica. - Vol. 116. форм / О. А. Сергеева // Вестник НГУ. - 2005. - - 1966. - P. 115 - 134.
х
