Упрощенный Аксонограф Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА.

1966

Том 143

УПРОЩЕННЫЙ АКСОНОГРАФ

Б. А. МАШУКОВ, Л. С. СКРИПОВ

(Представлена .научным семинаром кафедры начертательной геометрии и графики).

За период с 1940 по 1961 гг. было предложено довольно много конструкций приборов для механического построения аксонометрических изображений, так называемых «аксонографов». Все они теоретически построены правильно, .но имеют довольно сложную конструкцию, которая, пожалуй, и явилась препятствием к их широкому распространению в чертежной практике. Некоторые конструкции аксонографов ■строят аксонометрические изображения с точным учетом коэффициентов искажения по аксонометрическим осям 'и, следовательно, дают изображения, ло которым затруднительно определять размеры предмета в натуре. Естественно, возникает мысль создания аксонографа, который при простоте конструкции мог бы строить аксонометрические изображения в масштабах, рекомендуемых Общесоюзными Стандартами чертежей в машиностроении.

В настоящей статье предлагается конструкция упрощенного аксонографа, теория которого разработана доц. Л. С. Скриповым, а внешнее оформление и исследование выполнены ассистентом кафедры начертательной геометрии и графики Б. А. Машуковым.

Конструкция полученного прибора оказалась аналогичной конструкции, предложенной сотрудником Сибирского металлургического института Н. Д. Бирючевски-м в его статье «Проективная теория приборов для вычерчивания перспективных и аксонометрических изображений». Однако авторы настоящей статьи построили свой прибор на основании иных теоретических рассуждений, независимо от Н. Д. Бирючев-ского, и провели более глубокое исследование в применении к задачам практики, чего в статье Н. Д. Бирючевского не имеется.

Схема предлагаемого »прибора и теория его работы представлена на фиг. 1 при проектировании простейшего геометрического тела—куба. В левой части чертежа изображены фронтальная и горизонтальная проекции куба 12345678. Горизонтальные линии представляют собой борты чертежной доски, по которым скользят горизонтальные линейки / и //. К линейке — движку II на шарнирах прикреплены наклонные линейки IV и VI, могущие передвигаться только одновременно и закрепляться на движ^ке на разных расстояниях друг от друга. К нижней линейке— движку I на шарнирах прикреплены наклонные линейки III и V, которые могут передвигаться только одновременно. Углы наклона линеек ф0, *фо, <рз, "фз могут иметь различные значения в зависимости от строящегося аксонометрического изображения.

Левые линейки III и IV ставятся на горизонтальную и фронтальную проекции какой-либо точки, а правые линейки V и VI должны пересекаться в точке, показывающей ее аксонометрическую проекцию. 20

Таким образом обходятся все точки проекции данного объекта и получаются их аксонометрические изображения, которые соединяются затем соответствующими прямыми или кривыми линиями с учетом видимости их на 'проекциях.

На фиг. I ребра куба расположены параллельно координатным осям: ребро 1—4 параллельно оси ОХ, ребро 1—2 — параллельно оси ОУ и ребро 1—5 — параллельно оси 01 и обозначены буквами А, В, С.

Предположим, что эти ребра ©проектируются в величины Аи Ви Сь тогда коэффициенты искажения по аксонометрическим осям будут выражаться отношениями

„

Т=/7' с

ß< „ ~в=ч'

= Г.

Фиг.

Так как /предлагаемый прибор спроектирован для построения только прямоугольной аксонометрии (изометрии и диметрии) -и фронтальной косоугольной диметрии, то коэффициенты ^искажения должны иметь величины (по ГОСТу)

для изометрии р = 1, q = для диметрии р = 1, q =

1, Г=1, 1

— , Г = . 2

для фронтальной диметрии/? = 1, q = — , г = 1.

2

Так во всех этих случаях коэффициент р= 1, то ребро куба 1—4 (А) должно проектироваться в аксонометрии без искажения. Следовательно, если линейку III (передвинуть на величину а = А, то линейка V должна передвинуться тоже на величину а = А = Ах и тогда получается

А

А

= р= I.

(1)

При установке линеек III и IV на точки 2 и 5 — точки закрепления их 'на движках I к II переместятся на величины b и с. Тогда из треугольников 1—2—9 и 1—5—10 можно получить

Ъ = ß-ctgepo и с = С. ctgefv (2)

Установим зависимость между углами наклона линеек-движков к линейкам III, IV, V, VI, т. е. углами ф0, Фз, я|?з при условии, что ребра куба В и С в аксонометрии лолучат 'величины В\ и Сь

Из треугольника 1—2—11 (правый чертеж) имеем b В Ъ

или

sin {180° — (срз + Ь)} sin <р3 sin (ср3 ВI sin ср3

Фз)

В, q-B

а так так-= а, то -—

В b

имеем

q.B

sm ср3

sin (сРз+Фз) sin срз sin (<Рз + ф3)

я

или из выражения (2)

, или

sin ср3

£-ctgcpo sin (ср3 + ctg?0

Из треугольника 1—5—12 имеем

с

sin (срз + Ф3;

(3)

с I

sin {180° — (?3 + Ф3)} sin^3

или

или

с

С{

Sin (<р3 4- ф3) Stn Фз

с = Sin (ср3 + ф3) С-г sin

Принимая во внимание выражение (2), имеем

C-ctg^o sin (<р3 + фз) мпи ctg4>0 sin (уз + ф3)

—-— -:—--, или - = -:--- , (4)

С-г sm ф3 г sm фз

Определяем величины углов ф0, ifo, фз, "фз для (Получения изометрии, диметрии и фронтальной диметр и,и.

1. Изометрия. Принимаем коэффициент 'искажения равным

р = q — г = 1.

На основании принятого выше условия, что в изометрии ребро куба 1—4 = А должно расположиться горизонтально, изометрическое изображение куба будет повернутым по часовой стрелке на угол 30° и примет вид, представленный на фиг. 2. Тоща ¡зависимость .между углами будет следующей:

180° — (ср3 + ф3) + <рз = 120°,

или

60°-<р8-фз + ?з = 0 и фз = 60°. (5)

Так как угол между ребрами В\ и С\ в изометрии равен 60°, то

Фиг. 2 180° — (<Рз + фз) = 60°,

или

180° - - 60° = 60° и ср3 - 60°. (6)

Из равенства (3) имеем Ctg То

sin (<р3 + Фз)

Sin <Рз

ч*

или

sin 120° « /3-2 Ctg То - , АПо -1 = у • 1 - 1,

sin 60° 2-1^3

следовательно,

То = 45°.

Из выражения (4) имеем

•ctg 4,,= sln + -Sin ']>з

следовательно,

% = 45°.

sin 120е sin 60°

1 = 1,

(8)

2. Диметрия. Принимаем коэффициенты равными р = v = 1, q = — .

2

На основании предыдущего ребро куба 1—4 = А в диметрии располагаем также горизонтально. Тоща диметрическое изображение куба окажется повернутым по часовой стрелке на угол 7 и примет вид, показанный на фиг. 3. Тогда зависимость м"ежду углами будет следующая:

180° — (<ps + ф3) + <Рз = 131 °25', или

48°35' - (?8 + ф8) + ?з = 0,

или

48°35' - ф3 - <|>8 + Ф3 = 0

(9)

и = 48°35'.

Так как угол в диметрии равен

180° - (ср3 + ф3) = 48°35', то

180°- ср3 — фз = 48°35' и ср3 =

или

ерз = 180° - 48°35' - 48°35' - 82°50' На основании равенства (3) имеем

sin (ср3 4-sin ®з

или

sin (48°35' + 82°50') _ J_ _ sin (180° - 131°25')

2

180е

Фиг. 3

- фз - 48°35', ср3 = 82°50'.

О) (Ю)

CtgcPo

9.

Ctg <?о =

sin 82°50' sin 48°35'

0,75

откуда

Из выражения (4) имеем

2-sin 82°50' 2-0,992 То = 69°20'.

sin 82°50-2 0,378,

(И)

ctg ф0 = откуда

sin (ср3 + фз)

sin ср3

г=

sin 131 °25'

sin 48°35' Фо = 45°.

1 =

sin 48°35/ sin 48°35'

1 = 1,

z,

3. Фронтальная диметрия. Принимаем коэффициенты искажения

1

равными р = г == 1, ^ = — .

2

На основании прежних рассуждений ребро жуба 1—4 = А будет расположено во фронтальной диметрии горизонтально согласно фиг. 4.

Тогда зависимость между углами наклона линеек будет следующая:

То = 90°, (13)

180°-(с?з + Фз) + % = 45°,

или

180° - 90° -+90° = 45°, откуда

фз = 45°. (14)

На основании выражения (3) имеем

4 7,

\ 5. \

С,

X, з, 0,

5ч Г 1

/л

8,

А /♦*'

ctg <Ро откуда

Фиг. 4

sin (tp3 + ф3) sintp3

sin 135' sin 90°

у 2 ■ 1

2.1.2

0,3535,

<?o = 70°35'.

(15)

Из выражения (4) имеем

sin 135е

, , sin (ср, + ф3)

ctg60 = --1— -Г =

•1

cos 45'

sin ф;

откуда

sin 45° Фо = 45°.

sin 45е

1 =

V2

V2=1'

(16)

Таким образом величины углов наклона линеек к движкам можно свести в следующую таблицу:

'<Ро ¥з Фз

Изометрия ...... 45° 45° 60° 60°

Диметрия ..... * 69с20' 45° 82°50' 48°35'

Фронтальная диметрия 70°30' 45° 90° 45°

На основании изложенных теоретических рассуждений создана конструкция упрощенного аксонографа, показанная на фиг. 5.

Аксонограф состоит из двух горизонтальных линеек / и II, могущих перемещаться горизонтально по направляющим линейкам М и N, устанавливаемым на чертежной доске в соответствующем месте при помощи иголок или остриев на концах их. К движкам прикрепляются на винтах 1, 2, 3, 4 линейки III, IV, V, VI, которые, вращаясь на винтах, могут устанавливаться под требуемыми углами ф0, г|)о, фз, tyз по отношению к движкам I и II. Винты 1, 2, 3, 4 могут, в свою очередь, перемещаться горизонтально в пазах движков М и N и тем 'самым допускать различные взаимные положения линеек III и V, IV и VI в зависимости от того, где будет строиться аксонометрическое изображение предмета. На фиг. 5 показана установка прибора для построения прямоугольной

диметрии гайки. Линейки III и IV установлены соответственно на горизонтальной и вертикальной проекциях точки 8 (8,8') ребра гайки 7—8, тогда в пересечении линеек V и VI отмечается диметрическая проекция этой точки 8 >и даже возможно вычертить в диметрии направление всего ребра гайки 7—8 вдоль ребра линейки V.

Фиг. 5

При помощи ,прибора, показанного на фиг. 5, построена изометрия куба —• фиг. 6. На горизонтальных положениях движков / и II отмечены цифрами положения линеек III, IV, V, VI для ■построения изометрических изображений соот-¡ветствующих вершин куба. Наклонные линейки ¡расположены по отношению к движкам под углами

То =45°, = 45°,

¥з = 60°, ф3 = 60°.

На фиг. 7 показана диметрическая проекция того же куба. В этом случае углы наклона линеек ///, IV, V, VI приняты равными

<Ро = 69°20', Фо = 45°,

Фиг. 6

Тз = 82°50', ф3 = 48°35/.

На фиг. 8 показано построение фронтальной диметрии куба. Углы наклона линеек III, IV, V, VI приняты равными

«р0 = 70°35', фо = 45°, ср3 = 90°,

Фз = 45°.

Фиг. 7

Фиг. 8

Фиг. 9

26 15 37 48

26 15 31 4 8

Фиг. 10

Если изменить наклон линеек III, IV, V, VI в левую сторону от вертикальной линии чертежа и принять ¡правый наклон положительным, а в левую сторону — отрицательным, то такая перемена наклона будет равносильна перемене направления проектирования на аксонометрическую 'Плоскость вместо правой в левую сторону. Такая перемена углов показана на фиг. 9, где построена диметрия куба.

Если сделать один из углов, (например, отрицательным, но равным 45°, то 'куб является как бы перевернутым (фиг. 10). Лучи зрения будут направлены по стрелкам, показанным на линиях III и IV. Куб будет рассматриваться снизу с вершины 7.

Если изменить угол фо на отрицательный, но разный, по-прежнему фо = 69°20', то куб будет рассматриваться по направлению луча зрения, направленного со стороны вершины 4 снизу вверх.

Если изменить только оба наклона линеек III и IV, т. е. Фо и я|)0 на отрицательные, но значение оставить ф0—69°2<У и -фо — 45°, следовательно, направления лучей зрения со стороны вершины слева направо, то куб будет рассматриваться в перевернутом положении.

Если углы наклона ф0 и i|)0 оставить (положительными ¡и равными фО = 69°20', -ф0 = 45°, а углы ф3 и заменить отрицательными, но по величине равными ф3 = 82°50' и грз = 48°35', то куб будет рассматриваться со стороны вершины 3 слева направо.

Если углы ф3 = 82°50/ и г|)3 = 48°35' оставить отрицательными, углу .ф0 — 69°20' придать тоже отрицательное направление, а угол г|)0 = 45° оставить положительным, то куб будет рассматриваться в перевернутом виде сзади слева направо.

Если углы фз = 82°50/1и г|)3 = 48°35/ оставить отрицательными, угол фо — 69°2(У оставить положительным, а угол i|30 = 45° поменять на отрицательный, то изображение куба будет представлено как вид со стороны вершины 1 снизу вверх слева направо.

Возможна еще перемена мест линеек III и IV, V и VI и вместе с ними и углов наклона ф0 и я|>0, фз и Если переставить линейку III на верхний движок II под углом ф0=69°20', а линейку IV перенести на движок / под углом г|)0 = 45°, то же самое проделать и с линейками V и VI, расположив их под углами ф3 = 82°50/ и ф3 = 48с35' к движкам, то куб будет (проектироваться со стороны вершины 5 слева направо в наклонном к зрителю положении.

К сожалению, ограниченный объем статьи не позволяет привести рисунки перечисленных вариантов изображений.

Такие же изменения ib положении линеек можно (произвести и при фронтальной диметрии. Однако приведенных примеров с кубом достаточно для того, чтобы отметить универсальность предложенной конструкции, позволяющей строить механическим путем аксонометрические изображения объекта с разных точек зрения и притом с 'коэффициентами искажения, рекомендованными ГОСТом 3453—59 для изометрии, диметрии и фронтальной диметрии: 1:1:1,1:1/2:1,1:1/2:1.

В качестве применения аксонографа на фиг. 11 представлено изображение шара с трехгранным вырезом. Для выполнения такого

изображения »сначала намечены на горизонтальной и вертикальной проекциях точки, принадлежащие линиям выреза в количестве 15, затем установлены линейки прибора под углами ф0 — 69°20/, 1|?о = 45°, ф3 = 82°50', ^з = 48°35/ (фиг. 5) -и найдены аксонометрические проекции всех точек с помощью ¡прибора. На построение такого изображения было затрачено 15 1минут, считая в том числе и обводку.

Следует заметить, что ось 0\Х\ в диметрии получается повернутой по часовой стрелке на 7°, что, .конечно, не изменяет качества 'полученного изображения. Для сохранения обычного положения оси 0\Х\, наклоненной к горизонтальной линии под углом 7° вниз, можно рекомендовать (строить диметрию (или вообще всякую аксонометрию) на отдельном чертежном листе, приколотом на чертежной доске рядом с данными ортогональными проекциями и повернутом по часовой ■стрелке на 7° своей левой стороной. При таком положении листа ось 0\Хх примет обычное положение относительно нижней его стороны.

На фиг. 12 показано построение в диметрии пирамиды с вырезом, причем на фиг. 13 углы для линеек III и IV взяты отрицательными. Для построения такой фигуры потребовалось всего 10 минут при безошибочном построении изображения. На фиг. 14 выполнено построение диметрической аксонометрии технической детали по данным ее проекциям. Для выполнения фиг. 14 потребовалось 25 минут. При обычном построении такого изображения затратилось бы значительно больше времени при возможных и неизбежных ошибках в сложных фигурах,, особенно в построении линий пересечения криволинейных поверхностей.

Укажем еще одну особенность предложенной конструкции, а именно возможность строить вертикальную и горизонтальную проекции объекта по его аксонометрическому изображению. Покажем на фиг. 15< это построение.

Предположим, что дано изображение куба в прямоугольной диметрии и для построения ортогональных проекций его поступаем следующим образом. Прибор устанавливаем на чертеже, как уже описывалось ранее; линейки III, IV, V, VI устанавливаем под требуемыми углами Фо, "фо, Фз, фз к движкам / и II, как при построении диметрии. Затем линейки V и VI ставим на диметрическую проекцию какой-либо точки, например, 1 и около ребра линейки III отмечаем точку 1 в любом ее месте и по ребру линейки IV на вертикальной линии от 1 отмечаем вертикальную проекцию точки Г. Линейка VI передвигается затем в точ-28

Фиг. 11

Фиг. 12

Фиг. 14

ку 5 и ка той же вертикальной линии, где расположилась точка 1, отмечаем по ребру линейки точку 5'. Таким образом обходятся все точки куба и определяются их горизонтальные и вертикальные проекции, которые соединяются прямыми линиями. Конечно, взаимное расположение горизонтальных и вертикальных проекций точек на линиях связи возможно отмечать только на миллиметровой бумаге или же на стеклянном столе с такой миллиметровой сеткой, подсвечиваемой снизу, или же при наличии еще вертикальной тонкой металлической линейки, которая может перемещаться под линейками III и IV только в горизонтальном направлении, оставаясь параллельной самой себе.

Обращение с прибором крайне просто и легко осваивается лицами, даже не знакомыми с теорией аксонометрии. Такой прибор можно рекомендовать студентам при выполнении работ на построение аксонометрии, что и осуществляется в Томском политехническом институте.

Порядок пользования прибором можно рекомендовать следующий:

]. Приколоть чертеж (в двух проекциях) к чертежной доске таким образом, чтобы ось ОХ была параллельна нижнему краю доски.

2. Приколоть лист бумаги для построения аксонометрической проекции так, чтобы левый край листа был повернут по часовой стрелке при изометрии на 30°, а при диметрии на 7°. Тогда аксонометрическое изображение предмета примет обычное нормальное положение относительно обрезов листа.

3. Настроить прибор, установить линейки под необходимыми углами к движкам, что легко осуществляется построением этих углов на поле чертежа с помощью транспортира и по ним располагаются наклоны линеек. Расстояния между линейками III и V, IV и VI выбираются в зависимости от места расположения аксонометрического изображения.

4. На бумаге для аксонометрии строятся сначала аксонометрические оси 0\Х{, 0\Уи 1 и проверяется положение всех основных точек будущего изображения — крайней левой, крайней правой, самой нижней и самой верхней для уверенности в возможности уместить аксонометрию на данном листе бумаги.

5. После указанного можно приступить к построению аксонометрии отдельных точек объекта прибором, конечно, предварительно наметив ряд точек в ¡заданных проекциях.

Фиг. 15

ИСПРАВЛЕНИЯ И ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Стр. Строки Фиг. Напечатано Следует читать

сверху снизу

21 1

нижн. 1

угол

слева Ъ То

23 14 — —48й35'(9) —48°35-

36 1 — f>n />А

36 - 15 — фиг. 2 фиг. 1

42 1 — PACD РАЭО

42 t 2 — GL вт

56 19 — ТПИ ГПИ

58 24 - —, не собственную несобственную

точку. точку.

58 28—29 - —- (прямого кругового) прямого кругового

60 8 -— — ММ и КК, ММ1 и КК,

60 9 — КК КК1

G0 10 — к'ку). К К

60 18 — вертикальной фронтально!!

61 7 —. вертикальной фронтальной

66 <6 —

68 19 - — Формула Формулы

68 6 — - = az = 4 ах

73 6 - — Ъ\0) Ьк (0)

76 7 - 2,0 1,0