Квантовая яма на основе графена и узкощелевых полупроводников Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.311.33

КВАНТОВАЯ ЯМА НА ОСНОВЕ ГРАФЕНА И УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

П. В. Ратников1, А. П. Силин

Рассмотрен энергетический спектр планарной квантовой ямы, образованной из двух полосок узкощелевых полупроводников и вставленной между ними полоской гра-фена. Показано, что бесщелевая мода появляется только в случае инвертированных узкощелевых полупроводников. С учетом специфики графена рассчитано спиновое расщепление энергетического спектра несимметричной квантовой ямы. Исследованы приграничные состояния и оптические переходы. Показано, что оптические переходы возможны только с сохранением четности.

После первого экспериментального исследования графена - одноатомного слоя атомов углерода, образующих правильную гексагональную решетку [1, 2], возникла интенсивная деятельность в разных направлениях. В частности, за последние три года выполнено множество работ по электронным свойствам узких полосок графена нанометровых масштабов (нанополосок). Одними из первых были работы по изучению электронных состояний полосок графена с использованием уравнения Дирака с соответствующими граничными условиями [3, 4]. Электронные свойства нанополоски графена сильно зависят от ее размера и геометрии, а также от того, осаждены ли атомы водорода на свободных атомных орбиталях атомов углерода на ее краях [5]. По своим транспортным свойствам нанополоски графена во многом напоминают углеродные нанотрубки. так как в обоих случаях свободное движение одномерно [6, 7].

1 ratnikov@lpi.ru

Граничные условия для нанотрубок, носители тока в которых описываются уравнением Дирака, подробно обсуждались в работе [8]. Два типа граничных условий соответствуют двум типам краев полоски графена: зигзаг и "кресло" (armchair) [3]. Для нанополосок графена с первым типом краев характерно возникновение поверхностных состояний нулевой энергии. Для второго типа краев энергетический спектр бесщелевой (металлический), когда ширина полоски d = (3М + 1)а, где М - натуральное число. а = л/3а0 - постоянная решетки (а0 ~ межатомное расстояние), и диэлектрический для других ширин [4].

Недавно был сделан транзистор на основе нанополоски графена шириною 2 нм и длиною 236 нм (исследовались также нанополоски с шириной 10-60 нм) [9]. Нанополоска графена была взята настолько узкой, чтобы гарантировать большую полупроводниковую щель для работы транзистора при комнатной температуре. Однако по компактности он несколько проигрывает транзистору на основе графеновой квантовой точки диаметром 30 нм [10].

В работе [11] в приближении сильной связи исследован планарный контакт нанополоски графена с краями типа зигзаг с полосками металла. В нашей работе рассмотрено возникновение размерного квантования безмассовых носителей тока в нанополоске графена с краями типа "кресла" с шириной d ф (3М + 1)а, окруженной полосками узкощелевых полупроводников. Меняя узкощелевые полупроводники, можно менять высоту потенциальных барьеров, являющихся запрещенными зонами узкощелевых полупроводников, что открывает дополнительные возможности для зонной инженерии [12].

Для уединенной нанополоски графена высота потенциальных барьеров была вычислена в работе [13] в приближении локальной спиновой плотности. Она оказалась равной 2.33 эВ для края типа "кресла" и 3.33 эВ для края типа зигзаг. Эти величины на порядок больше характерной ширины запрещенной зоны узкощелевого полупроводника.

Мы проводим вычисления в рамках модели Дирака [14]. Направим ось х параллельно границам раздела узкощелевых полупроводников и графена, ось у - перпендикулярно плоскости гетероструктуры и ось z перпендикулярно осям х и у (рис. 1). В двузон-ном приближении гетероструктура, составленная из узкощелевых полупроводников* и графена, описывается уравнением Дирака. Полуширина запрещенной зоны Д, работа выхода V и матричный элемент скорости межзонных переходов и постоянны и изменя-

2 В качестве узкощелевого полупроводника можно использовать и щелевую модификацию графена [15].

ются только на границах гетероструктуры. В данном случае для выбранной ориентации осей уравнение Дирака имеет следующий вид:

НоФ = + па°1ЪРг + 7°Аг- + к} ф = ДФ, (1)

где ^ ^ ) ~ 7"матРиЦы Дирака; / - единичная матрица 2x2;

\0 -I ) \ -3 о )

л —*

а - матрицы Паули; р = —¿V - оператор импульса, % = 1.

Легко проверить, что с гамильтонианом Нв коммутирует оператор3:

Р = ¿7°7371. (2)

Рис. 1. Рассматриваемая гетероструктура: нанополоска графена вставлена между двумя полосками узкощелевых полупроводников (здесь ось у направлена от нас; атомная структура узкощелевого полупроводника не показана).

Чтобы выяснить смысл оператора Р, представим его в виде:

Р = (3)

3Следует отличать оператор Р от оператора спиральности Н, введенного для неограниченного графена [16], который является оператором проекции псевдоспина на импульс свободного движения. В планарной гетероструктуре свободное движение одномерно, а одномерный оператор И (записанный в матричной форме 4 х 4) не коммутирует с Яд. Значит, собственное число ¡г не сохраняется. Сохраня ющимся квантовым числом является собственное число оператора Р.

что оператор Р играет роль оператора псевдочетности, введенного при рассмотрении узкощелевых слоистых гетероструктур [18].

Собственные значения Л = ±1 оператора Р определяют знак проекции спина на ось г/, в чем можно убедиться, подсчитав среднее значение спина аналогично тому, как это сделано в статье [18]. В дальнейшем Л будем называть четностью состояния. Как отмечалось в предыдущей нашей работе [19], носители тока в графене являются ки-ральными безмассовыми дираковскими фермионами (спин частицы направлен по или против ее импульса). Как будет показано ниже, в рассматриваемой нами квантовой ЯхМе отсутствует бесщелевая мода. Носители тока в нанополоске графена конечной ширины, окруженной слоями обычных (неинвертированных) узкощелевых полупроводников, эффективно имеют массу и их энергетический спектр подобен полупроводниковому с конечной шириной запрещенной зоны.

Ищем решение уравнения (1) в классе функций, являющихся собственными функциями оператора псевдочетности (2). Компоненты собственного биспинора связаны соотношениями:

Две независимые компоненты собственного биспинора удовлетворяют системе двух дифференциальных уравнений:

Ф\2 = гХфм,

фх4 = -¿А^аз. Теперь уравнение Дирака (1) запишется в виде:

(4)

(5)

Решение ищем в трех областях в виде:

1) г < 0: фХ1 = А^2, фхз = Лзем,

2) 0 < г < ¿: фХ1 = Вхе%кг + фхз = В3е*г + В3е~{кг,

— хкг

3) г > ¿: фХ1 = Схе~к*г, ^лз = Сзе"*3*, соответственно для узкощелевого полупроводника с Д^ 14, щ, графена с А2 = О, У2 = О, и2 и узкощелевого полупроводника с Д3, Ц, и3.

Используя граничные условия непрерывности у/йУ [20], можно исключить постоянные А1,Аз,С\,Сз,Вз,Вз и получить систему уравнений на коэффициенты Вх и Вг4

(и2к + 1\и2кх гихк\ — 1\ихкх\ (—и2к + г\и2кх гщкг — ¡Хи\кх\ ~ + ——:—:-— I + ----Ь

Ех

Ед + Ах-И

Ех

и2к + г\и2кх ги3к3 + г\и3кх

В 1 = 0,

Вге= 0.

(7)

Зависимость энергии от разрешенного импульса к и импульса свободного движения

Ех

Ех + Аз - К3

Ел

Еа + Д1 - 14

ги3к3 + ¡\и3кх' Ех 4- Аз - Уз ,

кх дается соотношением:

ЕА = ±и2у/кчП^х.

(8)

Бесщелевой моде соответствует & = 0. Тогда энергетический спектр линеен Ех = ±и2|&х|. Однако из (7) видно, что тогда Вх + В\ — 0, а также В3 + В3 = 0, что значит Фл = 0 (это решение не физично).

Бесщелевая мода в квантовой яме на основе графена возможна, если графен находится в окружении инвертированных узкощелевых полупроводников [21], в которых А1А3 < 0, 1*1 = и2 = и3 = и и 14 = У2 = У3 = 0. При к = 0 в области 0 < г < (1 волновая функция постоянна: фх1 = А, Фхз = Аз- После подстановки этого решения в (6) получаем Б3 = и Ех = ±Аи|А:х|. Сшивая решения на границах 2 = 0 и г =

находим волновую функцию:

А1г

1) ф<±> = СФ^'е и ,

2) = СФ?',

3) ф(±) = СФ<±,еТ^Г(2~Й),

где введен биспинор

( 1 \

гЛ ±г

V ±А )

ф(±> =

4Система уравнений на Вз и Вз аналогична (7).

Константа С определяется из условия нормировки:

= 1, (9)

I

C.i 2

и 1 1 \ '

+ ГТ-Т + <*

-1/2

L2 VlAil |А3|

Случай D3 = iD\ соответствует Ai < О, Л3 > 0 и Е\ = Аикх\ для D3 = —iD\ получаем Ai > О, А3 < 0 и Ех = -Аикх.

Ниже рассматривается случай неинвертированных узкощелевых полупроводников с Ait3 > 0, когда бесщелевой моды нет. Легко получить уравнение на к, аналогичное уравнению, исследованному в работах [22, 23]

tgkd =-Л(С+Я-(10)

1 + В(С -С)-СС

где

л - В — г - ~ г — +

~ Ех ' " Ex + Ai-VS ~ £Л + А3- W

и\к\ = Аl-iEx-Vtf+ulK, и22к2 = (Ex-V2)2-Al-ulkl и2к2 = А23-(ЕХ-V3)2 + u2k2x.

В общем случае уравнение (10) довольно громоздко, поэтому мы ограничимся рассмотрением частных случаев для определенных типов квантовых ям.

Симметричная квантовая яма. Симметричной квантовой ямой назовем такую квантовую яму, в которой V\ = V3 = V, Ai = А3 = А, А2 = 0, V2 = 0, иг = и3 = й, и2 = и. Уравнение (10) приводится к виду:

. f ийклк , „ „ ч

tefcd=E(E-V)-u*H- (П)

Зависимость энергии от Л пропадает, поэтому расщепления по четности нет. Наиболее простой вид уравнение (11) принимает при V = 0 и и = й

I , \/А2 - иЧ2

tgkd = ----. (12)

ик

Из последнего уравнения можно легко найти число ветвей в спектре размерного квантования пе(/1) в электронном (дырочном) спектре (в данном случае пе = п^ — п). Это

число должно быть таким, чтобы выполнялось неравенство0

¿А , ч

тг(П — 1) < — < 7Гп. (13)

и

Из графического решения уравнения (12) видно, что остается в силе теорема нерелятивистской квантовой механики, утверждающая, что в сколь угодно мелкой одномерной симметричной квантовой яме всегда есть хотя бы один уровень6.

Несимметричная квантовая яма первого типа. Так мы называем квантовую яму с А1 = Аз = А, А2 = О, У\ = -У3 = У, У2 = 0, щ = и3 = й, и2 = и. Тогда в уравнении (10) явно входит Л в виде комбинации Хкх. Следовательно, возникает расщепление по четности (спиновое расщепление). Экстремумы энергетического спектра не совпадают с кх = 0 и лежат при кх = \к*х. Следовательно, энергия зависит от кх — \к*х. Будем считать отклонение от симметричной квантовой ямы малым: | У\ <С А. В низшем порядке по V зависимость энергии от импульса кх дается выражением (8)

Е^ = ±иу/№* + А* (14)

где к- корень уравнения (11) при У = 0

_ - «»*■»» + - и*»*

8 а~ и№* + («- ъ)к1 ' 1 ^

В следующем порядке по У имеем7

= ±и^кт + (кх - \к*у. (16)

С той же точностью значение экстремума ±ик^ при кх = \к*х совпадает со значением экстремума при кх = 0 в симметричной квантовой яме, а разница между ними 8Е величина более высокого порядка малости: 16Е\ <С и\кКх\ А. Раскладывая (15) до

5Интересно отметить, что есть решение уравнения (12) в случае — = 7гп, что соответствует

и

уровню, лежащему на границе с непрерывном спектром.

6В несимметричной квантовой яме, как и в нерелятивистском случае (см., например, [24]), может и не быть ни одного уровня.

7 В работе [22] использована квадратичная зависимость энергии от импульса, которая верна при больших значениях

величин второго порядка малости и сохраняя члены с к*2 и к* У как члены одинаково!! малости, получаем

У А

к* — — • — Кх ~ — Т?

и Г

1 +

1 +

иик%

(А2 - и2*2)3/2

Г

(17)

где ^ = 2^/Д2 — и2к$ +

иикц

Несимметричная квантовая яма второго типа. Так мы называем квантовую яму с

А\ ф А3, У\ = У3 = У, Ц = О, А2 = 0, и^ = и3 = й, и и2 = и. Будем считать отклонение

от симметричной квантовой ямы малым: А1 — А3 = 2А', |Д'| <С Д1,3. Удобно ввести

Ах + Д3

полусумму щелей А = ---, а щели выражать через А и А': А1 = А + А', А3 =

А-А'.

Аналогично первому типу квантовой ямы, приближенное решение ищем в виде:

Ё^ = ±иу/№* + (кх -

(18)

где к^ - корень уравнения для симметричной квантовой ямы (11), в котором вместо А взята величина А. Далее, рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, можно получить формулу:

Л' А 4- л/Л2 4- ас

(19)

а

где

введены обозначения: а = 2(А+ик0—У)\/ А2 - (ик0 - У)Чйко(ико-У)

2А2 - (ик0 - У)

Ь = ((и - и)к0 + К)(А + ик0 - У), с = йк0(ик0 - У)---

(А - ико + У)\]А2 - {ико - У)2

корень уравнения (11) при кх = 0 (мы пренебрегли зависимостью от кх).

А + ик0 - У А - ик0 + У'

; к0 -

Приграничные состояния. Впервые приграничные состояния были предсказаны И. Е. Таммом в 1932 году [25]. Эти состояния локализованы вблизи границ раздела узкощелевого полупроводника и графена8. В областях г < 0 и -г > (I решение ищется в том

8Отметим, что аналогичные состояния возникают и в одиночном гетероконтакте с пересечением дисперсионных кривых [23, 26]. Они не являются спецификой квантовой ямы и могут возникать также и в квантовых барьерах [7].

же виде, что и для состояний размерного квантования, а в области квантовой ямы в виде:

фхх = Вхе~** + Вхе42, "фхз = В3е~ч> + В3е**. Величина <7 связана с Е\ соотношением:

Е\ = и\к1 - и\д\ (20)

поэтому условием существования приграничных состояний является неравенство9

Ы < Ы- (21)

Уравнение на <7 аналогично (10) с той лишь разницей, что вместо tgЫ стоит ^(¡гй, и в А вместо к входит q.

Таблица 1

Результаты анализа решений уравнения на д для приграничных состояний с |</| < \кх\

Нет приграничных Есть приграничные Есть приграничные

состояний состояния только одной четности состояния обеих четностей

Л = +1 Л = -1

Электроны i Pi > 1 \ Рз > 1 5» S 1Л IV t—' 1—1 Чк » 5 IV 1Л »—' I—» i Pi<l 1 Рз < 1

Л = +1 Л = -1

Дырки i Pi < 1 \ Рз < 1 f Pi < 1 i Pi > 1 \ Рз > 1 [ Рз < 1 Pi Ф Рз i Р1>1 \ Рз > 1

/д 3

|/Дя

Введены обозначения рх = \ 1 1, р3 = \ I ' ° . Особый случай рх = р3 = 1 соответ-

\] — Ух у Дз — У3

ствует отсутствию приграничных состояний при малых кх как для электронов, так и для дырок (см. подробнее текст).

9Неравенство такого вида рассматривалось в работе [11], где вместо термина "приграничные состояния" использовался термин "исчезающие моды" (evanescent modes).

Для того чтобы неравенство (21) выполнялось для всех значений кх, необходимо, чтобы при кх —► 0 решение этого уравнения q —> 0. В противном случае либо приграничные состояния существуют, начиная с некоторого критического импульса свободного движения, либо они не существуют. Легко показать, что в случае q(kx) ф const нет такой точки кхо ф 0, чтобы |(/(/гхо)| = При кх ф 0 график функции \q[kx)\ лежит либо

ниже прямой q = \кх\ (приграничные состояния есть), либо выше прямой q = |/гх| (при граничных состояний нет). Анализ решения уравнения на q при малых кх представлен в таблице 1.

В частности, возможно существование приграничных состояний одной четности, следствием чего является спиновый ток при отличном от нуля электрическом токе вдоль границы. Указанный эффект может быть использован в спинтронике [27].

Могут существовать приграничные состояния для носителей тока одного знака заряда. Приграничные состояния энергетически выгоднее состояний размерного квантования, что приводит к заполнению приграничных состояний носителями тока. Таким образом, при оптическом возбуждении возможен случай, когда заряд одного знака будет локализован вдоль границ раздела на фоне однородно распределенного заряда противоположного знака.

Недавно в рамках электростатического приближения было показано, что при приложении электрического поля перпендикулярно плоскости уединенной нанополоски гра-фена на подложке возникает заряд на границах нанополоски [28]. Мы считаем, что в рассматриваемой гетероструктуре также возможен подобный эффект, обусловленный преимущественным заселением приграничных состояний.

Случай pi = р3 = 1 (Дх = Д3 и Vj = V3 = 0) соответствует отсутствию приграничных состояний при малых кх как для электронов, так и для дырок. Приграничные состояния обеих четностей могут существовать при \кх\ > кхс. Рассмотрим сначала случай и\ = и2 = и3 = и. Тогда из (12) легко получить

(22)

uq

правая часть (22) отрицательна и уравнение (22) не имеет решений. Поэтому существование приграничных состояний в случае р\ = р3 = 1 возможно только при и ф й и

| кх | кхс.

Проанализируем теперь возникновение приграничных состояний при изменении ширины квантовой ямы d. При уменьшении d они могут исчезнуть при некоторой критической ширине d.c, так что при d < dc приграничных состояний нет.

Определим критерий существования приграничных состояний при определенной ширине с/. Уравнение на ц имеет вид:

ЬЪх = /(*), (23)

где х = ц(1 и /(х) при больших х выходит на асимптотику /(х) ~ х. Для существования решения уравнения (23) достаточно, чтобы выполнялось следующее двойное неравенство:

О < /'(0) < 1. (24)

В общем случае несимметричной квантовой ямы неравенство (23) аналитически разрешить не удается, поэтому приведем результаты для симметричной квантовой ямы. Рассмотрим случай симметричной квантовой ямы с V = 0, что соответствует = р3 = 1. Приграничные состояния возникают только при и > И, в противном случае /'(0) < 0. Видно, что выполняется качественный критерий существования приграничных состояний - пересечение дисперсионных кривых зоны проводимости и валентной зоны узкощелевого полупроводника с дисперсионными прямыми графена [26]. Следует ожидать, что в этом случае приграничные состояния существуют и для электронов, и для дырок. Как отмечалось выше, приграничные состояния возникают при импульсах свободного движения, больших некоторого критического импульса:

ч 1/2

'♦гт^-Ч ■ т>

(и + и)2

Приграничные состояния существуют, если выполняется неравенство |<7(Аггс)| < что вместе с условием отсутствия пересечения |<?(А:Х)| с прямой = \кх\ обеспечивает выполнение неравенства (21) во всей области \кх\ > кхс.

Тот факт, что приграничные состояния начинаются с некоторого критического импульса свободного движения, качественно согласуется с результатом, полученным при

I

рассмотрении случая Д1 = Д2 = Аз и У\ = У2 = Уз в работе [29].

Рассмотрим теперь случай Уф 0 при и — й. Приграничные состояния возникают при Е\У < 0. Для электронов они есть, когда У < 0, т.е. р\ = рз < 1; для дырок при У > 0, т.е. р\ = рз > 1. При этом пересекаются дисперсионные прямые графена либо с дисперсионными кривыми зоны проводимости узкощелевого полупроводника (есть приграничные состояния электронов), либо с дисперсионными кривыми валентной зоны (есть приграничные состояния дырок). Критический импульс имеет вид:

кхс = ^у- (-и + V«2 + (А2 - У2)<р) ■ (26)

Оптические переходы. В присутствии электромагнитной волны где е - вектор поляризации электромагнитной волны, уравнение Дирака принимает вид:

^ (27)

{«¡7°7 ¡А) + 7°А, + К} Ф = ¿^Ф.

Оператор О = —и,-7 7А рассматривается как возмущение. Матричный элемент с

этого оператора выражается через матричный элемент скорости у = еу для межзонного

перехода из валентной зоны в зону проводимости Е\ —* Е'х, [18]

гТ=и,-(ФЛ,|7°7|ФА),

(28)

где под щ понимается, что при вычислении (28) подставляются щ для 2 < 0, и2 для области 0 < 2г < и3 для г > ¿.

Вычисление матричного элемента скорости по формуле (28) для состояний размерного квантования дает

\

и. = 2Х6хуАт1А1 |*С«* - «ОЦг + *«2 [(ь;ь - ь+ь* + Г1(Ь*Ь- - ЬЫМ + (/*&*&++

+Г616)

е2,ы - 1

-(/б;ь+ /&*&_)

= 28Х\'А\А1 [(а + а)^- + и2 [(6*6+ + ЪЬ\ - П(Ь*_Ъ + ЬЛт))ё + (П*_Ь-

(29)

МЫ _ !

+ (/6*6- "/616)

1-е

-2»Ы

2 ¡к 1 ' +"/ 2 *А:

Коэффициент Л1 определяется согласно условию нормировки (9)

(30)

= (Ц^р + 4*6(1 + /*/)(! + 6*6М+ ^(/*(Ь2 - 1) + /((б*)2 - 1))зт(2Ы)+

¿6*6

^ -1)- /((**)' - !)) +

где

а =

2 к

—1и\к\ + гЛгг! Ех + Д! - Ц

с*с + с*с

"г^-е

-1

2Аг3с/

, 6+ = 66, 6. = 6 = 6 = ^ +

и21 "/

Ги^егЫ-/е гЫ к Л т3к3 + г\и3кх„ с = . /--е , с = -с,

V "3 1-/ ' £а + Лз-Ц '

¡=1+ 2и2к{Ех + А1-У1)

(—и2к + 1\и2кх)(Е\ + — К) + Ех(гщк1 — г\щкх) Вычисление матричного элемента скорости по формуле (30) для приграничных состояний аналогично предыдущему с той разницей, что во всех коэффициентах а, 6±,... следует сделать замену к ¡д

I Щ

ух = 2\8х\>А\А1 < г(а* - а)— + ги2

2кг

1 _ _ 1 -ЬЬ+-+ 2/6(6+ -6_)</ + /266_--

+

+г'ц3с(с* - с) ^ }-, (31)

и* = 0. (32)

Здесь нормировка (9) приводит к выражению:

2Л>Л1 = {Ч^Г + 2/(б;б-"ь2у + (62 + + /2(62 + ь-ь-)е~^Г+

+(? + с* с)

-2*3«т

-1

2 к3 )

Из формул (29)—(31) следует, что разрешены только переходы с сохранением четности (на рис. 2 они показаны стрелочками). Оптические переходы для приграничных состоя ний существуют только в особом случае р\ = р3 = 1 при поглощении электромагнитных волн с линейной поляризацией вдоль границ раздела графена с узкощелевыми пол\ проводниками.

Сказанное выше можно экспериментально проверить следующим образом. Возьмем симметричную квантовую яму. Прикладывая напряжение и к нанополоске графена, можно добиться того, чтобы работа выхода V стала равной нулю, т.е. реализуется особый случай рг = р3 = 1. Тогда появляются оптические переходы, вызванные поглощением электромагнитных волн с энергией Е такой, что Ет{п < Е < Де//, где Де// -эффективная щель в спектре размерного квантования (наименьшая разница по энергии между электронными и дырочными ветвями).

Возможность образования жситонов. В заключение отметим, что возникновение эффективной щели в спектре размерного квантования может привести к образованию экситонов в квантовой яме при оптическом возбуждении (в графене энергетическая щель нулевая и экситоны отсутствуют).

X = +1

Х' = +1

Рис. 2. Расщепление энергетического спектра в несимметричной квантовой яме. Показаны разрешенные переходы с сохранением четности.

В симметричной квантовой яме ортоэкситоны с полным спином электрона и дырки 5=1 являются прямыми, поэтому и короткоживущими, а параэкситоны с 5 = 0 [30] являются долгоживущими, поскольку переходы с изменением четности запрещены (вне зависимости от того, являются ли они прямыми или нет). В несимметричной квантовой яме (рис. 2) ортоэкситоны являются непрямыми, поэтому они должны также быть долгоживущими. Ранее отмечалось, что для слоистых узкощелевых полупроводниковых гетероструктур параэкситоны являются короткоживущими, потому что переходы с изменением четности разрешены [31].

Вычисление энергии связи в планарной квантовой яме на основе графена и узкощелевых полупроводников представляет собой отдельную задачу и будет приведено в другой статье.

[1] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov et al., Nature 438, 197 (2005).

[2] Y. Zhang, Y.-W. Tan, H. L. Stornier, P. Kim, Nature 438, 201 (2005).

[3] L. Brey, H. A. Fertig, Phys. Rev. B 73, 235411 (2006).

[4] L. Brey, H. A. Fertig, Phys. Rev. B 75, 125434 (2007).

[5] Y.-W. Son, M. L. Cohen, S. G. Louie, Phys. Rev. Lett. 97, 216803 (2006).

ЛИТЕРАТУРА

[6] R. Saito, G. Dresselhaus, М. S. Dresselhaus, Physical Properties of Carbon Nanotubes (Imperial College Press, London, 1998).

[7] T. Ando, J. Phys. Soc. Japan 74, 777 (2005).

[8] E. McCann, V. L Fal'ko, J. Phys.: Condens. Matter 16, 2371 (2004).

[9] X. Wang, Y. Ouyang, X. Li, et al., Phys. Rev. Lett. 100, 206803 (2008).

[10] L. A. Ponomarenko, F. Schedin, M. I. Katsnelson, et al., Science 320, 356 (2008).

[11] Ya. M. Blanter, I. Martin, Phys. Rev. В 76, 155433 (2007).

[12] M. Y. Han, B. Ozyilmaz, Y. Zhang, P. Kim, Phys. Rev. Lett. 98, 206805 (2007).

[13] S. Okada, Phys. Rev. В 77, 041408(R) (2008).

[14] Б. А. Волков, Б. Г. Идлис, М. Ш. Усманов, УФН 65, 799 (1995).

[15] J. V. Gomes, N. М. R. Peres, J. Phys.: Condens. Matter 20, 325221 (2008).

[16] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, et al., Rev. Mod. Phys., in press; http://arxiv.org/0709.1163 (2007).

[17] А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика (М., Наука, 1969).

[18] Б. Г. Идлис, М. Ш. Усманов, ФТП 26, 329 (1992).

[19] П. В. Ратников, А. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, 35(11), 10 (2008).

[20] А. П. Силин, С. В. Шубенков, ФТТ 40, 1345 (1998).

[21] Б. А. Волков, Б. Г. Идлис, Письма в ЖЭТФ 42, 145 (1985).

[22] Е. А. Андрюшин, С. А. Верещагин, А. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 6, 21 (1999).

[23] Е. A. Andryushin, А. P. Silin, S. A. Vereshchagin, Phys. Low-Dim. Struct. 3/4, 85 (2000).

[24] JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая механика (М., Наука, 1989), стр. 90.

[25] I. Е. Tamm, Phys. Z. Sowjetunion 1, 733 (1932).

[26] A. V. Kolesnikov, R. Lipperheide, A. P. Silin, U. Wille, Europhys. Lett. 43, 331 (1998).

[27] I. Zutic, J. Fabian, S. Das Sarma, Rev. Mod. Phys. 76, 323 (2004).

[28] P. G. Silvestrov, К. B. Efetov, Phys. Rev. В 77, 155436 (2008).

[29] А. В. Колесников, А. П. Силин, ЖЭТФ 109, 2125 (1996).

[30] А. П. Силин, С. В. Шубенков, ФТТ 42, 25 (2000).

[31] П. В. Ратников, А. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 7, 17 (2006).

Поступила в редакцию 26 августа 2008 г.