Ортогональный аксанометрический эпюр Текст научной статьи по специальности «Математика»

П. А. Маслеников.

Ортогональный аксонометрический эпюр.

Для решения различных задач, связанных с построением изображений пространственных форм, при ортогональном методе проектирования, как известно, достаточно бывает иметь только два изображения пространственных форм на двух взаимно перпендикулярных, например, вертикальной и горизонтальной плоскостях проекций.

При построении же чертежей различных пространственных форм, обыкновенно, не ограничиваются только двумя изображениями на двух плоскостях проекций и прибегают, в зависимости от сложности изображаемого тела, к построению изображений на трех, четырех и т. д. плоскостях проекций, представляющих грани куба. И все же, по имеющимся ортогональным изображениям тела сложной формы, в особенности мало подготовленному лицу бывает очень трудно воссоздать в воображении пространственный облик спроектированного тела, а потому, в особенности за последнее время, кроме ортогональных изображений тела на гранях куба, для цели облегчения чтения чертежа, иногда прилагаются, так называемые, аксонометрические (ортогональные или косоугольные) изображения.

Существующее раздельное, от ортогональных построений чертежа, построение аксонометрического изображения тела, в связи с необходимыми для таких изображений (в особенности ортогональных аксонометрических) изменениями масштабов, требует от лица, изготовляющего аксонометрическое изображение проектируемого тела, необходимых знаний и навыков в выборе масштабов и расположении осей для различных форм, и отнимает очень большое время на его изготовление. Кроме этого, отдельное построение аксонометрического изображения уменьшает его ценность тем, что не всегда бывает возможно быстро установить, какая линия чертежа соответствует данной линии аксонометрического изображения, и наоборот.

Отсутствие видимой связи ортогональных проекций чертежа с аксонометрическим изображением заставляет последнее считать дорого стоющим придатком к основному чертежу, а потому и понятна малая распространенность аксонометрических изображений.

В настоящей работе мною предлагается способ одновременного построения и ортогональных проекций чертежа на двух основных плоскостях проекций (вертикальной и горизонтальной), и аксонометрического изображения, путем создания эпюра, сохраняющего цельность всех изображений и единство их построений.

Сущность предлагаемого эпюра, который в дальнейшем я буду называть ортогональным аксонометрическим эпюром, заключается в введении в пространство прямого двухгранного угла, образованного основными плоскостями проекций (вертикальною и горизонтальною), третьей, наклонной к обеим основным плоскостям проекций, плоскости, образующей с первыми такие углы, которые бы обеспечили, при ортогональном проектировании формы на третью плоскость, достаточную наглядность получаемого аксонометрического изображения на ней.

Не останавливаясь на способе развертки данных трех плоскостей и построений эпюра точки, достаточно подробно изложенном в моей работе

Делая подстановку значения /Р/ в уравнение (3), получаем:

1—П

и= 1 -У .

2 «и

И, следовательно:

ди

д/рь йРк

График второго варианта доказательства теоремы Кастильяно (черт. 4) приводит к легкому доказательству теоремы Бетти, в наиболее общем ее виде.

Условие равновеликости суммы площадей диаграмм'перемещений, при загрузке системы по одному и по другому способу, аналитически выразится так:

п п п " п

I У я,-/„ -г Яо ■ ■ л У/!г- + р2 у/2,- -Ь .... =

0 1 2 3

71 П 11

= у [яо > -г Рх У /> /+\/2,- + • • • •!

о о о

Или, после упрощения, за счет взаимного уничтожения отдельных членов равенства:

Л) 2/о<+ Рг 2/з/+ ■ ■ ■ ■ + /(»-и»=

1 2 ;з

= Рп 2 и /+2 /(„_,) / + Рп-^/ш-т +....+ Л Л о •

О О о

Последнее равенство может быть записано уже в совсем компактной форме:

к--п— 1 к~п 1

2 2 2

А—О /.--А-Н " 1

Теорема Бетти, полученная в таком аналитическом оформлении, могла бы быть сформулирована следующим образом:

Если все нагрузки, деформирующие систему, расположить в произвольном нумерном ряду, то сумма произведений из нагрузок на перемещения их от действия всех нагрузок, лежащих от начала ряда до них, равна сумме произведений из нагрузок на Перемещения их от действия всех нагрузок, лежа-щих от них до конца ряда,

Давая значение:

получаем:

Яо/о1 — Р\ /ю>

т. е. частный случай, впервые показанный, Мэксвеллом: всякая пара нагрузок в упруго-деформированной системе связана так, что осуществляется равенство произведений из каждой нагрузки на перемещение ее от действия другой нагрузки.

в) Значение углов между аксонометрическими осями выразим через масштабы искажений и углы з и р, для чего:

1. Из косоугольных треугольников: ЬО\с, аО\с и аО\Ь определим значение углов (Од:, и coz через отрезки аксонометрических координат х\ у\ и z\

-и через отрезки прямых Ьс, ас и ab.

2. Из прямоугольных треугольников ЬОс, аОс и аОЬ выразим через отрезки пространственных координат х, у и z значения отрезков прямых Ьс,ас и ab.

3. Выражаем величины отрезков Ьс, ас и ab и величины отрезков по координатным осям в найденных значениях углов соХ) <ov и через масштабы искажений тХу ту и mz и углы аир.

cj Вывод масштабов искажений и значений углов между аксонометрическими осями.

Из прямоугольных треугольников cOk и Oka (черт. 1 ) находим:

Черт. 1.

tgu>h = tg< Okc —

Ос Ok

z

~Ок

Ok = Oa Sin < Oak = je Sin (180° — a) = x Sin*

Вставив из (¿) значение Ok в форм. (а), получим:

/ z 1

tg(bh= — ' —......

х Si na

Из прямоугольного треугольника k0\0 находим: OOi=OéSina>A = jcSina

или после подстановки значения tg^h из форм. (1)

jc. z. Sin a

OOi =------

|/>Sin2a-f ^

(a) («>

(1)

(2)

Полученное значение длины перпендикуляра 00\ преобразуем таким образом, чтобы в его выражение входил лишь один какой нибудь отрезок прямоугольных пространственных координат, для чего выразим через углы

„Проектирование на три плоскости"» я перейду к вопросам определения получаемых на третьей плоскости масштабов искажений по координатным осям и углов между аксонометрическими осями, классификации получаемых изображений и выбора вида аксонометрического изображения.

I. Определение масштабов искажений и углов между аксонометрическими осями.

Л. Пояснения к чертежам и принятые обозначения (чертежи 1, 2 и 3).

И и V — горизонтальная и вертикальная плоскости проекций.

О — начало прямоугольных пространственных координат.

ОХ, ОУ и ОЁ — оси прямоугольных пространственных координат.

аМь и аМг, — горизонтальный и вертикальный следы ортоаксонометрической плоскости М на пл. пр-ций Н и V *)•

Оа~х, ОЬ=у и Ос~г— отрезки прямоугольных координат отсекаемые ортоаксонометрическою плоскостью М на координатных осях.

00]—перпендикуляр к ортоаксонометрической плоскости М, проведенный из начала координат О.

О] —начало аксонометрических координат.

0\а = хи 0\Ь—у\ и 0\с = х\— отрезки аксонометрических координат на плоскости М.

а-—угол образованный положительным направлением оси X с горизонтальным следом аМк плоскости Л1 на пл. Н. Отсчитывается по ходу часовой стрелки.

3 — угол образованный положительным направлением оси X с вертикальным следом аМг> плоскости М на пл. К Отсчитывается по ходу часовой стрелки.

Ы — линия пересечения ортоаксонометрической плоскости М с вспомогательной плоскостью Ъ01 перпендикулярной с следу аМ

ск— линия пересечения ортоаксонометрической плоскости М с вспомогательной плоскостью сОк перпендикулярной к следу аМл.

ш* — угол образованный ортоаксонометрической плоскостью М с горизонтальной плоскостью проекций Н.

<ьх, о)уио)г — углы образован, аксонометрическими осями координат (чер-3).

тх — ~ у ту — — и т* — —— масштабы искажений по координат-х у 2

ным осям,

В. Схема определения масштабов искажений и углов между аксонометрическими осями.

а) Выразим масштабы искажений по координатным осям через данные углы а и ¡3, для чего (черт. 1, 2 и 3)

1. Из прямоугольного треугольника сОк определим величину угла <»А,

2. Из прямоугольного треугольника Ю\0 определим длину перпендикуляра 001.

3. Решением трех прямоугольных треугольников а0\0, Ь0\0 и с0\0 выразим значение отрезков аксонометрических координат хи у\ и гх через отрезки прямоугольных координат х, у и г и углы а и

4. Определяем масштабы искажений координат делением отрезков аксонометрических координат на соответственные отрезки прямоугольных пространственных координат.

Ортоаксонометрическая плоскость М в работе »Проектирование на три плоскости* названа главной плоскостью проектируемой фигуры.

координатным осям, через углы « и р, для случая ортогонального проектирования:

т •,-

т-г

(в)

п\

• » • ■ • * \ /

......(8)

Полученные формулы (6), (/) и (8). для масштабов искажений по координатным осям, являются общими формулами для случая ортогонального проектирования.

Решением косоугольных треугольников ЬОхс, аОхс и аОф (черт. 3),

выразим значения углов между аксонометрическими осями через отрезки аксонометрических координат и отрезки прямых сЬ у ас и аЬ.

Сое

Соэ

С08

2ухгх

~~' ¿с, гх

2хху{

Аё)

Черт. 3.

Но из прямоугольных треугольников ЬОс, аОс и аОЬ, получаем:

аЬ- — х2

После подстановки в формулы значений сЬ2, ас2 и , находим:

Со$ 0),

г-

Сое о— СОБ то* =

2Ух гх 2хх гх 2ххух

или, после выражения значений координатных отрезков через масштабы искажений по координатным осям и углы а и р, получаем окончательжое выражение для углов между аксонометрическими осями в виде:

С08 шА-

(т

2mvmxtg*tg р

Сое о,. = +

■ • (9) . .(10)

аир связь между отрезками прямоугольных пространственных координат, решением двух прямоугольных треугольников аОЬ и аОс. ^ Решая названные треугольники, полу- ' ' чим: \

Оа х ^

откуда

х=—уСо£§* . . . . .'(с) 0-( V, , >

и \/С.сС}

^ = ± = (Р - 190о) = ^ У*

Оа х

или: /

ч * = ......{(I)

......(е) А//

и из равенств (С) и {й): Черт. 2.

г = ........... (/)

Вставив значение г из равенства значение хигиз равенств (с) и (/) и значение х из равенства (е) в формулу (2), получаем:

(Юг^х—^Ф—.........(2,)

. /ап'а+^р

001 —у Со5а^—.........(2.)

00, = г Ип«...........(2ж>

У^т*« + ф р

Из прямоугольных треугольников: а0\0, ЬО^О и с0\0 находим значение отрезков аксонометрических координат:

-*12 = (0\а)2 = (Оа)2 — (ОО,)2 — .V2 — (ОО,)3 У12 = (ОгЬУ = («ОЬУ - (ОО,)3 - (ОО,)3 г? = (О, су = (Ос)'2 — (ООО2 = г2 — (ОО,)2

или, после подстановки из форм. (2Л), (2?) и (2г) значения 00, и простых преобразований:

___ (3)

у.2 — у2 . ---Ц_Й-Ь_;. ....../4\

= _ + ......(5)

Разделив полученные выражения для л:,2, и г,2 соответственно на х2, .у2 и гг, получим следующие выражения для масштабов искажений по

угла в должно быть кратным 45°, Вставив полученное значение tg<x в общие формулы, находим для этого случая:

ГП\

1+^Р 1+2

(12)

1 +

Вторая группа класса диметрических проекций (черт. 6):

тх — Шг Ф ГПу

Приравняв ур. (6) и (8), находим: р — 1, т. е. для второй группы класса диметрических проекций при произвольном угле з, значение угла р должно быть кратным 45°. Вставив полученное значение tg$ в общие формулы» для этой группы находим:

/Ми2

1+ 2^2«

1+2 ¿?2<х

—-----------

Черт. 6. { &

Третья группа класса диметрических проекций (черт. 7):

Шу = т2 Ф тх

Приравняв ур. (7) и (8), находим: tg2a=tg2р, т. е. для третьей группы класса диметрических проекций должно быть р — а, или р — 180°+а. Вставив п- инятое значение углов а или р в общиеформу-лы,для этой группы находим: _

.(13)

Сое

(И)

2mxmytga

Последние формулы и будут являться общими формулами для определения углов между аксонометрическими осями при прямоугольном проектировании.

II. Классификация изображений.

Не трудно видеть, что при произвольных значениях углов « и р общие формулы (6), (7) и (8) дают различные значения масштабов искажений по координатным осям, то-есть получается:

тх / Шу ф тг

а такие неравенства, как известно, определяют собой, так называемые, триметрические проекции; следовательно общие формулы для масштабов искажений по координатным осям (6), (7) и (8), в то же время, являются формулами масштабов искажений по координатным осям для класса триметри-ческих проекций (черт, 4).

Для получения формул, выражающих масштабы искажений по координатным осям, для класса диметрических проекций, для которых два масштаба равны между соб^й и не равны третьему, совместным решением двух каких либо

Черт. 4.

уравнений (6), (7) и (8) ш подстановкою полученных значений углов а и р в третье, находим следующие выражения масштабов искажений по координатным осям для трех групп класса диметрических ортогональных проекций.

1-я группа класса диметрических проекций (черт. 5):

Черт. 5.

тх ~ Шу ф ш2

Приравняв ур. (6) и (7), находим: ^а=19 т. е. для первой группы класса диметрических проекций, при произвольном угле р, значение

Юб. сб. ТИИ. 6.

XVI. Выбор вида аксонометрического изображения.

Чтобы выбрать вид аксонометрического изображения, вернее установить для данного эпюра величину углов а и р, определяющих положение ортоаксонометрической плоскости относительно основных плоскостей проекций, надлежит исходить главным образом из условия достаточной наглядности получаемого на ортоаксонометрической плоскости изображения; необходимое же условие единообразности или простоты масштабов искажений по аксонометрическим осям в данном случае отпадает, так как построение изображения в ортоаксонометричёском эпюре не зависит от величины масштабов искажений.

Из рассмотрения аксонометрических изображений куба, на прилагаемых чертежах 4, 5, 6, 7 и 8, видно, что наименее наглядными из них являются изображения изометрического класса (черт. 8) и диметрического класса: группа 1-я (черт. 5) и группа 2-я (черт. 6), то-есть именно те, которые наиболее часто применяются, в силу простоты их построения, при раздельных, от ортогональных проекций чертежа, построениях. Остальные виды аксонометрических изображений: класс триметрических изображений (черт. 4) и 3. группа диметрического класса (черт. 7), как не трудно видеть из прилагаемых чертежей, обладают достаточной наглядностью, а следовательно их надлежало бы рекомендовать при построениях ортоаксоно-метрического эпюра, при чем последний вид (3-я группа диметрического класса), для которого оба следа ортоаксонометрической плоскости представляют одну прямую, как обладающий большею простотою построений, будет наиболее приемлемым.

или:

тх

2

2 +

= 1 + Р ^ ,........(15)

Сделав в форм. (6) (7) и (8) все масштабы равными, то есть положив тх — ту = т2, получим, так называемый, класс изометрических проекций

Черт. 8.

(черт. 8), значение углов аир для которого определится из равенств tg*a — \ и tg2p= 1, то-есть и се и р должны быть кратными 45°, а масштабы искажений по координатным осям будут равными:

т.* = | 3

т-

2 -