ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ НА ПРИМЕРЕ КОНСТРУКЦИИ «КАЧЕЛИ НА ПРАВИЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ» Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГУМАНИТАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 372.851

ОРГАНИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ НА ПРИМЕРЕ КОНСТРУКЦИИ «КАЧЕЛИ НА ПРАВИЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ»

А. А. Салмин1, М. В. Сорокина2, К. Е. Сурина3

1'2'3Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

1а1е51к014@ук.сот 25огокта_т@П5^ги 3к51еп1а.5иппа@та11.ги

Аннотация. Предлагается вариант геометрической конструкции, доступной для исследования обучающимся средней школы. Описаны ключевые моменты выдвижения гипотез с использованием программы динамической геометрии СеоСеЬга. Приведена схема исследования, доказаны основные свойства.

Ключевые слова: исследовательская деятельность, олимпиадная задача по геометрии, равносторонний треугольник, окружность, касательная

Для цитирования: Салмин А. А., Сорокина М. В., Сурина К. Е. Организация исследовательской деятельности школьников на примере конструкции «качели на правильном треугольнике» // Вестник Пензенского государственного университета. 2023. № 3. С. 3-12.

Исследовательская деятельность занимает важное место в процессе обучения, как ее включение в процесс урока, так и во внеурочную деятельность. По ФГОС исследовательская деятельность трактуется как творческая деятельность, нацеленная на решение неизвестной проблемы. Таким образом, исследовательская деятельность - процесс, который характеризуется целенаправленностью, творческой инициативой, который имеет значимый результат, может носить как творческий, так и интеллектуальный характер.

Существует и много других определений данного метода, но все они имеют сходство: сущность рассматриваемой деятельности состоит в неизвестности результата, самостоятельности учеников в его открытии.

Один из учебных предметов, который создает благоприятные условия для привлечения обучающихся к исследовательской деятельности, - математика, в частности, геометрия.

Кружковая деятельность влияет на развитие интереса обучающихся к предмету, характеризуется высоким уровнем эффективности, так как именно кружковая работа предполагает решение нестандартных задач, упражнений, которые не дублируют школьную программу. Существуют различные подходы к выделению структуры реализации исследовательской деятельности [1]. К основным этапам можно отнести:

© Салмин А. А., Сорокина М. В., Сурина К. Е., 2023

3

1) постановку проблемной ситуации;

2) выдвижение гипотезы;

3) подтверждение или опровержение гипотезы (проверку);

4) формулирование результатов.

Предлагается пример реализации исследовательской задачи для учащихся 9-го класса. Предлагается геометрическая конструкция, имеющая большую степень подвижности. Целью исследования является выявление инвариантов данной конфигурации. В качестве вспомогательного средства, позволяющего выдвигать гипотезы, предполагается использование программ динамической геометрии, в частности, GeoGebra.

Дан равносторонний треугольник АВС. Через вершину В проведена произвольная прямая l. Две окружности внешним образом касаются сторон AB и ВС треугольника, прямой АС и прямой l (рис. 1). Конструкция была предложена Д. В. Швецовым в рамках смены в образовательном центре «Сириус» (2022).

ya с х

Рис. 1. Равносторонний треугольник

Очевидно, что в приведенной конструкции в зависимости от положения прямой I изменяются центры и радиусы окружностей, положение точек касания и т.д. Ставим исследовательскую задачу: существуют ли алгебраические или геометрические инварианты данной конфигурации? В дальнейшем будем считать, что сторона треугольника равна а, радиусы окружностей равны 01 X = г, 02У = Я.

Начнем исследование конструкции, названной «качели на правильном треугольнике». Две данные окружности имеют общие внешние касательные, поэтому радиусы, проведенные в соответствующие точки касания, параллельны: 01X || 02У, Оф || 02Р. Возникает вопрос: нет ли каких-то закономерностей относительно прямых, соединяющих центры окружностей и точки касания на сторонах треугольника? Проведем прямые 0Л

и 02С1. С помощью программы GeoGebгa замечаем, что эти прямые пересеклись на отрезке ЛС (рис. 2).

Важным звеном в исследовании данной задачи является доказательство того, что проведенные прямые пересекаются в одной точке, которая принадлежит основанию равностороннего треугольника. Одним из возможных вариантов доказательства является использование метода «от противного».

Рис. 2. Пересечение прямых

Предположим, что прямые ОА и ОС пересекают основание треугольника в различных точках: 01А1 [~\АС = 2Х, 02СЛ П АС = 22.

Отрезок ХУ складывается из нескольких отрезков ХУ = УА + АС + СХ. По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, имеем:

УА = АС, ВР = ВС, СХ = СА,, ВА = во.

Отсюда следует, что

ХУ + РО = 3а = РМвС,

тогда

3

ХУ = РО = - а. О 2

Точки О1 и О2 принадлежат биссектрисам внешних углов треугольника АВС, поэтому из прямоугольного треугольника ОхСХ имеем

г

СХ = СА = г • ^60° = -=.

л/3

Из прямоугольного треугольника Ах2£ с углом в 30°:

2г

^ С = 2СА = ^.

V-

Я

2Я

Аналогично УА = Я • е1е60° = -;=, А^ = 2АС .

V- 2 1 V-

Если точки ^ и различны, то

АС — ъ ъ ^2С,

_ 2г 2Я

V- V-

2(Г + Я) а = + 2,2 ^.

я

^12'

(1)

На этом этапе следует с обучающимися обсудить вопрос: чему равна сумма радиусов двух данных окружностей? Возможно ли ее найти? Найдем сумму радиусов двух окружностей:

РО = ВА + ВС = а —Г-= + а —Я = 2а - ;

\3 у/З >/3

так как

то

РО =- а, 2

г + Я =

гу/3 2 .

(2)

Таким образом, мы выяснили, что сумма радиусов окружностей есть величина постоянная и равна высоте равностороннего треугольника. Подставим значение (2) в равенство (1), получим

«я

а = л/3' 2 + ^

откуда следует, что 2Х22 = 0. Следовательно, прямые 01А1 и 02СХ пересекают основание

АС в одной точке 21 = 2 = 2.

Продолжаем исследование. Соединив в программе точку В с центрами окружностей (рис. 3), видим, что получившиеся отрезки ВО и ВО оказываются равными. Ставим задачу доказательства этого факта.

Рис. 3. Соединение точки В с центрами окружностей

Из прямоугольного треугольника \2С имеем А2 = -. Значит, в треугольнике В0Х2 высота ВА является медианой, следовательно, он равнобедренный и ВО = В2. Аналогично получаем, что В022 - равнобедренный и В02 = В2. Таким образом,

ВО = В0 = В2.

Доказанное равенство отрезков приводит нас к рассмотрению равнобедренного треугольника BOO • Возникает желание рассмотреть основание высоты этого треугольника, точку H (она же середина стороны OO )■ Используя инструмент «Оставлять след» для этой точки, видим, что траектория ее движения лежит на средней линии треугольника. Делаем предположение о том, что геометрическое место середин отрезков O1O2

есть средняя линия треугольника (без концов), параллельная стороне АС. Прежде чем приступать к выполнению данного задания, необходимо вспомнить с обучающимися, что в геометрии называется геометрическим местом точек.

Продлеваем отрезок BH до пересечения со стороной АС и замечаем, что получившаяся точка симметрична точке Z относительно середины M стороны AC. Поэтому можно вести доказательство иначе. Докажем, что точка H будет делить пополам некоторую чевиану треугольника.

Рассмотрим точку Z' , симметричную точке Z относительно точки М.

Замечаем, что Z'Ox = ZO2 = BZ. Доказываем этот факт.

Рассмотрим ABMZ' и ABMZ. Они прямоугольные, BM - общая, MZ = MZ' в силу симметрии. Значит, ABMZ' = ABMZ (по двум катетам), следовательно, BZ = BZ'.

Если наше предположение верно, то Z O2 = BZ = BO2, а это означает, что должны

R

быть равны треугольники AO2QB и AO2YZ'. Ранее было найдено, что BCX = a —-¡=. Рас-

смотрим прямоугольный треугольник AO2YZ ':

YZ' = YA + AZ' = YA + ZC = R = ^ = = a - R

л/3 л/3 л/3

V3

R

Значит, ВС = У2' = а —, т.е. АО2С1В и АО2У2' равны по двум катетам и

2 'О = ВО.

Аналогично доказываем, что 2 О = ВО. Таким образом,

2 О = 2 'О = ВО = ВО = В2. (3)

Из равенств (3) следует, что ВО12О2 - ромб (рис. 4).

Рис. 4. Ромб

Таким образом, Н - точка пересечения диагоналей ромба, значит, Н - середина 00 и В2'. Следовательно, точка делит пополам отрезок, соединяющий вершину треугольника и точку на противоположной стороне, значит, эта точка принадлежит средней линии треугольника.

В предыдущих рассуждениях было найдено много равных отрезков, что позволяет делать выводы о равноудаленности нескольких точек от одной. В рассмотрение напрашивается окружность Ш; с центром в точке 2' и радиусом В2' (рис. 5).

Рис. 5. Окружность «1

Следующее исследовательское задание, которое можно предложить обучающимся: содержит ли окружность ш1 еще какие-либо точки, естественным образом возникающие на нашей конструкции? Уже введенные в рассмотрение точки не принадлежат окружности ш . Пробуем продлить некоторые прямые и замечаем, что точки пересечения прямых

02 и 02 с продолжениями сторон АВ и ВС попадают на окружность (рис. 6).

Рис. 6. Новое исследовательское задание

Докажем эти предположения. Пусть ВАПОЛ =К и ВСГ\02С1 =./. ZЯZ'0 =60°-центральный угол, соответствующий дуге В0Х. Рассмотрим прямоугольный АЯВАХ, в нем АВ = 60°, значит, АВЯАг = 30°. Следовательно, АВЯАХ - вписанный в ш1 угол.

Аналогично доказываем, что точка J принадлежит окружности Ш.

Следующий блок исследований можно связать с вневписанной окружностью треугольника АВС. Эта идея достаточно логична, так как исходные окружности являются так называемыми полувписанными. И из всех вневписанных окружностей исходного треугольника в данной конструкции возможна одна: касающаяся стороны АС и продолжений двух других сторон, которые уже появились в предыдущем пункте. Центр вневписанной окружности - точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Проведем биссектрисы ZСАR и ААС/, точку пересечения обозначим I (рис. 7).

Рис. 7. Точка пересечения биссектрис

Видим, что I EQj. Докажем этот факт. Угол 0J02 опирается на отрезок 00 и равен 6о° (так как ZCAI = ZACI = 60°, как половины внешних углов правильного треугольника). Так как BO^Z'02 - ромб с острым углом в 60°, то ZO^Z'02 = 120°. Этот угол

является центральным углом, опирающимся на дугу 0102, Z0J02 = 1 ZO^Z'02, следовательно, является вписанным в окружность, и точка I eQj .

Продолжая тему, связанную с окружностями, необходимо предложить обучающимся проанализировать существование других окружностей, содержащих более трех

точек нашей конструкции, например, окружности, которая проходит через В, С, М, Z, A (рис. 8). Рассмотрим окружность ш2, построенную на BZ как на диаметре. Из наших предыдущих рассуждений следует, что ZBCXZ = ZBAXZ = ZBMZ = 90°. Значит, все эти углы являются опирающимися на диаметр, вписанными в окружность ш2.

А Т М г С

Рис. 8. Окружность «2

Пусть точка К - середина отрезка BZ. Можно поставить вопрос: если рассмотреть окружность того же радиуса, но изменить центр, сможем ли мы найти группу точек, попадающих на новую окружность? При рассмотрении окружности ш3 = (М,МК) видим,

что на ней лежат точки Д, С и середина Н отрезка М2' (рис. 9). Необходимо доказать,

что МД = МС = МК = МН.

Рис. 9. Окружность «3

В силу симметрии отрезков BZ и В2' относительно прямой ВМ имеем, что МК = МН.

Вписанный в окружность ш2 угол АМВД равен 30°. Соответствующий ему центральный угол ^МКД = 60°. В АМЩ имеем КМ = КД (как радиусы ш2) и АМКЛХ = 60°. Значит, АМКД - равносторонний, и КМ = МД. Аналогично доказываем, что КМ = МСХ.

Значит, наше предположение о принадлежности точек Л1з С1з Н, К одной окружности является верным.

В процессе исследования окружность ш3 требует более пристального внимания. Каждую окружность естественным образом хочется присоединить к некоторому многоугольнику. Соединим точки О, О и I, являющиеся центрами соответствующих окружно-

стей. На первый взгляд, может показаться, что окружность ш3 является вписанной в треугольник 01021. Однако, изменение в программе исходных данных позволяет заметить, что этот факт не имеет места. Но на окружности ш3 лежит точка Н, являющаяся серединой стороны 0102 треугольника. Построив высоты треугольника 001, видим, что их основания также принадлежат окружности ш3 . Делаем предположение, что окружность ш3 -окружность Эйлера [2] треугольника 001 (рис. 10). Докажем этот факт. Заметив на построении, выполненном в GeoGebra, что прямые 0и 022 содержат высоты треугольника 00^, обозначим точки пересечения этих прямых со сторонами 01 и 021 через Ж и V соответственно.

Имеем А0г20 = АVZW = 120° как вертикальные, А2СШ = 60°, так как СЖ - биссектриса внешнего угла АЛВС. Следовательно, АZWC = 90°. Аналогично АZVЛ = 90°. Таким образом, получили, что 0у и 02^ являются высотами треугольника 01021, точка М - ортоцентр.

Пусть точка и - основание третьей высоты. Покажем, что точки и, V, Ж принадлежат окружности ш3 . Так как АСЛ^ равнобедренный (АZCW = АZCЛ1, значит,

CW = СЛ1), то АCWЛl = 30°. Следовательно, АС1ЖЛ1 = 60°. Но этот угол опирается на тот же отрезок ЛС, что и центральный угол АЛМС = 120°. Значит, точка W еш3. Аналогично V еш3. Точка и является основанием высоты треугольника 01021, поэтому АVUW = 180°-2А01102. Так как два угла в треугольнике 001 равны 60°, то ¿0102 = 60°, значит, АУ^^ = 60°. И точка и еш3, так как соответствующий центральный угол АVMZ = 120° (в этом несложно убедиться, так как точки I, V, М, Z, Ж лежат

Рис. 10. Треугольник О1О21

на одной окружности с диаметром 12). Таким образом, ш3 - окружность Эйлера для треугольника ОО21.

Исследование конструкции «качели на правильном треугольнике» предполагает и дальнейшие изыскания. Мы остановились лишь на некоторых из них.

Применение средств компьютерной геометрии позволяет исследовать сложные геометрические конструкции, высказывать предположения, проверять их в динамике, однако не может заменить математическое исследование, строгое доказательство найденных утверждений. В исследовательской работе с обучающимися основную роль играет именно последняя часть работы, т.е. математическое обоснование выдвигаемых предположений. В процессе исследования предложенной в работе конструкции последовательно возникают факты, требующие доказательства и опирающиеся на предыдущие утверждения. Ценностной является именно непрерывная цепочка открытых исследователями фактов. Это позволяет систематизировать все свойства конструкции и намечать пути дальнейших исследований.

Список литературы

1. Далингер В. А. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике : учеб. пособие. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2005. 456 с.

2. Швецов Д. В. Важная лемма // Квант. 2012. № 5-6. С. 55_59-

Информация об авторах Салмин Алексей Алексеевич, студент, Пензенский государственный университет.

Сорокина Марина Валерьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры «Математическое образование», Пензенский государственный университет.

Сурина Ксения Евгеньевна, студентка, Пензенский государственный университет. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.