Об аналитическом продолжении кратного степенного ряда с помощью m-однородных полиномов матричным методом в обобщенную звезду Миттаг-Леффлера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ключевым этапом, отображенным на схеме, является генерация данных и анализ покрытия кода, который необходим для оценки эффективности проведенного тестирования. Не будем подробно останавливаться на каждом этапе работы системы, лишь отметим, что цель анализатора - сгенерировать данные, которые приведут к ошибке в тестируемом приложении. Для оценки эффективности такого тестирования необходимо оценить степень покрытия бинарного кода тестами. В ходе работы над программным средством были протестированы различные решения оценки покрытия кода: от отладки до динамической бинарной инструментации [4]. Последняя технология показала наиболее значительный прирост к скорости анализа (на 3-4 порядка в сравнении с отладкой). DBI-технология использует виртуальную машину уровня процесса ОС, в которую внедряется специальная dll, описывающая то, как необходимо проводить анализ тестируемой программы. Такая схема позволяет в значительной степени оптимизировать анализ, так как операционной системе нет необходимости в переключении контекста процессора между анализатором и тестируемой программой.

Разработанная система была реализована с использованием следующих фреймворков:

1) Sulley-фреймворк - для генерации тестовых данных [5].

2) Intel PIN - DBI фреймворк для виртуализации тестируемого приложения [6].

3) библиотека PyDBG - для отладки тестируемого приложения и перехвата исключений.

Таким образом, авторами была разработана методика и программное средство, обладающее возможностью тестирования различных приложений, обрабатывающих сетевой трафик и различные пользовательские файлы. На данный момент проект находится в стадии альфа-тестирования. Дальнейшая работа пред-

полагает расширение числа доступных протоколов для тестирования, использование более эффективных методик анализа покрытия кода, а также применение интеллектуальных алгоритмов для генерации тестовых данных с учетом результатов покрытия кода тестами.

В заключение хотелось бы отметить, что поиск уязвимостей является на сегодняшний день очень важным и необходимым этапом жизненного цикла разработки и поддержки ПО.

References

1. Giuseppe Desoli, Nikolay Mateev, Evelyn Dues-terwald, Paolo Faraboschi, and Joseph A. Fisher. Deli: A new run-time control point. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on Microarchitecture (MICRO35), p. 257-270, Istanbul, Turkey, November 2002.

2. Henry S., Kafura D. Software structure metrics based on information flow. IEEE Transactions on Software Engineering, vol. SE-7, Issue 5, Sept. 1981, p. 510518.

3. Marco Cova, Viktoria Felmetsger, Greg Banks, Giovanni Vigna. Static Detection of Vulnerabilities in x86 Executables, Computer Security Applications Conference, 2006. ACSAC '06. 22ndAnnual, vol. 2, no. 7, p. 269-278.

4. DBI (2007). Available at: http://uninformed. org/index.cgi?v=7&a=1&p=3 (accessed 14.10.2013).

5. Pedram Amini. Fuzzing Framework. Black Hat USA, vol. 14, Aug. 2007, p. 211-217.

6. PIN description. Available at: http://software. intel.com/en-us/articles/pin-a-dynamic-binary-instrumentation-tool (accessed 14.10.2013).

© Шудрак М. О., Золотарев В. В., Лубкин И. А., 2013

УДК 517.55

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОМ ПРОДОЛЖЕНИИ КРАТНОГО СТЕПЕННОГО РЯДА С ПОМОЩЬЮ т-ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМОВ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ В ОБОБЩЕННУЮ ЗВЕЗДУ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА

Е. И. Яковлев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-таЛ:уе1@пт.ги

Рассмотрено аналитическое продолжение кратного степенного ряда в класс областей, обобщающих звездные. С помощью переразложения кратного степенного ряда по т-однородным полиномам строится продолжение этого ряда в (т1, ..., тп) -круговые области, которые являются естественным обобщением круговых областей в Сп. Опираясь на это разложение, данный кратный степенной ряд аналитически продолжается в максимальную т-звездную область, называемую т-звездой Миттаг-Леффлера функции £, определяемой этим рядом. Это аналитическое продолжение представляет собой суперпозицию т-однородных полиномов, по которым разлагается степенной ряд, с бесконечной треугольной матрицей, элементы которой не зависят от функции £. Приводится пример, когда т-звезда Миттаг-Леффлера отличается от обычной звезды Миттаг-Леффлера.

Ключевые слова: кратный степенной ряд, звезда Миттаг-Леффлера, главная звезда, аналитическое продолжение, суммирование кратного степенного ряда.

ABOUT ANALYTICAL CONTINUATION OF THE MULTIPLE POWER SERIES WITH THE m-HOMOGENEOUS POLYNOMIAL MATRIX METHOD TO THE GENERALIZED STAR MITTAG-LEFFLER

E. I. Yakovlev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation. E-mail: yei@nm.ru

The work is devoted to the analytical continuation of the multiple power series in the class of areas generalizing stars. With the help of multiple power series reanalysis by m-homogeneous polynomials constructed continuation of this

series of in (m1, ..., mn) -circular area, which are a natural generalization of circular areas in Cn. Based on this decomposition, the multiple of a power series analytically continues maximum m-star region called m-star Mittag-Leffler function f defined by this row. This analytic continuation is a superposition of m-homogeneous polynomials, which decomposes a power series with an infinite triangular matrix, which elements do not depend on the function f. The paper contains an example, when m-star Mittag-Leffler differs from a normal star Mittag-Leffler.

Keywords: multiple power series, star of Mittag-Leffler, the main star, analytic continuation, summation of multiple power series.

В одномерном случае продолжение степенного ряда в максимальную звездную область впервые было построено Миттаг-Леффлером, поэтому такая область называется звездой Миттаг-Леффлера или главной звездой данного степенного ряда. Известны обобщения этого факта на случай нескольких переменных для класса звездных областей. В связи с новой волной интереса к суммированию расходящихся рядов, являющихся формальными решениями дифференциальных уравнений (например, [1-3]), в настоящей работе предлагается матричный метод, суммирующий ряд из полиномов в параболической звезде Миттаг-Леффлера или х-звезде Миттаг-Леффлера. Параболическая звезда Миттаг-Леффлера является естественным обобщением обычной звезды, но не всегда с ней совпадает. В работе приводится пример функции, у которой (1, 2)-звезда не совпадает с главной звездой.

Пусть x е Rn; x1 > 0, ..., xn > 0. Множество G

в Cn назовем х-параболическим, если вместе с каждой точкой z0 = (zj°, ..., z0) в множестве G содержится х-отрезок

{z е Cn : z1 = z^txi, ..., zn = z0ntxn : Vt е [0,1]} с G .

Область D из Cn с центром в точке а назовем обобщенно m-круговой m = (m1, ..., mn) mj е N и

m1, ..., mn взаимно просты), если вместе с каждой точкой z0 е D область D содержит точки

{z е Cn : z1 = a1 + (z0 - al)e'miQ, ...,

zn = an +(z0 - an )e'mnd; ^е t0,2^

т. е. образ окружности, проходящей через точку z0 .

Если область D содержит образ всего круга, то об-

ласть называется полной, т. е. вместе с точкой z0 содержит множество

{z є Cn : z1 = a1 + (z0 - a1)Xm1, ...,

zn = an + (z0 - an)Xmn; VX :|X|< 1}.

Если функция f(z) голоморфна в некоторой окрестности начала координат в Cn , то максимальную х-параболическую область Gxf , в которую голоморфно можно продолжить функцию f, назовем х-параболической звездой Миттаг-Леффлера функции f или просто х-звездой.

В случае одного переменного всякая х-звезда Мит-таг-Леффлера совпадает с обычной звездой Миттаг-Леффлера или главной звездой данного степенного ряда. В случае многих переменных это не так.

Пример. Функция f(z1, z2) = (1 - z2 + z^)-1 имеет

главную звезду, отличную от (1,2)-звезды Миттаг-Леффлера. Это вытекает из того, звезда функции f в вещественном подпространстве C2 не совпадает с (1,2)-звездой в силу особенностей функции f.

Таким образом, можно указать функцию, у которой (1, 2)-звезда несет больше информации, чем главная звезда или (1,1)-звезда.

Известно, что область сходимости n-кратного степенного ряда

f (z1...zn ) = S ak1...knz1k1...znkn (1)

||k||>0

является полной логарифмически выпуклой n-круговой областью, содержащей нуль. Если члены ряда (1) переставить, то его область сходимости может измениться.

Классическая теорема о переразложении ряда (1) по однородным полиномам приводит к круговым областям и имеется, например, в [4; 5].

Фиксируем т = (т^...,тп), т^ е Ып и т1, ..., тп

взаимно просты. Все члены ряда (1), у которых мультииндексы удовлетворяют уравнению

< к,т >= к1т1 +... + кптп = V , сгруппируем в полиномы

Ру (2) = X «к1...кп21к1...2пкп

<к ,т>=у

Полиномы Ру (г) удовлетворяют равенству

Ру(/тг) = Ру(?ш г1, ..., /тпгп) = гуРу(г) для произвольных Уt е С; У г е Сп. Такие полиномы Ру (г) обычно

называют (т, у)-однородными или (т, у)-взве-шенными. Они являются естественным обобщением однородных полиномов.

Тогда функцию / заданную рядом (1), можно представить в виде

ад

/ (г) = Х Ру (г). (2)

у=0

Область сходимости ряда (2) - это максимальная т-круговая область, которую можно поместить в область голоморфности функции /

Область сходимости ряда (2) - полная обобщенно т-круговая область Б в Сп . Верно и обратное утверждение, т. е. по аналогии с теоремой 3 из [4, с. 53], справедлива Теорема 1.

Теорема 1. Любую функцию / голоморфную

в полной обобщенно т-круговой области Б в Сп с центром в нуле, можно разложить в ряд (2) по т-однородным полиномам, который будет сходиться равномерно на любом компакте из Б.

Доказательство. Ряд (1) абсолютно сходится с достаточно малой окрестности и начала координат в Б, следовательно, в этой окрестности будет сходиться и ряд (2). Возьмем произвольную точку г0 из области Б, так как область Б, является полной обобщенно т-круговой, существует X 0 е С : м0 =Х0тг0 е и . Ряд (2) сходится в точке м0 и задает при достаточно малых X голоморфную функцию ф :

ад

/ (м) = / (X тг) = Х Ру (Хт г) = ф(Х)

у=0

Разложение функции ф в ряд Тейлора в начале координат имеет вид

ад ад

ф(Х) = Х Ру (X тг) =Х Ру (г)XV (3)

у=0 у=0

Функция / голоморфна в некоторой окрестности точки г, поэтому функция ф, как суперпозиция голо-морных функций, голоморфна при | X |< 1 + е для некоторого е > 0, следовательно ряд (3) будет сходиться при X = 1, что, в свою очередь, означает сходимость ряда (2) в точке г.

Точка г принадлежит Б с некоторой окрестностью и (г), для всех точек и (г) можно повторить рассуждения, приведенные выше, поэтому ряд (2)

сходится в некоторой окрестности точки г, лежащей в Б.

Пусть К компактно лежит в Б . Каждому г е К соответствует некоторая достаточно малая окрестность и (г) с Б , в которой ряд (2) будет сходиться абсолютно и равномерно для точек и (г). Совокупность и (г) является открытым покрытием К ; выбирая из этого покрытия конечное подпокрытие, получим равномерную сходимость ряда (2) во всех точках К. Теорема 1 доказана.

Зная разложение функции / по т-однородным полиномам с помощью матричного метода можно восстановить значения функции / всюду в т-звезде О'Ш

Миттаг-Леффлера функции /

Теорема 2. Пусть функция / задана рядом (2) в некоторой непустой окрестности начала координат,

т е Ып и О = ОгШ - ее т-звезда Миттаг-Леффлера. Тогда существует такая бесконечная матрица комплексных чисел В := {Ь01,...,Ьк11 }г"0, что справедлива формула:

/ (г) = Х Ь0,/Р0( г) +... + Ьк, ,1Р1 (г).

(4)

I=0

Причем сходимость - равномерная на любом компакте в О, и матрица В не зависит от функции /, а зависит лишь от области О.

В случае одного переменного формула (4) имеется в двухтомнике Маркушевича [6, с. 495] и называется разложением Миттаг-Леффлера. В случае многих переменных для класса звездных областей теорема 2 доказана М. Довнарович по схеме, предложенной Си-чаком [7] .

Доказательство. Для произвольной точки г0 из области О найдется окрестность этой точки V(г0), компактно лежащая в О, и жорданов путь Бг0 в С , охватывающий точки 0 и 1, такие, что

К :=

|£е Сп :С = ^г) = (XШ1 г1, ..., ^^гп),

[^^с,;г е V (г0)

и К компактно лежит в О.

Тогда по формуле Коши имеем:

/(г) =-М /^тг)^ 2%1 ; X-1

Бг0

-Ь;^ I1 -

1У1 ^ Г] ~х .

(5)

Так как множество Б, := {X 1 : X е Б, } компактно

^0 ^0)

лежит в {С \[1, ад]}, то в силу известной теоремы Рун-ге функцию | 1 - — | можно равномерно аппрокси-

X

1

мировать полиномами Мг от — на Б,

X

г0

0

1Т J =| м (Г )■

(6)

Подставляя (6) в (5) заметим, что из равномерной сходимости ряда (6) на любом компакте из области {С \[1, ад]}, допустимо почленное интегрирование. Полиномы из ряда (2) можно найти по формуле

P (z) =J-f f (Гmz) 2п<

d Г

i+1

Возьмем в качестве матрицы B коэффициенты полинома Ml. Полиномы Ml построены конструктивно в [6, с. 497] по методу П. Пенлеве и могут быть использованы вне зависимости от функции f Теорема 2 доказана.

Библиографические ссылки

1. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. W. Springer-Verlag New York, 2000.

2. Рамис Ж.-П. Расходящиеся ряды и асимптотические теории. М. ; Ижевск : Ин-т. компл. исследований, 2002. 80 с.

3. Лейнартас Е. К., Яковлев Е. И. О разрешимости одной краевой задачи для полиномиального дифференциального оператора в классе функций экспоненциального типа // Вестник СибГАУ. 2013. Вып. 2(48). С. 43-46.

4. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М. : Наука, 1985. 464 с.

5. Айзенберг Л. А., Зиновьев Б. С. Элементарные свойства и интегральные представления голоморфных

функций многих комплексных переменных. Красноярск : Изд-во КГУ, 1975, 156 с.

6. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2. М. : Наука, 1967. С. 628.

7. Downarovich M. Analytic continuation of series of homogeneous polynomicals of n complex variables. Prace Mat., z. 17, 1975.

References

1. Balser W. Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations. W. Springer-Verlag New York, 2000.

2. Ramis J.-P. Raskhodyashchiyesya ryady i asimp-toticheskiye teorii (Divergent series and asymptotic theory). М.-Ijevsk, Inst. comp. issl, 2002, 80 p.

3. Leinartas E. K., Yakovlev Е. I. Vestnik SibGAU, 2013, № 2 (48), р. 43-46.

4. Shabat B. V. Vvedeniye v kompleksnyy analiz (Introduction to complex analysis). Moskow, Nauka, 1985, 464 p.

5. Aisenberg L. A., Zinoviev B. S. Elementarnyye svoystva i integral'nyye predstavleniya golomorfnykh funktsiy mnogikh kompleksnykh peremennykh (Elementary properties and integral representations of holomor-phic functions of several complex variables). Krasnoyarsk, Krasn.un-t, 1975, 156 p.

6. Marcushevich A. I. Teoriya analiticheskikh funktsiy (Theory of analytic functions). Vol. 2, Moskow, Nauka, 1967, р. 628.

7. Downarovich M. Analytic continuation of series of homogeneous polynomicals of n complex variables. Prace Mat., z. 17, 1975.

© Яковлев Е. И., 2013