CC BY
15
УДК 537.311.33
ОРТО-ПАРА РАСЩЕПЛЕНИЕ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ ЭКСИТОНА В СИЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Н. М. Вильданов1, А. П. Силин
В двухзонной модели Дирака проведено исследование спектров экситонов в массивном полупроводнике в сильных магнитных полях. Получено выражение для энергии орто-пара расщепления основного состояния.
Расчеты энергии связи экситона - как аналитические, так и численные - проведены для всевозможных полупроводниковых структур и хорошо известны [1-5]. Однако до сих пор отсутствует исследование зависимости энергии связи экситона от величины энергетической щели (орто-пара расщепление) при наложении сильного магнитного поля. Это связано с тем, что обычно отношение энергии связи экситона к энергетической щели мало и маскируется другими эффектами, такими, например, как анизотропия энергетических зон, дисперсия диэлектрической проницаемости и т.п. Поэтому представляет большой интерес исследование орто-пара расщепления основного состояния экситона, вызванного конечностью энергетической щели, при наложении сильного магнитного поля. Это связано с возможной сверхтекучестью экситонов в сильном магнитном поле [6].
В настоящей работе рассматриваются узкощелевые полупроводники с изотропными энергетическими зонами и постоянной изотропной диэлектрической проницаемостью в сильных магнитных полях. В этом случае носители тока описываются уравнением Дирака [7, 8]:
д
¡п—гр = (иар + 0£)ф. (1)
е
Здесь и далее а, /3 - матрицы Дирака; р = — г^У--Аех; Аех - внешнее электромагнит-
с
ное поле; Д = Ед/2 - полуширина запрещенной зоны; гр - огибающая волновой функции
Московский физико-технический институт.
номер 12, 2007 г.
Краткие сообщения по физике ФИ АН
электрона; v - кейновский матричный элемент (квазискорость света); v = ^/Д/те << с; с - скорость света в вакууме; те - эффективная масса электрона (в этой модели масса электрона равна массе дырки те = т/,). Магнитные поля Н будем считать такими, что расстояние между уровнями Ландау ehH/те^с существенно превосходит характерную
энергию кулоновского взаимодействия (энергию связи экситона в отсутствие магнитно-
^ те4 т2е3с
го поля) Ех — 2, т.е. Я >> Нс = ——3-. Здесь m = mem^/(me + rn^), h - постоянная
^С/ IL С* 1 и
Планка, е - заряд электрона; е - статическая диэлектрическая проницаемость. Характерные магнитные поля Нс могут изменяться в пределах 104 — 107 Э в зависимости от используемого полупроводника.
Задача нахождения тонкой структуры основного состояния экситона в узкощелевом полупроводнике во многом аналогична задаче о тонкой структуре позитрония [9]. Отличие состоит в том как включается взаимодействие в свободное уравнение Дирака [4, 5]. В квантовой электродинамике слагаемое, отвечающее взаимодействию с электромагнитным полем, имеет следующий вид [9]:
v = -j ¿,(г)А"(г) А. (2)
л А — А А А А
Здесь = (07^) - оператор плотности тока, -ф — , Aß = (Ф,А) - оператор электромагнитного поля, 7м = (7°,7) - матрицы Дирака, по четырехкомпонентному
индексу делается свертка. В узкощелевых полупроводниках из-за наличия двух харак-
й v терных констант размерности скорости оператор тока содержит коэффициент — перед
с
векторной частью (см. [4, 5])
А. А <у А_ А
7м = (ЛЛ = (Ф^Ф, -Ф^Ф),
с
и слагаемое, отвечающее взаимодействию с электромагнитным полем, выглядит иначе
V — е J ф*(т)ф(г)Ф(г)с13г J ф(г)^ф(г)А(г)с13г. (3)
При выводе (3) мы использовали требование градиентной инвариантности получаемого уравнения. Поскольку в полупроводниках всегда v << с, то следует оставить только первое слагаемое
V — е J ф*(г)ф(г)Ф(г)<13г. (4)
Сравнение (4) и (2) показывает, что при вычислении тонкой структуры экситона мы пренебренегаем запаздыванием кулоновского взаимодействия электрона и дырки, а также магнитным взаимодействием между частицами.
Для нахождения спектра связанного состояния двух частиц строится эффективный одночастичный гамильтониан, описывающий их динамику и взаимодействие с точностью до а2 (а = е2/еЬь) [9]. В дальнейшем мы используем систему единиц е2/е = ше/2 = т^/2 = Я = 1. Для этого рассчитывается амплитуда рассеяния электрона на дырке во втором порядке теории возмущений по а и по амплитуде рассеяния восстанавливается эффективный гамильтониан
г— ф = Нф,
Н = Н0 + Уг + У2 + Уз + У4,
Но = р2 - - - 2/х(!5Н), г
* 4
= + (5)
Г"~>
Уз = 0,
у4 - з (^ + 1 —^--
Здесь Я0 - эффективный гамильтониан, описывающий взаимодействие электрона и дырки в приближении эффективных масс без учета взаимодействия зоны проводимости и валентной зоны, Ух - поправка орбитального происхождения, У2 - спин-орбитальное взаимодействие, Уз - спин-спиновое взаимодействие (это слагаемое мало по параметру у/с для экситона), У4 - обменное (аннигиляционное) взаимодействие, ф - трехкомпо-нентная волновая функция (это связано с тем, что система электрон-дырка может иметь спин как единица, так и ноль), - оператор спина, 1 - оператор орбитального момента, у. = 1/2и - величина, аналогичная эффективному магнетону Бора в полупроводнике
номер 12, 2007 г.
Краткие сообщения по физике ФИАН
ц* — ск/2тс. Для применимости этого "нерелятивистского" разложения (5) необходимо, чтобы ур± « А (где р± - характерный поперечный импульс экситона, порядка
те4
обратной магнитной длины, см. (6)), что эквивалентно Д >> -,, и в полупроводниках
е2п
всегда выполняется.
Наличие в гамильтониане (4) поправок Vi — V\ приводит к появлению тонкой структуры экситона. Для расчета расщепления энергетических уровней нужно усреднить V\ — V4 по невозмущенным волновым функциям экситонных состояний с различными значениями энергии п, проекции орбитального момента т, спина S и проекции Sz. Именно для состояний с таким набором квантовых чисел поправочные члены диагональны (это существенно, так как невозмущенные состояния вырождены).
Вычислим орто-пара расщепление основного состояния экситона в сильных магнитных полях, т.е. разность энергий между состояниями с n = 1, m = 0, 5 = 1, 5г = О (орто), и п = 1, m = 0, 5 = 0, = 0 (пара). Волновая функция гро(г) основного состояния экситона в сильных магнитных полях может быть вычислена в вариационном приближении [10]:
= (6)
где а = InH (1 /а - радиус экситона), А = 1/у/Н - магнитная длина (характерный размер экситона в направлении, перпендикулярном магнитному полю), р - радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. При этом энергия экситона равна Е0 = —~1п2Н [11]. Мы считаем, что поле направлено по оси г и магнитный потенциал выбран в виде Аех — [Н, г]/2. В отличие от позитрония [8] и экситона [4, 5] в отсутствие магнитного поля при наложении сильного магнитного поля главный вклад в орто-пара расщепление дает поправка к обменному (аннигиляционному) взаимодействию. Легко видеть, что среднее V\ не зависит от спина, и поэтому не дает вклада в орто-пара расщепление. Спин-орбитальное взаимодействие V2 обращается в 0 при усреднении. Усреднение V4 для Sz = 0 приводит к следующему выражению:
V(S) = ^2S42(0) + (7)
где
ОО , 1
J = / — / dx( 1 - 3x2)e-'2(l-*2)-2>/2r*aA ^ + ^д J v J 3
Краткие сооСщенгиг по фпткк ФИЛ H
номер IS, 2001 а.
Здесь мы учли, чго йЛ - мл.т. Подставляя значение i^(O) (fi) в уравнение (7), жшучги::-, выражения для иртопард расщепления:
- С = У П.) - VÍ0) - (S)
которое можно экгиер и ментально наб-'iюдагь во многих полупроводниках, Удобно dl-: разить орггмзара расщепление через .эксперкменч^иъно наблюдаемые иг-.ги m:ih ь: Е- и Es Í 01Ш нрн ведены в [-1. 5]):
- Е?Г* - Líi у/^НЬ2ПЕЦ (9)
Л ET Т Е Р А Г У Р А
[1] II. Кокс. Теории ïKCHTOïinn, (\1.. Мир. 1966).
[2] H. М. Агранович. Теория эк г: и пинов (М., Паука, UHi£).
[3] Е. А. Лн.црюшич, Л. П. Силин. ФТТ 35, 19-17 (1993).
.1] Ii. Л. Анлркинин, A. Il, Силин. С. В. Шубенкой. Краткие сообщения пи физике
ФИ AIL N ó. 7-fi, 22 (1995). ß\ А. П. Силин, С. В. Шумков. Ф'ГГ 42, 2П (2000). [fil A. A. KonuleV; M, Л. Li barman. Phys. Rev. Lett. 72, 270 {1994}. [7 Б. А. Нолдов, Б. I Hi и i ut, M. Ш. Усманое. УФН IftS, 799 (1995). [8j 11. H. Ратгшков, Л. Ii. Снлкн. К pa-1 кие сообщения по физике ФИАН, No, I (2007).
[9] A. И. Ахнезер, H. Ii. Берестецкий. Квантовая электродинамика (М,%Наукд. I9&9Ï. [10] Ii. К. Кадомп.гн. 1-5. С. Кудрявцев. Письма в Ж'УУФ 13. (il (1971), fil] lí. .1. Elliot I : Ii.. Loudon, J. Т'Ьуь. Chem. Sol. 15, Ш (19(>U).
Поступила в редакцию fi ноября l'UUT г,
