Экситоны в тонких слоях узкощелевых полупроводников Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.311.33

ЭКСИТОНЫ В ТОНКИХ СЛОЯХ УЗКОЩЕЛЕВЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

А. П. Силин, С. В. Шубенков

Решена задача о двумерном экситпоне в двузонной иод) -ли Дирака. Получены тонкая структура и зависимость энергии связи экситопа от ширины запрегц/иной зоны и толщины слоя. Получен критерий устойчивости локализованного в тонком слое экситопа относительно одно-фотонной ан нигиляц и и.

Исследование энергетического спектра квазиодномерных и квазидвумерных полу проводниковых структур весьма актуально. Развитие современной полупроводниковой технологии позволяет модулировать такие структуры путем пространственного варьирования ширины запрещенной зоны [1]. Таким образом можно создавать одномерные квантовые ямы любой ширины одновременно для обоих типов носителей тока. Лок лизованные в слоях электроны и дырки могут образовывать экситоны, энергия связи которых посчитана для случая параболических невзаимодействующих зон [2]. В узкоще левых полупроводниках взаимодействие зон существенно (что, в частности, приводи I к непараболическому закону дисперсии носителей), поэтому локализация электрона и дырки в слое ведет к существенному изменению их динамики, что сказывается на »мер гии экси гона.

В данной работе рассмотрена модель, основанная на следующих предположениях: а.) Невзаимодействующие носители тока описываются уравнением Дирака:

£Ф = (О

Здесь и везде ниже а, /? - матрицы Дирака, р - оператор трехмерного импульса. А = Еч/2 - полуширина запрещенной зоны, Ф - огибающая волновой функции элек трона, .ч = \/А/т кейновский межзонный матричный элемент (квазискорость света).

т эффективная масса электрона и дырки (в этой модели их массы равны), энергия отсчитывается от середины запрещенной зоны.

б) Вдоль одной из пространственных осей (ось г) модуляцией ширины (2Д) запре тонной зоны создана квантовая яма одновременно как для электронов, так и для дырок

Д-ДМ-/ А" |г|<°; (2)

1 > \ Дг, И > а.

Стенки ямы достаточно высокие: Д2 >> Ах, Дг >> Ечпг = Й2$2/а2Д1; фактически далее мы везде считали стенки ямы бесконечными.

в) Ширина ямы 2а (толщина слоя) много меньше характерного радиуса объемного экси гона тх = 2е/).2з2/Дхе2, 8 - а./гх << 1, т.е. энергия размерного квантования /•,'.,„, много больше энергии связи объемного экситона Ех — е4Д]/4с252Л2, т.к. У','з;//'.',,„,

б2 << 1 и на каждом уровне размерного квантования имеется свой экси гон.

Теперь можно приступить к изучению взаимодействия электрона, и дырки в слое

узкощелевого полупроводника. Всеми поправками порядка з2/с2 мы пренебрегли, это

»

означает, что квантово-механическое уравнение, описывающее взаимодействие двух за ряженных частиц, не содержит магнитного взаимодействия их момен тов и в нем н< учитывается запаздывание взаимодействия за счет конечности скорости света [3]. Вза имодайствие электрона и дырки в этом приближении будет экранированным злек гро статическим. Диэлектрическую проницаемость среды, окружающей слой, мы считали равной проницаемости слоя е, пространственной и частотной дисперсией которой прене брегли. Аннигиляционное (обменное) взаимодействие в первой части работы исключено из рассмотрения, оно будет посчитано ниже. Таким образом, двухчастичное уравнение имееч вид:

ЕФ(г_,г+) = + зЗ+р+ + /?_Д(г_) + 0+А{г+) - е2/сг)Ф(г_,г+).

Все индексы относятся к электрону, "+" к дырке; г = |г_ — г+|; Ф(г_.г+) двухчас тичная волновая функция, биспинор ранга 2.

Мы рассмотрим экситон на нижнем уровне размерного квантования. Чтобы получить двумерное уравнение, описывающее взаимодействие электрона и дырки, необходимо усреднить (3) по г+ и В нулевом порядке по 6 переменные 2 и (х,?/) удается разделить: Ф(г_,г+) = г/о{г^)г/о{г+)ф(т]_, г}+). Здесь и везде ниже Т]± двумерные векторы, определяющие координаты частиц в плоскости ХУ, Z0{z) - одномерное решение

уравнений (1), (2). отвечающее низшей энергии /?0:

I шсо$(к0г) \

ад = ч , йАмпи,,) I при и<а; (О

<Т,Ш

¿'о+Д]

ш - произвольный двухкомпонентный спинор, а, матрица Паули. С нормировочная константа. к0 и Ей определяются дисперсионной системой уравнений

Е1 = Д? + зЧЪ = (о)

В низшем порядке по 8 и а — с2/ек» после усреднения (3) по функциям (4) получили уравнение, совпадающее с уравнением Шредингера для двух частиц с массами т~ Ео/«г и кулоиовским взаимодействием между ними

-а 2 2 </_д +

2 Ьц 2 Е{

е2

--¿(»7-,'7+) =

ег]

где £ = Е - 2Е0, ч —

Решение этого уравнения известно и имеет следующий вид:

</>($-,■0+) = + ш + 1,2т + 1, -^у), (6)

,(») _ _р(п) , Ып) __1_

" х + 4£0' * ~2(п-|)2'

где /'(«, 7, ж) вырожденная гипергеометрическая функция, п = 1,2... главное кван товое число, т = 1,2,... - магнитное квантовое число, (г, ф) - полярные координаты относительного движения, Ц - двумерный трансляционный импульс экситона как целого. Впт нормировочная константа, ее значение при т — 0:

Вп о = 1 . (7)

За единицу длины принято 2зН/Еоа, энергии Еое4/2е2Ь2в2 — Ера2/2. Энергия связи экситона в нулевом приближении по 8 и а

= Е0е« = Е0а2 х 4еЧ2зЦп-\У 4(п-|)2'

Характерный радиус двумерного экситона:

_ (2п- 1)е^У _ (2п - 1)А]а а'х ~ Ё^ ~ 2Е06 '

До сих пор мы не учитывали аннигиляционного взаимодействия электрона и дырки Рассмотрим аштигилядионную часть амплитуды рассеяния [4]:

М}ГП) = е2{[«(-р+)7°и(р_)]£>оо(р- +Р+)[«(/_)7°«(-р'+)]+ (9)

52 _ +^ Ъ'и(р-)] (р- + р+)Мр-ЬМ-р'+)]}>

где Ооо(р) = 4х/с.(№е/с2 — р2) и Д7(р) = —47г6^/((]2б/с2 — р2) компоненты фотонного иропагатора,, 70, 71 - матрицы Дирака, и(р) амплитуда плоской волны с импульсом /7, «(р) дираковски сопряженная ей амплитуда. Второе слагаемое в (9) даст поправ ку к энергии не ниже порядка л2/с2, им мы пренебрегли. Зато первое слагаемое, как будет показано ниже, даст поправку первого порядка по а. Для того, чтобы получи ть двумерную амплитуду рассеяния, необходимо усреднить трехмерную амплитуду по г. и По двумерной амплитуде рассеяния можно найти эффективный рассеивающий потенциал

и(апп) = ^ЧйсъДаХ^ -25г2Ж?_

где 8 полный спин экситона, проекция спина на ось 2.

Л(, лч (М2 (а 4- Е%е/с2)

(2аЕо + А,з/Е0)2 \2к2 гЕ0у/~е(4к2 - Е2е/с2У *

х(1 - ?М2гЕ0^а/с)со^к0а))--_ Е2с/с^-+ 2к0Е2е +

^ с(ехр(21.Ео\/ёа/с) — соз(4к0а)) 2А;0с281п(4А;оо,) ^

гЕоуГе(Щ - Е2е/с2) Е2е(4к2 - Е*е/с2)) '

В этой формуле мы положили h — 1, чтобы не делать ее еще более громоздкой. (/(ап"1, вообще говоря, комплексно, что отражает неустойчивость экситона в некоторой области значений параметра к0. При (2к0 — Е0у/ё/Кс) —* 0 (10) неограничено растет по своей абсолютной величине. Дело в том, что при 4~ Eqс/h¿с1 велико сечение однофо тонной аннигиляции

апп [а .2 Eje ^

и говорить об экситоне, как о связном состоянии неправомерно. Поэтому для рассмотрения экситона необходимо выбрать к0 таким образом, чтобы было выполнено либо условие

4к20 » A\tjh2c2,

2 .2

что равносильно §zjrt >>1? либо

4к2 « A]e/h2c2, a2c2/62s2e « 1. (12)

В реальных полупроводниках соотношение (12) трудновыполнимо одновременно с огра ничениями, принятыми в данной работе, поэтому этот случай мы не рассматривали. Если выполнено (11),

h2s2 (^hA.s + А2а + \аЕ2)

(2aEl + blsf • <">

Для того, чтобы оценить порядок аннигиляционного взаимодействия, удобно (131 обезразмерить, взяв за единицы длины и энергии величины, принятые в (6):

= irÁ^-f - S2)8(v), (14)

Л,(С) = а

(i±cw2(K + ic2 + ¡m

(1 + + 2(2Ф2)2

'Здесь ( = = а/28 - безразмерный параметр, характеризующий влияние непа

раболичности зон при данной толщине слоя 2а, ф = к0а ~ 1 и удовлетворяет уравнению 1*2ф = -2ф( (см. (5)).

ц(нпп) (:ледуех считать величиной первого порядка малости по а, тогда как в трех мерном случае все поправки к энергии не ниже а2.

В низшем порядке по параметрам а и 8 аннигиляционным взаимодействием мож но пренебречь. Учет же аннигиляционного взаимодействия нужно вести одновременно с учетом других поправок к взаимодействию того же порядка. Для того, чтобы получить эти поправки, необходимо более точно усреднить по 2 кулоновский потенциал, сохраняя слагаемые порядка 8. После усреднения была получена следующая поправка к потенциалу:

2тге2

ВД) = — (15)

где

§£<а3 + (Ед - 2Д?)Д?5|1 + Д,£02(4Л2» - ^ - £) -(ЬЦ + Л,*.?-('в)

Обратим внимание, что эта поправка к взаимодействию фактически первого порядка по тах(п,8). Действительно, обезразмеривая (15) и (16), получаем

МО = 8(1 + С2Ф2У'2х

х[4/3-5/4^ЧС(2-1/2^) + С2(8^73-3/4) + С3(2^Ч1/2) + 4/ЗС^](1 + С/2 + 2^С2Г2-

(17)

Из (17) видно, что при £ >> 1 Ь\ ~ а, а при £ << 1 Ь\ — — ^)Ь(гр) ~ 6. что совпадает с результатом, полученным для этого случая в работе [2]. Для состояний < ненулевым орбитальным моментом поправки к энергии будут порядка а2. Из формул (б) и (7):

т\2 = 1

ж(п — 1/2)3'

Полная энергия связи экситона в тех же единицах:

Значения энергии связи экситона и ее расщепление для некоторых полупроводников, рассчитанные по формулам (8), (14), (17) и (18), приведены в Таблице 1.

Таблица 1

Энергия связи экситона и ее расщепление для различных полупроводников в слоя толщиной 40 и 200 А. Здесь Е1 энергия связи экситона в основном состоянии

Кристалл МЭВ т„ то тр то ТПрТПп тр+7Пп со а, А л, %

1п8Ь 236 0,014 0,015 0,0078 17 20 3,8 0.015 0,028 1

100 1,8 0.07 0.07

С.аБЬ 813 0,047 0,06 0,025 15 20 9 0,019 0.06 !

100 6,3 0.01 0,29 |

СаАэ 1410 0,068 0,089 0,039 12,53 20 17 0.02 0.10 !

100 13,6 0.01 0.54 1

1пА* 425 0,023 0,025 0.012 14,5 20 5,8 0.009 0.04

100 3,5 0.018 0.11

1пР 1416 0,082 0,086 0,042 14 20 14,0 0,2 0.11

100 11,8 0.01 0.53

А1ЯЬ 2320 0.09 0,12 0,06 11,5 20 28,4 0*021 0.15

100 24,8 0.01 0.83 ;

Хп Те 2301 0,2 0,154 0Д)82 10 20 50.0 0.03 0.22

100 45,8 0.01 0.80

ЛИТ ЕР Л ТУР А

[1] С и л и н А. П. УФН. 147, N 3, 485 (1985).

[2] Анд р ю ш и н Е. А., Силин А. П. ФТТ, 35. 1947 (1993).

[3] А н д р ю ш ии Е. А., С и л и н А. П. Шубенкой С. М. Краткие сообщения по физике ФИЛИ. N 7-8. 22 (1995).

[4] Б е р естецкий В. Б., Л и ф ш и ц Е. М., Питаевски й Л. П. Квантовая электродинамика, М., Наука, 1989, § 83.

Поступила в редакцию 27 марта 199». !