CC BY
7
УДК 517.55
ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ В КРАТНО-КРУГОВЫХ ОБЛАСТЯХ ПО ДОПУСТИМЫМ МЕРАМ
ЗИНОВЬЕВ Б.С., канд. физ.-мат. наук
Рассматриваются вопросы теории функций многих комплексных переменных. Исследуются системы замкнутых ортонормированных голоморфных функций в кратно-круговых областях по допустимым мерам.
Ключевые слова: замкнутая ортонормированная система функций, ряд Фурье, теория функций многих комплексных переменных.
CLOSED SYSTEMS OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS IN MULTICIRCULAR DOMAINS AS TO ADMISSIBLE MEASURES
ZINOVJEV B.S., Ph.D.
This work is devoted to the problems of theory of functions of many complex variables. The author investigates systems of closed orthonormal holomorphic functions in multicircular domains as to admissible measures.
Key words: closed orthonormal function system, F-series, theory of functions of many complex variables.
Важное значение для теории рядов Фурье имеет понятие замкнутой (полной) ортонормиро-ванной системы функций (о. н. с. ф.).
Определение. О.н.с.ф. { е Д^й)} поме-
ре X называется замкнутой (полной) в кратно-круговой области О по мере X (з.о.н.с.ф.), если для
всякой функции е Д^й) вместо неравенства Бесселя имеет место неравенство Парсеваля
где av = (f,9V- коэффициенты
IКI2 =11С
v=0
Фурье функции f(z).
Предложение 1. Для з.о.н.с.ф. {cpv е AX(D)}
ад
по мере X в области D ряд Фурье Iavpv (z) функ-
v=0
ции f(z) е AX(D) сходится по норме к f(z).
Доказательство. Пусть bv = av = f(,pv). То-
гда
f -z b
9v
v=0
2 С
2 A
-z a
v=0
^ 0 , N ^ œ в
силу равенства Парсеваля.
Более того, ряд Фурье функции е ДХ(й) по з.о.н.с.ф. сходится к не только по норме, но и равномерно внутри О.
Это утверждается в следующем предложении. Предложение 2. Ряд Фурье функции
е
ДХ (й) относительно з.о.н.с.ф. { е Д2(й)}
по С-допустимой мере X сходится внутри О абсолютно и равномерно к функции т.е.
ад
£ (г) = , а, = ((, Фу)й .
v=0
Доказательство. Абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье внутри О была доказана ранее [1, предложение 14] для о.н.с.ф. Покажем, что для з.о.н.с.ф. {ф,} ряд Фурье функции
е Д2(й) сходится именно к Для этого возьмем г е К с й и оценим разность (К - компакт в О): N
f(z)-Z av9v (z)
v=0
2
< C(K)
= C(K)
f-Z a vФv
v=0
2 A
-Z И v
v=0
^ 0,N ^ œ.
При этом использовались С-допустимость меры X и равенство Парсеваля.
Имеет также место важное предложение, в некотором смысле обратное предыдущему, дающее достаточное условие замкнутости ортонормирован-ной системы.
Предложение 3 (см. [2]). Пусть
{ф,(г) е ДХ(й)^ = 0,1,2...} - о.н.с.ф. в области О по заданной мере X и последовательность чисел
{Ь,} такова, что £|Х <ад . Если каждую функ-
,=0
цию е ДX(й) можно представить рядом
ад
£(г) = ,
,=0
равномерно сходящимся внутри О, то система {ф, (г)} замкнутая.
Доказательство имеется в [2, с. 82], причем
ад
требование £|Ь,| <ад будет заведомо выполне-
,=0
но, если Ь, = а, =(^ ф,) в силу неравенства Бесселя.
Дадим второе эквивалентное определение замкнутой системы голоморфных функций.
2
D
Определение. Если каждая функция 1(г) е ДХ(й) аппроксимируется линейной комбинацией функций ортогональной системы е Д^й)) по мере X в смысле среднего квадра-
тического отклонения, то система {фу (г)) называется замкнутой (полной).
Предложение 4. Два определения замкнутой (полной) системы являются эквивалентными. Доказательство. Пусть функция
1(г) е ДХ(й) аппроксимируется линейной комбинацией ортогональной системы {фу) в смысле среднего квадратического отклонения, т.е. для любой функции 1(г) е ДХ(й) существуют константы су, V = 1,2,... такие, что
N N А
- £Суфу (г), 1(г) - £CvФv (г)
Доказательство. Рассмотрим гипершар й = {г:|г.||2 +... + |гп|2 < Р2) и найдем для него
ортонормированную систему функций фV (г) = Ьу zV по мере Лебега, где
(Ь2 ) 14 51* 1 =
= пп||5|2V45|2 =пп ||5Г45^
где ={5 : |51 +... + < Р) - гиперконус.
Для п-мерного симплекса
в = {х| > 0,х1 +... + хп < Р) известен интеграл [4,
V=1
N
V=1
с. 634] для v| = 0,1,2,... | х^х
Р у+пу! ( п)!
Поэтому
-£ СуФу (г)
т.е.
У=1
N
+ £ 1аУ- СУ
у=1
^ 0 , N ^ ж,
-£|аУ |2 ^ 0 , N ^ж , где
У=1
(ь2)
1 ппР2(1 у+п)у!
(М1 + п)! ■
Докажем замкнутость данной системы в О. Поскольку любая функция 1(г) е Д^Дй) предста-вима в области О степенным рядом
ау = ((,фу). Таким образом, в силу неравенства 1(г) = £су= £ауфу(г),
Бесселя ау = су и в пределе имеем равенство Пар-севаля.
Докажем обратное. Пусть имеет место равенство Парсеваля. Это значит, что 2
у=0
у=0
где ау =( 1,фу),фу = Ьу, то
N
-£ ауфу (z)
у=1
N
-£КГ ^ 0,
у=1
N ^ ж,
(V 14 512| 11
(2п|) И л15|
2 45
т.е. функция 1^) аппроксимируется в среднем своим рядом Фурье.
Предложение 5. В каждой ограниченной полной кратно-круговой области О существует замкнутая ортонормированная система функций {фу (г)) по В-допустимой мере X.
Рассмотрим пространство ДХ(й). По предложению 10 (см. [1]) это пространство является гильбертовым по С и по В-допустимой мере X. Покажем, что это пространство является сепарабельным. Очевидно
включение Д^^Дй) = Д^Дй) с ^(й). Пространство 1-4, (й) является сепарабельным, так как содержит счетное подмножество многочленов с рациональными коэффициентами. Далее применяется теорема о том, что всякое подмножество сепара-бельного метрического пространства само является сепарабельным, а это есть Н и О условия того, что в О существует з.о.н.с.ф.
Заметим, что близкие вопросы изложены в монографии [3].
Предложение 6. Система функций
:£ |ау| 2|Ьу I2 пп ||5|2у 415|2 = £ КI2,
у=0 ц у=0
т.е. выполняется равенство Парсеваля.
Предложение 7. Для ограниченной, кратно-круговой, полной, содержащей свой центр области
(
О система функций фу (г) = Ьу ^ =
Л-
||5|2у
является замкнутой ортонормированной системой для О-допустимой меры X и 1(г) е ДХ(й).
Доказательство. Если 1(г) е Д^й), то
ж ж ж
= £ Су = £ ауфу = £ ауфу (г), где
у=0
у=0
ау =((, Фv), фу = Ьу г у =-
у=0
1 '
||5| 2у4Х
фу(г)=
(М1 + п)!
ппр2(1 у+п)у!
у = (у1,...,уп )
у| = 0,1,2,... является з.о.н.с.ф. по мере Лебега для гипершара радиуса Р (ЬХ = 41512).
в
2
fff ^ i-xj Iff-
(2п|) DI А|?| ?
Найдем =I |av |2 |bv |2 J dX 2v f =
- (2п|) ID д„ ?
v=0
I |av |2|bv I2 il^l2v dX = I К I2,
" Dl ■
v=0
v=0
т.е. система замкнутая и ортонормированная.
Для единичного гипершара О рассмотрим
меру с^ = —-= 1 -ХсКХ л СгХ[1],
( П V1
(£ 1^1Х 41=1
где = I = 1,Х,...,п, 0 < 1 < 1,
г = (г,.....Гп) е|Эй| .
Эта мера по предложению 9 (см. [1]) является С-допустимой.
Предложение 8. Для единичного гипершара и указанной меры система функций
Pv(z)=
(( + n -1)!
z\
v!
^(v-vn ),
v| = 0,1,2,..., I = 1,2,...,n , является з.о.н. системой.
Для
Dp = i z : IzJ
+... + z,
совокупности
2/ " 2
'Pn
n
< r
областей возьмем меру
2P(s-P+1)
dX = |^ с ЩХ.
Эта мера по предложению 9 (см. [1]) является С-допустимой.
Предложение 9. Для областей Ор и указанной меры система функций
Pv(z)=
(|vp + s| + n)! zvr (pv|+
pi...pn(vp + s)!
, v = (v1,...,vn) ,
является з.о.н. системой. При si = pi - 1, dX = d |2
Pv(z)=
(vp + N)!
• zvr
И+1P)
\Pi...Pn(p(v + 1)-1)! Доказательство основано на интеграле
(см.[4]) Jxvdx :
P1
...pnr2(pv+p)(p(v + 1) -1)!
для
(H + P)!
G = j x > 0:x/p1 +... + x/pn < r2J с Rn.
Следствие. Объем области Dp выражается
= p1 +... + pn,
R2pp!
формулой Vp = nn , где
D (|p| )!
так как dv = ■
Л-
(Хп1)
Предложение 10. Для областей
йЧ = {2 : |21|241 +... + < г2}, ц = 1,2,...,
I = 1,Х,...,П, и меры Лебега система функций
фХ(г) =
v1
р1...рпг(
+1
■ +... + -
+1
+1)
_2v
ПГ( vl±1 )...Г( vnll)
( 2 Y1+1
rqi
( 2 У"
r4n
vn +1
V / V У
является з.о.н.с.ф., где Г(v) - гамма-функция Эйлера.
Список литературы
1. Зиновьев Б.С. Ортонормированные системы голоморфных функций в кратно-круговых областях по допустимым мерам // Вестник ИГЭУ. - 2005. - Вып. 4. - С. 113-117.
2. Фукс Б.А. Специальные главы теории функций многих комплексных переменных. - М.: Физматгиз, 19б3.
3. Айзенберг Л.А., Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. - Новосибирск: Наука, 1979.
4. Рыжик М.С., Градштейн И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1962.
Зиновьев Борис Сергеевич,
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, телефон (4932) 26-97-62, e-mail: higher@math.ispu.ru
