Планарная гетероструктураграфен-узкощелевой полупроводник-графен Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.311.33

ПЛАНАРНАЯ ГЕТЕРОСТРУКТУРА ГРАФЕН-УЗКОЩЕЛЕВОЙ ПОЛУПРОВОДНИК-ГРАФЕН

П. В. Ратников, А. П. Силин

Исследована планарная гетероструктура, составленная из двух пленок графена, между которыми вставлена полоска узкощелевого полупроводника. Показано, что в случае, когда конусные точки зоны Бриллюэна графена расположены по энергии в запрещенной зоне узкощелевого полупроводника, парадокс Клейна отсутствует. Существует зависящая от угла падения область энергий, в которой возможно надбаръерное затухающее решение, тем самым такая гетероструктура является "фильтром", пропускающим частицы в определенной области углов падения на потенциальный барьер. Обсуждается возможность применения такой гетер о структуры в качестве "ключа".

Графен является двумерным бесщелевым полупроводником, а носители тока в нем - безмассовыми дираковскими фермионами [1]. Известно [2], что безмассовая релятивистская частица со спином 1/2 обладает свойством киральности - характеризуется определенной проекцией спина на направление ее импульса. В случае графена речь идет о проекции псевдоспина на направление импульса, которая для электронов положительна, а для дырок отрицательна в окрестности К-точктл. зоны Бриллюэна [3], т.е. электрон является аналогом безмассового нейтрино с правой спиральностью, а дырки - с левой спиральностью, однако в окрестности /(''-точки ситуация обратная: электроны обладают левой спиральностью, дырки - правой [4, 5]. Безмассовую релятивистскую частицу достаточно описывать одним спинором [6, 7], двухкомпонентной волновой функцией, что дает основание утверждать, что эффективный гамильтониан,

описывающий носители тока в графене в окрестности А'-точки, является матричным 2 х 2, а соответствующее уравнение является уравнением Вейля1

ио ■ рф — Еф, (1)

где и = 9.84 • 107 см/с - скорость Ферми, являющаяся аналогом кейновского матричного элемента скорости межзонных переходов в модели Дирака [9]; р = —¿V (здесь и далее Н = 1); а — (ах, ау) - матрицы Паули. Закон дисперсии носителей тока в графене линеен по импульсу к

Е = ±ик. (2)

Узкощелевой полупроводник описывается матричным 4x4 уравнением Дирака [10]:

#СФ = {йа-*р + (3A + V0}y = £Ф, (3)

где Ф - биспинор; г! - кейновский матричный элемент скорости межзонных переходов;

а = ^ ^ 0 ^ ~ «-матрицы Дирака, /? = ^ ^ ^ ^ , / - единичная матрица 2 х 2; А -

полуширина запрещенной зоны; Vo есть разность работ выхода узкощелевого полупроводника и графена: |Vo| < А.

Для совместного описания носителей тока в графене и узкощелевом полупроводнике необходимо ввести и для частицы в графене четырехкомпонентную волновую функцию - биспинор. Гамильтониан Дирака в этом случае есть

HD = . (4)

Гамильтониан (4) эквивалентен гамильтониану, использованному в работе [8], с точностью до двух последовательно выполненных унитарных преобразований =

—^)и£/1=( ^ | [11]. При этом в системе присутствуют как пра-\/2 \1 -I ) \ 0 ау )

воспиральные, так и левоспиральные безмассовые фермионы. Переходы между К- и А''-точками маловероятны, поэтому можно считать, что частицы сохраняют свойство киральности.

1 Рассмотренные по отдельности безмассовые фермионы в окрестностях К- и А''-точек подобны вейлевским (двухкомпонентным) нейтрино. Для их совместного описания используется уравнение Дирака

[8]. Уравнение Дирака эквивалентно паре уравнений Вейля.

Удобно представить гамильтониан Дирака, описывающий носители тока во всей гетероструктуре (рис. 1(а)), в виде, где диагональные блоки содержат операторы импульса, выполнив унитарное преобразование £/2,

(а)

Б

£• = О

Рис. 1. Рассматриваемая планарная гетероструктура: (а) два слоя графена, между которыми вставлена полоска узкощелевого полупроводника ширины И (заштрихована); (б) зонная структура: положению конических точек зоны Бриллюэна графена соответствует уровень Е = О, запрещенная зона узкощелевого полупроводника Ед = 2А, У0 есть разность работ выхода графена и узкощелевого полупроводника; заштрихованы полностью заполненные валентные зоны.

Н'о =

иг<7 • р + У{

(5)

А, — ща • р + У

где и! = и3 = и, У\ — Уз = 0, Ах — А3 = 0 - параметры, относящиеся к графену; и2 = й, Уг — Уо. Д2 = А - параметры узкощелевого полупроводника (рис. 1(6)).

Для компонент биспинора, описывающего частицу в графене, выполняются равенства:

02 = вф1егф, ф4 = -згр3е,ф,

(6)

где ф — аг^-^- - полярный угол вектора к — (кх,ку) - квазиимпульса носителей тока Кх

в графене (угол падения); 5 = signЕ.

Для компонент биспинора, описывающего частицу в узкощелевом полупроводнике, выполняются равенства:

Е — У0 щх - шку

03 = -Т-VI--7-02,

uqx + iuky E-Vo

Фл =--1-Ф\ Н--7-02,

(7)

где

—2 2

ql = (E-Vo)2- A2-«\2.

(8)

Решение ищем в трех областях: I) х < О, II) 0 < х < D, III) х > D (D - ширина полоски узкощелевого полупроводника, рис. 1(а)), учитывая соотношения (6), (7) и предполагая, что в области II решение осциллирующее (ql > 0):

Ф/ =

d N

sc хе{ф С2

\ -зс2ехф )

еЦкхх+куу)

ГС\ \

-srcxe~{ф ГС2

\ src2e~:^ /

Bi(-kxx+kyy)

(9)

Ф Ii =

а\ 0*2

_ Е-Ур п йдх-гйку

аг —д-"- - а2—д

_ uqx+iuky . Е-Уд

\ -«1-Д ' Ji

\ /

ЯЧхХ+куу)

bi Ь2

L g-Vp | L «gi + tufcy

Ol 7д _+ Ö2-Д-

д "9х-tufcy . 7 E-Vo

\ Ol-д—i + 02-д^

, (Ю)

Ф ш =

(П)

1 \

¿с2

\ -в^е^ )

где г и £ - коэффициенты отражения и прохождения, соответственно, [3]; сь с2, аг, «2, ¿>ъ Ь2 - комплексные постоянные, определяемые из граничных условий2. Используя граничные условия [12, 13]

(12)

где величины, отмеченные знаком "(—)", относятся к материалу, находящемуся слева от границы, а знаком "(+)" - справа от границы, получаем выражение для коэффициента

2Следует отметить, что для правоспиральных частиц в биспинорах Ф/ и Ф/// с2 = 0, поскольку для

1 -175,

биспинора Фд, описывающего правоспиральную частицу, выполняется равенство

-ФR = Фя, где

1 ¿Т5

75 = г/3, а для левоспиральных частиц С1 = 0 и —-—Фх, = Ф£ [2]. Вследствие этого соответствующие компоненты Ф// равны нулю на границах раздела (для затухающего решения они равны нулю везде)

прохождения:

' --( — В-ъ\-(13)

cos <?!>cos(gx.D) + i (tg0 sin ф — s—z-) sin(<7xZ))

V Щх J

k

где tg0 — —. Выражение (13) соответствует осциллирующему решению в области II.

Ях

Для того, чтобы получить коэффициент прохождения при экспоненциально затухающем решении в области II, следует сделать замену qx —* iqx, где ñ2q2 = A2 + u2k2 — (Е — Vo)2, причем q2 > 0. Вероятности прохождения Т — \t\2 для двух типов решений в области II равны

Т =___(14)

СДИЛ ( Е-ЦЛ2

cos2 ф cos2(qxD) + (tgO sin ф — s—=- sin2(qxD)

\ Щх J

eos2 ф

Гзатух = 71 F - V \2 '

eos2 <M2(9s£>) + — sin ф - s^—^ sh2(qxD) \qx Щх )

Из формулы (14) видно, что при qxD = 7г TV, где N - целое число, Тосаил — 1, чему соответствуют максимумы вероятности прохождения на рис. 2 (а)-(г).

Как и следовало ожидать, для достаточно большой ширины полоски узкощелевого полупроводника D \/\qx\ вероятность прохождения в случае затухающего решения в области II экспоненциально мала: Гзатух ~ Результат предельного перехода

А —> 0 в формуле (13) совпадает с коэффициентом прохождения t в работе [3]. Легко получить коэффициент отражения

,, m Е-Уо

г = -г sm(qxD)--- E-V0\-Х

cos ф cos в cos(qxD) + i f sin ф sin в — s ——^—) sin(qxD)

д. ^E-Vq + A

e + se1

x-—m

e-lH _ se-t0-

ük'

где к' = + к2. Предельный переход А —> 0 в (16) осуществляется заменами

Е-Ур , Е-У0 +А , , .

——-— —> 5 , -—-- —>5,5 = 8^п(.с» — к0), результат совпадает с формулой

ик ик

(4) работы [3].

Рис. 2. Зависимость от угла падения вероятности прохождения электронов Тостл через прямоугольный потенциальный барьер, являющийся запрещенной зоной узкощелевого полупроводника СаАв сД = 705 мэВ, й = \ — — 1.35 • 108 см/с, где т* = 0.068т0,т0 - масса

у т*

свободного электрона [15]. Разность работ выхода (ЗаЛй и графена предполагается положительной и равной У0 — 100 мэВ. Отмечен угол ф0 « 46.8°, соответствующий равенству ¿тфо = и/й. Рассматриваются два значения энергии, удовлетворяющие условию надбарьер-ного прохождения Е > А +У0. При приближении угла падения к ф\ верхняя граница области надбарьерного затухания сравнивается с энергией падающего электрона Е, для Е — 1 эВ ф1 к 24°, для Е = 2 эВ фг « 40°: (а) Е = 1 эВ, Б = 50А; (б) Е = 1 эВ, И = 60А; (в) Е = 2 эВ, £ = 50А; (г) Е = 2 эВ, Б = 60А.

Вероятности отражения Я = |г|2 для двух типов решений в области II есть

Л„

и т Е-У0}2 со5(ф _ в) - 8-=1р-

СОЭ'

: ф соз2 в ctg2(gJ;Z)) + ^яш фя'тв — 5—

, Л Е-У0 + А ,, ЛЧ (Е-У0 + А)2 1 + 25--со а(ф + в) + - '

X

йк'

й2 к'2

п Е-У0 + А (Е-Уо + А)2' 1 — 25---СО — 0) + -

йк'

й2к'2

(17)

-^затух —

и2д% соэ2 ф + (ику вт Ф - в(Е - У0)У

й2д$ соб2 ф с№(дхБ) + (й^ вт ф - з(Е - Уа))

2 '

(18)

из последней формулы видно, что i?3axyx —> 1 при \qx\D 1. Легко проверить, что выполняются равенства:

-^ОСЦИЛ "I" -^ОСЦИЛ -

-^затух ~f~ ^затух = 1 • (19)

Проанализируем условия, при которых возможно осциллирующее или затухающее решение в области II. Рассмотрим для определенности случай электронов3: в графене их энергия положительна Е = uk, тогда для существования осциллирующего решения необходимо выполнение равенства

uk = У0 + ^/А2 + ñ2ql + ñ2k2y, (20)

которое выполнено при условии

uk-V0> ^А2 + ti2А;2. (21)

Наоборот, для существования затухающего решения4 необходимо

uk = V0 + yjA2 - й2?2 + ñ2k¡, (22)

что выполняется при условии пересечения дисперсионных кривых графена и узкощелевого полупроводника [14]

uk-V0< sjA2 + ñ2k2y. (23)

Из последнего неравенства следует, что если конусная точка зоны Бриллюэна графена попадает по энергии в запрещенную зону узкощелевого полупроводника (туннелирова-ние через потенциальный барьер, являющийся запрещенной зоной узкощелевого полупроводника), то решение в области II для электронов с энергией Ее < Vó+A (аналогично для дырок с энергией Eh > Vо — А) всегда является затухающим.

Область импульсов, которой соответствует осциллирующее решение, определяется неравенством:

(u2 - й2 sin2 ф) к2 - 2V0uk + V2 - А2 > 0, (24)

а обратное неравенство определяет область импульсов затухающего решения. Анализ неравенства (24) показывает следующее:

3Случай дырок эквивалентен случаю электронов с точностью до замены Е —* —Е я Уо —* —Уо-

43атухающему решению также может соответствовать выражение со знаком минус перед корнем, если У0 > 0 и значение корня меньше У0.

номер 11, 2008 г._Краткие сообщения по физике ФИ АН

— 7Г 7Г

1) если и > и, то при любом угле падения ~~<Ф<— для электронов с энергией Ее и дырок с энергией Еь в области

Д + У0 <Ее<Е+(ф),

Е~(ф)<Ен<-А + Цэ, (25)

V0 ± ^А2 - ^in2 ф(Д2 - К02) й2

где Ь (ф) = -1-. , ,-, rj = —- имеется надбарьерное затухающее

1 — 77 sm ф и2

решение; в области > Е+(ф) и Ен < Е~(ф) имеется осциллирующее решение;

2) если и < и (что выполняется для ряда узкощелевых полупроводников, например,

GaAs и InSb), то нужно выделять следующие частные случаи:

и

a) в области углов | sin ф\ < — ситуация такая же, что и в случае 1);

и

и

b) в области углов — < | sin ф\ < 1 поведение частиц разное в зависимости от

и

величины Vo:

I и2

Ь*) если Ayl — — < ¡Vo| < Д, то для всех значений углов из этой области следует выделять поде л у чаи:

(i) для электронов при Vó > 0 и для дырок при Vo < 0 затухающее решение имеется при любом к (при любой энергии);

(ii) для электронов при Vo < 0 и для дырок при Vo > 0 есть интервал энергий над барьером - "окно прозрачности", в котором имеется осциллирующее решение, а вне него - затухающее решение:

Ег(ф) <Ее< Е2(ф), -Е2{ф) <Eh< -Е1(ф), (26)

_ Ур =f sJa2 - 7? sin2 <¿(A2 - V2) r¡ sin2 ф — 1

где Е\<2(ф) = 2

и2

b**) если |Vb| < Ayl - =2, то

/•ч и i • м и А

(i) в области углов — < sin ф\ < — . = ситуация такая же, что и в

и и _ V2

случае Ь*);

и А

íji) в области углов--. < |sin¿>| < 1 имеется только затухающее

решение при любом к.

В случаях (i) и (jj) потенциальный барьер проявляет себя как идеальный отражатель при достаточно больших углах падения, т.е. как "угловой фильтр", пропускающий

частицы с углами падения, близкими к нормальному ф — 0. При этом считается, что \qx\D 1, т.е. Тзатух < 1. Столь необычная особенность прямоугольного потенциального барьера связана с тем обстоятельством, что "скорость света", аналогом которой являются и ий, разная в графене и узкощелевом полупроводнике [13]. Случай u = 11 следует относить к случаю 1), тогда область надбарьерного затухающего решения по энергии пропадает и частица ведет себя как обычная нерелятивистская частица: под барьером затухающее решение, над барьером - осциллирующее.

Отдельно рассмотрим случай, когда вместо узкощелевого полупроводника с ненулевой щелью имеется бесщелевой полупроводник, для которого й ф u, Vó ф 0 (при и = и этот случай совпадает с рассмотренным в [3]). Однако, в отличие от работы [3], есть ряд особенностей, отличающих случай и ф и. Вероятности прохождения для двух типов решений в бесщелевом полупроводнике даются выражениями (14) и (15) с той лишь разницей, что нужно сделать замену Е — \ó —>■ sñk'. Проанализируем, какой имеется тип решения в бесщелевом полупроводнике, аналогично тому, как это сделано выше:

— 7Г 7Г

1) если и > и, то при любом угле —~<Ф< —

a) для электронов при Vo < 0 и для дырок при Vó > 0 решение осциллирующее для любого к;

b) для электронов при Vo > 0 и для дырок при Vó < 0 затухающее решение имеется в интервалах энергии:

Е+(ф) <Ее< Ео(ф),

Е-(ф) < Eh < Е+(ф), (27)

и

где Е^(ф) = -3——-уVo; а вне этих интервалов - осциллирующее решение. Если

и ± u| sm ф I

считать, как в [3], что Vo - высота потенциального барьера, то имеется подбарьерное осциллирующее решение, что соответствует парадоксу Клейна;

2) если и < и, то

и

a) для углов |sin<^| < —, ситуация такая же, как в 1);

и

и

b) для углов — < | sin ф\ < 1 следует выделять два частных случая:

и

(i) для электронов при Vo < 0 и для дырок при Vo > 0 решение затухающее для любого к;

(п) для электронов при Vo > 0 и для дырок при Vo < 0 осциллирующее решение имеется в интервалах энергии (27), а вне - затухающее решение.

Наконец, рассмотрим частный случай Д = 0 и Vó = 0 при и ф и:

1) если и > и, то решение осциллирующее при любом угле — — < ф < — и при любой

Z ¿J

энергии, что соответствует парадоксу Клейна;

_ . . и

2) если и < и, то при любой энергии решение осциллирующее при | sm<p| < —, а при

и

I • л u

I sin<p| > — - затухающее решение. и

В заключение отметим, что рассмотренная гетероструктура может использоваться как "ключ": подавая напряжение на полоску узкощелевого полупроводника можно "включать" и "выключать" прохождение носителей тока через область II в зависимости от того, куда попадает по энергии коническая точка графена (в область осциллирующего или затухающего решения). Коническая точка графена смещается по энергии при приложении электрического поля F на величину ~ eFd, где d - расстояние от места приложения напряжения до полоски узкощелевого полупроводника. Электрическое поле считается достаточно слабым: eFd < А — |Vo|, т.е. при заданном Vo ток не течет. Поправка на электрическое поле приводит к смещению ~-eFD экстремумов зоны проводимости и валентной зоны узкощелевого полупроводника [16]. Приложение напряжения —i/o к полоске узкощелевого полупроводника изменяет разность работ выхода узкощелевого полупроводника и графена V¿ — Vq — Uq так, что протекание электронов становится возможным при eFd > Е+(ф)\у^. Для дырок условие протекания есть eFd > \Е~(ф)\. Изменяя £/0, можно добиться протекания либо электронов, либо дырок.

Возможна альтернативная схема "ключа". За счет нулевой щели в графене можно электроны "накачивать" из подложки в зону проводимости или "вытеснять" электроны из графена, тем самым получая дырки в валентной зоне. Изменяя положение уровня Ферми Ер в одном из слоев графена, можно обеспечить протекание либо электронов при условии eFd + EF > Е+(ф) (EF > 0), либо дырок при -eFd+EF < Е~(ф) (ЕР < 0).

ЛИТЕРАТУРА

[1] К. S. Novoselov, А. К. Geim, S. V. Morozov, et al., Nature 438, 197 (2005).

[2] С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля (М., ИЛ, 1963).

[3] M. I. Katsnelson, К. S. Novoselov, А. К. Geim, Nature Physics 2, 620 (2006).

[4] P. L. McEuen, M. Bockrath, D. H. Cobden, et al., Phys. Rev. Lett. 83, 5098 (1999).

[5] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, et al., arXiv: 0709.1163v2. Submitted to Reviews of Modern Physics.

[6] Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 32, 405 (1957); Nucl. Phys. 3, 127 (1957).

[7] A. Salam, Nuovo Cim. 5, 299 (1957).

[8] Т. Ando, J. Phys. Soc. Japan 74, 777 (2005).

[9] П.В. Ратников, А.П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, 35(1), 46 (2008).

[10] Б. А. Волков, Б. Г. Идлис, М. Ш. Усманов, УФН 65, 799 (1995).

[11] П. В. Ратников, Письма в ЖЭТФ 87, 343 (2008).

[12] А. П. Силин, С. В. Шубенков, ФТТ 40, 1345 (1998).

[13] А. В. Колесников, А. П. Силин, ЖЭТФ 109, 2125 (1996).

[14] А. V. Kolesnikov, R. Lipperheide, А. Р. Silin, V. Wille, Europhys. Letters 43, 331 (1998).

[15] А. П. Силин, С. В. Шубенков, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 7-8, 9 (1996).

[16] П. В. Ратников, А. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, No. 11, 22 (2005).

Поступила в редакцию 29 мая 2008 г.