Конденсация экситонов в сильных магнитных полях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.311.33

КОНДЕНСАЦИЯ экситонов в сильных МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Н. М. Вильданов1, А. П. Силин

Рассчитана поправка по плотности к химическому потенциалу экситонов в сильном магнитном поле. Исследованы возможности бозе-конденсации экситонов и конденсации их в электронно-дырочную жидкость(ЭДЖ). Указано в каких интервалах магнитных полей можно наблюдать эти процессы.

Конденсация экситонов в полупроводниках привлекает заметное внимание теоретиков и экспериментаторов [1-6].

Мы рассматриваем экситонный газ малой плотности в достаточно сильных магнитных полях при низких температурах. В сильных магнитных полях, таких что расстояние между уровнями Ландау еЯЯ/ше^с существенно превосходит характерную

энергию кулоновского взаимодействия (энергию связи экситона в отсутствие магнитно-

те4 т2е3с ,, /т\2 1

го поля) Ех = -—т.е. Н Нс = ——= 2.35 -10 Э ■ — —, спины носителей

2е2П е2п \т0/ е2

тока ориентированы вдоль магнитного поля и выживают только синглетные экситоны

[7]. Здесь - эффективные массы электрона и дырки, т = теш^/(ше + тд), то -масса свободного электрона, Ь, - постоянная Планка, е - заряд электрона, е - статическая диэлектрическая проницаемость. В дальнейшем мы используем систему единиц е2/е = ше/2 = т}1/2 = Н = 1. Характерные магнитные поля Нс могут изменяться в широких пределах в зависимости от используемого полупроводника.

При повышении плотности экситонов возможна бозе-конденсация экситонов [6] (конденсация в пространстве импульсов), а также конденсация в обычном пространстве, т.е. образование ЭДЖ, которая может обладать как металлическим, так и диэлектрическим спектром [8, 9]. Целью этой работы является исследование этих возможностей.

Московский физико-технический институт.

Для образования бозе-конденсата экситоны должны отталкиваться, этому способствует наложение сильного магнитного поля, в котором невозможно образование экси-тонных молекул (биэкситонов). Для образования ЭДЖ необходимо, чтобы экситонный газ был термодинамически неустойчив, следовательно выполнялось соотношение

(1)

где // - химический потенциал экситона, п - плотность экситонов, т.е. энергия связи экситона должна быть меньше энергии связи ЭДЖ.

В работе [9] было показано, что учет электронно-дырочных корреляций приводит к тому, что соотношение (1) выполняется в отсутствие магнитного поля. Сверхтекучесть экситонного газа плотности

п < Я/пЯ, (2)

в магнитном поле исследовалась при помощи канонического преобразования, учитывающего когерентное спаривание электронов и дырок, в работе [5]. В этой работе было получено, что соотношение (1) не выполняется и экситонный газ устойчив относительно образования ЭДЖ (результаты этой работы будут воспроизведены ниже с некоторыми уточнениями), однако авторы этой работы не учли два эффекта, которые приводят к неустойчивости экситонного газа.

Первый эффект - электронно-дырочные корреляции, которые приводят к образованию ЭДЖ с диэлектрическими свойствами [9].

Второй эффект - образование металлической ЭДЖ в сильных магнитных полях при высоких плотностях [10], когда выполняется следующее соотношение

Я < п < Я4/3. (3)

При выполнении условия (3), энергия, приходящаяся на электронно-дырочную пару [10],

Еенъ = -0.5 Я2/7, (4)

при равновесной плотности

ПЕНЬ ~ Я8/7 (5)

превосходит по абсолютной величине энергию экситона Еех = —~1п2Н [12, 13] при

2

Я > /п7Я, т.е. при Я > 107. В этом случае экситонный газ низкой плотности будет неустойчив относительно конденсации в более энергетически выгодную металлическую ЭДЖ с концентрацией пень (5).

Гамильтониан электронов и дырок, взаимодействующих по закону Кулона, во внешнем магнитном поле имеет вид [5]

Н = Е(4 - ^е)араР + (4 - Цн)Ь+Ьр + р

+ ^ Л Ук(а^а^ач+кар_к + ВДбч+кЬр_к - 2а£б£бч+кар_к),

/ РЧк

где - операторы рождения электронов и дырок с квазиимпульсом р, - хи-

мические потенциалы электронов и дырок, определяемые условием

Е««Р) = Е(ЬМ = (7)

р р

N - число электронов и дырок, (...) - означает усреднение по основному состоянию

Ъ = % е^=1-(р±1-А)\ А = [Н, г]/2.

Для построения нулевого приближения системы электронов и дырок, взаимодействующих по закону Кулона, используем приближение Хартри-Фока как для больших, так и для малых плотностей, когда описывается бозе-конденсированное состояние экситонов, и введем каноническое преобразование [3]

ар = ирар - Рр = урЬр + мра±р, и2р + и2 = 1. (8)

Тогда гамильтониан (б), выраженный через новые операторы, имеет вид

н = и К} + Но + Нг - (9)

где и {г>р} — числовой функционал, выделяющийся после приведения преобразованного гамильтониана к нормальной форме,

и {^р} = X £РиР ~ X Ур~Я + , (Ю)

Р РЯ

ц = Це + Цк, ер = £р + ер,

Но и Нг - операторы, содержащие парные и четверные комбинации фермиевских операторов ар и /Зр, явный вид которых можно найти в [11].

В самосогласованном приближении энергия электронно-дырочной пары определяется минимизацией числового функционала и {ур} с учетом условия (7), которое после преобразования (8), имеет вид [3]

= (и)

р

Уравнение, определяющее минимум функционала и {^р}, имеет вид:

(ер - ц) ьрир - £ Ур_ч - ирг;рг;2) = 0. (12)

я

Это уравнение необходимо решать совместно с условиями нормировки (11). В низшем порядке по плотности (т.е. с точностью до ьр ~ у/п) получается уравнение Шредингера для электрона и дырки, взаимодействующих по закону Кулона, причем р, равно энергии основного состояния экситона

(ер - А*) ир - Ур= 0. (13)

ч

В случае сильного магнитного поля нормированные волновые функции экситона имеют вид [12, 13]:

,_ , 9а3/2

ьр = 2у/2к\е~ ■ • у/Ъ, (14)

а2+р22

А = .—, а = 1пН, у/Н

где мы ввели продольную р2 и поперечную р± относительно магнитного поля составляющие импульса относительного движения электрона и дырки. В силу предполагаемого

нами условия (2) ур ~ \ —— < 1, и поэтому разложение в (12) правомерно. Оно анало-

V аН

гично разложению поп в отсутствие магнитного поля [3, 9, 11].

Определим теперь поправку по плотности к химическому потенциалу в самосогласованном приближении

(15)

п п

Здесь при вычислении интегралов по поперечным импульсам мы использовали следующее соотношение

А2 [ (16)

J (р - я) х + у

где предполагается, что р2,Чг ~ т.к. именно область импульсов р,,~ а, р±,<7± ~ 1/А дает главный вклад в (15).

В работе [3] показано, что корреляционный вклад в химический потенциал (линейные поправки по плотности) дается диаграммой, приведенной на рис. 1. Линии

Рис. 1. Диаграмма корреляционного вклада в химический потенциал. Рис. 2. Диаграмма обменного вклада в химический потенциал.

с индексами euh означают гриновские функции квазичастиц ар и /Зр, соответственно [11]

2е"л2р2х

Ge0'h(e,p) =

£ — Eph + ¿0 '

(17)

где

Ее/ = (и2 - v2) [ее* - fie<h - X Vp.4vl ) + 2 upvp X Vp_ququq, V q / q

a происхождение множителя 2е_д2рх определяется нормировкой. "Кирпич" на этом рисунке означает, что четыре фермиевские линии всевозможными способами соединены друг с другом линиями взаимодействия (при этом он не содержит вершинных множителей 7р,р/ = vpup: — vpiup ос -v/тг, связанных с рождением электронно-дырочных пар). Слева фермиевские линии замыкаются на амплитуду рождения двух пар квазичастиц, справа - на амплитуду уничтожения. В "кирпич" входят амплитуды рассеяния двух, трех и четырех квазичастиц друг на друге [3]. Для оценки мы будем учитывать только последние. Они хорошо иллюстрируют важность корреляционной энергии. Опускаемые члены будут того же порядка по плотности.

Так как мы предполагаем, что vp <С 1, то можно положить ир = 1, 7РР' = vp — ty, Ee'h(р) = (pl + а2) /4. Поэтому функции Грина (17) примут следующий вид

Ge0'h(s,p) =

2е"ЛМ

(18)

е - (р2 + с*2)/ 4 + г'О'

Обменной диаграмме (рис. 2) соответствует следующее аналитическое выражение (здесь мы перешли к мнимым частотам)

¿„а) = _I f^lJ^^i [

*с ni Р (2тг)3 2тг J

dk du [ 47г dq dfl г dp de

k2 (2тг)3 2тг J q2 (2тг)3 2тг J (2тг)3 2тг

f dp

J (2тг1

Рис. 3. Диаграмма прямого вклада в химический потенциал.

Х7(р, р + к)С?о(г£ + ш, р + к)7(р + к, р + к + я)С£(-г'г - ш - Ш, -р - к - я)х (19) хт(Р + ч, р + к + ч)(?£(г'е + Р + Ч)7(Р, Р + ч)С&(-ге, -р).

Мы оценим это выражение по порядку величины. Главный вклад в интеграл (19) дает область импульсов

Рг ~ Чг ~ К ~ а, р± ~ дх ~ к± ~ 1/А, (20)

что дает следующую оценку

¿/41* = а(1) па/Я, (21)

(а^1) - положительная константа порядка единицы), следовательно, этот вклад такого же порядка, как и (15).

В случае прямой диаграммы (рис. 3)

^ = (22)

где

ПеЛ(г'о;, к) = У ^з ^ " (72 (р, Р - к) Се0(ге, р)б£ (-к + гы, -р + к) +

+72 (р, р + к) С^(ге, р)<?5 (—ге - ш, -р - к)).

Главный вклад в интеграл (22) дает область импульсов

р2 ~ Чг ~ ~ ~ а, Рх ~ 9х ~ 1/А, (23)

что дает

¿/42> = -а« п/а3, (24)

где а^ - положительная константа порядка единицы. Складывал поправки (15), (21) и (24), получаем полную поправку по плотности к химическому потенциалу

8р =

+ (25)

^ ' Н

что

Эта поправка должна быть много меньше, чем энергия связи экситона ^-а2^. накладывает следующее ограничение п <С min {а5, аН]. Поведение экситонного газа будет различным при изменении магнитного поля. Если а4 <С Н, т.е. Н >> 104, поправка к химическому потенциалу будет отрицательна, экситонный газ неустойчив (выполняется соотношение (1)) и образуется ЭДЖ, причем при а4<Я^ а7, т.е при 104 < Я < 107, образуется диэлектрическая ЭДЖ [3, 9, 11], а при Н > 107 образуется металлическая ЭДЖ [8, 10]. Таким образом, при Н ~ 107 в ЭДЖ происходит переход металл-диэлектрик, аналогичный переходу в ЭДЖ в отсутствие магнитного поля [14, 15].

Если а2 <С Н <С а4, т.е. 10 <С Н <С 104, поправка к химическому потенциалу положительна, соотношение (1) не выполняется, основное состояние, построенное из экситонов, устойчиво и возможна бозе-конденсация [5]. Ограничение на магнитные поля снизу связано с тем, что магнитное поле должно быть сильным, т.е. расстояние между уровнями Ландау (~ Н) должно быть много больше энергии связи экситона (~ а2).

ЛИТЕРАТУРА

[1] J. М. Blatt and К. W. Boer, Phys. Rev. 126, 1621 (1962).

[2] С. А. Москаленко, ФТТ 4, 276 (1962).

[3] Л. В. Келдыш, А. Н. Козлов, ЖЭТФ 54, 978(1968); Письма в ЖЭТФ 5, 238 (1967).

[4] D. W. Snoke, J. P. Wolfe, and A. Mysyrovicz, Phys. Rev. В 41, 11171 (1990).

[5] A. A. Korolev and M. A. Liberman, Phys. Rev. Lett. 72, 270 (1994).

[6] Bose-Einstein Condensation, eds. A. Griffin, D. Snoke, S. Stringari (Cambridge University Press, 1995).

[7] H. M. Вильданов, А. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, N 12, 38 (2007).

[8] Электронно-дырочные капли в полупроводниках. Под ред. К. Д. Джеффриса и Л. В. Келдыша (М., Наука, 1988).

[9] Л. В. Келдыш, А. П. Силин, Краткие сообщения по физике ФИАН, N 8, 33 (1975).

[10] Л. В. Келдыш, Т. А. Онищенко, Письма в ЖЭТФ 24, 70 (1976).

[11] А. П.Силин, ФТТ 19, 134 (1977).

[12] Б. Б. Кадомцев, В. С. Кудрявцев, Письма в ЖЭТФ 13, 61 (1971).

[13] R. J. Elliott and R. Loudon, J. Phys. Chem. Sol. 15, 196 (I960).

[14] В. E. Бисти, А. П. Силин, ФТТ 20, 1850 (1978).

[15] A. H. Лобаев, А. П. Силин, ФТТ 26, 2910 (1984).

Поступила в редакцию 10 марта 2008 г.