CC BY
31
УДК 519.3:62-50
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 4
О. А. Иванова
РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ В ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В работе изучается метод аналитического представления решения задачи Коши, заданного своим элементом Вейерштрасса в звезде Миттаг-Леффлера.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в области G = GxxGtCCn хС1:
x = f(x,t), xeGxCCn, t eGt С С1, (1)
где функция f(x,t) голоморфна в Gx х Gt = G, т. е. дифференцируемая в этой области и может быть представлена в некоторой окрестности любой ее точки в виде сходящегося степенного ряда.
Зададим начальные данные
х°=х0, t° = t0, т.е. (x°,t°)eG, (2)
где G - область.
Решим задачу Коши, для чего построим алгоритм аналитического представления функций xk(t,x°,t°), к = 1,2,... ,п в общей для всех к = 1,2,...,п области F С С
с\ ......
Из начальных данных (2) и голоморфности функции f(x,t) следует, что существуют такие р > 0, г > 0, что для любых к = 1,2,... ,п [1-4]
оо оо
Г«,
и=0 |j|-o
л(*. *) = ЁЁ н?Лх - - ь)" =
= Е Е ■ • ■ Е - Аг - х^г ...(«„- *°пУ" а - ¿у, "=0 ¿1=0 }п=0
где I) ~ абсолютно и равномерно сходящийся степенной ряд в области V : 0 < — < р, 0 < \Х1 < г V/ = 1,2,...,п. Выпишем оценку Коши р\ для решения задачи Коши ж0, ¿°):
pi = р' - е (»+i)P'i здесь
0 < р' < р и 0 < г' < г, М = max \fk(x,t)\.
m = l,2.....n
© О. А. Иванова, 2006
Таким образом, для любого £ € С С1: |£-£°| < и любого к — 1,2,... ,п координатная функция ж0, £°) решения задачи Коши х{Ь, х°, £°) может быть представлена рядом
оо
= (3)
который абсолютно и равномерно сходится в круге | £ — ¿о | < Р\ ив нем задает элемент Вейерштрасса
оо
ек: (3')
1>=0
Следовательно, все {е^}^ определяют элемент е для вектор-функции решения задачи Коши ж0, т. е.
е = (в!,..., ..., вп).
Очевидно, что коэффициенты ряда (З)-(З'), V ^ 0, для любого к = 1,2,...,п могут быть рассчитаны как коэффициенты Тейлора для хк{Ь, х°,Ь°):
При этом все производные вычисляются в силу правых частей /х(ж,£), ..., /п(ж,£) системы (1).
Таким образом, элемент Вейерштрасса е считается известным. Напомним определение прямолинейной звезды Миттаг-Леффлера для функции ф, голоморфной в точке [1].
Пусть задан в точке элемент Вейерштрасса во- Из точки выходят прямолинейные лучи. Построим максимально возможное продолжение данного элемента ео с центром в точке г° по таким лучам. Очевидно, что существует начальная часть, вдоль которой продолжение возможно. Отметим на каждом луче, выходящем из г°, соответствующую точку г1, до которой продолжение возможно, полагая г = оо, если продолжение возможно вдоль всего луча, и рассмотрим множество точек, принадле-' жащих всем возможным полуинтервалам (г0^1). Это множество £ео называется прямолинейной звездой элемента ео функции ф(г).
Миттаг-Леффлера показал, что функцию 1р(г), г £ Пг, голоморфную в некоторой области П2 С С1, можно разложить в ряд по полиномам:
оо
#*) = !>*(*), (4)
к=О
где для любого к = 0,1,...
в котором тк > > ... > тк-3к, атк - коэффициенты Тейлора в точке
При этом ряд (4) равномерно сходится внутри *) прямолинейной звезды Seo элемента ео:
оо
ео = Е <*т(* - = * = \z-z°\< г,
т=О
здесь г - радиус сходимости степенного ряда.
Разложение (4) носит название разложение Миттаг-Леффлера, а область Seo -звезда Миттаг-Леффлера и решает задачу продолжения элемента вдоль прямолинейных лучей.
Итак, по элементу Вейерштрасса ео строится последовательность полиномов Vm(z), равномерно сходящихся к функции ф(г) внутри звезды Миттаг-Леффлера Seo.
Таким образом, алгоритм Миттаг-Леффлера для Ve > 0 и VF С 5ео С С1, где F -компакт в Seo, Seo ~ открыто в С1, задает конструктивное аналитическое продолжение элемента ео для функции ф{г) на весь компакт F С Seo с точностью е > 0 в виде конечной частичной суммы ряда (4), т. е.
N(e,F)
V* е F С Seo =4#s) - Е vk(z)\<i,
к=О
в которой конечное N(e,F) определяется по е и F.
Вычисление множителей {nk}k=o'F^ из (5)> в дальнейшем будем называть их множителями сходимости, определяет основную суть алгоритма Миттаг-Леффлера. Существует множество вариантов их вычисления: Миттаг-Леффлера, Роя, Линдлефа, Перрона, которые были разработаны в 1990-1922 гг.
Напомним, что последовательность множителей сходимости {цк}, собственно, связана с приближением функции
--Ц =¥>(*) (6)
I — z
в ее звезде Seo, где
оо
ео : = ЕД Р = 1
к-О
суть элемент Вейерштрасса для ip(z) с центром в нуле 2 = 0. Теперь достаточно построить последовательность полиномов Vm(z), равномерно сходящуюся внутри звезды Se о К tp{z).
оо
Заметим, что использовать последовательность частичных сумм ^ zk — <p(z) в
к=0
т
круге \z\ < 1 бессмысленно, так как ^ zk равномерно сходится при m -4 оо к ip(z)
к=о
лишь внутри круга \z\ < 1, что существенно уже звезды Seo.
Предпринимались разные попытки выбрать наилучший способ аппроксимации дроби (6) последовательностью полиномов {Vm(z)}™= 0 в звезде Seo.
Одним из самых удобных разложений функции tp(z) является разложение Гурса (1903 г.), представляющее собой результат применения метода Коши-Липшица к дифференциальному уравнению:
Последовательность ip(z): Seo -» С1 равномерно сходится внутри »Ьео тогда и только тогда, когда для V компакта К С Seo 'фп сходится равномерно на К.
которое при начальном условии уэ(0) = 1 определяет функцию = В работе [5] метод Гурса обобщается для (7) с помощью метода Коши-Липшица в модификации Пиконе.
Поясним кратко суть метода Коши-Липшица в модификации Пиконе. В своих работах в 1899 г. Пикар и Пенлеве указали на тесную связь между разложением аналитических функций в ряды полиномов и интегрированием дифференциальных уравнений по методу Коши-Липшица.
Смысл метода Коши-Липшица [3] состоит в том, что строится последовательность функций х\п,п^
х\ ^ — х\ ' + V3» (0; х[ \ • • • 1ж1 \ • • • > хгп)п т(«.2) _ _(п,1) , .. А г. _(П,1) (п, 1) (пД),
(8)
_(".")_ Лп,п-1) ,..(2=1 (п,п-1) (п,п-1) (п,п-1)чг
„ х{ ~ п '1 ' ■■•■>хк > ■ • • > Хт )п,
которая при п оо равномерно сходится \/г = 1,2, ...,тк решению системы дифференциальных уравнений
^ = 1рг(г]х1,...,хт), г = 1,2,..., ш, (9)
с начальными условиями £¿(0) = х^К
Если правые части уравнений (8) не зависят явно от г и являются полиномами от переменных Хк, то метод Коши-Липшица непосредственно приводит к разложению функции Хг(г) в ряды полиномов, сходящихся в соответствующих звездах Миттаг-Леффлера, т. е. для уравнения (7) это оказывается самым подходящим методом. Но сам метод не дает определения областей сходимости для х^г) и, кроме того, последовательность полиномов, построенная методом Коши-Липшица, сходится очень медленно (что будет хорошо видно приведенных численных расчетов). Скорость убывания погрешности пропорциональна 1 /п.
Пиконе, предполагая [3], что правые части уравнений (9) обладают непрерывными частными производными по своим аргументам до V + 1, V ^ 1 порядка включительно, применил метод Коши-Липшица к системе
^ =^\г-,х1,х2,...,хт), г = 1,2,...,т; ¿ = 1,2,...,и, щ € С<"+1>(С* х <Зг), (10) где
(1) д у+1) л д<р\з) , ^ дф^
к=1
Далее он строит последовательность функций xf1^ в виде
>Д>=х<0>+£1 Ы№1<»).....x<°>)(£)j,
3=1
Х: = X)
Пиконе оценил погрешность, происходящую от замены точного решения Xi(z) функ-
(п,п) / \ циями х\ [Z):
\xi(z)-x^n\z)\^e^, (11)
здесь в = const не связана с исходной системой
dxi
dz
= ipi(z), г = 1,... ,т.
В случае (7) константа в является абсолютной для звезд Миттаг-Леффлера, так как не зависит от системы
dxi dz
— Xi, . . . , Xm),
т. е. метод Коши-Липшица в модификации Пиконе связан с независимым от исходной системы ^ = (^¿(г; х\,..., жп) одним уравнением (7), который и определяет абсолютную константу в.
Оценка погрешности приближения голоморфной функции полиномами "Рп(,г) в ее звезде £ео имеет вид
ik*)-!>*(*)
fc=0
< — max 2тг
где £ - длина замкнутой кривой Г, охватывающей компакт .Р С 5ео. Пусть ё > 0 - произвольное. Найдем е такое, что
eL 2тг
max
< е.
Отсюда
2тг , £ < — ( max
■ф(г)
е.
Найдем 7V(e) такое, чтобы обеспечить оценку
1
V zeF
l-z
Vn(z)
<е Vn^iV(e).
Воспользуемся оценкой Пиконе (11):
1
1 - г
-ВД
£
(12)
где v - фиксированное произвольное; в = const - абсолютная константа, связанная лишь с оценкой (12) и не зависит от вида ■¡/'г-
Итак, достаточно потребовать, чтобы в (12) п было таким, чтобы
.в
— <е> п"
т. е. достаточно, чтобы
п > N{e) =
def ( Ьв = -— шах V27T£
l/u
Величина N(e) и есть искомое количество полиномов Vk{z), к = 0,1,..., N(e), обеспечивающих оценку
ще)
к=О
Пусть и - произвольное [5], но фиксированное натуральное число (и ^ 1), тогда
систему (10) можно записать в виде
** =
dzi
С помощью рекурентных выражений
v
П0(г) = 1, Un+1(z) = ^2zk[Un(z)]k+1
введем полиномы
(13)
к=О
(14)
к=О
коэффициенты которых целые положительные числа, а степень тп определяется фор мулой тп = (и + 1)" — 1.
Искомые полиномы связаны с полиномами (14) соотношением
и, следовательно,
lpn{z) - Пп Q
Mfc ~ пк к '
Если некоторая функция ip(z) удовлетворяет функциональному уравнению
±z^(±z^)=±zkMz)r\ (15)
53
к=0
к=0
то ему же удовлетворяет и функция
к=0
Так как полином ГЦ (г) удовлетворяет уравнению (15), то и все полиномы Пп(.г) удовлетворяют ему, т. е.
£ ** Пп (£ г»1) = £ гк [Пп(г)Г+1 • (16)
£=0 \Л=0 / к=0
Комбинируя (13) и (16), получаем
ип+1(г) = £гкПп(£гкА. (17)
к=0 \£=0 /
Подставим (14) в (17) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях г
е+1) = Е ¿П]Ь(кП\ ш = 1,2,... ,тп+1, (18)
к=к 1
где пределы суммирования определяются формулами
( \и(т +1)1] , . . ' «1 = тах < 0, т— -— >, «2 = тт{т, тп},
а ¿¡¡."^ - положительные целые числа, служащие коэффициентами в выражении
/ V \ т I>т
Е** (19)
л\
к-О / к-О
(п)
Используя (18), выпишем коэффициенты ¡j.[ в виде
fe2 / _ ч к j(fc+l)
«2 / _ \ * ^«-t-1;
(^М"'- "• = 1.2,...,m„+1. (20)
Из (19) определим
пнп{А:,1/т}
4т+1) = Е * = 1,2,...,^+^,
/=тах{0,/г —I/}
и решением этого разностного уравнения будет
ш
= Е (-1)А^тСГЙ-1-А(И-1). ^ = 0,1,...,^. (21)
а=0
При вычислениях dиспользовалось также равенство
Am) _ Am) U-Ql к ~ avm-ki К- U, I,...,
Формулы (20) и (21) полностью решают задачу о нахождении множителей сходимости Отметим, что все и + 1 коэффициентов полиномов ipi (z) и первые и + 1 младших коэффициентов всех полиномов ipn(z) равны единице:
/4п) = 1 для А; '= 0,1,..., is, п ^ 1.
Дальнейшие коэффициенты монотонно убывают вплоть до значения
Начальная скорость этого убывания уменьшается с увеличением номера полинома п при фиксированном v и с ростом числа и при фиксированном п.
В случае v = 1, что соответствует полиномам обычного метода Коши-Липшица, выведенные формулы упрощаются. Именно, при v — 1
dim) = Ckm, fci = [y], A; = min{m,2"-1}.
Задача нахождения множителей сходимости, согласно методике, описанной выше, была решена численно. При этом в качестве среды для вычисления использовалась система компьютерной алгебры MAPLE. Были проведены расчеты множителей сходимости на компьютере AMD Athlon ХР 1700+, 768MB of RAM.
Все множители сходимости, рассчитанные с помощью программы, сохранены на компьютере в виде отдельных файлов, пригодных для дальнейшего использования.
При определении множителей сходимости основная трудность, с которой пришлось столкнуться, - это время счета программы. К сожалению, время вычисления резко возрастает от количества множителей сходимости. Например, если взять 1300 (тп = 1300) множителей сходимости в полиноме, то время расчета составляет в среднем 20 ч на компьютере такой конфигурации.
Поэтому для начала было произведено вычисление тп - количества множителей сходимости в зависимости от и и п. В табл. 1 приведены численные расчеты тп -количества множителей сходимости для п от 1 до 8 и и от 1 до 10. Как из нее видно, количество множителей сходимости резко увеличивается с ростом и и п. В связи с этим пришлось ограничиваться в расчетах количеством множителей сходимости и брать только те полиномы с и и п, у которых оно не более 1000-1300.
В табл. 2 приведены некоторые численные значения множителей сходимости. Из нее следует, что первые v + 1 множителей равны единице, а затем монотонно убывают до нуля. Множители сходимости в полиномах убывают до значения — п~ТПп.
Таким образом, можно посчитать последний множитель сходимости в п-м полиноме. Он напрямую зависит от номера полинома пни. Например, при v = 1 и п = 10 тпп = 1023 и, как было получено численно на компьютере, последний множитель /«1023 = 0,9999999999-Ю-1023 или, если взять п — 3 и и = 7, то тп — 511 и последний множитель /4п = 0,1552525843 • 10~243.
При вычислении множителей сходимости постоянно вставал вопрос о количествах полиномов и множителей сходимостей в них. При этом возникают два пути решения:
Таблица 1. Количество множителей сходимости в полиномах в зависимости ОТ п и V
п/и 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023
2 2 8 26 80 242 728 2186 6560 19682 59048
3 3 15 63 255 1023 4095 16383 65535 262143 1048575
4 4 24 124 624 3124 15624 78124 390624 1953124 9765624
5 5 35 215 1295 7775 46655 279935 1679615 10077695 60466175
6 6 48 342 2400 16806 117648 823542 5764800 40353606 282475248
7 7 63 511 4095 32767 262143 2097151 16777215 134217727 1073741823
8 8 80 728 6560 59048 531440 4782968 43046720 387420488 3486784400
Таблица 2. Значения множителей сходимости в зависимости от п и V
(0) — и — 1 и п = 1 1,0, (1) = 1,0
(0) = 1/=1ип = 2 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 0,5000000000, (3) = 0,1250000000
(0) = (5) = V = 1 и п — 3 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 0,6666666666, (3) = 0,3333333333, (4) = 0,1234567901, 0,3292181070-Ю-1, (6) = 0,5486968450-Ю-2, (7) = 0,4572473708-Ю-3
(0) = V = 1 и п = 9 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 0,8888888889, (3) = 0,7407407408,
(509) = 0,6397534408-Ю-481, (510) = 0,5553415284-Ю-484, (511) = 0,2410336495-Ю-487
(0) = V — 1 и п = 10 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 0,9000000000, (3) = 0,7650000000,
(1022) = 0,5120000000 10—1019, (1023) = 0,9999999999-Ю-1023
(0) = V — 2 и п = 1 1,0, (1) = 1,0, (2) = 1,0
(0) = ¡/=2ип = 2 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 1,000000000, (3) = 0,7500000000,
(6) = 0,9375000000-Ю-1, (7) = 0,2343750000-Ю-1, (8) = 0,3906250000-Ю-2
(0) = и — 2 и п = 3 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 1,0000000000, (3) = 0,8888888888,
(24) = = 0,1593317773-Ю-9, (25) = 0,1062211848-Ю-10, (26) = 0,3934117957-Ю-12
(0) = V = 2 и п = 6 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 1,000000000, (3) = 0,9722222222,
(726) = 0,342Ю41367-Ю-560, (727) = 0,46 7 3 5 5 3 7 80-Ю-563, (728) = 0,3205455268-Ю-566
(0) = V = 7 и п = 1 1,0, (1) = 1,0, (2) = 1,0, (3) = 1,0, (4) = 1,0, (5) = 1,0, (6) = 1,0, (7) = 1,0
V — 7 и п = 2
(0) = 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 1,000000000, (3) = 1,000000000,
(4) = 1,000000000, (5) = 1,000000000, (6) = 1,000000000, (7) = 1,000000000,
(61) = 0,1561251128-Ю"16, (62) = 0,1734723476 10~17, (63) = 0,1084202172-Ю"18
и — 7 и п — 3
(0) = 1,0, (1) = 1,000000000, (2) = 1,000000000, (3) = 1,000000000,
(4) = 1,000000000, (5) = 1,000000000, (6) = 1,000000000, (7) = 1,000000000,
(509) = 0,2906328378-Ю-239, (510) = 0,2980849618-Ю"241, (511) = 0,1552525843-Ю"243
ограничивать мантиссу при расчетах, как это предлагал В. А. Брумберг, или ограничить количество множителей сходимости, например до 100 членов в полиноме.
В качестве критерия выбора количества множителей сходимости в полиномах было взято время счета компьютера, т. е. примерно 1300 членов в полиноме.
Численные значения множителей сходимости были использованы для построения полиномов <рп(г) и посчитаны оценки
~4>п{г)
1-2
при 2 = 0,01, 2 = 0,1, 2 = 0,9. Результаты этих расчетов приведены в табл. 3.
Таблица 3. Результаты расчетов при г — 0, 01, 2 = 0,1 и 2 = 0,9
Номер Кол-во
полинома тп
1 1
2 3
3 7
4 15
5 31
6 63
7 127
8 255
9 511
10 1023
1 2
2 8
3 26
4 80
5 242
6 728
1 3
2 15
3 63
4 255
5 1023
2 = 0,01
2 = 0,1
0,9
V = 1
0,0001010 0,0000508850 0,00003400876214 0,00002553873843 0,000020446 0,0000170476666 0,000014617224488 0,00001279406250 0,00001137437041 0,00001023900000 1/ = 2
0,1010
0,2549749060-Ю"6 0,114000-Ю"6 0,64-Ю"7 0,41-Ю"7 0,28-Ю"7
V = 3
0,10-Ю"7
0,1177590292-Ю"8
0,1-Ю"15
0,160000-Ю"9
0,080000-Ю"10
0,1111111
0,005986111000
0,004098430571
0,003116161136
0,002513783638
0,002106596675
0,001812947243
0,001591155382
0,001417717968
0,001278376079
0,0111111
0,0003085148671
0,0001420376160
0,00008131842339
0,00005259785491
0,00003678416846
0,000111111 0,00001585581986 0,49110-Ю"5 0,21169-Ю"5 0,10979-Ю"5
8,1
7,60387500
7,21342530
6,884268547
6,597404825
6,342320862
6,112366869
5,902972531
5,710813596
5,533370675
7,29
6,204863309 5,348452641 4,652490793 4,078346296 3,599476411
6,561
4,972549031 3,817820508 2,973111365 2,348243530
Номер полинома Кол-во т„ 2 = 0,01 г = 0,1 г = 0,9
и — 4
1 4 0,0 0,000011111 5,9049
2 24 0,0 0,8150-Ю-6 3,9644510764
3 124 0,0 0,1689-Ю-6 2,710480564
4 624 0,2020180640-Ю-778 _ С 0,559-Ю-7 1,896976011
1 5 V — 0 0,1-Ю-9 0,1111-Ю-5 5,31441
2 35 3,264160156-Ю-24 0,419-Ю-7 3,168085379
3 215 0,99999992-Ю-16 0,49-Ю-8 1,943285988
4 1295 0,9252837896 10"24 .. _ с 0,9-Ю-9 1,233507466
1 6 и — о 0,101-Ю-9 0,111-Ю-6 4,782969
2 48 0,0 0,19-Ю-8 2,544728757
3 342 0,0 _ п 0,11-Ю-9 1,411275535
1 7 V — ( 0,10101-Ю-9 0,11-Ю-7 4,3046721
2 63 0,1040834086-Ю-135 0,10-Ю"9 2,054908275
3 511 0,2115588589-Ю-124 ,, _ О 0,11-Ю-9 1,036098705
1 8 и — о 0,1010101-Ю-9 0,1-Ю-8 3,87420489
2 80 0,0 0,11-Ю-9 1,666593322
3 728 0,7766008615-Ю-206 и = 9 0,101010101-Ю-9 0,11-Ю-9 0,7666192750
1 9 0,0 3,486784401
2 99 0,0 0,11-Ю-9 1,355929883
3 999 0,9489826461-Ю-209 V = 10 0,11-Ю-9 0,5701770070
1 10 0,ЮЮЮЮ-Ю-9 0,1-Ю-9 3,138105961
2 120 0,ЮЮ00Ю-Ю-9 0,0 1,105531538
3 1330 0,1010001010-Ю-9 0,6161805546-Ю-304 0,4254710230
При и = 1 и п = 10 (метод Коши-Липшица без модификации Пиконе) видно, что полиномы очень медленно сходятся вне зависимости от значения
При г — 0,01 чистый нуль уже получили при V = 4 и п = 1,2,3, т. е. тем самым подтвердили теорию о том, что вблизи точки го — 0 полиномы сходятся очень быстро в звезде Миттаг-Леффлера. При дальнейшем росте V до 10 посчитанные оценки дают чистый нуль, а при и > 10 оценки начинают повторяться и сохранять порядок около Ю-9.
При 2 = 0,1 на оценку - чистый нуль - мы вышли при ^ = 9ип = 3и она стала повторяться. Это хорошо видно из табл. 3.
При г = 0,9 видно, как медленно сходятся полиномы, тем самым подтверждая теорию, что вблизи единицы полиномы медленно сходятся.
Для интереса были взяты две точки, а именно г= 1,1 иг = 1,5. Хотелось узнать, как поведет себя программа, хотя теоретически ясно, что полиномы должны резко расходиться. Результаты расчетов показывают, что полиномы, построенные в этих точках, начинают резко расходиться (табл. 4).
Из анализа проделанных расчетов видно, что если задать минимальную точность е, которой хотим достичь, строя полиномы, можно сначала провести вычисления при
Таблица ^. Результаты расчетов при г = 1,1иг = 1,5
Номер полинома
Кол-во ГПп г = 1,1 г = 1,5
V = 1
1 12,1 4,5
3 12,87137500 6,04687500
7 13,59471889 8,070312500
15 14,30830551 10,88139705
31 15,02839783 14,96833904
63 15,76447686 21,18386627
127 16,52323048 31,11618694
255 17,3100399 47,91733120
511 18,12966022 78,30566181
1023 18,98657997 и = 2 13,31 137,8392136
2 6,75
8 15,66305779 15,27937316
26 18,51516886 41,96864269
80 22,06247370 155,1168398
242 26,54484554 886,5110918
728 32,28979135 .. _ о 957,203916
3 V — О 14,641 10,125
15 19,5136828 45,42587633
63 26,77704774 382,9569011
255 37,86825163 8874,537187
1023 55,28967981 // = 4 0,1062807334-Ю7
4 16,1051 15,1875
24 24,53376032 148,1662274
124 39,42488717 4999,992339
624 66,68704157 0,1479509273-Ю7
5 17,71561 2,78125
35 30,83736642 504,2054699
215 57,69471877 81535,63875
1295 115,7656622 1/ = 6 0,5917299668-Ю9
6 19,487171 34,17187500
48 38,58266600 1738,132374
342 83,29277576 V = 7 21,435881 0,1552264611-Ю7
7 51,25781250
63 48,00117699 5975,183717
511 118,6609547 1/ = 8 23,57947691 0,3340338972-Ю8
8 76,88671875
80 59,41488861 20325,11372
728 167,2539451 0,7993556641-Ю9
Номер Кол-во 2 = 1,1 2 = 1,5
полинома тп
и = 9
1 9 25,93742460 115,3300781
2 99 73,24767797 68182,79351
3 999 233,8951330 0,2107301711 10
v = 10
1 10 28,53116706 172,9951172
2 120 90;03728725 225369,1342
3 1330 325,2683142 0,6079615282 10
п = 1 и различных v ^ 1, выбрать и, соответствующее заданной минимальной точности е. А далее уже при полученном v можно вести расчеты при различных п, пока не будет достигнута максимальная точность, которую хотели бы иметь. Порядок выбора количества множителей сходимостей тп будет определяться только мощностью компьютера.
Данная общая методика была проверена на модельных примерах: уравнении Дюф-финга и задаче о сферическом маятнике.
Summary
Ivanova О. A. Uniform approximation of Cauchy problem solutions in the theory of analytical differential equations.
The paper is dedicated to a method of analytical representation of Cauchy problem solution given by it Weierstrass element inside a Mittag-Leffler star.
Литература
1. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций: В 2 т. М.: Наука, 1967. Т. 1. 488 е.; 1968. Т. 2. 624 с.
2. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1950. 436 с.
3. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения: В 2 т. / Пер. с итал. Н. Я. Вилеккина. М.: Мир, 1953. Т. 1. 346 е.; 1954. Т. 2. 415 с.
4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968. 648 с.
5. Брумберг В. А. Ряды полиномов в задаче трех тел//Бюл. ИТА. 1963. Т. 9, № 4 (107). С. 234-256.
Статья представлена к публикации членом редколлегии С. В. Чистяковым.
Статья поступила в редакцию 7 июня 2006 г.
