CC BY
24
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО* Том 67, вып. 2 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1951 г.'
НАЧАЛА МЕТОДА ЧИСЛОВЫХ ОТМЕТОК В ПРОСТЕЙШЕМ ВИДЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ *
П. А. МАСЛЕНИКОВ Назначение и сущность метода
Основным назначением метода проекций с числовыми отметками, является построение изображений пространственных форм на одной плоскости проекций и решение по полученным изображениям различных геометрических задач. К числу задач, разрешаемых этим методом мри его практическом использовании, надлежит отнести в первую очередь задачи построения изображений земной поверхности, поверхностных земляных сооружений и разработок, подземных выработок и решение задач, связанных с определением истинной величины различных геометрических форм по их искаженным изображениям.
Для того, чтобы уяснить сущность метода с числовыми отметками, представим себе плоскость проекций, совмещенной с некоторой горизонтальной плоскостью Н. Возьмем в пространстве некоторую точку Т, принадлежащую изображаемой форме, и параллельно наперед заданному направлению 5 спроектируем пространственную точку Т на плоскость проекций //„ Точка пересечения ¿прямой, проходящей параллельно заданному направлению 5 через пространственную точку Г, с плоскостью проекций Н будет являться изображением (проекцией) пространственной точки Т. Рядом с точкою Ь пишется число п9 выражающее возвышение или понижение изображаемой точки Т относительно плоскости проекций Н. Нетрудно видеть (фиг. 1), что по данной проекции известному направлению проектирования и данному числу п (отметка точки Т) возможно будеть восстановить пространственное положение точки Т.
Проекции системы прямоугольных осей
Вообразим себе систему пространственных прямоугольных осей ОА, 07 и 02Г. Пусть координатные, оси ОХ и ОТ будут находиться в горизонтальной плоскости проекций Н, а ось ОЕ будет перпендикулярна к ней.
Фиг. 3
Если проектировать параллельно заданному направлению 5 систему прямоугольных осей ОХ, ОУ и OZ на горизонтальную плоскость проекций Н (фиг. 2), то так как координатные оси ОХ и ОУ лежат, по условию, в плоскости проекций //, их изображениями, очевидно, будут являться сами координатные оси. Следовательно, отрезки, взятые на координатных осях ОХ и ОУ, будут изображаться в натуральную величину, то есть изображения этих отрезков не будут претерпевать искажения, а также не будут претерпевать искажения все отрезки прямых и углы между ними, лежащие в плоскости ХОУ или ей параллельной. Проекция же ОЕх координатной оси
г $/
\ 7
ОЕ, как нетрудно видеть из фиг. 2, с изображением координатной оси ОХ будет составлять в общем случае не прямой угол, а некоторый угол зависящий от угла, который образует заданное направление проектирования 5 с координатной осью ОХ. Из прямоугольного треугольника видно, что OZl = OZ cotg <р, то есть линейная величина изображения OZl отрезка пряной на оси OZ равняется истинной величине отрезка на оси OZ> помноженной на
котангенс угла, который образует направление проектирования с горизонтальной плоскостью проекций. Таким образом» котангенс угла ср служит масштабом искажения отрезков прямых, расположенных по оси 07. или ей параллельных.
Обозначив масштаб искажения по оси OZ через т7, то есть положит*
Фиг. 2
т.
со!д ср
и придавая различные значения углу ср, мы будем иметь различные значения масштаба искажения т?,
В общем случае, при 90° ф <р ф 45°, будут получаться так называемые косоугольные проекции простейшего вида диметрического класса, для которых масштабы по координатным осям ОХ и ОУ равны единице, а по оси ОЪ — т2 ф 1. При частных же значениях ср — 90° и ср := 45° для масштаба искажения тг по оси 01 будут значения тг =0 и тг — 1; в первом случае будет получена ортогональная проекция, во втором—косоугольная проекция простейшего вида изометрического класса.
Проекции точки
Если для некоторой пространственной точки Т даны ее прямоугольные координаты х, у и г, то построение ее изображения £ в проекциях с числовыми отметками в общем случае производится следующим образом. От изображение О, начала координат О откладываем по осям О, Х\ и■ОгУх отрезки Оха = х и 0%Ь=у\ из полученных точек а и Ь проводим прямые, параллельные осям ОхУх и ОхХх до пересечения их в точке ¿0; из точки ¿0 проводим прямую, параллельную оси ОхЕи длиною ¿¿ = 2г = тг. Полученная таким построением точка ( будет являться диметрической проекцией точки Т.
Поставив рядом с точкою Л число п = гу выражающее величину возвышения или понижения пространственной точки Т относительно плоскости ХОУ, которая попрежнему принимается лежащей в горизонтальной плоскости, получим проекцию с числовою отметкою ¿<Я) пространственной точки Т (фиг. 3).
Ч
/•«
/ | I
л*
—у-) £О
'/ I
¿Г
0(
£
А-<Ы /г
у
К
Фиг. 3
Нетрудно видеть, что для определения пространственного положение точки Т по ее проекции с числовой отметкой надлежит произвести точно такие же построения, но в обратном порядке.
Для построения же изображения точки в простейшем виде проеедш! изометрического класса (фиг. 4), вместо — откладываем от ^очкн ¿о на прямой ¿о^ неискаженную величину отметки г = п.
Проекции прямой
Проекция прямой в общем случае есть прямая, но в отлитие от ортогональных проекций с числовыми отметками, в которых длина пряного отрезка на проекции меньше или равна длине изображаемой прямой^ в данном виде проектирования изображение отрезка прямой может быть меньше, равно или больше изображаемого отрезка прямой. Так
как косоугольное и ортогональное проектирование относятся к одному роду проектирования (параллельному), то, следовательно, правила гра> дуировки прямой и определения взаимного положения точки с прямой к двух прямых в косоугольных параллельных проекциях с числовыми отметками будут точно такими же, что и при проектировании в ортогональных проекциях с числовыми отметками. Различие будет лишь в способе определения элементов залегания прямой (простирание а и падение о) и способе определения натуральной величины отрезка прямой по ее косоугольному изображению с числовыми отметками.
Так, если ит (фиг. 5) есть косоугольное изображение с числовыми отметками отрезка ТО некоторой прямой, у которой точка Г отстоит от плоскости ХОУ (горизонтальной) на расстоянии п единиц, а точка и — на расстоянии пг единиц и если еще пг^>п9 то для определения элементов залегания и натуральной величины этого отрезка надлежит:
1) из точки ит провести прямую ит ип, равную по длине разности (т — п) отметок крайних точек отрезка прямой и параллельную оси ^Ои
2) соединить прямой ип точки и ип\
3) из точки ип к прямой 1пип восстановить перпендикуляр ипм-п длиной, равной разности (т — п) отметок крайних точек отрезка;
4) соединить прямой точки /„ и и„'.
Длина прямой и будет выражать собою натуральную величину отрезка Т11\ угол при точке 1п между прямыми tnUn, и 1пип будет углом падения 8 прямой Ти, а угол, отсчитанный по ходу часовой стрелки от
положительного направления оси ОхХ1 до прямой ип(}Ь будет простиранием прямой а (за направление прямой принято направление в сторону ее падения).
Для построения прямой (фиг. 5), проходящей через данную точку Г, отстоящую от плоскости ХОУ на расстоянии в п единиц, по ее элементам залегания (простиранию а и падению 8) надлежит:
1) из точки tn провести прямую 1пип по данному простиранию а и прямую tnUn\ составляющую с проведенной угол
2) на прямой (пи'п от точки отложить отрезок, равный натуральной величине I отрезка прямой Т1]\
Фиг. 5
3) из точки ип' на прямую Ьпи,г опустить перпендикуляр ипгип\
4) из подошвы перпендикуляра ип провести прямую ип ит, параллельную оси 0\Ег, и отложить на ней отрезок (« — п) = ипип';
5) полученную таким построением точку ит соединить прямою с точкой Ьп; отрезок (пит и будет искомым изображением.
В том случае, когда длина отрезка прямой неизвестна, построений косоугольной проекции с числовыми отметками для прямой Г£/, проходящей через данную точку Т, производится по элементам залегания (а и £), этой прямой только что описанным способом, но с тем отличием, что на прямой и^п откладывается от точки не данная длина отрезка, а произвольная длина ¿, которая позволит найти вторую произвольную точку прямой Ти и ее отметку.
Приведенные правила построения и определения элементов залегания прямой относятся к проекциям изометрического класса; если же проекция будет диметрическая, то расстояние между точками ит и ип надлежит брать равным тг(т — п).
Проекция плоскости
Если придерживаться принятого способа изображения плоскости в виде горизонталей, то для построения их косоугольного параллельного изображения с числовыми отметками по данным элементам залегания плоскости: падению и простиранию при условии, что плоскость проходит через некоторую точку пространства Т, отстоящую от плоскости ХОУ на расстоянии п единиц, поступают так. Через проекцию точки Г (фиг. 6)
Фиг. 6
проводят прямую составляющую с положительным направлением оси 0\Х 1 данный угол ар, и прямую Ьп и (линия падения), составляющую в пространстве с плоскостью ХОУ угол и имеющую азимут простирания равный 0^-^-90°. Затем, проградуировав прямую tn и, проводят через полученные точки делений п— 1, п — 2, п — 3 и т.д. прямые, являющиеся косоугольными изображениями горизонталей плоскости, параллельно проведенной линий ЬпЪп-
Построенные в косоугольной проекции горизонтали плоскости вполне определяют ее пространственное положение. И верно, если прямые tnvnf ¿я-и »я + ь tn + 2 ^л+з... являются изображением в косоугольной проекции
горизонталей плоскости (фиг. 7), то для определения простирания достаточно будет измерить угол, образованный этими горизонталями с положи-, тельным направлением оси ОхХи Для определения угла падения из ка-кой-либо точки ¿я+г некоторой горизонтали + 2 * параллельно оси проводим прямую кп+ч кп+и длина которой .5 равна разности отметок двух смежных горизонталей (в данном случае 5=1). Из полученной точки бд-н, имеющей отметку на единицу меньшую, чем отметка взятой точки кп +2, опускаем на горизонталь я'л+ь перпендикуляр кп+\ рп+и Так
как отрезок кп+\ рп + \ лежит в горизонтальной плоскости, то, следовательно , на проекции он выражает натуральную величину заложения отрезка длиной /, у которого разность отметок равна единице. Восстановив наконец из точки ка +1 к прямой кп+\рп+\ перпендикуляр кп + \ Яп+\> длина которого равна единице, соединяем полученную точку дп-\-\ с точ-.
Фиг. 7
коюрн^х прямой Цп+гРп+и Угол при точке Рп+и образованный прямыми Рп+х Яп+\ и Рп + г кп+и и будет искомым углом падения плоскости
Все остальные задачи, как-то: построение плоскости 1) по данным трем точкам, не лежащим на одной прямой; 2) прямой и точке, не лежащей на этой прямой; 3) двум параллельным прямым; 4) двум пересекающимся прямым; определение взаимного положения плоскостей; построение линии пересечения плоскостей; определение точки встречи прямой с плоскостью и т. д., кроме перпендикулярных плоскостей и линий,—решаются точно так же, как и в ортогональных проекциях с числовыми отметками.
Построение горизонталей плоскости и определение ее элементов залегания в данном случае производилось в изометрических проекциях; в том случае, если эти задачи потребуется решать в диметрических проекциях, надлежит учитывать искажения по оси ОЕ так же, как и при решении задач на прямую.
Построение перпендикуляра к плоскости
Представляем себе в косоугольной проекции плоскость, заданную горизонталями ип'Опъ ип+\Уп+и ип+2 Vn + 2 и т. д., и точку лежащую вне этой плоскости (фиг. 8).
Если из точки и опустить на горизонталь и„уп перпендикуляр 1пк,и то отвечающая ему линия в пространстве ТК будет также перпендикулярна к соответствующей горизонтали плоскости в пространстве, так как
горизонтальные прямые ¿я кп и ипъп проектируются в данном случае без .искажения. Угол падения перпендикуляра к плоскости будет равен дополнению до 90° к углу падения плоскости, то есть, если угол падения пло-
скости есть V то угол падения перпендикуляра к плоскости должен быть равным 90° — 8, (фиг. 9).
Для того, чтобы провести перпендикуляр к плоскости, встречающий плоскость в данной точке кп, как нетрудно видеть из фиг. 9, нужно
точку tn поднять по оси OZ на высоту Д.г, определяющуюся формулою
kz = /0 tg (90° — Ьр),
где /0 есть заложение перпендикуляра, равное длине прямой tnkn.
На проекции это поднятие выразится перемещением точки tn (фиг. 8) на величину mz Дz, если проекция димет-рическая, и &z, если проекция изометрическая, по прямой, проходящей через эту точку параллельно оси ZxOi.
После приведенных рассуждений нетрудно будет вывести и соответствующее правило для построения перпендикуляра к плоскости в простейшем виде параллельных проекций диметрического и изометрического классов с числовыми отметками.
Итак, если требуется через точку гт провести перпендикуляр к плоскости, заданной горизонталями tin vn, ип-\ vn-u ип-2 и т. дм надлежит (фиг. 10):
1) провести через точку гт параллельно оси OxZx прямую rm tn, длина которой равна произведению масштаба искажения mz на разность отметок (п—-т) данной точки и какой-либо из горизонталей плоскости;
2) из полученной точки 1п опустить на горизонталь ипуп перпендикуляр tnkn и измерить его величину /0;
3) определить угол падения плоскости 8Р;
4) отложить от точки и в направлении от (п к гт отрезок и—
где Де = (90° — Ьр)\
5) соединить прямой точки гп~ ^ и кп\
6) параллельно прямой гп~икп через точку гт провести прямую гтц\. которая и будет выражать собою перпендикуляр к плоскости, проведен ной через точку гт.
Вместо вычисления величины Дг для случая изометрической проекции можно будет воспользоваться таким графическим определением ее. При точке кп прямой 1пкп построим прямую кпг'псоставляющую с прямой Ьпкп угол 90° — а из точки восстанавливаем к прямой кп перпендикуляр; построенный таким образом прямоугольный треугольник ¿пкпг'„-А2 будет иметь один катет равным /0, а другой равным
искомой величине Дг.
Для определения натуральной величины плоских фигур, как известно, наиболее пригодным является способ совмещения плоскости, включающей данную фигуру, с горизонтальной или другой какой-либо плоскостью проекций.
В данном случае, для того чтобы получить натуральную величину фигуры, совмещение придется производить с горизонтальною плоскостью, так как плоскость проекций параллельного проектирования выбрана нами параллельно горизонтальной плоскости.
Под совмещением плоскости обыкновенно понимается вращение ее вокруг одной из горизонталей до совмещения с горизонтальной плоскостью, проходящей через горизонталь, служащую осью вращения. Так как горизонтали плоскости являются горизонтальными прямыми и в то же время параллельными между собой, то следовательно, при параллельном проектировании они изобразятся также параллельными прямыми. При вращении плоскости вокруг одной из горизонталей последняя будет оставаться все время на одном месте, а все прочие горизонтали плоскости будут перемещаться параллельно самим себе.
Фиг. 10
Совмещение
Итак, в совмещенном положении горизонтали плоскости остаются параллельными первоначальному своему положению, но расстояния между ними будут, очевидно, иными; так, если 1Х есть расстояние между двумя смежными горизонталями на проекции/ то при совмещенном положении ■^ти горизонтали должны отстоять друг от друга на величину /, равную
расстоянию между двумя смежными горизонталями в натуре, а следовательно, при совмещении плоскости надлежит прежде всего определить величину /.
Пусть плоскость (фиг, 11) задана своими горизонталями п*Ок+п,
'-Цд + 2я и т. д., и требуется ее совместить с горизонтальной плоско-
стью, проходящей через горизонталь
Для этого выбираем на горизонтали пУк + п некоторую точку ^ + п к через нее параллельно оси проводим прямую п длина которой равна разности отметок двух смежных горизонталей (в данном случае длина
Фиг. 12
эта в натуре цавна п, а на проекции—тгп, если она диметрическдя, и п, если проекция изометрическая). Из полученной точки на грризрнталь Uk Vfc опускаем перпендикуляр ¿¿гл, от подошвы которого г* откладываем на горизонтали отрезок длиной гпгп = гкдк. Расстояние между точ-
ками tk и Цн будет выражать собою натуральную величину I расстояния между двумя смежными горизонталями. Восстановив из точки qu к горизонтали UkVk перпендикуляр, откладываем на последнем равные отрезки/ я через полученные точки делений qk+n, дь+ъп и т. д. проводим прямые, параллельные оси вращения, которые и будут выражать собою совмещенное положение горизонталей плоскости.
Пример. Требуется определить натуральную величину угла между двумя прямыми ас и Ъс (фиг. 12).
Решение. Проградуировав данные прямые, проводим горизонтали плоскости. Совмещаем плоскость угла вращением вокруг горизонтали, проходящей через точку с. Из точек а и b проводим перпендикулярные линии к горизонталям до встречи в точках а0 и bQ с совмещенным положением горизонталей, имеющим отметки, равные отметкам точек а п Ь* Соединяем прямыми точки а0 и Ь0 с точкою с. Измеряем угол w пр^ точке с между прямыми са0 и с&0. Угол w и будет искомым.
Заключение
Как видно из приведенных основных примеров на решение различных геометрических задач и построение изображения с числовыми отметками при параллельном проектировании в простейшем виде диметрнческого и изометрического классов, большинство задач разрешается точно так же, как и в случае применения метода с числовыми отметками в ортогональных проекциях. Различие приведенного метода с числовыми отметками с методом числовых отметок в ортогональных проекциях возникает лишь при определении натуральной величины искаженных форм, причем и в этом случае окончательные операции для решения данных задач тождественны методу числовых отметок в ортогональных проекциях.
Сравнивая приведенный метод с методом числовых отметок в ортогональных проекциях, нетрудно видеть, что при построении изображения в простейшем виде проекций диметрнческого и изометрического классов прежде всего строится ортогональная проекция изображаемой пространственной формы, а затем по полученной ортогональной проекции строится параллельная диметрическая или изометрическая проекция. Наоборот, при определении натуральной величины формы по ее параллельной проекции прежде всего делается переход к ортогональному изображению формы, а затем по полученной ортогональной проекции определяется искомая натуральная величина.
Нетрудно видеть, что проекции простейшего вида и диметрнческого и изометрического классов при масштабе искажений по координатной оси ОгГ, равном нулю, то есть при т2 = 0, обращаются в ортогональные проекции, а, следовательно, метод числовых отметок в ортогональных проекциях является частным случаем приведенного в настоящей работе.
Существующий взгляд на аксонометрические изображения пространственных форм, как на дорогостоящие, не позволяющие решать метриче-.ские задачи, объясняется в первую очередь отсутствием удобного для них метода, позволяющего по аксонометрическому изображению быстро определять размеры и взаимное расположение спроектированных форм.
Предлагаемый в настоящей работе метод числовых отметок в аксонометрических изображениях разрешает все основные метрические задачи, а, следовательно, он может быть- применен при построении наглядных аксонометрических изображений.
Основной областью, в которой этот метод может быть использован, является картирование разработок полезных ископаемых и в особенности мощных и крутопадающих месторождений. План разработок полезных
ископаемых, построенный в аксонометрическом изображении на горизонтальную плоскость с числовыми отметками, будет удобоизмеряемым и достаточно наглядным. При этом следует учесть, что предлагаемый автором метод предполагает косоугольное параллельное проектирование на горизонтальную плоскость проекций, то есть такое проектирование, которое не будет искажать горизонтальных проложений длин выработок, горизонтальных проложений длин сторон и горизонтальных углов прокладываемых полигонов. Поэтому подобные аксонометрические изображения разработок полезных ископаемых будут являться не дорогостоящим придатком к существующему ортогональному изображению (плану), а основным планом, так как для его построения и пополнения не требуется особых вычислений. Горизонтальные проложения линий и измеренные горизонтальные углы строятся на таком плане обыкновенными способами при помощи масштабной линейки и транспортира, причем дирекционные углы сохраняют свою величину. При построении аксонометрического плана разработок с готового ортогонального может быть применен пантограф.
